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Full text of "OEuvres Completes De Niels Henrik Abel (1881) V. 1&2"

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I)] 



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ŒUVRES 



COMPLÈTES 

DE NIELS HENRIK ABEL 

NOUVELLE ÉDITION 

i 

PUBLIÉE AUX FRAIS DE L'ÉTAT NORVÉGIEN 

PAR MM. L. SYLOW ET S. LIE 

TOME PREMIER 

CONTENANT LES MÉMOIRES PUBLIÉS PAR AHEL 




CHRISTIANIA 

IMPRIMERIE DE GR0NDÀHL & S0N 
M DCCC LXXXI 



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I 



I 



I 



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Asl. 



I «UT. 
UMAfY 



PREFACE. 



L'édition des Œuvres d'Abel faite par Holmboc et publiée en 1839, 
était devenue très rare trente ans après. C'est pourquoi plusieurs mathéma- 
ticiens étrangers, surtout allemands et français, en demandaient une nouvelle 
édition à leurs confrères norvégiens. C'étaient MM. ClcbscJi, Kronrcker et 
Weiersirass qui firent les premiers cette proposition, dont la Société Mathé- 
matique de France déclara hautement l'utilité par son président Chaslcs. 
Dans ces circonstances, le Gouvernement Norvégien, sollicité par la Société 
des Sciences de Christiania, crut devoir inviter le Corps Législatif à voter 
la somme nécessaire pour faire une nouvelle édition revue et complète des 
Œuvres d'Abel. Le Siorihinq accorda promptement la somme voulue, et 
conformément à la proposition émise l'édition nous fut confiée. Pendant 
l'exécution de cette tache importante, nous avons profité des sages conseils et 
du précieux concours de beaucoup de personnes autorisées. Outre les mathé- 
maticiens déjà nommés nous devons remercier spécialement M. O. J. Broch, 
de Christiania, M. C. Jordan, de Paris, et M. E. Schering, de Cottingue. 
L'illustre Académie de Berlin mit à notre disposition, avec une bienveillance 
extrême, les manuscrits de plusieurs mémoires, imprimés dans le Journal de 
Crelle, et les dates de publication des mémoires d'Abel insérés dans les tomes 
II — IV dudit Journal, nous ont été obligeamment fournies par Borchardt. 



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11 



Nous avons cru de notre devoir d'admettre tout travail publié par Abel 
dans notre édition; à ceci nous n'avons lait qu'une seule exception, dont 
nous parlerons aussitôt. En outre nous avons cherché à recueillir tous les 
manuscrits et toutes les lettres d'Abel encore existantes, en les soumettant à 
un examen minutieux pour en extraire tout ce qui put avoir de l'intérêt 
scientifique. La Bibliothèque de noti % e Université avait acquis quelques-uns 
des manuscrits d'Abel; d'autres, moins importans, il est vrai, étaient devenus 
la propriété de quelques mathématiciens norvégiens. Sollicitée par nous, la 
veuve de Holmboe a revu soigneusement les papiers de son défunt mari, avec 
l'heureux résultat que toute une série des manuscrits d'Abel fut retrouvée et 
donnée à la Bibliothèque de l'Université. Néanmoins beaucoup des documens 
qui étaient sous les mains de Holmboe nous manquent, étant probablement 
détruits par un incendie survenu peu après sa mort. Cependant il nous semble 
probable (pie la plus grande partie de ce qui date des dernières années d'Abel 
est encore conservé. Dans ces manuscrits nous n'avons relevé, il est vrai, 
aucun résultat nouveau à la science; cependant ils ont montré que plusieurs 
théorèmes importans, trouvés plus tard par d'autres, étaient déjà connus à 
Abel et se cachaient dans ses papiers quand ils furent publiés pour la 
première fois. Outre les théorèmes, déjà connus par l'édition .de Holmboe, 
sur les équations résolubles par radicaux, nous pouvons mentionner comme 
tels: un théorème fondamental sur les relations qui peuvent avoir lieu entre 
des intégrales de différentielles algébriques, qu'Abel avait bien énoncé flans 
une lettre adressée à Lecjendre, mais dont ii n'avait pas donné la démonstra- 
tion; en outre une proposition très-générale sur la convergence ries séries, 
laquelle fut publiée pour la première fois par M. Bertrand, 

Le Tome I de notre édition contient, dans l'ordre chronologique, tous 
les mémoires publiés par Abel, à l'exception d'un opuscule imprimé dans le 
Magasin des Sciences Naturelles, année 1824, dans lequel il s'était glissé, par 
inadvertance, une faute grave. Or comme Abel a expressément retracté ce 
mémoire, nous croyons avec Holmboe devoir l'exclure des Œuvres Complètes. 
Notre édition contient quatre mémoires publiés par Abel qui manquent à celle 
de Holmboe, savoir les mémoires III, V, XII, et XIII de notre premier volume. 



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PRËFACK. 



111 



Les deux premiers furent omis par flolrnboe, parce que le contenu s'en 
retrouve dans d'autres travaux d'Abel. Le mémoire XII, présenté par Abel à 
V Académie des Sciences de Paris en 1826, ne put être inséré dans l'édition 
de Holmboe; ce n'est qu'en 1841 qu'il fut imprimé dans les Mémoires des 
Savans étrangers. Le mémoire XIII semble avoir échappé à l'attention de 
Holmboe. 

Les mémoires publiés par Abel dans les revues norvégiennes, furent rédigés 
en norvégien; par égard à la plupart des lecteurs nous les rendons en 
français. Tous les autres travaux d'Abel furent, d'après ce que nous dit 
Holmboe dans sa préface, rédigés en français; mais les mémoires publiés dans 
les deux premiers volumes du Journal fur die reine und angewandte Mathe- 
maiih, furent traduits en allemand par Crelle, à l'exception des Recherches 
sur les fondions eflipiiques. Pour ce qui est des mémoires imprimés dans le 
quatrième volume du même journal, il existe encore, comme il est dit plus 
haut, des copies des manuscrits originaux d'Abel; elles font voir que Crelle 
a fait plusieurs corrections du style en partie inutiles; il y en a même qui 
ont modifié le sens. Ainsi les traductions allemandes de Crelle ne pouvant 
être considérées comme des versions absolument exactes du texte original, 
nous avons cru, avec Holmboe, devoir rendre ces mémoires en français afin 
de conserver l'unité linguistique de notre édition. 

Le Tome H de notre édition comprend les Œuvres posthumes, des ex- 
traits de lettres d'Abel, et les notes des éditeurs. Tout en reconnaissant le 
grand mérite de Holmboe, comme l'habile maître et le fidèle ami d'Abel, et 
aussi comme le zélé éditeur de ses Œuvres, nous ne pouvons nous empêcher 
de faire observer qu'à notre avis l'éditeur n'a pas toujours traité les manuscrits 
laissés par Abel avec toute la critique désirable. En effet, dans le second 
volume de son édition, il a imprimé, à coté de plusieurs mémoires précieux, 
un certain nombre de travaux de jeunesse, datant d'une période où la cri- 
tique d'Abel ne s'était pas encore complètement développée. Et même quand 
Abel parle plus tard des faux résultats auxquels conduit un raisonnement 
peu rigoureux, il nous paraît évident qu'il pense, entre autres, aux erreurs 
auxquelles il avait été porté lui-même dans ses anciens travaux, depuis long- 



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IV 



PREFACE. 



temps rejetés par lui; or ce sont ceux-là qu'a admis Holmboe, après la mort 
de l'auteur, parmi ses Œuvres Complètes. Si nous avions à faire la première 
édition des Œuvres d'Abel, nous aurions renoncé à publier plusieurs travaux 
imprimés dans le second volume de l'édition de Holmboe. Cependant, comme 
ces travaux sont déjà connus au public et souvent cités, nous ne nous som- 
mes décidés à omettre que trois des travaux publiés par Hohnboe, lesquels 
nous semblent n'avoir plus aucun intérêt même historique. D'autre part 
nous avons cru devoir mettre au jour plusieurs parties inédites des manuscrits 
d'Abel, dont quelques-uns offrent un grand intérêt. 

Tome II, p. 283 — 289 nous donnons un aperçu de tous les manuscrits 
d'Abel encore existait». Ici nous nous bornons à faire remarquer que dans un 
protocole rempli depuis août 182(î à la fin de la même année ou au com- 
mencement de 1827, nous avons trouvé des endroits qui prouvent qu' Abel 
s'occupait de la Théorie de la transformation des fonctions elliptiques à Paris, 
à la fin de 182(5, ce qui d'ailleurs s'accorde avec ce qu'il a dit à Holmhoe, 
cité par nous dans le second volume. 

Des lettres d'Abel nous donnons des extraits plus complets que ne le 
faisait Holmboe. Nous signalons à l'attention des lecteurs la première lettre 
d'Abel à Holmboe. Cette lettre prouve que, déjà en 1828, Abel avait con- 
sidéré la fonction inverse de l'intégrale elliptique de la première espèce, mais 
elle fait voir aussi qu'à cette époque il ne savait pas encore maîtriser les 
paradoxes appareils qu'il avait rencontrés dans ses recherches. 

À l'édition nous avons ajouté quelques notes, dans lesquelles nous don- 
nons tantôt des renseignement* sur les divers mémoires, tantôt sur les endroits 
où nous avons cru devoir nous écarter du texte original, pourvu toutefois que 
ce ne soient pas de simples corrections de fautes de calcul ou d'impression; 
tantôt nous faisons observer des inexactitudes que nous ne nous croyions paa 
autorisés à corriger. Quelquefois nous donnons notre interprétation de pas- 
sages obscurs, ou bien nous indiquons comment selon nous Abel a déduit des 
propositions qu'il a avancées sans preuve. Nous faisons observer expressé- 
ment, que si dans les notes nous citons quelquefois des auteurs postérieurs, 
ce n'est que pour éclaircir le texte, et nullement pour montrer comment les 
découvertes d'Abel ont été développées par ses successeurs. 



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PRÉFACE. 



Au moment où nous achevons cette édition, M. Bjerlcnes, professeur à 
l'Université de Christiania, vient de publier une biographie détaillée d'Abel, 
fondée sur des recherches étendues, dans laquelle il a tenu compte des maté- 
riaux recueillis pour cette édition. Dans ce travail intéressant on trouve 
réuni à peu près toutes les données accessibles de la vie d'Abel. Tout en 
exprimant le vœu que cette biographie soit bientôt traduite dans une langue 
plus généralement connue, nous devons faire observer que nous ne partageons 
pas toutes les vues de l'auteur, bien que nous reconnaissions avec lui (pie 
c'est à Abel en première ligne que la science doit la découverte des fonc- 
tions elliptiques proprement dites. 

En présentant, un demi-siècle après la mort d'Abel, cette nouvelle édi- 
tion de sas Œuvres au public mathématique, nous osoils espérer qu'elle con- 
tribuera fortement h ce que ces travaux qui ont tant guidé le mouvement 
mathématique de notre temps, soient étudiés dans l'original par la généra- 
tion actuelle de mathématiciens. Abel a eu de grands successeurs; mais 
pour qui veut continuer dans la voie frayée par lui, il sera toujours profitable 
de remonter à 1h source même: les immortelles Œuvres d'Abel. 

Christiania, août 1881. 

r 

Les Editeurs. 



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TABLE DES MATIÈRES DU TOME PREMIER. 



PACKS. 



I. Méthode générait 1 pour trouver des fonctions d'une seule quantité 
variable, lorsqu'une propriété de ces fonctions est exprimée par une 

équation entre deux variables 1. 

II. Solution de quelques problèmes à laide d'intégrales définies .... 11. 

III. Mémoire sur les équations algébriques, où Ton démontre 1 impossibilité 

de la résolution de l'équation générale du cinquième degré .... 28. 

IV. L'intégrale finie 2'" i\ ,v exprimée par une intégrale définie simple. . ^4. 
V. Petite contribution à la théorie de quelques fonctions transcendantes 40. 

VI. Recherche des fonctions de deux quantités variables indépendantes .r 
et //, telles que /(.r. //), qui ont la propriété que f(z, /*(.<•. ;/)) est 

une fonction symétrique de .r et // 01. 

VII. Démonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équa- 
tions générales qui passent le quatrième degré 00. 

Appendice. Analyse du mémoire précédent 87. 

VIII. .Remarque sur le mémoire X° 4 du premier cahier du Journal de 

M. ('relie U5. 

IX. Résolution d'un problème de mécanique U7. 

X. Démonstration d'une expression de laquelle la formule binôme est un 

cas particulier 102. 

XL Sur riutégration de la formule différentielle *\ " . It et a étant des 

y 11 

fonctions entières 104. 

XII. Mémoire sur une propriété générale d une classe très étendue de fonc- 
tions transcendantes 145. 



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VIII TABLE DES MATIERES. 

PAU SA 

XIII. Recherche de la quantité qui satisfait à la fois à deux équations al- 
gébriques données . 212. 

XIV. Recherches sur la série 1 + -J* .r + î^fc^ 1 ) 219. 

1 1 . Jj • 

XV. Sur quelques intégrales définies 251. 

XVI. Recherches sur les fonctions elliptiques 203. 

XVII. Sur les fonctions qui satisfont à l'équation r/u* -f- 77/ = */'(•♦'./ // ~l~ ///•'') 
XVIII. Note sur un mémoire de M. />. Olivier,, ayant pour titre "Remarques 

sur les séries infinies et leur convergence" 399. 

XIX. Solution d'un problème général concernant la transformation des fonc- 
tions elliptiques 403. 

XX. Addition au mémoire précédent 429. 

XXI. Remarques sur quelques propriétés générales d'une certaine sorte de 

fonctions transcendantes 444. 

XXII. Sur le nombre des transformations différentes qu'on peut faire subir 
à une fonction elliptique par la substitution d'une fonction rationnelle 

dont le degré est un nombre premier donné 457. 

XXIIL Théorème général sur la transformation des fonctions elliptiques de la 

seconde et de la troisième espèce 46(3. 

XXIV. Xote sur quelques formules elliptiques 407. 

XXV. Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébrique- 
ment \ . 478. 

XXVI. Théorèmes sur les fonctions elliptiques 508. 

XXVII. Démonstration d'une propriété générale d'une certaine cbfsse de fonc- 
tions transcendantes 515. 

XXVIII. Précis d'une théorie des fonctions elliptiques 518. 

XXIX. Théorèmes et problèmes 018. 



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I. 

MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS D'UNE SEULE 
QUANTITÉ VARIABLE, LORSQU'UNE PROPRIÉTÉ DE CES FONCTIONS 
EST EXPRIMÉE PAR UNE ÉQUATION ENTRE DEUX VARIABLES. 

Magazin for Naturvidenskaberne, Aargang I, Biud 1, Christiania 1823. 



Soient x et y deux quantités variables indépendantes, a, y, â etc. des 
fonctions données de x et y, et y, f, F etc. des fonctions cherchées entre 
lesquelles une relation est exprimée par une équation V= 0, contenant d'une 
manière quelconque les quantités x, y, fft, Fy etc. et leurs différentielles. 
On pourra, en général, à l'aide de cette seule équation, trouver toutes les 
fonctions inconnues dans les cas où le problème est possible. 

Pour trouver Tune des fonctions, il est clair qu'on doit chercher une 
équation où cette fonction soit la seule inconnue et par conséquent chasser 
toutes les autres. Cherchons donc d'abord à chasser une fonction inconnue 
par exemple (pa et ses différentielles. Les quantités x et y étant indépen- 
dantes, on peut regarder l'une d'elles, pu une fonction donnée des deux, 
comme constante. On peut donc diff'érentier l'équation V = 0 par rapport 
à l'une des variables x, en considérant a -connue constant, et dans ce cas 
l'autre variable y doit être considérée comme fonction de x et de a. Or en 
différentiant l'équation V= 0 plusieurs fois de suite, en supposant a constant, 
il ne se trouvera pas dans les équations résultantes, d'autres fonctions de a 
que celles qui sont comprises dans l'équation V=Q y savoir (pa et ses diffé- 
rentielles. Donc si la fonction V contient 

y>«, d<pa, <F<pa, . . . (Pipa, 

1 



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2 



MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc. 



on obtiendra, en différentiant l'équation V=0 n-\- 1 fois de suite dans la 
supposition de a constant, les ft-f-2 équations suivantes: 

V=0, dV=0, cFV=i\...J n+l V=Q. 

Éliminant de ces n-f-2 équations les n-\-l quantités inconnues 

ya, d(pa, d*(fa etc., 

il en résultera une équation V 1 = 0 qui ne contiendra ni la fonction <pa ni 
ses différentielles, mais seulement les fonctions //?, Fy, etc. et leurs diffé- 
rentielles. 

Cette équation V t = 0 pourra maintenant être traitée de la menje 
manière, par rapport à Tune des autres fonctions inconnues ffi, et l'on ob- 
tiendra une équation V 2 = 0 qui ne contiendra ni (pa ou ses différentielles, 
ni ffi ou ses différentielles, mais seulement Fy etc. et les différentielles de 
ces fonctions. 

De cette manière, on peut continuer l'élimination des fonctions inconnues, 
jusqu'à ce qu'on soit parvenu à une équation qui ne contienne qu'une seule 
fonction inconnue avec ses différentielles, et en regardant maintenant l'une 
des quantités variables comme constante, on a, entre la fonction inconnue et 
l'autre variable, une équation différentielle d'où l'on pourra tirer cette fonc- 
tion par intégration. 

On peut remarquer, qu'il suffit d'éliminer jusqu'à ce qu'on ait obtenu une 
équation qui ne contienne que deux fonctions inconnues et leurs différentielles; 
car, si par exemple ces fonctions sont (pa et //?, on pourra, en supposant fi 
constant, exprimer x et y en fonction de a à l'aide des deux équations 
a = a et fi = c, et arriver de cette manière à une équation différentielle entre 
(pa et «, d'où l'on pourra par conséquent déduire (pa. De la même manière, 
on trouvera une équation entre ffi et fi en déterminant x et y par les 
équations a = c et fi = fi. Ces fonctions étant ainsi trouvées, on trouvera 
aisément les autres fonctions à l'aide des équations qui restent. 

De cette manière, on pourra donc en général trouver toutes les fonc- 
tions inconnues, toutes les fois que le problème sera possible. Pour s'en 
rendre compte il faut substituer les valeurs trouvées dans l'équation donnée, 
et voir si elle est satisfaite. 

Ce qui précède dépend, comme nous venons de le voir, de la différen- 
tiation d'une fonction de x et y par rapport à x, en supposant constante une 
fonction donnée de x et y; y 'est donc fonction de x et dans les différentielles 



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MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc. 



3 



, . dy d*y cFy ^ 

se trouvent les expressions ^ , ~ , ^ , etc. Ces expressions se trouvent 

aisément en différentiant l'équation a = c par rapport à x, et en supposant y 

fonction de x. En effet, on obtiendra les équations suivantes: 

da , da dy q 

dx ' dy dx ' 

2 -— - ^4--° i^-JL^ _ 0 etc 
dx* ' dx dy dx* dy* dx 2 ' dy dx* ' *' 

d'où Ton tire 









da 






dy^ 




dx 






dx 




da 
dy 




d*a 




d*a 


da 


d*a IdaV 


dx* 


+ 2 


dx dy 


dx 


dy* \dx\ 


da 


~lda 




Ida]» 


dy 




\<¥ 


r 





etc. 



• La méthode générale de* résoudre l'équation V=ù est applicable dans 
tous les cas oîi l'élimination peut s'effectuer, niais il peut arriver que cela 
ne soit pas possible, et alors il faut avoir recours au calcul des différences; 
mais pour n'être pas trop long, je passera) ce cas sous silence, d'autant plus 
qu'on peut voir dans le traité du calcul différentiel et du calcul intégral de 
M. Lacroix t. III, p. 208, comment on doit s'y prendre. 

Nous allons appliquer la théorie générale à quelques exemples. 
1. Trouver la fonction tp qui satisfasse à l'équation 

<pa=f{x,y,<p(i,tpy), 

f étant une fonction quelconque donnée!, 

En différentiant cette équation par rapport à x, en supposant a constant, 
on aura 

or nous avons vu que 

da 

dy dx 



dx da ' 

dy 

bette valeur étant substituée dans l'équation ci-dessus, on obtiendra, après 

1 * 



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MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc. 

la 1 M 



avoir multiplié par ^ 

« = A * - f ,% +A*fovi$% - £ D +/-(^> * (2 $ - 

Faisant maintenant ;> constant, déterminant # et <y en /? par les deux équa- 
tions y = c, fî = fi et substituant leurs valeurs, on obtiendra entre </>/? et (3 
une équation différentielle du premier ordre, d'où Ton tirera la fonction <pfi. 
Soit 

/(■*» y» vr) = v/* + <pr> 

on attra 

/', = 0, /'// = 0, fifpfi = 1, /'(</>/) = 1. 
L'équation deviendra donc 

~ tftldfi da da dfi \ | , / dy rfo r/« dy \ 

— <p p ( ^ — ( q dy j-r<P7 [tt^ - iy — dtF ~i y J ; 

on tire de là en intégrant 

da dy da dy 



, ! dx c 

= i>rj ,,f, 



dw dy dy 

On voit aisément (pie sans diminuer la généralité du problème on peut faire 
ft = x et y = y\ on aura ainsi 



Donc, ayant 
on en conclut 



dti_ 1 <î t 1 _ 0 dy =() d y = i 
d.c ' dy ' (Le J dy 



(f>a = <f>x-\-(py, 
da 



cpx 

dy 

où y est supposé constant après la différentiation. 

Appliquons cela à la recherche du logarithme. On a 

\og{xy) = logx + ]ogy, 

donc 



da ' da 

a =*y> :r=V> -j„ ,= x 



liar 



ir — dy 



'5 



t 



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MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc. 



substituant ces valeurs on obtient 

V x = <p'y j y - dx = c j~ , 



donc 



i f dx 

\ogx=zeJ œ . 

Si Ton veut trouvej; arc tang x, on a 

ZJL 
■ xy 



x ~H y i 
arc tang j — ^ = arc tang x -J- arc tang ?/, 



donc 



et par suite 



On tire de là 



par conséquent 
d'où 

arc 



x -f- y 
l — xy 



** _ i y( g +y ) _ 1 ±y* 

<U — l-xy T{i-xy)* — (l -xy)" 

da 1 . | x(jy -\-x) _ 1 -|~ x 2 

dy — T- xy "T (1 — ^ ~ (T-^f ' 



</<T "1 + X* ' 

tang x = c l -— : — v = / -3 — - — t- , en taisant c = 



Supposons maintenant 

f( x , y, <pi% n) = vP .<py = <P x - m 

en faisant = Y = V- aura 

f'v=fy = 0, f((px) = (p?j J f(tpy) = (px, 

dp = dy = l W_ = d L = Q. 
dx dy 1 dy dx 



L'équation deviendra donc 

'"'"df — v-v* dx 



. da t da ~ 

( py' < f x t n; — ( P z - ( py,u =°> 



6 MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc. 

dotic 

da 

(f 'x (fy dx 

ifx ((y da ' 
dy 



et en intégrant 



da 

loff (fx — \ d j— dx. 



dy 



Soit 



da_ 

dx Jx — T 
dix ax — 1 ^ 

dy 



on aura 



<px = e eT . 



Soit par exemple a = x-\-y, on aura ~"- =\=~ , donc 



T=fdx = x, 
if>x=e cx . 



da da rp f dx 

~dy =X ' I==1J J V> 



( f) x = e c '" tx , 



et 

Soit a = xy, on mira 

donc 
c'est-à-dire 

ya: = x". 

Si l'on cherche la résultante R de deux forces égales P, dont les direc- 
tions font un angle égal à 2x, on trouvera que R = P<px, où (px est une 
fonction qui satisfait à l'équation 

yx . ipy = y(a: + y) + y(* — 2/)-*) 
Pour déterminer cette fonction, il faut différentier l'équation par rapport à x, 
en supposant y -\- x = const., et l'on 'aura 

*) Voyez Poimon traité de mécanique t. I, p. 14. 



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MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc. 7 

Mais de l'équation x+y = c on tire -£-=-1; substituant cette valeur, 
o» obtient 

<p'x . <py — ( px . y'ij — 2<p'(x — y). 

Différentiant maintenant par rapport à x, en supposant x — y = const. 
on aura ' 

V • <P!/ + • y'y - J - y'* . y'y - <p X . ip" y J = 0; 
or l'équation x — y = c donne = 1, donc 

<p"x . <py — (fx.<p"y = 0. 
La supposition de y constant donne 

<p"x-\-c<px = Q J 

d'où l'on tire en intégrant 

<px = a cos (Jix -J- y), 

«, fi et y étant des constantes. En déterminant celles-ci par les condi- 
tions du problème, on trouvera 

« = 2, fi=l, 7 = 0, 

donc 

<pa; = 2cos.r, et par suite B=2Pcosx. 

2. Déterminer les trois fonctions y, f et ./' qui satisfassent à l'équation 
V« = y, yx, <p'x, ...fy, fy, . . .), 

où « est une fonction donnée de x et de y, et F une fonction donnée des 
quantités entre les parenthèses. 

Ditférèntiant l'équation par rapport à x, en supposant « constant, et 
do - 

écrivant ensuite - £_ au lieu de * , on obtiendra l'équation suivante 

(/a 



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8 MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc. 

Si dans cette équation on fait y constant, on a une équation différentielle 
entre (px et x, d'où Ton peut tirer <px, et si Ton fait x constant, on a 
une équation différentielle d'où Ton peut tirer fy\ ces deux fonctions étant 
trouvées, la fonction rpa se trouvera sans difficulté par l'équation proposée. 

Exemples. Trouver les trois fonctions qui satisfassent , à l'équation 

<K X + u) = <p* •/'</ +fy • </>'•<•• 



On a ici 
donc 

de plus 
donc 



F(x, y, (fx, <p'x, fy, f'y) = <px.fy+fy.( P 'x J 

F'x = F'y = 0, F'(<fx)=fy, F>{<p>x)=fy, 
F\f!j) = <P'*, F'(fy) = c f x- 

a = x + y, 

da ^ da j 

<lœ J dy 



Ces valeurs étant substituées, on aura 

tf'x.fy + tfx.f'y ' 

ou bien 

w*f"y-fy.<p"x = Q. 

Faisant y constant, on trouvera 

içx = a sin (bx c), 

et si Ton fait x constant, 

fy = a'$\\\[by-\-c). 

On tire de là 

if 'x = ab cos (bx -f- r), 
fy=a'bcoz(by-\- c '). 

Ces valeurs étant substituées dans l'équation proposée, ou obtiendra 
*K* + y) = aa'b (sin (bx + c) cos (by + + 8În (fy + c ' } cos (&B + c 
= aa7> sin (b(x -\-y)-\- C -\-c'^ 



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METHODE GENERALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc. 

Les trois fonctions cherchées sont donc 

(px = a sin (bx -j- c), 

ipa = aa'b sin (ba -J- c -f- c'). 
Si Ton fait a = a' = b = 1 et c = c' = 0, on aura 

(px = sin Xj fy = sin y, xfja = sin a, - 

et par suite 

sin -|- y) = sin # . sin 'y -j- sin y . sin' 
Trouver les trois fonctions qui sont déterminées par l'équation 

vO* + y) =A x !f) + — y)- 

Différentiant par rapport à en supposant # -j- y constant, on aura 

0=/(^)(y-*) + 2y'(x-y). 
Maintenant pour trouver </>, soit xy = c et . x — y — Q-> 011 aura 

tp'a = a, 



donc 



y « = h' -f - ^ a 8 . 



Pour trouver /, soit xy = /i et x — y = c, on aura 

• f'P = c', 

donc • 

Ces valeurs de y« et yjtf étant substituées dans l'équation donnée, on obtiendra 

Pour déterminer y/, soit #-[-?/=:«, d'où l'on tire y = a — d'où 
ya=c^+c^(a— aîî+ifc'-f -* (2a?— «) 2 =c"-{- a 2 +îc'+xa(c'— 2k)+(2k— c')x\ 

Pour qiîe cette équation soit possible, il faut que x disparaisse; alors on aura 

2k — c = 0, et c' = 2k. 
Cette valeur étant substituée, on obtient 

tfftt = h' + C + 1 a», //? = c" + 2^, 97 = + g y», 
qui sont les trois fonctions cherchées. 

2 



10 MÉTHODE GÉNÉRALE POUR TROUVER DES FONCTIONS etc. 

Comme dernier exemple je prendrai le suivant: Déterminer les fonctions 
(p et f par l'équation 

<ft x +y)=<P x -fy +f x • <py- 

En supposant x-\-y = c, et en différentiant, on obtiendra 
0 = tf/x ./y — (fx.fy -\-f'x . <py —fx . tp'y. 
Supposons de plus que /(0) = 1 et </>(0)==0, nous aurons en posant y = 0: 

0 = tp'x — <px . c -\-fx . c', 

donc 

fx = h(px -f- k'(p 'x. 
Substituant cette valeur de fx, et faisant y constant, on aura 

cp " x axp'x -j- b(px — 0, 

et en intégrant, 

<px = c ' e ax -\-c" e a ' x . 

Connaissant <px, on connaît aussi fx, et en substituant les valeurs de ces 
fonctions, on pourra déterminer les valeurs des quantités constantes. On 
peut supposer 

c '=- c "= 2 yLv «=-«'=V-l, 

ce qui donnera 

e x Y-i — e -x v - 1 

V* — — - -r - =wn^, /r^zeosz. 



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IL 

SOLUTION DE QUELQUES PROBLÈMES À L'AIDE D'INTÉGRALES 

DÉFINIES. 



Magazin for Naturvidenskabeme, Aargang I, Bind 2, Christiania 1823 



C'est bien connu qu'on résout à l'aide d'intégrales définies, beaucoup 
de problèmes qui autrement ne peuvent point se résoudre, ou du moins sont 
très-difficiles à traiter. Elles ont surtout été appliquées avec avantage à la 
solution de plusieurs problèmes difficiles de la mécanique, par exemple, à 
celui du mouvement d'une surface élastique, des problèmes de la théorie des 
ondes etc. Je vais en montrer une nouvelle application en résolvant le 
problème suivant. 

Soit CB une ligne horizontale, A un point donné, 
AB perpendiculaire à BC, AU une courbe dont les 
coordonnées rectangulaires sont AP=x, PM=y. Soit 
de plus AB = à, AM=s. Si l'on conçoit maintenant 
qu'un corps se meut sur l'arc GA, la vitesse initiale 
étant nulle, le temps T qu'il emploie pour le parcourir 
dépendra de la forme de la courbe, et de a. Il s'agit de déterminer la 
courbe KCA pour que le temps T soit égal à une fonction donnée de a, 
p. ex. ya. 

Si l'on désigne par h la vitesse du corps au point M, et par t le 
temps qu'il emploie pour parcourir l'arc CM, on a comme on sait 




h = \BP=\a — x, dt = — 



ds 



2* 



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12 SOLUTION DE QUÇLQ. PROBL. À L'AIDE D'INTÉGRALES DÉF. 

donc 

dt= — * , 

• _ Va — *' 

et en intégrant 



J ia — x' 



Pour avoir T on doit prendre l'intégrale depuis x = a jusqu'à x = Q, on 
a donc 

T _ r x=a <is 

Or comme T est égal à fa, l'équation devient 

r*= a ds 
yja= . 

J 1=0 Va — « 

Au lieu de résoudre cette équation, je vais montrer comment on peut tirer s 
de l'équation plus générale 

/•*=« d» 

^ J*=o 

où n est supposé moindre que l'unité, afin que l'intégrale ne devienne pas 
infime entre les limites données; ya est une fonction quelconque qui n'est 
pas infime quand a est égal à zéro. 
Posons 

où 2a (m) x m a la valeur suivante: 

2a (m >aT = a (m V -f- «'"V -j- a (m ~>x w " -f- . . . . 
En différentiant on obtient 

ds = Zma (m) xr- A dx, 

donc 

la - A " — ' ■= — = — 

En intégrant on a 



Or 



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SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D'INTÉGRALES DÉF. 13 

/x — a f fa 

wa = Sma (m) f * . 

Jo ("-•'•)" 

La valeur de l'intégrale 

Jo («—*)" 

se trouve aisément de la manière suivante: Si l'on pose x = at, on a 

x" = a n t m , mx— l dx = maT^dt 
(a — x) n = (a — a/)" = a"(l — /)", 



donc 

et en intégrant 
Or on a 



rn.T m — l dx ma"— n t m - 1 <U 

(a—lrj" (1—0" ' 

TOI . - = J»«" " / -y. ^- . 

Jo («-•>■)" Jo (1-0" 



/*» *— «<ft _ r(i — ») rw 
Jo (i-0" r(m-«+i)' 

où /tw est une fonction déterminée par les équations 

r(m+l) = mrm, 7*(1) = 1.*) 

En substituant cette valeur pour l'intégrale C et remarquant que 

mTm = /'(m -}-l) on a 

Jo («-4" ■ !'(«-»+ 1) • 
En substituant cette valeur dans l'expression pour ya, on obtient 

y/a = /'(l _ ,()v fi w„.-. ''('" + 

'•('"-«+ 1)" 

Soit 



on a 



/ (m — w + 1) 



*) Les propriétés de cette fonction remarquable ont été largement développées par 
T *9*»'l™ dans son ouvrage, Exercices de calcul intégral t. I et II. 



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14 SOLUTION DE QUELQ. PROBL. À L'AIDE D'INTÉGRALES DEF. 

Pour ([lie cette équation soit satisfaite il faut que m — n = k, donc m = n -\- /c, 
et que 



r(i->)r( m + i) n(m) _ r(i - » )!■(» + * + 1) a(m) 



' # 7 >n w I 1 \ 



/'(,« — n+1) — *X*+1) 



donc 
Or on a 

par conséquent 



a 



M — + 1 ) o(t) 



r(i — n)r(M + A + i) 



/•> _ r». r(* + i)- 

Jo (l-^-^ /V+A+l)' 



w _/**»__ r 1 «*<»_ 

a -rn.ixi-u)j 0 (i-ty-n- 

En multipliant par af = x n+k on obtient 

~ l'n.r(l-n)J 0 (1-0'- 



"/jo v ; 

d'oh 

-rn:r(i-v)J 0 (i-ty>- 

Mais on a Ifl w x" = s, 2^ = ^(4 donc 

r«./-(i- w )J 0 ,(i -«y-' 

En remarquant ensuite qu'on a /VI — n) — . - , on trouve 



.S' : 



si n nit 
Sin nu . .r w Ç 1 xff(ji)dt 



De ce qui précède découle ce théorème remarquable: 
Si l'on a 



on a aussi 



Appliquons maintenant cela à l'équation 

J x-=o Va — x 



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SOLUTION DE QUELQ. PROBL. À LAIDE D'INTÉGRALES DÉF. 15 

On a dans ce cas n = |, donc l — n=^ ct par consument 

S = V* f 1 </'(.rt)<ft 
~ 7C Jo Vl -t' 

Voilà donc l'équation qui détermine l'arc .s- de la courbe cherchée par 
l'abscisse correspondante on en tirera facilement une équation entre les 
coordonnées rectangulaires, en remarquant que l'on a du* = dx* -f- drf '. 

Appliquons maintenant la solution précédente à quelques cas spéciaux. 
1) Trouver la courbe qui a la propriété, que le temps qu'un corps 
emploie pour parcourir un arc quelconque, soit propoitionel à la n*™ puis- 
sance de la hauteur que le corps a parcourue. 

Dans ce cas on a ya=;ca n , oh c est une constante, donc if>(xi) = cx K l n 
par suite: 



donc en faisant 
on a 

on tire de là 
et 



s = Cx n+ i; 
ds = (n-\-l)Cx n -*dx, 



ds* = (n + -l YC'x^dx* = dif -f dx*, 
d'où l'on déduit en posant (n -f- £)*G 13 = Je 

dy = dxykz~"- l — i; 
l'éc^ation de la courbe cherchée devient donc 

y = fdx^kx inl ~\. 
Si l'on fait n = J, ou a ^-'=1, donc 

U=fdx Vk—1 =k'-\-x\'lc—l, 
la courbe cherchée est donc une droite. 



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16 



SOLUTION DE QUELQ. l'KOBL. À L'AIDE DINTÉGKALES DÉF. 



2) Trouver l'équation de l'isochrone. 

Puisque le temps doit être indépendant de l'espace parcouru, on a 
tf)a = c et par conséquent 

« Jo.Vl—t' 

donc 

s = kYx 1 

où 

k = 



"Jo VI- 



1 

t 



ce qui est l'équation connue de la cycloide. 
Nous avons vu que si l'on a- 

... <^)- 

on a aussi 



On peut aussi exprimer s d'une autre manière, que je vais rapporter à 
cause de sa singularité, savoir 



r(l — n) iLc- n ' 

c'est-à-dire, si l'on a 



J x — 0 



on a aussi 



J — 

1 (l'ÙjKC 

" S ~ "/'(! + ") </7<T« 5 
en d'autres termes, on a " 

Cette proposition se démontre aisément comme il suit. Si l'on pose 

on obtient en ditféreutiant: 

= Xa( '" ; m (™ - 1) (m — 2) . . . (/« - h -f 1) a; -*; 

mais 

*« (wi - 1 ) (//t — 2) ...(/» _ fc 4-1)= ''O" + *) ■ 



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SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A LAIDE D'INTÉGRALES DÉ F. 17 

donc 



Or on a 



par conséquent 



r(m-k+i)— r(-k)J 0 (i^ji+ï' 

d k iftx 



a** — :^n-k)J o (r-ô^-î 

niais 2 a (w) (xt) m = y (xt\ donc 

<iz* ~ x k r(—ic)J 0 (1 
En posant & = — tz, on en tire 

d- n ipx ;r n Z* 1 iji(xt)dt 

Or nous avons vu que 
donc on a 

1 f/~ n i/u* 

si 

c. q. f. d. 

En différentiant n fois de suite la valeur de s, on obtient 

1 

et par conséquent, en faisant s = <px, 

d H (fu 1 Ç a (p'x.<lc 

du» — r(l-n)J 0 '(a-xy 

On doit remarquer que, dans ce qui précède, w doit toujours être moindre 
que l'unité. 

Si l'on fait n = \, on a 

3 



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18 



SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D'INTÉGRALES DÉ F. 



et 

1 d-hp.C 1 

C'est là l'équation fie la courbe cherchée, quand le temps est égal à \pa. 
De cette équation on tire 

donc: 

Si l'équation d'une courbe est s=npx, le temps qu'un corps emploie 

pour en parcourir un arc, dont la hauteur est tu est égal à Vi-'î^-. 

Je remarquerai enfin que de la même manière, qu'en partant de 
l'équation 

j ai trouvé s, de même en partant de l'équation 

i/m j(f(xa)jx.dx 

j'ai trouvé la fonction <p, xp et / étant des fonctions données, et l'inté- 
grale étant prise entre des limites quelconques; mais la solution de ce pro- 
blème est trop longue pour être donnée ici. 



• Valeur de l'expression , f (x -j- y y' _ 1) _j_ r r (.v—yY — 1). 

Lorsque tp est une fonction algébrique, logarithmique, exponentielle ou 
circulaire, on peut, comme on sait, toujours exprimer la valeur réelle de 
<p{*+y\-\) + <p{x-y)/-l) sous forme réelle et finie. Si au contraire 
V conserve sa généralité, on n'a pas que je sache, jusqu'à présent pu l'ex- 
primer sous tonne réelle et finie. On peut le faire à l'aide d'intégrales 
définies de la manière suivante. 

1 •'" • 1 ,= + 1 - ï> - + ,&>■+.. . 



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SOLUTION OE QUELQ. PKOBL. A b'AlDE D'INTEGRALES DEF. i9 

donc 

r 1.2' ~ 1.2. 3.4-' '•■)• 
Pour trouver la .somme de cette série, considérons la série 

<p{x + 1) = vr + t ^ + il v ,, x + ^ J ^ ^ + _ 

En multipliant les deux membres de cette équation par <r"dt, et prenant 
ensuite 1 intégrale depuis / = _oo j usqu > a , = -{..,., (m anm 

/»+oc 

Or / e-""t*»"Jt=;0, donc 

*/ —OC 

Considérons l'intégrale 

/+OC 
-oo 

«oit 1= «, on a ,.-- = e -^ donc 
c'est-à-dire 

Cette valeur étant substituée ci-dessus, on obtient 

J-oo e y * 2 r* ^2.3.4 ii* ' ' ' '/■ 

En multipliant par e-'W^ et prenant riutégrale d ^ v = _ OQ • , ft 
w H 00 , on obtiendra 

1 p+oc „ +oc 



3* 



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2Q SOLUTION DE QUKLQ. PROBL. A L'AIDE D'INTÉGRALES DÉF. 

Soit vy = j1j on a 

J -oo J -oo 

r +oc / 1 — 2w \ (— l) n 2 n Vië (— i) n in i 

Or f^c-T-d^^- '") = TT3.5.r ( 2^1)= L 1 - ' d °" C 

et par suite 

r +oc /- 
• A / a- v t?- fa rfî; = (— l) n y 2n ~\ \*. 

J —oo 

En substituant cette valeur, et divisant par on obtiendra 

«y — oo J —oc 1 

Le second membre de cette équation est égal à 

•v(*+yV-ï)+v(*-yV-ï), 

donc 

O /* +<5C +00 

y^-J. yf— f) -j- y(* _ ?/ |/_ 1) = ^ / e ""Wr / _|_ 

' r J — OO J —OO • 

Posant #=^0, on a 

^ o /» + oc n +oo 

V— 1) -f y(— ?yy — 1 ) — ^ / / y / . < r'*'Vf . 

♦/ — OO J OO 

Soit par exemple <pt--e', on aura 

<K//V— !) + V (— ?/ V— 1) ~ * vV T + ^ yV 1= 2 cosy, 

donc 

y f» + 00 +00 

cm?/ 'M e rV rJvl e'- v ' r dt- 

J - OC «/ — OO 

or r + °° e «— «VY— -^-e 4 '*, donc 

J-oo » 



., +oo 

COS ?/ 



Si Ton fait v — — 0 n aura 



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SOLUTION DE QUELQ. PROBL A L'AIDE 1) INTÉGRALES DÉ F. 21 
1 (>+°c _ r . + j v s 

cos?/ — / e 1 dU 



En donnant d'autres valeurs à ipt, on peut déduire la valeur d'autres 
intégrales définies, mais comme mon but était seulement de déterminer la 
valeur de (f{x-\-yY^Ï) -\-(p(x — y\f — 1) je ne m'en occuperai pas. 



Nomltres de Bemotdli exprimés par des intégrales définies, d'où Von a ensuite d/duit 

Ue*rpre*ssion de V intégrale finie 2(f.r. 

Si Ton développe la fonction 1 — ^- cot ~- en série suivant les puis- 
sances entières de en posant 

1 U . U A M * I A 7/4 I I A U * n I 

T 2 =^-2+^2jor + - + 4. 2 . 8 . 4 .. at + -» 

les coefficiens A ly A t1 A 3 etc. sont, comme on sait, les nombres de Jiernoulh'.*) 
On a**) 

1 ~ Y COt 2U * (ï^^ii* + 4.4/r* — + UT 4~.<*~. + " • •) 5 

et en développant le second membre en série: 

1 -2 cot Y iâ ( 1 +i + 3 V+--) . 

+ 2>7r* f 1 + 2* + 8»+"-) 
"J" 2 r '/r« j 1 + 2« + 3« + * ' ') 

2*"-ï / f *« (* ~f~ 2 Z " 3 2 " ^~ " ') 

+ • • • 

En comparant ce développement au précédent, on aura 

1 . 2 . 3 ... 2n 2*»-hc*» \ ■ 2 S » t 3». "T • • 

*) Voyez jEWm* Institutiones cale. diff. p. 426. 
**) Voyez J&i/m Institutiones cale. diff. p. 423. 



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22 SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D'INTEGRALES DÉF. 

Considérons maintenant l'intégrale / ° — — . On a 

7ri T = e "' + ^' + ^ 3 '-h-.-, 

donc 

- e T=i =fc-'t^dt +/ e- s '1*"- l dl + . . . +f e -»C->-\l( + .'. . 
Or f*r*t*-*dt ^*), clone 



mais d'après ce qui précède, on a 

>d 

r(2„ + i) 



-r a- t 3- -i"— 172.3. ..2, A "~ r(*r-irù A ^ 



donc 

et par conséquent 

A — 2w r* 
En mettant fcr au lieu de f, on obtiendra enfin 

£1* *<'»'<»''< Peuvc't être exprimé, ,l',u,e manière «rt, 

•simple, par des intégrales définies. 

D'un autre côté on. voit aussi, lorsque n est un nombre entier, que 
lexpv«,| est tDiij.mra rationnelle et égale il 4,, ,-e ,,„i e», 

— remarquable. Ainsi „„ „ ura pal . M1 , Ie c „ ,.„;„„„","„=, , 3 efc 

i 

J 0 1 —6' 

f 4 -!!*- - i «• _ , 

J„ ^ T< — 1 30' 4 T 5 ' 

*) Cette expression se déduit de l'équation fondamentale r„ = /\^ lo „ ' \- en 

y faisant a = 2n et .r-,-*< r,, , - ^° ^ ° " ' 

• / "S"«**. Exercices de cale. int. t. I, p. 277. 



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SOLUTION DE QUELQ. PROUL. A L'AIDE U1NTÉGHALE.S OEF. 23 

f l tMl — 1 il. 8 ♦ 
J 0 « T < — 1 "42'6 6Ï etC - 

Maintenant à l'aide de ce qui précède, on pourra très facilement expri- 
mer la fonction 2<px par une intégrale définie. On a 

i^fa.dx- i^ + yl, f;l -A, t $"* 4 + ... 
En substituant les valeurs de A u A 3 , A 3 etc.,. on aura 

J 7 ^ ~ 1-*J„ '"'-1 1.2.8. 2«J„ t"'-l 

c'est-à-dire 



Or 



M 2 ' T ^ 1.2 2* +r.2.3.4 "2* 

r r 2 1.2.3 2» r •••l'- 



On tire de là 

2 - S 2 + - 2 v ! _ f [ y (* + ^- 1) - y (* - 4 1/_ 1 

Cette valeur étant substituée dans l'expression de Zipx, on obtient 

Ux.dx — '«5/4- / L _£ ' M _ 2 J _ ' 
17 J « 2V-1 " 

Cette expression de l'intégrale finie d'une fonction quelconque nie paraît très 
remarquable, et je ne crois pas qu'elle ait été trouvée auparavant. 
De l'équation précédente on tire 



2V— 1 . 



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24 



SOLUTION DE QUKLQ. PROHL. A L'AIDE D'INTÉGKALES DLF. 



On a ainsi l'expression (l'une intégrale définie très générale. Je vais en faire 
voir l'application à quelques cas particuliers. 
1. Soit <pjc—-e x . Dans ce cas on a 

'4'+ 2 F-*)-- ' ! ^ V_l; e 1 COS 2 +^- lsi,i 2 )' 

donc 

/ t 1 



et par conséquent 



2V — 1 ^ ' 



* sin J-ift 



niais 



2< ,x i et / v e dx~-e*') donc 



sin 2 <« j 
* 1 e — T _ 



Si l'on fait <(>x—v" ,x , on obtiendra de la même manière 

». * i i 



sin , 



Si l'on, met 2/ à la place de /, on aura 

sin ntt.dl j e m + 1 1 
o — 1 4 > — 1 ~~ 2m ' 

formule trouvée d'une autre manière par M. Leyendre. (Exerc. de cale int. 
t. II, p. 189.) 



2. Soit (rx — , 



on trouvera 



; v-i|-^[«-|y-i| 



et 



2 y— 1 2(.r 2 + ^<*)' 

jifx.dx j'^' logx + C, 



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SOLUTION DE QUELQ. PROBL* A L'AIDE D'INTÉGRALES DÉF. 25 

donc 

. J. T* r +W(i«— 1) - 2 log* - - - 2 ^- + a 

On détermine C'en posant ce qui donne 

/nr q | I ^ t (Il 

3. Soit (fx — sinaa;, on aura 



l — -cosax 



_nt at 

e 2 — e * 



™(«c+-J-y- l)-sin(^ — JV- l) 2 cos «: . sin-Jf-ï _ _ _ 
donc 

cos / — * 2 cos («.*?— £a) .1 

~J -^-1^ — 2iï5Ta h~cos^ + isinax, 

et en écrivant 2a au lieu de a, et réduisant 

* ^— at J 

o — -cotga. 

En supposant d'autres formes pour la fonction tpx orî pourra de la même 
manière trouver la valeur d'autres intégrales définies. 



Sommation de la série infinie S= <p(x + 1) — (f Qv + 2) + 4~ 3) — rp(x + 4) + , 

à / d'intégrales définies. 

On voit aisément que £ pourra être exprimé comme il suit, 
S— 4 (px -[- J., y -j- <p"# -f- u4 3 -j- . . . 
Si Ton suppose (px^e™ on obtient 

S = i«r + «"(-4ia + ^4 2 a a + J 3 a 3 + ...). 



Mais 

e "t 6 — T+^~' 



on a aussi 



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26 SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D'INTÉGRALES DÉF. 

donc 

En faisant a-~cY—l>> on trouve 

où P désigne la somme de tous les tenues réels. Mais 

e'Y-î e * V ~ i — e~* V ~ i 

l + e cv=î — * = * T7ri — = + r — 1 tan S 2 e ' 

donc 

i tang A x c — A^-\- A h c b — . . . 
Or on a [Legendre Exerc. de cale. int. t. II, p. 186) 

Ç i e ct e -ct 



= 2 ! et 4- -~ t 3 -\- / 5 J_ ' 

' ) cf i-2.3 l + 273.475* 



donc, puisque 

e" — , 

on obtient 

i tang ^ -c — — A 3 c 3 -f ^ 5 c 5 — . . . 

-=2c( h ~ U2-^~/'*_ 1 ?* -1-2 f* <5 ' ft j_ . 

Ou en conclut, 

* A - 9 f * llU 

A 2 r * rtfc 

A--—1- f * th,U 
etc. 

En substituant ces valeurs dans l'expression pour 5, on trouve 

YT ^ J, «•«-*-•«) V X "~ 273 * • t "+2T3-4-5^ 5 
mais on a ' 



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SOLUTION DE QUELQ. PROBL. A L'AIDE D'INTÉGRALES DEF. 27 

1w > x _ .'.!_■ «/"g _L fa w <r* x - < f {.r + ty-l)- ( ,(,-ty-l) 
1<px 2J) (f x -\r 2 .3.4.?> </) X '•• 2V—1 . 

donc 

v (,+ l)- v (x + 2) + V (x + Z)- V (x + 4) + ... 

Si l'on pose # -0,- on obtient 

y(l)-y(2) + y(3)-ç.(4)-|-...in inf. 

Supposons par exemple (px— ~-^;y> on a 

y(< V- 1) - y (— « 1) _ _i 

2y-i • i+< 2 ' 

donc • 

or on a 

par conséquent 



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ni. 

MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ALGEBRIQUES, OÙ L'ON DÉMONTRE • 
L'IMPOSSIBILITÉ DE LA RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION GÉNÉRALE 

DU • CINQUIÈME DEGRÉ. 

Brochnre imprimée chez Grmidnhl, Christiania 1824. 



• Les géomètres se sont beaucoup occupés de la résolution générale des 
équations algébriques, et plusieurs d'entre eux ont cherché à en prouver 
l'impossibilité; mais si je ne me trompe pas, on n'y a pas réussi jusqu'à 
présent. J'ose donc espérer que les géomètres recevront avec bienveillance 
ce mémoire qui a pour but de remplir cette lacune dans la théorie des 
équations algébriques. 
Soit 

f — «y* -f % 3 — cf + dy — e — Q 
l'équation générale du cinquième degré, et Supposons qu'elle soit résoluble 
algébriquement, c'est-à-dire qu'on puisse exprimer y par une fonction des 
quantités a, b, e, d et e, formée par des radicaux. 11 est clair qu'on peut 
dans ce cas mettre y sons la forme: 



m— 1 



y = p + pi & + pi Jf- + . . . _|_^ m i E — f 
m étant un nombre premier et B, p, Pl , ]h et c. des fonctions de la même 
torme que y et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne à des fonctions 
rationnelles des quantités^ «, b, c, d et e. On peut aussi supposer qu'il soit 

impossible d'exprimer & par une fonction rationnelle des quantités a, b etc. 
2>, A etc., et en mettant A au l ieu de E il est clair qu'on peut faire 
Pi— 1- On aura donc, 



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MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES etc 



y p + li*+j> t 1!» + . . . + p„ , 

En substituait cette valeur de y dans l'équation proposée, on obtiendra 
en réduisant un résultat de cette forme, 

& 9u ?* etc - étant des fonctions rationnelles et entières des quantités 

Oj •/>, Cj d, e, p, etc - et R- Pour que cette équation puisse avoir lieu il 

i 

. faut que q — 0, <7i^=0, q s — 0 etc. — 0." En effet, en désignant It"' par 
2, on aura les deux équations 

zT — IÎ ^Q et 2 + îi « + . . . + Qm-iZ 9 "- 1 — 0. 
Si maintenant les quantités ^, </i etc. ne sont pas égales à zéro, ces équa- 
tions ont nécessairemeht une ou plusieurs racines communes. Soit k le 
nombre de ces racines, on sait qu'on peut trouver une équation du degré h 
qui a pour racines les h racines mentionnées, et dans laquelle tous les 
coefficiens sont des fonctions rationnelles de /?, </, q x et q m ^ v Soit 

* r-f- r x z -f- r, a* -f- . . . + **s*--=0 

cette équation. Elle a ces racines communes avec l'équation z m — li — 0; 
or toutes les racines de cette équation sont de la forme a n z, u u désignant 
une des racines de l'équation «" — 1 0. On aura donc en substituant les 
équations suivantes, 

r + r 1 z + r f ^ + ... + r 4 z*-^0, 
r-\-ar x z-\- a*r 2 z 2 -|- . . . -|- a k r k z k — 0, 

-f z + «J_ a r a a* -f . . . -f- a k k _,r k z k - 0. 

• De ces A; équations, on peut toujours tirer la valeur de z exprimée par 
.une fonction rationnelle des quantités r, r XJ etc. r kJ et comme ces quau-. 
tités sont elles-mêmes des fonctions rationnelles de rc, />, r7, <>, lh 
etc., il s'en suit que z est ' aussi une fonction rationnelle de ces dernières 
quantités; mais cela est contre l'hypothèse. Il faut donc que 

2- 0, q x - a etc. q m _, -- 0. 

Si maintenant ces" équations ont lieu, il est clair que l'équation proposée 

est satisfaite par toutes les valeurs qu'on obtiendra pour ?/, en donnant à 
i 

R n toutes les valeurs 

1 ! * 1 1# 1 
lï n , aR m , a*lï'", r/tf etc. r/"-^"', 



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30 MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES etc. 

a étant une racine de l'équation 

• • a m-X _|_' a «-l ... + « -|- 1 .... 0. 

On -voit aussi que toutes ces valeurs de ?/ sont différentes; car dans le 
cas contraire on aurait une équation de la même forme que l'équation 
P 0, et une telle équation conduit comme on vient de le voir à un ré- 
sultat qui ne * peut avoir lieu. Le nombre m ne peut donc dépasser 5. 
En désignant donc par y u y 2 , y 3 , y 4 et y h les racines.de l'équation proposée, 
on aura 

y s - ~p + a R m + a'p, K m -f • . . + «•"-' R , 

De ces équations on tirera sans peine 

^^"ST + y.), 

^ - 4 dfx + «-'.y* + • • • + « 2 ^), 



m —1 ^ 

iff " '= ^ C'A + «y. + • • • + «*" 

On voit par là que p, p, etc. p m _„ R et R» sont des fonctions ration- 
nelles des racines de l'équation proposée. 

Considérons maintenant l'une quelconque de ces quantités, par exemple 
R. Soit 

Eu traitant cette quantité de la même ^ manière que y, on obtiendra un 
résultat pareil savoir que les quantités v'\ v, S, S, etc. sont des fonctions 
rationnelles des différentes valeurs de la fonction R- et comme celles-ci 
sont des fonctions rationnelles de y„ ^.etc, les fonctions r», v,' S, S, etc. . 
le sont de même. En poursuivant ce raisonnement on conclura que toutes ' 



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MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES etc. 31 

les fonctions irrationnelles contenues dans l'expression de y sont des fonc- 
tions rationnelles des racines de l'équation proposée. 

Cela posé, il n'est pas difficile d'achever la démonstration. Considérons 

i 

4 abord les fonctions irrationnelles de ' la forme li m , R étant une fonction 

i 

rationnelle de a, è, c, d jet e. Soit R M r, r est une fonction rationnelle 
!/u Uti !U et y ht et -8 llne fonction symétrique de ces quantités. Mainte- 
nant connue il s'agit de la résolution de l'équation générale du cinquième 

degré, il est clair qu'on peut considérer y n y^ y 31 y 4 et y b comme des 

i 

variables indépendantes; l'équation Ii m — r doit donc avoir lieu dans cette sup- 
position. Par conséquent on peut échanger les quantités y n y 2} y 3 , y 4 et y b entre 

i i 

elles dans l'équation R m r; or par ce changement R m obtient nécessaire- 
ment m valeurs différentes ei^ remarquant que R est une fonction symé- 
trique. La fonction r doit donc avoir la propriété qu'elle obtient m valeurs 
différentes en permutant de toutes les manières possibles les cinq variables 
. qu'elle contient. Or pour cela il faut que m = 5 ou .m = 2 en remar- 
quant que m est un nombre premier. (Voyez un mémoire de M. (huchy 
inséré dans le Journal de l'écoje polytechnique, XVII e Cahier). Soit d'abord 
m = h. La fonction /• a donc cinq valeurs différentes, et peut par consé- 
quent être mise sous la forme 
i 

R b = r=p -f pi Ui +P* f A -TPs A +P* Ai 

P* Pu Pf* étant des fonctions symétriques de y n y t etc. Cette équation 
donne en changeait y v en y t 

p +pi yi + p* yi + Ps A +p*yî = a P + m y* + a P* y\ + <*/> 3 y\ + m iA 

où 

mais cette équation ne peut avoir lieu; le nombre ta doit par conséqueiit 
être égal à deux. Soit donc 

B* = r, . . 

r doit avoir deux valeurs différentes et de signe contraire; on aura donc 

(voyez le mémoire de M. Caucky) 

i i 
R* = r = vfa—y,) (y,— y,) . . . (y, — y s ) . . . (tf é — y b ) — vS*, 

o étant une fonction symétrique. 



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32 MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES etc. 

Considérons maintenant les fonctions irrationnelles de la forme 

Pi Pii P* etc.,i£, H x etc. étant des fonctions rationnelles de a, b, c, d et e 
et par conséquent des fonctions symétriques de y 1J y^ ?/ 3 , y à et y b . Comme 
on Ta vu, on doit avoir v = jii= etc. = 2, B = v* S, R x = v\ S etc. La fonc- 
tion précédente peut donc être mise sous la forme 



Soit 



r i = \p— PiS 



2 Ira 
.' * 



on aura en multipliant, 



Si maintenant n\ n'est pas une fonction symétrique, le nombre m doit être 
égal à deux; mais dans ce cas r aura quatre valeurs différentes, ce qui est 
impossible; il faut donc que n\ soit une fonction symétrique, Soit v cette 
fonction, on aura 

r + r t = (p +^ & f + v (p + Pi & j-ï = z . 

Cette fonction a /« valeurs différentes, il faut donc que m = 5, en remar- 
quant que m est un nombre premier. On aura par conséquent 

2 = 2 + ïi y + 2, y' + 2a y s + ^ = (/> + B # )*"+ 1» -f ^ 

'i? Su Î2 etc. étant des fonctions symétriques de ?/,, y i , y 3 etc. et par con- 
séquent des fonctions rationnelles de a, b, c, d et e. • En combinant cette 
équation avec l'équation proposée, on en tirera la valeur de y exprimée par 
une fonction rationnelle de z, a, b, c, d et e. Or une telle fonction est 
toujours réductible t\ la forme 



i 



oh P, B, P„ P 3 et P 4 sont des fonctions de la forme p-\- Pl S*, p, p„ et S 
étant des fonctions rationnelles de a, 6, c, d et e. De cette valeur de y 
on tire 



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MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES etc. 33 

& = J + «V* + « : V 3 + + «y.) = (i> +^ )* 

OÙ 

+ + + a-|-l = 0. 

Or le premier membre a 120 valeurs différentes et le second membre seule- 
ment 10; par conséquent y nç peut avoir la forme que nous venons de 
trouver; mais nous avons démontré que y doit nécessairement avoir cette 
forme, si l'équation proposée est résoluble; nous concluons donc 

qu'il est impossible de résoudre par des radicaux l'équation 
générale du cinquième degré. 

Il suit immédiatement de ce théorème qu'il est de même impossible de 
résoudre, par des radicaux les équations générales des degrés supérieurs au 
cinquième. 



5 



IV. 



L'INTÉGRALE FINIE 2>r EXPRIMÉE PAR UNE INTÉGRALE DÉFINIE 

SIMPLE. 



Magazin for Naturvidenskaberne, Aargang III, Bind 2, Christiania 1825. 



On peut connue on sait, au moyen du théorème de Parsamf exprimer 
l'intégrale finie J£*<px par une intégrale définie double, mais si je ne me 
trompe, on n'a pas exprimé la même intégrale par une intégrale définie 
simple. C'est ce qui est l'objet de ce mémoire. 

En désignant par yx une fonction quelconque de :f, il est aisé de 
voir qu'on peut toujours supposer 

(!) <px = f e vx fv.dv, 

l'intégrale étant prise entre deux limites quelconques de indépendantes 
de x. La fonction fo désigne une fonction de dont la forme dépend de 
celle de yx. En supposant ,1x=l, on aura en prenant l'intégrale finie 
des deux membres de l'équation (1) 



(2) 



2<px= j e/'-^-^dv, 



où il faut ajouter une constante arbitraire. En prenant une seconde fois 
l'intégrale finie, ou obtiendra 

Eu général on trouvera 



(3) 



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L'INTÉGRALE FINIE EXPRIMEE PAR UNE INTÉGtt. DÉF. SIMPLE. 35 

Pour compléter cette intégrale il faut ajouter au second membre une fonc- 
tion de la forme 

C+ G> + GYr* + . . . + C n _ lX "-\ 

C, C 2 etc. étant des constantes arbitraires. 

Il s'agit maintenant de trouver la valeur de l'intégrale définie / e vx ^ v yy* ^ Vm 

Pour cela je me sers d'un théorème dû à M. Legendre (Exerc. de cale. int. * 
t. II, p. 189), savoir que 

1 _f*dt.smvt 
~ 2tT — J Q e*»t— 1 " 

On tire de cette équation 

(A\ ^ ^ ^ ^ l 9 f ÏÏ db.&mvb 

1 

En substituant cette valeur de -^7- y dans l'équation (2), on aura 

Z(px=fe vx ^ dv — ^J e vx fv . dv -f 2 ^ f c"/» • siu • 

L'intégrale y e vx fv .sinvt .dv se trouve de la manière suivante. En remplaçant 
dans l'équation (1) x successivement par #-f~^V — 1 et x — t]f — 1, on 
obtiendra 

<p (x _|_ t |d~ï) = f e vx e vt V^îfv . dv, 
<p{x — t Y^ï) = f e vx e' n ^ fv . dv, 
d'où l'on tire, en retranchant et divisant par 2 y — ï, 

/ e tx sm vt. fv.dv = _ — / r ■ • 

J J 2Y— 1 

Ainsi l'expression de 2<px devient 

Maintenant pour trouver la valeur de l'intégrale générale 



posons 



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36 L'INTÉGRALE FINIE 2 n <fx EXPRIMEE PAR UNE INTÉGR. DÉ*\ SIMPLE. 

des coefficients numériques qui 



où p est égal à ^ v - ^ , ^o,n> étant aes coemciens numérique 

doivent être déterminés. Si Ton différence l'équation précédente, on a 



Or 
donc 



En comparant ces 
suivantes: 



n - n 

•( g >-T)^i = n (- p + a. î + • • • + ^.-i.. ) 

+ n (- 1)- j, + $- + ... + 4m. + i £r) • : 
>s deux expressions de ^-^-^ , on en déduit les équations 



A 

X1 0,n + 1 


A 0.n 


0 




o: <M>,n = 


o, 




-A. n = 


1 


A 0,n 


o: JA lu = 




An+1 


A 2,n — 


1 

91 


An 


o: ^A* = 


1 , 



A -~ l A 



n— 2,n ? 



1 -slLz* 



etc. 



d'où Ton tire 

A = 1 - L 1 1 1 A _ 1 

-.-+• n „_i m — 2 " * 2 * T * 0 - 1 r( M _j_~iy * 

Cette dernière équation servira à déterminer les constantes qui rentrent dans 
les expressions de A Un , A 3n etc. 

Ayant ainsi déterminé les coefficiens A 0nJ A Kn , A 2>n etc., on aura, en 
substituant dans l'équation (3) au lieu de ^1— sa valeur, 

'2 n <px = (— îy-ife^fv . dv p -f A ïn J + 
maintenant on a 



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1/ INTÉGRA LE FINIE 2 n tfx EXPRIMEE PAR UNE INTÉGR. DÉ F. SIMPLE. 37 

1 1 , 9 <//.sin 

d'oïl Ton tire en différentiant 

dp ^ 1 I g /** <^.cos ?tf 

^__2-3_ Q f*rtft.cogtrf 

donc en substituant 

+*<-»>•-£ ^*«->.*+2(-D-' £ «<,,»>.*,: 

De -l'équation (px=j* e vx fv . dv on tire en intégrant: 

f(px.dx= fe l *fv ~-, 

y V • ^ 3 =/ «"*/<' * «te 5 

de plus on a 

Ain ^ . «« > . rf„ : gfe^ ^-yC f-AlE?) , 

^ J 2V-1 

f «»*.*- fv.dv= + 

donc on aura en substituant 
Z>x=A n _ ln rnf a <pxJ.c-'-A tt ^ n ^ 

-K-l)"-i9a+2(-l)-> f*;,™! 'K' r f .ï-V-<K*-'V-l) 

4-2 f— IV- 1 f l _9 (U _ 5P(^+<V-T)H-(jP(.r-<i/-ï) 

où 

P=.i4... -^ M /°-|-^, n 

^ = 4 1 ,J-^ S . M / S 4 r 4 5 ,„/ 5 -.... 



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38 L'INTËGKALE FINIE 2 n r/x EXPRIMÉE PAR UNE INTÉGR. DÉ F. SIMPLE. 

En faisant p. ex. n = 2, on aura 

Soit p. ex. cpx = e ax , on aura 

(p(x±t f^l) = e™ e±«'V-~\ fe ax dx=±-e ax , ffe^dx 2 = ^e^, 
donc, en substituant et divisant par e**, 

_ L _ 1 1 | 1 _ 9 f h dt.sinat C^tdt.coscd 

Le cas le plus remarquable est celui où w=l. On a alors, comme 
on Ta vu précédemment: 

Sifx = (7+ /V* . cfe - i y» + 2 /"* É+nB^HQ . 
17 Jo «-"— i 2 y — ï 

En supposant que les deux intégrales Zyx et fyxdx s'annulent pour 
x = a, il est clair qu'on aura: 

C= A <pa - 2 f* (U ?^ttt)- jr (a - 1 V=ï) . 



donc 



=f<p X . dx — | (tfx — <p a ) -f 2 ^° -^nr~ j + '/"O-'V-i) 

— 2 — ' ft _ « V— 1) — <r(a — t Y—i) 

S! l'on fait x = oo, en supposant que y* et /"yjB.ffe s'annulent pour 
cette valeur de x, on aura: 

r + ^«+ 1 ) + y(« + 2) + 9 >(« + 3) + ...in inf. 

= / ^.^ + 1^ — 2/ + 1) — T(a — <V— 1) 

2 V— 1 



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L' INTEGRALE FINIE 2' H fx EXPRIMEE PAR UNE INTÉGR. DÉF. SIMPLE. 39 

Soit p. ex. <px = -^, on aura 

1)_ fp ( a —t V— I) _ — 2at_ 
2V— ï ~ ' ~{a*-\ t*y> 

donc 

l_i i , i , _ i , i , . r*_ 

a» ' (a+T)^ + (« + 2)V + 2a" +" a + 4 "j o C^- 1) («* + **)" ' 

et en faisant a — 1 



i + i + * + ,\ + A + • • • = £ = I + (r ..« _ $ 



i) (i + <*)" 



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Y. 

PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQUES FONCTIONS 

TRANSCENDANTES. 



Présente il la société royale des sciences i» Tlirondhjem le 22 mars 1826. Imprimé dans Det kongelige 
norske Vidcnskabers Selskabs. Skrifter t. 2. Throndlijein 1824 — 1827. 



1. 



Considérons l'intégrale 



/q dx . 

q étant ' une fonction de x cjui ne contient pas a. En différentiant p par 
rapport à a on trouve . \ . 

dp r q dx 

da J (x — ay ' 

Si maintenant q est choisi tel que J ^J^— puisse être exprimé par Tinté- 

& rale J JZ-a" 1 on trouvera une équation différentielle linéaire entre j> et a 
d'où l'on pourra tirer p en fonction de a. On obtiendra ainsi une rela- 
tion entre plusieurs intégrales prises les unes par rapport à x, les autres 
par rapport à a. Comme on est conduit par ce procédé à plusieurs théo- 
rèmes intéressants, je vais les développer pour un cas très étendu où la ré- 
duction mentionnée de l'intégrale J est possible, savoir le cas où l'on 

a q = <px.e'*, f x étant une fonction algébrique rationnelle de x, et 7px 
étant déterminé par l'équation " 

< P x = h (x + a y (x + «y (x 4- a "Y ....(* _|_ a <»y <n) 



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PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QUKLQ. FONCT. TKANSCENI). 41 

* 

où a, a', a" ... sont des constantes, /*, /?', fi" ... des nombres rationnels 
quelconques. Dans ce cas on a 





1' eJ x fpx .tir 




' x — a 


(1 P _ I 


Ç e fx (fx.dx 


da J 





2. 

La dernière de ces intégrales peut être réduite de deux manières, 
a) Si Ton diftérentie la quantité on trouve 

X ~~— ' Cl 

_ ef'qy.dx , (e^y'jc - f e^f'x . rpx) dx / e S*(fx \ 

(x — a)* ~T~ ar — a 

En intégrant cette équation de sorte que les intégrales s'annulent pour 
x = c, on obtient 

Si Ton diftérentie l'expression de ya; on obtient 

où la somme doit être étendue aux valeurs p = 0, 1, 2, 3 . . . ». On tire 
de là • 

.r — a ~ (.r + «(/'>) (.r — <,) ^ ' 

or on a 

fi** __ ^_ _/^ ? ,*o»> 

+ « U}) ) 0 — a) ~ (x + au») (a + a^) ' — «j "(a + ' 

donc 

" -^- = _«, J ; V _ I 9* v fi» 

* — « 7 (.<■• + o"'J (« + a<W) ~ a; — a ~ a + «'•>') ' 

Considérons maintenant la quantité ^_ • . Comme /x est une fonction 
rationnelle de x on peut faire 

6 



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42 PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 

la somme étant étendue à toute valeur entière de j> 7 et /jft* désignant un 
nombre entier. En difterentiant on obtient 



donc 



f'x = Spy»x~ - 2 — , 
J l ' (x + e w)" w +» 



W — ^ 

j; — « (# — a)(* + ««)*°"+» • 

Or on a 

- + + . . . + + . . . + + ^ , 

donc 

ic — a ' • x — a 

Pour réduire l'expression JS — --^J'°l — posons 

(x — a)(*-f- C W)^ w +i r 

1 _ A i i , | ^ m . 

. (.,-_ a) (.*• + *)»' ^ — a~ or + e^(* + c )*^' --"T + ' . 

si l'on multiplie de part et d'autre par x — a, et qu'on fasse ensuite x = a, 
on obtient 

A — (a + ?)'*' 

Pour trouver on multiplie les deux membres de l'équation par (x + c)", 

^ -t = ( r- « + ,r+7 + • • • + ( ,tr •) ( x + 

+ + c)-'- + A p . +1 (x + c)-'-» -(-..., * 
puis on diflérentie m—/ fois de suite, ce qui donne 

En faisant c , on tire 

-4 . = - 1 

(« + <•)« -f '+»' 

donc 

- - 1__ = 1 i 

«) (x + r)- (a + „)- (x - a) ~ ~ („ + +-,.)„• • . ' 



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PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. KONCT. TRAN8CEND. 43 

En écrivant maintenant «« au lieu de c, au lieu de m, et multi- 

pliant par fi (p) â (p) on a • 

P w <* w _ ft (p, â(P) _ p (r) Ô ( P ) 

( <î ._ rt )(. r+£ W),.w +l (rt + £ ^w +1(j _ fl) (a + e»0* H-e*')*' 

donc 



y- /*«tfW ™ iiMd» 



_.(*-«) (*+« w )" W+1 *— a*(a+eW)/.W+i~'' fc (a + e«)f w -p'+»(*-|-«W)^ ' 
En substituant dans l'expression de f^- cette valeur, de même que celle 
trouvée plus haut pour l'wvW-— , on obtient 

^ = -±-1 Spr ^ - 2 _J^__ ] 

.,._„ .r — a\ f (a + e«)^ w +»/ 

+ X2>y Wa'x"'-' 4- n v 

1 (« + e w ) ^ (p,_p ' + 2 (•'• + e M) V 

Si l'on multiplie les deux membres de cette équation par (px, et qu'on 
remarque que le coefficient de — — est égal à fa on a 

En y ajoutant la valeur trouvée pour , multipliant ensuite par 

et intégrant, on en tire 

~ a + o« J .r -f 0 W („ _(_ elP )y (P>-,-+tJ (.„ _f_ c ( P y " 

Si l'on substitue cette valeur dans l'expression de f ^2^- 0ll ^' ^ qn » 
écrive j, au lieu de f îîfc* , on trouve 

J .r — a 



(1) 



6* 



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44 PETITE CONTRIBUTION- A LA THEORIE DE QUELQ FONCT. TRANSCEND. 

b) Je vais maintenant exposer la seconde méthode de réduction; mais 
comme celle-ci est assez longue et compliquée quand fx est une fonction 
rationnelle quelconque de .r, je me bornerai au cas où fx est une fonction 
entière. On a donc 

fx = Sy M x p . ' 

En différentiant l'expression e _ c f tl m Jt^ 0 ^ 
1 • x — a 

yx = (x -\- a) (x -f- « 0 . . . (x -f « (n) ). 



on obtient 



, t e*(fx W'x + \)>x I + fx ) dx , , 
<v*y.r. i/'.r ^ . * [ T \ (f x I] ef x (fx . i]*x \ 

( t r — a) 2 ' x — a [ x — a j 



Pour réduire cette expression, considérons l'équation 

F" J?"' V(m) 



x — a x — a 



m 

7 



oh F, F\ F''... désignent les valeurs que prennent Fx, F'x, F"x... quand 
on fait x = 0. On a ainsi 

Fx _ JW xp 2 2~Jï7.7ï aP , F&) 

.• ~_ > / V"» ^r* 



x — a 2.3 

F(p) 



— — 1 L ^ V _ _ n p' r r-p'-i 

p x — a x — a I 2 . 3 . . . p 



ou, en remarquant que 2-^-^ a p = Fa, 



hx Fa- , tt^+p'+i; 

— = U ^JSf «pV 

,r_ a — a I 2 . 3 . . . (p + 1) 



oh l'on a mis ^-j-^'-j-i au lieu de p. En différentiant cette formule par 
rapport à a on obtient 

Fx_ Fa F' a . p 'F(P+r'+V 

- ( X _ a y + + 3 ^ +// +T) 

Si dans cette formule on pose Fx = ipx, on a 

(*_«)>- (^, )2 + - a _a + «g . 8 . . r(p + 2) 
En mettant dans la première formule, pour F* la fonction entière 
V* + V* ( ^ ) , on obtient ~ 



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PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QUEI.Q. FONCT. TRANSCEND. 45 



i /•> 



.r — « i ~2.3 

^ -2.3...0> + />' + l) a - C * 



(/' + ?''+!) 

\ (/'+;>' + 1) 



Si Ton substitue ces valeurs dans l'expression de dl-' f -?' rm **\ n on obtient 



* 2. 3. ..(,, + ,/ .4. 2) ' 

«/'!-+/' 

En intégrant cette équation, divisant de part et d'autre par i/w, et écrivant 
j> au lieu de f~^, f- au lieu de on trouve 

J # — a du J (,r — a)* 

da \ (fa "TV a fl } ihala—x) cj 

+ £2-(r+ 1 W+'+* aV i l> (f r x'dr ' 
^ 2.3...(,, + ;/ + 2) x\hJ° ( f' 7 ' X (Lr 

ou bien 

dâ ~ (ira +/ « * ^r_-ï) + ss *<n *0 „„ J • *' d * 

' 2.3...(;, + / ,' + 2)^2.3...(;> + ,/ + l)' 
3. 

Les équations (1) et (2) deviennent immédiatement intégrables quand on 
les multiplie par ^ ; on obtient de cette manière, en remarquant qu'on a 



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46 PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 

les deux formules suivantes: 

r^t = m L^ a J± f ^ Sa,hl 

(pa J ( a — ,r ) J ( a — e ) tf* 1 

+ZZp/» f-ï^ • f ^x.x^dx - zfi<» f f,t ■ f- T4r 

— = & W • *P X / / \ : e fc WC.WC / -, r 

(f a ' J \ a — ' r ) • V' a J ( a — c)(pa. (f>a 

La quantité c étant arbitraire, nous ferons dans la première formule 
e /e ç>c = 0, dans la seconde e fc tpe .xpe = 0. Si de plus on suppose que les 

intégrales prises par rapport à a s'annulent pour e ^- = 0 1 on voit aisément 
qu'on a C(x) = 0; on obtient ainsi, en remettant pour p sa valeur j e/x V*: (l * r ^ 
les deux formules suivantes: 



W ' J (a + a<P>)<pa m J # + 

. J (a + 'J («r + eWj'' ' 



Si dans la première de ces formules, /r est une fonction entière, on a 
jw = 0, donc 

ifaj a- -a 

(5) = »(P+l»' + 2)yfr*"«^ 



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PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUKLQ. FONCT. TRANSCEND. 



4. 



Je vais maintenant appliquer les fbnrfules générales à quelques cas 
spéciaux. 

a) Si Ton fait <pa = l, la formule (3) donne 

Si de plus fx est une fonction entière, on a <? w = 0; dans ce cas la for- 
mule devient 

(6) e-'°f ^-e*J- < ^ = 2Z(j,+p' + 2)/>+'+* fe-'-a-da. J>x>dx. 
En développant le second membre, on obtient 

+ 3/ 3 ' (Je-^ada .j>dx + y V^a .y>* <&) 

+ 4/ 4 ' (y </« y> -f y v -'«rt .y w 

+J % er»da.j t e"x'dj;} 

+ 

+ n 7 w (j'e-S a a"-*da.j'e«dx + J e~' a a"~ 3 da .j>xdx -f . . . 

+ jV Ja dn .j'e"x-*dx). 

Si par "exemple fx = x", on a y w = y w = ...=y f, *-y=:0, y w =l; 
la formule ci-dessus devient 

+ J'e-'"a^*da.j>"xtU + ...+J'e^ K daje*'x'-'dxy i 
par .exemple pour » = 2, ??,r=3, on a respectivement 

« J a _ x =2 Je~° da.Je* dx, 

e ~ aî j^a~^f~-^ = S (J'e-«\ l da.jV i dx+ fe^da.jV'xdx). 



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48 PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE I>E QUELQ. FONT T. TKANSCKXD. 

b) Posons maintenant dans la formule (3) fx = Q J nous aurons 

/' da 1 f(fj'.<U da f - 

('» ^ X J (a-a^i^~ ffa) x^a ' J (a + a«>)<fa 'J x + 

ou bien, en développant le second membre, 

Ç du 1 Ç qx . dx ~Ç da Ç cfx . dx 

V J (a— x)<fa (faj x—a J (« + «)r/«' J or-f.a 

, , r [ dm fqx.dx . , W T <fc /V-^ 

I l 'J(a + a')(fci 'J .i; + a' • " J (« + <*<">) ipa'J a+a^ 

où il faut se rappeler qu'on a 

tp X = (x + «y (;<? -f «'f . . . r(x- -j- w 

• = (a + af (a -f «'f . . . . (a + 

c) En faisant dans la formule (4) fx = (), on obtient 

(8 ) J />•''<_ ^.^ f *»_ . ^ssy^p') .Lx.'x'dz 

( f a J * — « J (a—x)<fa.xpa 7 w ' 7 J J . if>a J r 

( (fi'\(P+P'+V 

^J5 = (x- -f «) (ic + a ')•... . -j- «<"*>). 

d) Posons dans la formule (8) (3 = (3' = ... =j3 ln> = m, nous aurons 

y'* = mfou:)-.' ,//,.-, = m «//.-, 

donc en posant 
nous avons 

+ ;*£#f>p" = (,+ 1 + «o, +/ + î)) 

En substituant pes valeurs, on trouve 

1 _ f( ,! '^ m<u _ /' ^ _ 



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PETITE CONTRIBUTION A LA TU OKIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 49 

Le cas où m = — \ a cela de remarquable, que les intégrales par 
rapport à x et à a prennent la même forme; en effet on a 

o/'«r 1 = («M' - y**", ^ --= w«, \ 

donc 

1 <pa [f-^-r- ~ Vît f 7 -^ r - = \22(p - p) ■ . 

f ' J{*-a) V tfu f ' J(a — .r) >>« 7 W i ; j y ^ J y ^ 

Si l'on 'suppose, • par exemple que yrx—l-\-ax n , on a fc^ — «; 

sera égal à zéro, à moins que i> + 2 — c'est-à-dire que — p — 2; 

donc 

2 V 1 'J Yl + aa» J Vl + ax» 

En développant le second membre, on a 

' T J (* — a) Vl + «.c» r ~ J(«^*)Vl + oo» 

_ « ■ _ g J r da^_ (' .c«-*J.c f a"-hUi Ç dx 

~ 2^ H >\J y'T+aa» J VI +«^ ~ J Vl + aâ» ' J Vl + 



ax" J 



+ ^ (n _ 4 ) r f a,kt . f - rn " hu - / , j ,b i 3 ^ . r *i 
+ ' (» - fi) r . . fj^. r . r **jt 



da 

x) V 1 + «rt 3 



Par exemple si h = 3, on a 

fT-faa 3 f - - yr-f «.c 3 /' 

• r ~ ' J (x — u) Yl + a.c s ' * J(a-, 

et f" / da f xdx /' /' (/.<• 

~~ 2 [J yi + «a 5 ' J y i + «*» ~~ / yi +««» ' J y 1 + < 

Comme second exemple je prends 

alors on a lc = l, k' = 0 = k"', fc" = — k"" = a. Si l'on écrit 

~a pour" a, la formule devient 



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50 PETITE CONTRIBUTION A L'A THKOftIE DE QIJELQ. FONCT. TRANSCEND. 

/du f x s dx 

Y(\ ' J y'(l — x 2 ) (1 — 

r a-r/a C d;v 

~ J V'(ï — a*) (ï—aa*) J yfl - >) ( 1 — «>) ' % 



En posant 



on a 



zz= 8111 <pj (1 = SI11 !/', 

— | (1 — ax 2 ) — cos </) j/l — « siii 2 f/> , 
y(l — a 2 ) (1 — «a 2 ) = cos i/; j/l — u sin 2 *// , 









d(f 

y i — a sin 2 <jp ' 




da 


a.r 2 ) 


V(i 


-«0(1- 




Vl — a ain 2 t/' 




xrdx 




sin 2 y d(f> 


V(i 


-<Ki- 




Vl — a siirV/> ' 








sin 2 t/> rft/i 


va 


-«*)(!- 


aa 2 ) ~~ 


V 1 — a sin 2 t/> 



En substituant ces valeurs, on trouve 

cos ifj j/T — « sin 2 *// / — - — ^ - — - ■ — .. 

J (sin y + «i n '/') V 1 — « sin-V/' 

— cos (p [/l — « sin 2 y / < - 1 ' ^^ 

J (sin if' + sin r/) y 1 — a sin 2 *// 

/'/»/' /' sm 2 (fd(p C $\v?ipd\\) C dfp 

yi — a sin 2 i/' J yî — «sin-r/ J >1 — asin*i// J Vl — a sin 2 y 

Cette formule répond à celle que M. Legendre a donnée dans ses Exercices 
de calcul intégral t. I p. 136, et elle peut en être déduite. 

e) Si dans là formule (5) on pose fx = x, on obtient 

( () , 5~" f e* ya? div )X /' e~ a da v ~ (p) C er~ a da Çe*rp*r.ttv 

^ ' <f u J ~ — a ° ^ J (<t~.vjtfâ ~ l J (a+ctir> ] ) <paj > + ' 



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PETITE CONTK1BUTION A LA THÉORIE DE QUELQ. KONC'T. TUANSCEND. 51 

d'oii en développant le second membre on tire 

J («—•'•) f r a f f a J *— « J( a +«)y t 'J J +« 

_j_ ff /"_. r° 'i? f 'l'y-r-dx , , (u) r g— da_ [t'tfx. dx * 

J («+«') y«'J *+«' r "" r/ J («+ôW)gw'j /+ B W" 
Par exemple si ^ 1, on a /3 = /3' = $, a — 1, — — 1, donc 

J (a— r)yà'— 1 Va-—lJ *—a 

V 'J " •'•+! h2 "J («_l)Va^~î J *- f " ' 

f) En posant dans la foi-mule (4) /? = /?' — /?" = ... = /9 w = î», on a 
yj; = (^x)", ya;.^ = (^a:)" +1 , .donc 

Or on trouve 
donc, en faisant 

iffx = k-\-k'x-\-k "x* -| [- fc«aj", 

on a 

V ilhP') = (i> +y + 2) -j- -f 1 -f m -j- j>' -j- 2)) 

Par conséquent on a 

(«/'«)*" J .c-a e J (a — .r) 1 

(!2) = ^[(j>+/-f 2)j> +J, ' +î > 



7* 



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52 PETITE CONTUIBU'ITON A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 

Si Ton tait m = — on trouve 



e~ /a \wa / ; e fx yw.r I - 



Qr—a) V i/«r J(a— a?)VVw 



Soit, par exemple fx = x et y>x=l — x% on a 



donc 

«— "lia 



' J(.r — a)Vl— *» f J (« — .r)Vl- a* 

En écrivant — a au lieu de «, on obtient 

en posant x = siny, et ar=sint//, on trouve 

cos V e ; / . ; — . — r = cos w e y / . — — - -.— , 

r J sin y> + sin i/> J »ni e/> -f Sln <f 

.les intégrales devant s'annuler pour <p = ~ , i// = ^- . * 

Je vais maintenant faire une autre application des équations générales. 
Nous avons jusqu'à présent regardé x et a comme des indéterminées, sans 
nous occuper des valeurs spéciales de ces quantités qui simplifieraient les 
formules. Nous allons maintenant chercher de telles valeurs.. 

a) Considérons en premier lieu l'équation (5). Le premier membre de 
cette équation contient deux intégrales, mais comme chacune d'elles est 
multipliée par une quantité dépendant respectivement de a et de x, il est 
clair qu'on peut donner à ces quantités des valeurs telles, que les intégrales 
disparaissent, ou l'une, ou toutes les deux, pourvu seulement que chacune 

g— fa m ^ 

des équations ^ — = 0, e /x (px = Q, ait au moins deux racines différentes; car 

nous avons déjà supposé que les intégrales s'annulent pour des valeurs de 
x et de a qui satisfont à ces équations. 

.Supposons d'abord e fx tpx = 0, nous aurons après* avoir multiplié par 



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PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TRANSCEND. 53 

(13) ' - ef'ya 2 fi» [ Ç*q±te 

(x = x'j x = x", a = a'), ■ 

les équations entre parenthèses indiquant les limites entre lesquelles les inté- 
grales doivent être prises; ces limites doivent satisfaire aux équations 



De la formule précédente découle le théorème suivant: 

"La valeur de l'intégrale f-—^^* entre des limites qui annulent la 
"fonction ^ipx peut être exprimée par des intégrales des formes suivantes: 

"les intégrales par rapport à x étant prises entre les mêmes limites que la 
"première intégrale." 

Ce théorème a cela de remarquable, que la même réduction est impos- 
sible, quand l'intégrale j— est prise entre des limites indéterminées. 
En posant fx = 0, on obtient 

f^l^ = „ wa v Air) f da - . f V r - (lr 

(14) J * — a . J 0 + « (?,> ) J + 

= a* — .r", r/ = r/') . 
Si Ton pose yz^zl, on aura 

(15) 'J^ = ^«(j^^ . • 

Supposons maintenant qu'on donne en même temps à a une valeur qui 
annule la quantité ^ , et soit a" cette valeur, la formule (13) donnera 

J ( a + « lp) ) T rt " J - r ~h « (P) 

(x — x', x = x"\ ) a = a\ a = a"). 



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54 PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE QL'ELQ. FONCT. TRANSCKND. 

En supposant fx = kx, on en tire 

(17) JO + « (,>j )r< J * + aip) 

{x = x\ x = x"; a = a', a-—a"). 

En faisant k = Q, on obtient 

(18) ' J(«+« w )</ 1 « J '+«"" 

= ;r = .£"; a = a\ a^=a"). 



Posons par exemple y>.r = 1 = ^( x — l)(x-(-l), on a 

/3=ft'=$- a = —l, «' = 1; *' = 1, ar"= — 1; rt' = oo, a"= — oo; 

donc 

J ( a 3i) — 1 J •'• — i "J j.~ _j_ ^ y rt ; _ ! -J ,. + 1 ~ — 
(•e' = l, *" = — 1; (/' = + oo, o" = — <x>), 
ce qui a lieu en effet, car on a 

f - = -\/° + * = 0 (a^+oo, a" = _oo), . 

J (a— l)Va«— 1 r « — 1 ^ r ' . " 

J(a+l)V«»— 1 '«+1 V ~ ' ' 

Si dans la formule (10) on fait </x=l, on obtient 

22 (p + j/ + 2)/ p+ '' + * ; fer fn aKda . (ef'x'dx — 0 
(.19) ^ ^ 

= # = a — a', a = a"). 

b) Considérons en second lien la fonnule (4). En supposant e fx (fx.y>x=0, 
on trouve après avoir multiplié par e fa (f>a 

(20) f%%"-. 

(x = x\ x = x"; a = a'), 

où Ton a 

(fx\ fx' = 0, e u " < { x". yx" = 0, ^ = 0 . 



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PETITE CONTRIHUTION A LA THEORIE DE QUELQ FONCT. TRANSCEND. 55 

Cette formule se traduit eu théorème comme suit: 

"La valeur de l'intégrale J—J^ÏL, pri se entre des limites qui anim- 
aient la quantité, e^tpx.ipx, peut être exprimée par des intégrales de ces 
"formes: fl^^, faœx.x'dx." 

Pour des valeurs indéterminées de x au contraire, cette réduction de 

/ef* (f.c . (Le m * i i * 

— est impossible. 

En faisant /? = /?' = , . . . =ft<*> = m, on obtient la formule suivante 

(21) /4^=^)-»»wo/-^../^^ 

(x = x', x = x"; a = a)j 

où 

yx = (x + a)(x + a')....(x + a (n >). 
Si de plus on supposé fx = Q, on obtient 

(22) /^"(^«^/j^./M^Ù 

(x = x', x = x"\ a — a'). 

On a donc le théorème suivant, qui n'est qu'un cas spécial du pré- 
cédent: 

"La valeur de l'intégrale J^~^^- j prise entre des limites qui satis- 
font à l'équation {yx) m + l = 0, peut être exprimée par des intégrales des 
"formes J^^L, J(yj X ) m x p dx , if>x étant une fonction entière de x." 

En faisant /ra = — | , on obtient 

(23) J 2f(//a VjP 77 J Y^aJ Vi;kv 

(x = x', x = x"\ a = a'), 
d'où le théorème suivant: 



"La valeur de l'intégrale / -- , prise entre des limites qui 

J(œ — a)yift t c ^ 



annu- 



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56 PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE QUELQ. FONCT. TKANSCEND. 

"lent la fonction \px, peut être exprimée par des intégrales de la for- 

„ f x?dx >7 . 
me / — — — . 

J vy* 

Faisons par exemple ipx=(l — x*)(l — ax*), nous aurons x'=l, x'= — 1, 

x . = Yi, *=-yi; «'=i, -î, y±, ~v~-, 

J (.e — a) y (1 — .<•-) ( 1 — eu,-) 

/du j' œ s dx 

V(l — a») (1 —Tu 2 ) 'J V(l — >) (1-^T 2 ) 
/' « 2 r/u r </.»: 

~~ " J T( i — a 2 ) ( l^«a 2 ) 'J V ( f^^Xl^Xc 2 ) 

(*= 1, * = • -1; a=±"l, 

('= i, '=±1^ rt =± 1 ' il 7 ») 

__vq ; «=±1, ±|/;): 

Si dans la formule (22) on suppose y>x=l — x 2n , on trouve 

1, x= — 1, 

où ?n~\-l doit être moindre que l'unité, c'est-à-dire que m<]0. On a 

<fiP,P') = {p + 1 + « (/* + 2)) k*+'+*> : 

puisque h (1 "* r '* 2) = 0, à inoins que p -\~p' -j- 2 == 2 n , et comme /c 2rt = — 1 , 
on en tire 

<Kp,p') = — (p + 1 + 2™). 

L'intégrale ^(1 — x* H ) m x r dx peut être exprimée par la fonction I\ On a 
en effet 



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s 



PETITE CONTRIBUTION .A LA THEORIE DE QUJSLQ. FONCT. TKANSCEND. 57 

r\i-x Ë *)*x'dx=— [\i—x*)*x'dx+ r\i—x**yx>dx. 

Mais on a 

. / \l—x ÎM )"x f dx = (— /"(l — x in ) m x"dx, 
connue on le voit en mettant — x au lieu de Donc 

j \l _ a-^V".r"^-=r ((— — l) J\l—x*") m x"dxi 
c'est-à-dire qu'on a • 

f \ 1 — x în ) m x 1 " dx = — 2 f\l — x* n ) x 2 » dx, 

J +1 J 0 

r \i— x tn Yx ii,+i dx—o. 

- J +1 

Or on déduit aisément d'une formule connue (Legendre Exercices de calcul 
intégral t. I p. 279) l'équation suivante 

■ / (i-x*rz s "d*= ---- - \l\ ; 

on a donc • • 

/ (1— x u )"z»Jr=— V in ' 

En substituant cette valeur, et écrivant ensuite ^— m pour m, on obtient 

(24) L - ^ + v , 9jJ I 1_9 WJ A 'tjk~) r^-hla 

(l-*-*»)»— «•»)■ r r 1 ,./_ MJ+1+ 1 - */<y (l— «*-)» — 

(•*•=!, *=-i; * = i). 

Si. l'on fait »» = •$., on trouve > 

/"-— = — V(2n-J-1_„)_ ^CÎ-") p_"- 2 ''-^ ' 

J (•'•— «) Vi— . H yi_ rt *.~ v ^ ' z'^+ '-J^y VI— «*• 

(j- = 1 , ./• = ' — 1 ; a — 1 , a —z a) , 



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58 PETITE CONTRIBUTION A LA THÉOltIE I>E QUELQ. FONCT. TKANSCEND. 

Par exemple si rc = 3, on trouve 

f ** ^ _ 2 r (i) m C_^àa 2 r(j)Tti) f dg 

J (, _ a ) yi _.,«" ¥ f(j)yi_a"v yi-«c~r^ — a«J yî — a« 

(a- = 1 , # = — i; a = 1). 

Or. on a r(|) y.T, en substituant cette valeur on obtient 



J (, ; ^ rt) yi _ * yi _ a è r(|) J yr_ 0 s.~r t yr= -, J 1 



Vf 

= 1 7 ^ = — !• a==l). 



Dafts ce qui précède nous avons supposé e^yx .yx±=Q] supposons 
maintenant qu'on ait en même temps -^^ = 0, et désignons par a" une 
valeur de a qui satisfait à cette condition. L'équation (4) devient dans 



ce cas: 



V( F, P') f f . x p dx = 0 



(25) 

(x = x', x = x"; a = a\ a = a").- 

Si fx = 0, on a 

(26) 2Z<P(*Plf£^fa-*'d* = 0 

(x = x', x = x"- a = a, a = a"). 

Supposons que fi, fi', fi"... soient négatifs, mais que leurs valeurs ab- 
solues soient moindres que l'imité, nous aurons (px.rpx = 0 pour x = — « w , 

et qu =0 l )0Ur «=— « w - On obtient ainsi la formule suivante 

(27) ^<^/^Kf=0 

(«= s -o«, ï = - B «; a= — o«, a = — a ( *>), 
oii l'on a fait 

# v a =(« + «) 1 - /, («+«') , -' s '(« + «") , ~ /5 "-'--., 

A /?', /?"... étant positifs et moindres que l'unité. 



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PETITE CONTRIBUTION A LA THEORIE DE Ql'EI-Q KONCT. TKANSCENU. 

En faisant (i = ft' = l f' = • • • = |, on obtient 



59 



(28) 



J y q<i J VW 



y (f<*> j y fp>i 

(x= — a (p \ z = — a — — a (tl \ a— — ^ 1 '*). 

Dans cette formule on a 

<px.=:{x-\-a) («+«0 {x + a")*-* = k + k'x + k"x % -\-*-. 

Par exemple si Ton pose (px = (1 — x)(l-\-x)(l — ex) (1 -f - ex) , on a . 
a=l «' = — 1 a" — — > a"' = -? donc 

f t/a r .r 2 rf*r C a À da C 

JÏÇ^j^Wa*) Jy^—^(1^^) ~J7(l — a*) (l—?a*) JY(î—**)Jl-c***) 

(x= 1 , x. 



X = 1 , x = 

x = 1 , m= 

x = 1 , x = 

x = 1 , .r = 



X* = , X: 

c 



a = 1 , a : 
a == 1 , a : 

a = 1 , a: 



1) (1) 
1 



a = ■ ? a = — 



a = 1 , « 
a — 1 , a 



=-!) 



a— ? a : 

6* 



(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
(8) 



Désignons par la valeur de l'intégrale / , r prise de- 



puis x = 0, et par .Ëi celle de /- " "'1 - depuis x=0, nous 



aurons 



Jv(i — 

i=Fa' — Fa, 
f = Ea'-Ea. 



1/ a 



8* 



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60 PETITE COflTKIRUTION A LA THÉOK1E DE QUELQ. t f ONCT. TKANSt'ENl). 

En substituant ces valeurs, on aura la formule suivante- 

On n'obtient pas d'autres relations quel que soit le système de limites qu'on 
emploie, excepté seulement les systèmes qui donnent des identités, savoir 
le 1 er , le 5 K - me et le 8 i( ' nic . 

Si Ion désigne en général par F(p 7 x) la valeur de l'intégrale \*~ 

• prise d'une limite inférieure arbitraire, on a 

/.'v f t ='<"•«')- *■(".«>• 

En substituant cette valeur dans la formule (28), on obtient la suivante: 

* (29) 

De cette formule on peut en déduire beaucoup d'autres plus spéciales en 
supposant <px paire ou impaire, mais pour ne pas m'étendre trop au long 
je les passe sous silence. 

Il faut se rappeler que «, «', «", peuvent désigner des racines 
quelconques de l'équation <fs = 0. Ou peut aussi supposer a = «', «" = „'". 



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TI. 

RECHERCHE DES FONCTIONS DE DEUX QUANTITES VARIABLES INDÉ- 
PENDANTES x ET y, TELLES QUE /(x, y), QUI ONT LA PROPRIÉTÉ 
Q UE A z , /(-r, y)) EST UNE FONCTION SYMÉTRIQUE DE z, x ET ?/. 

Journal fur die reine uncl angewandte Matheniatik, liera uskprc bon von Crtlte, Hd. I, Berlin 182G. 



Si l'on désigne p. ex. les fonctions x-\-y et xy par f(x, y), on a 
pour la première, /(*,/(*, y)) = «+/(*, y) = * + * + y, et pour la -se- 
conde, /(z, /(.r, y)) = zf{x, y)=zxy. La fonction y) a donc dans 
l'un et l'autre cas la propriété remarquable que /(z, /(x, y)) est une fonc- 
tion symétrique des trois variables indépendantes z, x et y. Je vais cher- 
cher dans ce mémoire la forme générale des fonctions qui jouissent de cette 
propriété. 

L'équation fondamentale est celle-ci: 

W Ah A* y)) 

= une fonction symétrique de x, y et z. 

Une fonction symétrique reste la même lorsqu'on y échange entre elles 
d'une manière quelconque, les quantités variables dont elle dépend. On a 
donc les. équations suivantes: 

/(y,*)), 

Az,A*,y))=f{x,f{z,y)), 
/ia*,j))=M*,»))i 

/(«> A x ,y))=Ay, /(«, ■*?)). 



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62 KECIIEKCJIE DKS FONC TIONS DE DEUX QUANT. VARIABLES INDEP. etc. 

La première équation ne peut* avoir lieu à moins qu'on n'ait 

c'est-à-dire que f[x, y) doit être une fonction symétrique de x et y. Par 
cette raison les équations (2) se réduisent aux deux suivantes: 

m A*,A*,y))=A*,fi!r,*)), 
u /(',*))=/(*, /(*,*))• 

Soit pour abréger /(.r, ;/) = /(y, z) = y, /(z, = on aura 
(4) /(z,r)=/(^) 

En différentiant successivement par rapport à jt, ?/, 2, on aura 

/v /y 

<ty ' 7 (/y 

Si l'on multiplie ces équations membre à membre et qu'on divise les pro- 
duits par f'r .f'v .f f s, on obtiendra cette équation 

<fo cfô dr dv ds 

^ dx dy dz dy dz dx 

ou bien 

dv ' ds 

dr dy _ dr dx 

dx dv dy ds 

dz dz 

Si l'on fait z invariable, : ^ se réduira à une fonction de ?/ seule. 

7 dy dz . J 

Soit (py cette fonction, on aura en même temps -~:^-z=z(f,x] car. s est la 
même fonction de z et x que v l'est de z et y. Donc 

On en tirera, en intégrant, la valeur générale de /•, 

r = >f f (j <k • ^ +/ <w • 



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RECHERCHE DES FONCTIONS DE DEUX QUANT. VARIABLES INPEP. etc. 63 

if) étant une fonction arbitraire. En écrivant pour abréger ipx pour fyxdx, 
et (py pour J* tpydy, on aura 

(7) r = y((px-\-(py), ou f(x, y) = tf>(<px + w). 

Voilà donc la forme que doit avoir la fonction cherchée. Mais elle ne peut 
pas dans toute sa généralité satisfaire à l'équation (4). En effet l'équation 
l(5), qui donne la forme de la fonction f{x,y), est beaucoup plus générale 
que l'équation (4), à laquelle elle doit satisfaire. Il s'agit donc des restric- 
tions auxquelles l'équation générale est assujettie. On a 

f(z,r) = y(tpz + (pr). 

Or r = tf>((px-\-(py), donc 

/(z, r) = y(<pz + <pit>(<P x + <P!/))- 
Cette expression doit être symétrique par rapport à x, y et z. Donc 

<pz -f <pip((px + (py) = <px + <py{<py + yz). 
Soit 9>25 = 0 et (py = 0, on aurç 

yi//^ = y# -f- <£>«/>(0) = y* -j~ c i 
donc en faisant tpx=p, 

En désignant donc par (p x la fonction inverse de celle qui est exprimée par 
(fj de sorte que 

ifjCp,X = X, 

on trouvera 

yp = <p 1 {p + c). 
La forme générale de la fonction cherchée f(x, y) sera donc 
f(x,y) = c Pl (c + <fx + <py), 
et cette fonction a en effet la propriété demandée. On tire de là 

ou, en mettant xpx — c à la place de yx, et par conséquent fy — c à la 
place de ipy et yf{x,y)~c à la place de </>/(#, y), 

^/(*,?/) = ^ + V'//- 



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04 



KECHEKCHE DUS FONCTIONS DE DEUX QUANT VARIABLES 1NDÉP. etc. 



Cela donne le théorème suivant: 

Lorsqu'une fonction f{Xj y) de deux quantités variables indépendantes 
x et y a la propriété que f(z, f(Xj y)) est une fonction symétrique de x, 
y et z, il y aura toujours une fonction tp pour laquelle on a 

La fonction f (*<>]/) étant donnée, on trouvera aisément la fonction ipx. 
En effet on aura en différentiant l'équation ci-dessus, par rapport à x et 
par rapport à ?y, et faisant pour abréger f(x,y) = r 



w r -.- =w x 



donc en éliminant i//'r, 



d'oii 



/ dr , 
dr , dr . 

<i,j ¥" = 7^' 

dr 

V *=>/'!/ (lr • 

Multipliant donc par dx et intégrant, on aura 

dr 

, • d.r , 

V'J- =./'// / , dx. . 



\>x=y\nj I d 



dr 

Soit par exemple 

r =/(■»•, y) = 

il se trouvera une fonction i/r pour laquelle 

y>(xy) = wr-\-\fiy. 

rx dr dr , 

Comme r = xy, on a ^ —jh dy = X ' i c * ouc 

ou, puisque la quantité y ' est supposée constante, 

if'X = a log ex. 



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RECHERCHE DES FONCTIONS DE DEUX CJCANT. VARIABLES INDÉP. etc. 



<>5 



Cela donne ifnj = a log ry, if'(xy) = a log ex y ; • ou doit donc avoir: 

a log cxy = a log ex a log rv/ , 

ce qui a effectivement lieu pour c=l. 

Par un procédé semblable au précédent, on peut en général trouver des 
fonctions de deux quantités variables, qui satisfassent à des équations don- 
nées à trois variables. En effet, par des différentiations successives par rap- 
port aux différentes quantités variables, on trouvera des équations, desquelles 
on peut éliminer autant de fonctions inconnues qu'on voudra, jusqu'à ce 
qu'on soit parvenu à une équation qui ne contienne qu'une seule fonction 
inconnue. Cette équation sera une équation différentielle partielle à deux 
variables indépendantes. L'expression (pie donne cette équation contiendra 
donc un certain nombre de fonctions arbitraires d'une seule quantité variable. 
Lorsque les fonctions inconnues trouvées de cette manière seront substituées 
dans l'équation donnée, on trouvera une équation entre plusieurs fonctions 
d'une seule quantité variable. Pour trouver ces fonctions, on doit différentiel* 
de nouveau et l'on parviendra ainsi à des équations différentielles ordinaires, 
au moyen desquelles on trouvera les fonctions, qui ne sont plus arbitraires. 
De cette manière on trouvera la tonne de toutes les fonctions inconnues, à 
moins qu'il ne soit impossible de satisfaire à l'équation donnée. 



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YII 



DÉMONSTRATION DE L'IMPOSSIBILITÉ DE LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE 
DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES QUI PASSENT LE QUATRIÈME DEGRÉ. 

Journal fur die reine und angewandtc Mathematik, herausgegefoen von Crtlie, Bd. 1, Berlin 1826. 

On peut, connue on sait, résoudre les équations générales jusqu'au 
quatrième degré, mais les équations d'un degré plus élevé, seulement dans 
des cas particuliers, et, si je ne me trompe, on n'a pas encore répondu 
d'une manière satisfaisante à la question: "Est-il possible de résoudre en 
général les équations qui passent le quatrième degré?" Ce mémoire a pour 
but de répondre à cette question. 

Résoudre algébriquement une équation ne veut dire autre chose, que 
d'exprimer ses racines par des fonctions algébriques des coefficiens. Il faut 
donc considérer d'abord la forme générale des fonctions algébriques, et cher- 
cher ensuite s'il est possible de satisfaire à. l'équation donnée, en mettant 
l'expression d'une fonction algébrique au lieu de l'inconnue. 

§ L 

Sur la forme générale des fonctions algébriques. 

Soient x\ x", x" ... un nombre fini de quantités quelconques. On 
dit que v est une fonction algébrique de ces quantités, s'il est possible 
d'exprimer v en x\ x", x'" ... à l'aide des opérations suivantes: 1) par 
l'addition; 2) par la multiplication, soit de quantités dépendant de 
x\ x'\ x'" . . . , soit de quantités qui n'en dépendent pas ; 3) par la divi- 
sion; 4) par l'extraction de racines d'indices premiers. Parmi ces opé- 



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DKMONSTK. DE L'IMPOSA. DK LA RÉS. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etv 



rations nous n'avons pas compté la soustraction, l'élévation à des puissances 
entières et l'extraction de racines de degrés composés, car elles sont évidem- 
ment comprises dans les quatre opérations mentionnées. 

Lorsque la fonction v peut se former par les trois premières des 
opérations ci-dessus, elle est dite algébrique et rationnelle, ou seulement ration- 
nelle; et si les deux premières opérations sont seules nécessaires, elle est dite 
algébrique, rationnelle et entière, ou seulement entière. 

Soit f(x\ x'\ x'" . . .) une fonction quelconque qui peut s'exprimer par 
la somme d'un, nombre fini de termes de la forme 

Ax' m *z" m * 

où A est une quantité indépendante de x\ x" etc. et oh m n ?>? â etc. 
désignent des nombres entiers positifs; il est clair que les deux premières 
opérations ci-dessus sont des cas particuliers de l'opération désignée par 
f(x\ x'\ x!" . . .). On peut donc considérer les fonctions entières, suivant 
leur définition, comme résultant d'un nombre limité de répétitions . dë cette 
. opération. En désignant par v\ v'\ v"' etc. plusieurs fonctions des quan- 
tités x\ x" x'" de la même forme que f(x', .r"....), la fonction . 

f(v\ v" — ) sera évidemment de la même forme que f(x\ x"...). Or 
f{v\ v" ...) est l'expression générale des fonctions qui résultent de l'opéra- 
tion f(x\ x" ) deux fois répétée. On trouvera donc toujours le même 

résultat en répétant cette opération autant de fois qu'on voudra. Il suit de 

là, que toute fonction entière de plusieurs quantités x\ x" peut être 

exprimée par une somme de plusieurs termes de la forme Ax' in% x" Wt 

Considérons maintenant les fonctions rationnelles. Lorsque f(x\ x" . . .) 
et (f(x\ x"...) sont deux fonctions entières, il est évident, que les trois 
premières opérations sont des cas particuliers de l'opération désignée par 

On peut donc considérer une fonction rationnelle comme le résultat de la 
répétition de cette opération. Si l'on désigne par r', v", v'" etc. plusieurs 

fonctions de la forme on V01 ^ aisément que la fonction ^.lL *:•)_ ' 

..-) (f(v', v" . . .) - 

peut être réduite à la même forme. Il suit de là, que toute fonction ration- 
nelle de plusieurs quantités x\ x" peut toujours être réduite à la forme 

/V,*''...,) 

oh le numérateur et le dénominateur sont des fonctions entières. 

9* 



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68 9 DÉMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RÉS. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc. 

Enfin nous allons chercher la forme générale des fonctions algébriques. 
Désignons par f(x\ x" . . .) une fonction rationnelle quelconque, il est clair 
que toute fonction algébrique peut être composée à l'aide de l'opération 

m 

désignée par f(x\ #"...) combinée avec l'opération ]/r, où m est un 
nombre premier. Donc, si p\ p" ... sont des fonctions rationnelles de 

Pl =f&x'...yj/, fa...) 

sera la forme générale des fonctions algébriques de x\ x" . . . , dans les- 

m 

quelles l'opération exprimée par |/r affecte seulement des fonctions ration- 
nelles. Les fonctions de la forme p x seront dites fonctions algébriques du 
premier ordre. En désignant par jh'i Pi" ••• plusieurs quantités de la forme 
p x , l'expression 

Pi =/(*', x"... fa, fa . . . fa, fa . . .) 

sera la forme générale des fonctions algébriques de x" . . . , dans les- 

quelles l'opération ^r aftecte seulement des fonctions rationnelles, et des 
fonctions algébriques du premier ordre. Les fonctions de la forme jh 
seront dites fonctions algébriques du deuxième ordre. De la même manière 
l'expression 

]h =/ix',x"... fa, y,/... fa, fa\... fa, fa...), 

dans laquelle jh\ p^' . . . sont des fonctions du deuxième' ordre, sera la forme 
générale des fonctions algébriques de x\ x" . . . , dans lesquelles l'opération 

m 

y 'r n'affecte que des fonctions rationnelles, et des fonctions algébriques du 
premier et du deuxième ordre. 

En continuant de cette manière, on obtiendra des fonctions algébriques 
du troisième, du quatrième . . . du u ihm .ordre, et il est clair, que l'expfession 
des fonctions du t u ihne ordre, sera l'expression générale de*s fonctions algé- 
briques. 

Donc en désignant par u Tordre d'une fonction algébrique quelconque 
et par v la fonction même, on aura 

v=f(r',r"\.. fa fa...), 



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DKMONSTli. DE L'IMPOSS. DE LA KKS. AL6KBK. DES ÉQUATIONS etc. 69 

où p'j p" ... sont des fonctions de l'ordre •// — 1; r\ r" ... des fonctions 
de Tordre // — 1 ou des ordres moins élevés, et /?"... des nombres, 
premiers; f désigne toujours une fonction rationnelle des quantités com- 
prises entre les parenthèses. 

On peut évidemment supposer qu'il est impossible d'exprimer l'une des 

n' m" 

quantités \ f p\ }y/' ... par une fonction rationnelle des autres et des quan- 
tités r', r" ... ; car dans le cas contraire, la fonction r aurait cette forme 
plus simple, 

v =f(r\r"... Î57, ft/'...), 

n' n" 

oh le nombre des quantités \ f p', \p" . . . serait diminué au moins d'une 
unité. En réduisant de cette manière l'expression de v autant (pie pos- 
sible, on parviendrait, ou à une expression irréductible, ou h une expres- 
sion de la forme 

v=f(r',r",r'"...); 

mais cette fonction serait seulement de l'ordre // — 1, tandis que v doit 
être du a ihM ordre, ce qui est une contradiction. 

«' m" 

Si dans l'expression de ?> le nombre des quantités Sp\ S P" ••• es * J 
égal à >/?, nous dirons que la fonction v est du u leme ordre et du rn ihne 
degré. On voit donc qu'une fonction de l'ordre // et du degré 0 est la 
même chose qu'une fonction de Tordre u — 1, et qu'une fonction de 
l'ordre 0 est la même chose qu'une fonction rationnelle. 

U suit de là, qu'on peut poser 

v=f(r\r"... fr,), 

oh p est une .fonction de l'ordre u — 1, mais r\ v".:. des fonctions 
du fi i}n " ordre et tout au plus du degré m — 1, et qu'on peut toujours sup- 

n 

poser qu'il est impossible d'exprimer \ f p par une fonction rationnelle de 
ces quantités. 

Dans ce qui précède nous avons vu qu'une fonction rationnelle de 
plusieurs quantités peut toujours être réduite à la forme 

V 

où .s et t sont des fonctions entières des mêmes quantités variables. On 



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70 



DKMONSTU. 1>K IÏIMPOSS. I>K LA RKS ALGKBK. DES KQIATIONS e.tc 



conclut de U\ que v peut toujours Otre exprimé comme il suit, 

, <r(/> Vp) 

>■ — - -- — „ > 

,{,■', r"... Y r) 

n 

où (p et r désignent des fonctions entières des quantités r" ... et j^v. 
En vertu de ce que nous avons trouvé plus haut, toute fonction entière de 
plusieurs quantités .s*, r', r" ... peut s'exprimer par la forme 

'•-Wi*-H.*H K*'% 

ht U--- 1m étant des fonctions entières de r', r", r'" . . . sans .s*. On peut . 
donc poser 

I 2 î» 

_ <. + «, / ;n +J* 7> 7i H h _ 

' 1 2 | r ' 

r o +^; ,M + ^; >M -4 Yvm'V n 

où / 0 , fj... t m et r 0 , r, ff , sont des fonctions entières de r', r", r"' etc. 

Soient F,, J^... l es w — 1 valeurs de F qu'on trouve en met- 

îii i i 

tant successivement a~p n , a 3 }}*.!, a 71 " 1 ])" au lieu de ^> w , a étant une 

racine différente de l'unité de l'équation a" — 1=0; on trouvera en multi- 
pliant le numérateur et le dénominateur de y par \\ V 2 V s . . . \\_ x 

_T\\ r a ... 
? — rr t r;... r;.., " 

Le produit Ï'T, . . . peut, comme on sait, s'exprimer par une fonction 

entière de j) et des quantités ■/•', r" . . . , et le produit T l\ . . . V n _ x est, 

comme on le voit, une fonction entière de \ f p et de r 7 , r" .... En suppo- 
sant ce produit égal à 

on trouve 

12 * 

« 0 -\ ^p n +\ p n -\ 

r ? 

Mi 

ou, en écrivant <7 0 , (7 n au lieu de -°- 1 ** , etc., 



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DKMONSTK. 1>E LiMPOSS. DE LA UÊS. AL(»EBU. DES ÉCLATIONS etc. 71 

1 i k ' 

r = </<> + <hv n + q*p H -\ h <bv* > 

où <ft, j,...^ sont des fonctions rationnelles des quantités p, r', r" ... etc. 
Soit fi un nombre entier quelconque, on peut toujours poser 

ii = an -\- a , 

a et a étant deux nombres entiers, et «<[ 11 suit de là, que 

u an-\-it u 

H 

En mettant donc cette expression au lieu de p H dans l'expression de on 
obtiendra 

1 2 n i 

V = q 0 + q l p*-\-q 2 p*-\ [~q n -iP " , 

?oî ?n étant encore des fonctions rationnelles de yv, /•', r 7 '..., et par 

conséquent des fonctions du u ieme ordre et au plus du degré ut — 1, et 

i 

telles qu'il soit impossible d'exprimer p n rationnellement par ces quantités. 

Dans l'expression de r ci-dessus, on peut toujours faire q x — 1. Car 
si q x n'est pas nul, on obtiendra, en faisant r pt=pq H \- ) 

i 

r 9" r <?, 



donc 



expression de la même forme que la précédente, sauf que ^ = 1. Si 
^ = 0, soit </„ une des quantités */ 17 </*... </, 4 „i , qui ne soit pas nulle, et 

soit q n ^p^=p x . On déduit de là q l ^p n =:p l n . Donc en prenant deux 
nombres entiers « et /?, qui satisfassent à l'équation ait — iïn = /t' J u' 
étant un nombre entier, on aura 

<&P " —Pi" «t p l ' = , I -"p-' i Pi \ 

H 1 

En vertu de cela et en remarquant que q u p" =pf , 0 aura la forme 

i _ «~ i 

v = </ 0 + + K -1 r '/-i/'i " • 



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DEMONSTK. DE LIMI'OSS DE LA KÉS. ALOEUK. DES ÉQUATIONS etc. 



De tout ce qui précède on conclut: Si v est une fonction algébrique 
de Tordre u et du degré /m, on pent toujours poser: 

1 3 3 n— 1 

« = 5f« + + «W»" + </./>" H htf-iP _ ""» 

n étant un nombre premier, </ 0 , ç 2 ...// M __i des fonctions algébriques de 

Tordre // et du degré m — 1 au plus, p une fonction algébrique de 

i 

Tordre // — 1, et telle que p* ne puisse s'exprimer rationnellement en 



Propriétés tha fonction* algébriques qui satisfont à une équation donnée. 

Soit 

(1) *o + <w + e 2Z/ * -j h + y ' = o 

une équation quelconque du degré r, où r 0 , r, ... sont des fonctions ration- 
nelles de x\ x" . . . , x*', . . . étant des quantités indépendantes quelconques. 
Supposons qu'on puisse satisfaire à cette équation, en mettant au lieu de y 
une fonction algébrique de x\ x" Soit 

i a » -î 

(2) y = </„ + />" + <bP n H h <Ln-xP " 

cette fonction. En substituant cette expression de ?/, dans Té(juation pro- 
posée, on obtiendra, en vertu de ce qui précède, une expression de la forme 

1 3 n— 1 

(3) . >'o + >v?' l + w> M H h*v-iP " =«» 

où r 0î >'u r 2-" r n_i sorlt ^ es fonctions rationnelles des quantités y 0 , q l ...q n , v 
Or je dis que Téquation (3) ne peut avoir lieu, à moins qu'on n'ait 
séparément 

r 0 = 0, r, = 0 ^ = 0. 

i 

Vin effet, dans le cas contraire, on aurait en posant p n = z les deux 
équations 

z n — p = 0 

et 

'*u + ''i* + ^ H h 1 = 0 7 



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DKMONSTR. DE L1MPOSS. DE LA RÉS. ALGÉBK. DES ÉQUATIONS etc. 73 

qui auraient une ou plusieurs racines communes. Soit h le nombre de ces 
racines, on peut, comme on sait, trouver une équation qui a pour racines 
les h racines mentionnées, et dont les coefficiens sont des fonctions ration- 
nelles de p, /o, r x ... Soit 

s* + + + ■■•.+ ^-i^' 1 + z k = 0 

cette équation, et 

f 0 + 'i* + '« z, H ht^z^+z» 

un facteur de son premier membre, oîi /<>, t x etc. sont des fonctions ration- 
nelles de r 0 , r tt _ n on aura de même 

+ h^i z ^ , +^= 0 » 

et il est clair qu'on peut supposer qu'il est impossible de trouver une équa- 
tion de la même forme d'un degré moins élevé. Cette équation a ses 
racines communes avec l'équation z n — p = 0. Or toutes les racines de 
l'équation z 1t — p = 0 J sont de la forme r*z, où a est une racine quel- 
conque de l'unité. Donc en remarquant que u ne peut être moindre que 
2, parce qu'il est impossible d'exprimer z en fonction rationnelle des quan- 
tités p, r 0 , i\...r n _^ il s'ensuit, que deux équations de la forme 

to + hz + t,z* H + + = 0 , 

et 

, 0 ^_ _j_ a «t >2! i _| [_ a^-V^z^ 1 + a"z* = 0 

doivent avoir lieu. De ces équations on tire, en éliminant z'\ 

t 0 (l-a*) + t l (a-a")z+ • . + ^(«^ - = 0. 

Mais cette équation étant du degré // — 1, et l'équation 

^+^^+••• = 0 

étant irréductible, et par conséquent / 0 ne pouvant être égal à zéro, on 
doit avoir — 1^0, ce qui n'a pas lieu. On doit donc avoir 

r 0 = 0, r t = 0 . . . ^ = 0. 

Maintenant, ces équations ayant lieu, il est clair que l'équation proposée 
sera satisfaite par toutes les valeurs de y qu'on obtient en attribuant à 

1 

p n toutes les valeurs ap n , a*p n . . . a n ~ l p n . On voit aisément que toutes 



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74 DÉMONSTR. DE L'IMPOSS. DE LA RÉS. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc. 

ces valeurs de y seront différentes entre elles; car dans le cas contraire 
on aurait une équation de la même forme que (3), mais une telle équation 
conduit, comme on vient de le voir, à des contradictions. 

En désignant donc par y„ ?j 2 ...? Jn n racines différentes de l'équation 
(1), on aura 



n— l 



y. = 3»+ p" + î.p" H f-2-iP" , 

& = îo + ap" + H \- a "~ l <l,.-iP " , 



1 

Z/n = ?„ + «'->" -f a°-*< h p'' -I (_ . 

De ces « équations on tirera sans peine 

fc=J(yi + y s + //3 H h'A), 

= j (y. -f «" % + + • • • + «y„), 

= I + + + • • • + ««y.), 



«-^" = M (y>+ "//» -f « 2 #> H h""- 1 ;/,,)- 

On voit par là que toutes les quantités p-, ft , ^...^ sont des 
fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée. En effet on a 

^ = ««-1 »>-î- a ~''!t,-> H •••-} «-<"-»"//„ 

(y, -î «- 1 # a + «-"' //, 1- «^"-"/y,, )." ' 

Considérons maintenant l'équation générale du degré m, 

0 = a -f -f- « 3 , c » _| f 4- x « ? 

et supposons qu'elle soit résoluble algébriquement. Soit 

1 2 71—1 

i . n t'H desio-nant par x\ r /• ln« ril (.;np< 

de l'équation proposée. ' lacmes 



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DÉMON STB. DE L'IMPOSS. DE LA RÉS. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc. 



75 



Considérons Tune quelconque des quantités .v 0 , * 2 etc. par exemple 
v. Si Von désigne par t^, v t ...i\, les valeurs différentes de v, qu'on 
trouve lorsqu'on échange entre elle les racines x*,, x 2 ...x m de toutes les 
manières possibles, on pourra former une équation du degré ri dont les 
coefficiens sont des fonctions rationnelles de a x ...a m _, , et dont les ra- 
cines sont les quantités v x , r 2 . . . ? v , qui sont des fonctions rationnelles des 
quantités x x , x % . . . x m . 

Donc si Ton pose 

^ = ^o + ^ ,/ + ^^ v H f-^-i^ % 

i • 

toutes les quantités u v , t 0j / 3 t v _ x seront des fonctions rationnelles de 

t? n — et P ar conséquent de # n .r 2 x w . En traitant les quantités 

w, / 0 , / 2 etc. de la même manière, on en conclut que 

si une équation est résoluble algébriquement, on peut toujours donner 
à la racine une forme telle, que toutes les fonctions algébriques dont 
elle est composée puissent s'exprimer par des fonctions rationnelles des 
racines de l'équation proposéê. 



§ ni. 

Sur le nombre des valeurs différentes qu'une fonction de plusieurs* quantités peut acquérir, 
lorsqu'on échange entre elles les quantités quelle renferme. 

Soit v une fonction rationnelle de plusieurs quantités indépendantes 
x n 'x 2 ...x n . Le nombre des valeurs différentes dont cette fonction est 
susceptible par l'échange des quantités dont elle dépend, ne peut surpasser 
le produit 1.2.3... n. Soit // ce produit. 

Soit maintenant 

apyd.... 
y a h cd.... 



v 



la valeur qu'une fonction quelconque v reçoit, lorsqu'on y substitue x a ,x b ,x c ,x tl 
etc. au lieu de x a1 x (i , x , Xj etc., il est clair qu'en désignant par A^ A 2 ...A H 
les diverses permutations en nombre de // que l'on peut former avec les 
indices 1, 2, 3...w, les valeurs différentes de v pourront être exprimées par 



•tt). '!:!:!• <il!) ••■••(£,• 



10* 



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76 



DÉMONKTK. VE J/1MPOSS. |)K LA KES. ALGKBtt. DKS ÉQUATIONS etc. 



Supposons que le nombre des valeurs différentes de v soit moindre que 
il faudra que plusieurs valeurs de v soient égales entre elles, .en sorte 
qu'on ait par exemple 



Si Ton fait subir à ces quantités la substitution désignée par M 1 ], on 
aura cette nouvelle série de valeurs égales 

valeurs qui sont différentes des premières, mais en même nombre. En chan- 
geant de nouveau ces quantités par la substitution désignée par M 1 ) 

on aura un nouveau système de quantités égales, mais différentes des précé- 
dentes. En continuant ce procédé jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les 
permutations possibles, les u valeurs de r seront partagées en plusieurs 
systèmes, dont chacun contiendra un nombre de m valeurs égales. 11 suit 
de là que si l'on représente le nombre des valeurs différentes de r par (>, 
nombre égal à celui des systèmes, on aura 

q ui = 1 . 2 . 3 . . . n : , 

c'est-à-dire: 

Le nombre des valeurs différentes qu'une fonction de n quantités peut 
acquérir par toutes les substitutions possibles entre ces quantités, est néces- 
sairement un diviseur du produit 1.2.3...?/. Cela est connu. 

Soit maintenant |^ ! j une substitution quelconque. Supposons qu'en 

appliquant celle-ci plusieurs fois de suite à la fonction v on obtienne la 
suite des valeurs 

v i v \i ( \ • • • v r -n v r't 
il est clair que v sera nécessairement répété plusieurs fois. Lorsque v 
revient après un nombre p de substitutions, nous disons que |^| est une 
substitution récurrente de l'ordre p. On a donc cette série périodique 

t>, r M r,... i\j 

ou bien, si l'on représente par r | ^ 1 j la valeur de v qu'on obtient après 



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DÉMONSTB. DE I/IMi'OSS. DE LA RES ALOÊBR. DES ÉQUATIONS etc. 



77 



avoir répété r fois de suite la substitution désignée par j^J? 0,1 a ^ l 



série 



' >i A S -(:::)'. itr 

Il suit de là que 



A l \* (Ai y- 1 (AA 0 



ftr=- 


(il 


ctr =h 





Or soit p le plus grand nombre premier contenu dans ??, si le nombre 
clés valeurs différentes de v est moindre que ]>, il faut qu'entre p va- 
leurs quelconques, deux soient égales entre elles. 
Il faut donc que des p valeurs, 



' "\J„/ • '1.4.1 • • • ~\A 
deux soient égales entre elles. Soit par exemple 



on en conclut que 

\ I A \ p 

Ecrivant r au lieu de r'~\-p — r et remarquant que rf ^\ j = v, on en 



tire 



.1 



où r évidemment n'est pas multiple de p. La valeur de v n'est donc 
pas changée par la substitution , ni par conséquent non plus par la 

répétition de la même substitution. On a donc 



v = v 



Ai 

A m 



1 



a étant un nombre entier. Maintenant si p est un nombre premier, on ' 
pourra évidemment toujours trouver deux nombres entiers a et fi tels que 

ra— pft-j- ï, 



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78 



DKMONSTR. DE I/lMl'OSS. DE LA RES. ALGERR DES ÉQUATIONS etc. 



donc 



et puisque 

v = v 



on aura 



La valeur de v ne sera donc pas changée par la substitution récurrente 
l^ 1 j de Tordre p. 

Or il est clair que 

sont des substitutions récurrentes de Tordre p, lorsque p est le nombre 
des indices r/, /?, y . . . La valeur de r ne sera donc pas changée non 
plus par la combinaison de ces deux substitutions. Ces deux substitutions 
sont évidemment équivalentes à cette unique 

et celle-ci aux deux suivantes, appliquées successivement, 

p - (»). 

La valeur de v ne sera donc pas changée par la combinaison de ces deux 
substitutions. Donc 



de même 



d'oh Ton tire 



v = v 



v = v 



V = V 







fia) 


(»)' 






Y PI 


(£)• 


afi\ 




fin) 


Url 



On voit par là que la fonction v n'est pas changée par deux substi- 
tutions successives de la forme a et fi étant deux indices quelcon- 



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DÉMON STK. DE LIMPOSS. DE LA ItÉS. ALGÉlJK. DES ÉQUATIONS* etr 



79 



ques. Si Ton désigne une telle substitution par le nom de transposition, 
on peut conclure qu'une valeur quelconque de v ne sera pas changée par 
un nombre pair de transpositions, et que par conséquent toutes les valeurs 
de v qui résultent d'un nombre impair de transpositions sont égales. Tout 
échange des élémens d'une fonction peut s'opérer à l'aide d'un certain nom- 
bre de transpositions; donc la fonction v ne peut avoir plus de deux va- 
leurs différentes. De là on tire le théorème suivant: 

Le nombre des valeurs différentes que peut obtenir une fonction de n 
quantités, ne peut être abaissé au dessous du plus grand nombre pre- 
mier qui ne surpasse pas n, à moins qu'il ne se réduise à 2 ou à 1. 
Il est donc impossible de trouver une fonction de 5 quantités qui ait 3. 
ou 4 valeurs différentes. 

La démonstration de ce théorème est prise d'un mémoire de M. Cmichy 
inséré dans le \1 ihne cahier du Journal de. l'école polytechnique p. 1. 

Soient v et ?/ deux fonctions dont chacune ait deux valeurs diffé- 
rentes, il suit de ce qui précède qu'en désignant par v n i\ et i\\ V ces 
doubles valeurs, les deux expressions 

■# 8 t\ -j- r 2 et t\ >•/ -f- f's 

seront des fonctions, symétriques. Soit 

Vi + v * — 1 et r i v i + c * 

on en tire 

tv\ —t t 

Soit maintenant le nombre des quantités r M . . . j: m égal à cinq, le produit 

P = - **) (*i - x 3 ) (> i x A ) (*i - x b ) (x-t - x 3 ) (x, s*) {x* - x b ) (*» - x 4 ) (x 3 - x b ) (x é - .r 5 ) 

sera évidemment une fonction qui a deux valeurs différentes; la seconde va- 
leur étant la même fonction avec le signe opposé. Donc en posant t\' = (f, 
ou aura — — p. L'expression de i\ sera donc 

1 *<? 

ou bien 

où \t est uue fonction symétrique; (; a deux valeurs qui ne différent 
que par le signe, de sorte que ^ est également uue fonction symétrique. 



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80 



DÉMONSTK. DE L1MPOSS. DE LA KES. ALGÉBK. DES ÉQUATIONS etc. 



Donc, en posant \i=p et \=q 1 il s'ensuit que 

toute fonction de cinq quantités qui a deux valeurs .différentes pourra 
être mise sous la forme 2 J ~\~ ( Ii J j °ù V et ? sont deux fonctions 
symétriques et p = (x x — x 2 ) (x x — x 3 ) . . . (x 4 — x b ) . 
Pour atteindre notre but nous avons encore besoin de la forme générale 
des fonctions de cinq quantités qui ont cinq valeurs différentes. On peut 
la trouver comme il suit: 

Soit v une fonction rationnelle des quantités x 1J x 2 , x Sl x 41 x bJ qui ait 
la propriété d'être, invariable lorsqu'on échange entre elles quatre des cinq' 
quantités, par exemple x 21 x 3J x 41 x b . Dans cette condition v sera évidem- 
ment symétrique par rapport à # 2 , x 3 , x 4J x b . On peut donc exprimer v 
par une fonction rationnelle de x A et par des fonctions symétriques de 
x *i x 3i x n x s>- Mais toute fonction symétrique de ces quantités peut s'expri- 
mer par une fonction rationnelle des coefficients d'une équation du quatrième 
degré, dont les racines sont x^ x 3J x 4 , x b . Donc en posant 

{x — x 2 ) (x — x 3 ) (x — x 4 ) (x — x b ) = x A — px* -j- qx 2 — rx -f- s , 

la fonction v peut s'exprimer rationnellement en u* l7 </, r, s* Mais si 
l'on pose 

(x — x x ) (x — x 2 ) (x — x 3 ) (x — x 4 ) (.c — x b ) = x h — ax A -|— bx 3 — ex 2 -\-dx — e, 
on aura 

(x — x x ) (x 4 — px 3 -j- q x 2 — rx -{- *) == x 5 — ax*-\- bx 3 — ex 3 -\- tlx — e 
— x 5 — (JP + x i) x * + (2 +2 )x i) x \— ( r + <l x ù x 2 + (* + rx i) x — sx l7 
d'où l'on tire 

p = a — x, , 

q = b — a X i -\- x \, 

r — c — bx x -j- ax\ — x\ , 

,s = — -f- /m'j — a.rj -j- x\ ; 

la fonction -y peut donc s'exprimer rationnellement en x x , a 7 b y c, tL 
Il suit de là que la fonction /; peut être mise sous la forme 

t 

6 — <r*i ' 

où t et (px x sont deux fonctions entières de x x , a, />, c, c/. En multipliant 



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DEM0NSTK. DE L IMl'OSS DE UA KÉS. ALGJfiBR. DES ÉQUATIONS etc. 



81 



le numérateur et le dénominateur de cette fonction par (px$ . <y.r 3 . (fx { . tfx bJ 
on aura 

Or (fX 2 .(px 9 .(fx A .(fx b est, connue on le voit, une fonction entière et symétrique 
de x t , # 3 , x 4J x b . On peut donc exprimer ce produit en fonction entière 
de pj r, s et par suite en fonction entière de # n a, c, c?. Le 
numérateur de la fraction ci-dessus est donc une fonction entière des mêmes 
quantités; le dénominateur est une fonction symétrique de x i ^ x- 3 , # 4 , x b 
et par conséquent il peut s'exprimer en fonction rationnelle de a, 6, c, J, e. 
On peut donc poser 

En multipliant l'équation 

x*i = a.r \ — bx\ -j- or* — e/^ -[- e • 

successivement par x n x\ . . . x™~ h , il est clair qu'on obtiendra m — 4 
équations, desquelles on tirera pour x\, x\ . . . x n [ des expresvsions de la 
forme 

a -f + yx\ -f Jx* + txî , 

où r/, /i, ^, f)\ * sont des fonctions rationnelles de (f, A, c, c/, c. 
On peut donc réduire v à la forme 

(a) v = r 0 + ' i #i + >^'î + > + ? 

où r 0 , /-j, r s etc. sont des fonctions rationnelles de a, b, t/, c'est-à-dire 
des fonctions symétriques de x 17 x^ .r 3 , ./' 4 , u* 5 . 

Voilà la forme générale des fonctions qui ne sont pas altérées lorsqu'on 
y échange entre elles les quantités x 2 , .r 3 , .r 4 , x h . Ou elles ont cinq va- 
leurs différentes, ou elles sont symétriques. 

Soit maintenant v une fonction rationnelle de x ly x 2J x 4 , x b1 qui 
ait les cinq valeurs suivantes r n r 2 , r :n r 4 , r 5 . Considérons la fonction 
Xl v - En y échangeant entre elles de toutes les manières possibles les 
quatre quantités x 2 , x $1 x iy x b1 la fonction x"v aura toujours une des va- 
leurs suivantes 

X n 1 l V l1 X^C 2 j xX l \f ^l'^ij y 5 • 

Or je dis, que le nombre des valeurs distinctes de xfv résultant de 
ces changements sera moindre que cinq. En effet, si toutes les cinq valeurs 

11 



82 



DEMONSTR. DE I/IMPOSS. DE LA 14ÉS. AhGÉBU. DES ÉQUATIONS etc. 



avaient lieu, on tirerait de ces valeurs en échangeant .r, .successivement 
avec .r 3 , x 4J 20 valeurs nouvelles, qui seraient nécessairement diffé- 
rentes entre elles et des précédentes. La fonction aurait donc en tout 25 
valeurs différentes, ce qui est impossible, car 25 n'est pas diviseur du produit 
1.2.3.4.5. En désignant donc par a le nombre des valeurs que peut 
prendre r lorsqu'on y échange entre elles les quantités x 3 , .r 4 , x h de 
toutes les manières possibles, u doit avoir Tune des quatre valeurs suivantes 
1, 2, 3, 4. 

1. Soit /e=l, d'après ce qui précède v sera de la forme (a). 

2. Soit u = 4, la somme r, -J- r 2 -}- ^ -f- v A sera une fonction de la 
forme (a). Or on a v b — (o t -f- ^ -f- ' 7 3 + > * + r a) _ ( r i + r * + r 3 + ^) = 
fonction symétrique moins (t'i-j-^-f-^-f-^); donc r 5 est de la forme (a). 

3. Soit // = 2, î^-f-^a sera une fonction de la forme (a). Soit donc 

t\ -f- v 2 = r 0 -f i\x x -}- -f- r,* j[ -f- = cfa\ . 
En échangeant successivement j\ avec Xj,, .<: 4 , x àl on aura 

où /// est un des nombres 2, 3, 4, 5. Pour m = 2, on aura (p# i = <f>x i , 
ce qui est impossible, car le nombre des valeurs de tpx x doit être cinq. Pour 
7/i = 3 on aura 

Vl + ^2 = <P*i , ' ^2 + #3 = ^3 + ^1 = ^37 

d'où l'on tire 

2^ =i c/)^ — -j- cpxs . 

Mais le second membre de cette équation a plus de 5 valeurs, car il en a 
30. On prouvera de la même manière que m ne peut être égal à 4 ni 
à 5. Il suit de là que a n'est pas égal à 2. 

4. Soit 11 = 3. Dans ce cas i\ -\- 1\ -\- v 3 et par conséquent v A -\-v b 
— (^i + v * ~f" v * + v * + ^s) — C* 7 ! -f" 4" v s) aura c î n q valeurs. Mais on vient 
de voir que cette supposition est inadmissible. Donc t u ne peut non plus 
être égal à 3. 



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DKMONSTK. DE I/IMPOSS. I>E LA RKS. ALGKBR. DES ÉQUATIONS etc. 



83 



. De tout cela on déduit ce théorème: 

Toute fonction rationnelle de cinq quantités, qui a cinq valeurs diffé- 
rentes, aura nécessairement la forme 

* o + r i x + V 2 + r n r* -f r i x * » 

oîi r 0 , r u r 2 etc. sont des fonctions symétriques, et r Tune quel- 
conque des cinq quantités. 
De l'équation 

r 0 -f- i\x -f- >* 2 # 2 + V 3 + r 4^ 4 = 

on déduira aisément, en faisant usage de l'équation proposée, pour la valeur 
de x, une expression de la forme suivante 

x = s Q + s x v + v ?2 -f- -%v* -f v*S 

où s 0 , 8,, s 2 etc., de même que r 0 , r n etc., sont des fonctions symé- 
triques. 

Soit v une fonction rationnelle qui ait m valeurs différentes r n r„ 
r 3 . . . ?- w . En posant 

(v — v,) (v — v s ) (i> — v 3 ) . . . {v — v.) 

= «. + î^ + ï.^+ ' ' ■ +ï-.^ = 

on sait que # 0 , tf M </ 2 . . . sont des fonctions symétriques, et que les m ra- 
cines de l'équation sont v„ w„ ?> 3 . . . w». Or je dis, qu'il est impossible 
d'exprimer la valeur de v comme racine d'une équation de la même forme, 
mais d'un degré moins élevé. En effet soit 

une telle équation, /„, f, etc. étant des fonctions symétriques, et soit i\ une 
valeur de v qui satisfasse à cette équation, on aura 

vf -f- H =(v — v l )P l . 

En échangeant entre eux les élémens de la fonction, on trouvera la série 
suivante d'équations: 

»" + ',«_, « " _1 H = (p — »,) P* , 

-1- v'- 1 -f • • • = — v,) P, , 

r<< + 'H =(r-»jP.. 

11* 



84 



DKMONSTR I>K I/IMPOSS 1>E LA RKS ALOKBR DES KQ17AT10NS rte 



On en conclut que /• — r M v — v — r 3 . . . v — v m seront des facteurs 
de r"-{-f, < __ 1 r ,< ~ 1 -{- • • • et que par conséquent 1/ doit nécessairement être 
égal h m. On en tire le théorème suivant: 

Lorsqu'une fonction de plusieurs quantités a ru valeurs différentes, on 
peut toujours trouver une équation du degré m , dont les coefficiens 
soient des fonctions symétriques, et qiri ait ces valeurs pour racines; mais 
il est impossible de trouver une équation de la même forme d'un degré 
moins élevé qui ait une ou plusieurs de ces valeurs pour racines. 

§ IV. 

Démonstration de l'impossibilité. de lu résolution générait* *le l'équation du cinquième degré. 

En vertu des propositions trouvées plus haut on peut énoncer ce théo- 
rème: 

"Il est impossible de résoudre en général les équations du cinquième 
"degré." 

D'après le § II, toutes les fonctions algébriques dont une expression 
algébrique des racines est composée, peuvent s'exprimer par des fonctions 
rationnelles des racines de l'équation proposée. 

Comme il est impossible d'exprimer d'une manière générale la racine 
d'une équation par une fonction rationnelle des coefficiens, on doit avoir 

1 

oh m est un nombre premier et H une fonction rationnelle des coefficiens 
de l'équation proposée, c'est-à-dire une fonctiou symétrique des racines; r 
est une fonction rationnelle des racines. On en conclut 

r" — R = 0. 

En vertu du § II, il est impossible d'abaisser le degré de cette équation; la 
fonction v doit donc, d'après le dernier théorème du paragraphe précédent, 
avoir m valeurs différentes. Le nombre m devant être diviseur du pro- 
duit 1.2.3.4.5, ce nombre peut être égal à 2 ou h 3 ou à 5. Or (§ III) 
il n'existe pas de fonction de cinq variables qui ait 3 valeurs: il faut donc 
qu'on ait m = 5, ou m = 2. Soit tu = 5, on aura, ainsi qu'il résulte du 
paragraphe précédent 



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DKMOXSTR DE L'IMPOT DK LA liK* ALOKIîK 1>KS KQUATIONS etc. 85 

\'TÏ= r„ -f r, x + v' 2 + >-,x» -f / V r 4 , 

d'oh 

12 3 \ 

On en tire (§ II) 

i 

où a h =\. Cette équation est impossible, attendu que le second membre a 
120 valeurs et que pourtant il doit être racine d'une équation du cinquième 
degré z 5 — s\B = 0. On doit donc avoir m = 2. 

On aura donc (§ II) 

YÏÏ=p + qs, 
où j) et q sont des fonctions symétriques, et 

s = {x 1 — x 2 ) . . . (x 4 — x h ). 
On en tire, en échangeant x x et x 2 entre eux, 

— yH = p — q*y 

d'où l'on déduit 0 et yii = /p. On voit par là, que toute fonction 

algébrique du premier ordre qui se trouve dans l'expression de la racine, 
doit nécessairement avoir la forme a -J- fi \ f s 2 = a -f- /fo, où a et fi sont des 
fonctions symétriques. Or il est impossible d'exprimer les racines par une 
fonction de la forme r/ -j-/?}//**; il doit donc y avoir une équation de la forme 

VI 

où h et fi ne sont pas nuls, m est un nombre premier, a et /? sont des fonc- 
tions symétriques, et r est une fonction rationnelle des racines. Cela donne 

m m 

on r, et r 2 sont des fonctions rationnelles. On aura en multipliant rj par v tJ 

m 

r.w^yà 1 — /9V". 

Or « 2 — /?V est une fonction symétrique. Si maintenant — 

\ 



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8(5 DKMOXSTK. DK I/IMPOSS. DK Î,A RKS. ALOKHK DKS KQUATIONS oto. 

n'est pas une fonction symétrique, le nombre* vi, d'après ee qui précède, doit 

être égal à deux. Mais dans ce cas v sera égal à \ a -{- (3 Vs* ; r aura donc 
([iiatre valeurs différentes, ce qui est impossible. 

m 

11 faut donc que \ a* — fi*** soit une fonction symétrique. Soit y cette 
fonction, on aura 

y 



Soit 



m — 1 



Désignons par jt> 2 , y) 3 . . . p m les valeurs différentes de y> qui résultent 

îii i 
de la substitution successive de aR m 1 crR 1 *, a 3 //" . . . a m l Tt ut h la place 
i 

de R'% a satisfaisant à l'équation 

«— * -f- «— * — | -f « + i=o, 

et faisons le produit 

(l ? — J^i) (P— • ■ • (7'— 2>*)=P m — Ap— l + A x p m -* =0. 

On voit sans peine que A, A x etc. sont des fonctions rationnelles des coef- 
ficiens de l'équation proposée et par conséquent des fonctions symétriques des 
racines. Cette équation est évidemment irréductible. Il faut donc d'après le 
dernier théorème du paragraphe précédent que p, considéré comme fonction 
des racines, ait m valeurs différentes. On en conclut que m = 5. Mais dans 
ce cas p sera de la forme (a) du paragraphe précédent. Donc on aura 

\R -f / — r n -f )\x -f v,x 2 -f r,x n -f r 4 r 4 — p , 
Vit 

d'oîi 

.r = .% -f s t p ~{- s^r -\- s 3 p* -]- s { p\ 

1 i y * 

c'est-à-dire, en mettant R' 1 ' R R* h la place de y>, 



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OÉMOXSTK 0K LlMi'OSS. DH LA HKS. ALOKBK DKS KtJLWTlONS etc. S? 

où /„, /„ f s etc. sont des fonctions rationnelles de II et des eoefHciens du 
l'équation proposée. On en tire (§ II) 
t 

/, A* = ï (r, -f « 4 x s -f «V 3 -f « s .r 4 + «./•,) ^ y/, 

où 

«» -f «»-}-«* -|- « -j- 1^0. 

1 

De 1 équation jZ — l^t* on tire p r * = i : \R. Or étant de? la tonne 

rt-j-«'}V on aura =^ m -j- m' J'.s* , ce qui donne 

/ T» v"* /** ** 

(y, — — " "* • 

Cette équation donne y/ par une équation du dixième degré, dont tous les 
coefticiens sont des fonctions symétriques; mais d'après le dernier théorème 
du paragraphe précédent cela est impossible; car puisque 

p aurait 120 valeurs différentes, ce qui est une contradiction. 

Nous concluons donc qu'il est impossible de résoudre algébriquement 
l'équation générale du cinquième degré. 

11 suit immédiatement de ce théorème, qu'il est de même impossible de 
résoudre algébriquement les équations générales des degrés supérieurs au cin- 
quième. Donc les équations des quatre premiers degrés sont les seules qui 
puissent être résolues algébriquement d'une manière générale. 



APPENDICE. 
ANALYSE DU MEMOIRE PRECEDENT. 

Bulletin des sciences math., nstr., phys. et chiin. publié par le H 011 <U K : /7w«ac, t. t>, p. 347: Paris i82l>. 



L'auteur démontre, dans ce mémoire, qu'il est impossible de résoudre 
algébriquement l'équation générale du cinquième degré; car toute fonction 



88 



UÊMOXSTU. DK L ÎAH'OSS. DK LA RKS. ALGLUK. 1>ES ÉCLATIONS eu-. 



algébrique clés coefficient» de la proposée, étant substituée à la place de l'in- 
connue, conduit à une absurdité. Dans un premier paragraphe, l'auteur 
cherche l'expression générale des fonctions algébriques de plusieurs quantités, 
d'après la définition qu'une fonction algébrique résulte, 1° d'additions, 2° de 
multiplications, 3° de divisions, et 4° d'extractions de racines dont les expo- 
sans sont des nombres premiers. Les soustractions, les élévations aux puis- 
sances et l'extraction des racines avec des exposans composes rentrent dans 
les opérations précédentes. D'où il résulte, 1° que toute fonction rationnelle 
et entière des quantités x tJ x 21 x 3 etc. c'est-à-dire, toute fonction qui peut être 
formée au mpyen des deux premières opérations mentionnées, peut s'exprimer 
par une somme d'un nombre fini de tenues de la forme Ax™ 1 x 2 Wî . . . . , A 
étant une constante et vi XJ w 2 , . . . des nombres entiers; 2° que toute fonction 
rationnelle des mêmes quantités, c'est-à-dire, toute fonction qui peut être for- 
mée au moyen des trois premières opérations, peut s'exprimer par un quo- 
tient de deux fonctions entières: 3° que toute fonction algébrique peut être 
formée par des répétitions des opérations indiquées par 

V 1 

(1) p' =/(*„ x z . . . . 2VS JfVS ), 

où f désigne une fonction rationnelle des quantités entre les parenthèses; 
Pn • • • des fonctions rationnelles de x t1 x 2 . . ., et n x , n t . . . des nombres 
premiers. On nommera, pour abréger, fonction algébrique du premier ordre, 
une fonction telle que p. Si -maintenant on tonnait une nouvelle fonction 
dans laquelle des fonctions du premier ordre entrassent de la même manière 
que pu p i . . . entrent dans p , on aurait une fonction algébrique du second 
ordre; et, en général, une fonction de l'ordre // serait celle qui pourrait 
contenir des fonctions de tous les ordres, jusqu'à l'ordre // — 1, combinées 
entre elles algébrique nient. Bien entendu que cette fonction de l'ordre // ne 
peut pas s'abaisser à un ordre inférieur, par des réductions des fonctions qui 
la composent. En outre, si cette même fonction de Tordre u contient m 
quantités de cet ordre, on dira qu'elle est du m ltme degré: et en la désignant 
par Cj on pourra poser 

(2) v = q Q +P» -j- q 2 p« -} +<ln-iP 

c'est— à— dire que l'on a ce premier théorème: Toute fonction algébrique v de 
V ordre // et du degré ra, peut être représentée par la formule (2), où n est 
un nombre premier, q 0 , q t1 . . . q n _ 1 des fonctions algébriques de l- ordre u et 
du degré m — 1 tout au plus, et p une fonction algébrique de V ordre fi — 1, 



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DÉMONSTK DE L'IMPOSS. DE LA RES. ALGÉBK. DES ÉQUATIONS etc. 



89 



telle quil est impossible d'exprimer p n par une fonction rationnelle de p, q 01 

Après avoir ainsi trouvé l'expression générale des fonctions algébriques, 
Fauteur considère, dans un deuxième paragraphe, une équation quelconque 
dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles des quantités .r,, x 2 . . . . 
et qu'on suppose résoluble algébriquement. En désignant donc par y Tin- 
connue, et par 

(3) (f(x 11 x 21 x 3 . . . . y) = 0 

l'équation même, il faut que le premier membre se réduise à* zéro, en met- 
tant pour y une certaine fonction de la forme (2). Par cette substitution 
l'équation (3) se changera en une autre de la forme 

1 2 il — 1 

(4) + + • • - +'"-!2> V = 0, 

où r 0 , r n r 3 , / 3 . . . sont des fonctions rationnelles de x i1 x 2J x 3 ... et de q 01 
Ï2? Ï3 • • • Cette équation entraine les suivantes: 

(5) r 0 = 0, r, = 0, r, = 0, . . . . r n _, = 0; 

i 

car dans le cas contraire, l'équation (4) pourrait donner la valeur de p n en 
fonction rationnelle de p, r 0 , i\ . . . r n _ n ce qui est contre l'énoncé du thé- 
orème précédent. Si les équations (5) ont lieu, l'équation (4) et par suite 
l'équation (3), seront de même satisfaites par toutes les valeurs de y qu'on 

i 1 A. 1 

obtiendra en mettant, au lieu de p n les n — 1 valeurs ctp n , a 2 // 1 , .... a* -1 ^", 

où a est une racine imaginaire de l'unité. Par là on aura les valeurs de n 
racines de l'équation (3), savoir 

1 * n— 1 

yx = <b+p*+*bP H -\ H/»i/> " » 

l 1 M— I 

!h = q» + «P" + a î <hl>"-\ h^Q—ïP " , 



1 2 n— 1 

y. = ïo + «"-'/" + «*- f 2.i»H h m-iP~ ; 

i_ 

ces équations donnent les n quantités p n , q 0J q t . . . 2 w _ t en fonctions ration- 
nelles des racines y Xl y 2 . . . y n . 

Si maintenant — 0 est une équation algébrique générale, résoluble 
algébriquement, et # n x 2 . . . les racines de cette équation, on doit avoir 

12 



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90 



DÉMONSTK. DE L'IMPOSS. DE LA RÉS. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc. 



x = s Q -\-v n + s 2 v»-\ hV-i*>% 

cette formule étant analogue à la formule (2). D'après ce qu'on vient de 
i 

voir ?:*, ,s 0 , s t . . . s H _ l seront des fonctions rationnelles des racines de l'équa- 
tion proposée. Cela posé, considérons Tune quelconque des quantités y, s 01 s 2 . . . 
par exemple v\ en désignant par n' le nombre de toutes les valeurs diffé- 
rentes de ??, qu'on obtiendra en échangeant entre elles de toutes les manières 
possibles les racines de l'équation proposée, on peut former une équation du 
degré n qui ait toutes ces valeurs pour racines, et dont les coefficiens soient 
des fonctions rationnelles et symétriques des valeurs de et par suite des 
fonctions rationnelles de En faisant donc 

1 2 r—l 

V = t 0 ~\- %i V *2 + • • • + ty-1 U y J 

toutes les quantités w, f 0 , t 2 . . . t v _ x seront des fonctions rationnelles des 
valeurs de et par suite de x i7 x t . . . En poursuivant ce raisonnement, 
on établira le théorème suivant: 

Deuxième théorème: Si line équation algébrique est résoluble algébrique 
ment) on peut toujours donner à la racine une forme telle, que toutes les 
expressions algébriques dont elle est composée pourront s exprimer par des 
fonctions rationnelles des racines de V équation proposée. 

Dans le troisième paragraphe on démontre, d'après un mémoire de 51. 
Cauchy, inséré dans le cahier XVII e du Journal de l'Ecole Polytechnique, 
que, 1° le nombre des valeurs d'une fonction rationnelle de n quantités, ne 
' peut s'abaisser au-dessous du plus grand nombre premier contenu dans w, 
sans devenir égal à 2 ou à 1; 2° que toute fonction rationnelle qui a deux 
valeurs différentes aura la forme 

. p + ï — *i) K— O ■ • ■ • • • (^3—^4) * • • 

et que, si elle contient 5 quantités, elle deviendra 

P + <1 (*i — x *) ( x i — *») ( x i — #4) (*i — O (a* — #3) O2 — ^4) 
(* 2 — sr 5 ) (a-, — x é ) (ar 8 — a? 5 ) (x A — a 5 ), 

où p et (/ sont des fonctions invariables. 

On démontre ensuite que toute fonction rationnelle de cinq quantités 
qui a cinq valeurs différentes peut être mise sous la forme 



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DEMON STR. DE L'IMPOSS. DE LA RES. ALGÉBR. DES ÉQUATIONS etc. 



91 



v = r 0 -f r t x + r, x 2 + r 3 x 3 -|- r 4 z 4 , 

oîi r 0 , r l . . . r 4 sont des fonctions invariables, et x une des cinq quantités 
en question. 

En combinant cette équation avec l'équation 

(x — x,) {x — x 2 ) (.r — * 3 ) {x — x 4 ) {x — Xs) 

= x b — ax* -j- bx 3 — ex* -\-dx — 6 = 0, 

on en peut tirer les valeurs de x sous la forme 

x = s 0 -j- s x v -f- s 2 v 2 -\- s s v 3 -}- s 4 v A , 

.ç 0 , s x . . . étant des fonctions invariables de x 1 , x t . . . Finalement on ar- 
rive à ce théorème connu: Troisième théorème: Si une fonction rationnelle 
de plusieurs quantités # u x t . . . a m valeurs différentes, on pourra toujours 
trouver une équation du degré m dont tous les coefficient sont des fonctions 
invariables de x u x 2 . . . et qui ont les m valeurs de la fonction pour ra- 
cines] mais il est impossible de trouver une équation de la même forme et un 
degré moins élevé, qui aura une ou plusieurs de ces valeurs pour racines. 

Au moyen des théorèmes établis dans les trois premiers paragraphes, 
Fauteur démontre ensuite, dans le quatrième, qu'il est impossible de résoudre 
algébriquement l'équation générale du cinquième degré. 

En effet, en supposant que l'équation générale du cinquième degré soit 
résoluble algébriquement, on pourra, en vertu du théorème (1), exprimer 
toutes les fonctions algébriques dont une racine est composée, par des fonc- 
tions rationnelles des racines; donc, puisqu'il est impossible d'exprimer une 
racine d'une équation générale par une fonction rationnelle des coefficiens, 
il faut qu'on ait 

i 

R™ = v, 

i 

où R m est une des fonctions du premier ordre qui se trouvent dans l'expres- 
sion de la racine, R étant une fonction rationnelle des coefficiens de l'équa- 
tion proposée, c'est-à-dire, une fonction invariable des racines, et v une 
fonction rationnelle des mêmes racines. Cette équation donne v m — jft = 0; 
et pour v, m valeurs différentes, résultant du changement des racines entre 
elles. Maintenant le nombre des valeurs d'une fonction rationnelle de cinq 
variables, doit être diviseur du produit 2. 3. 4. 5; il faut donc que m, qui 
est un nombre premier, soit un des trois nombres 2, 3, 5; mais selon le 

12* 



92 



DEMONSTR. DE I/IMPOSS. DE LA RES. ALGEBR. DES ÉQUATIONS etc. 



théorème cité de M. Cauchy, le nombre 3 sera exclu, et par conséquent il 
ne restera pour m que les deux valeurs 5 et 2. 

1. Soit d'abord w = 5; on aura, d'après ce qu'on a vu précédemment, 

i 

v = li h = r 0 -f- i\x -f- r 2 x 2 -f- r 3 x 3 -f r 4 x\ 

et de là 

X = S 0 + S t Ii*'-\- sJ^-\- Sji \ 

,% y s,, . . . étant, de même que /?, des fonctions invariables des racines. 

Cette valeur donne, selon ce qui a été établi dans le deuxième paragraphe, 
i 

pour .s^/** 5 , une fonction rationnelle des racines, savoir: 

a étant une racine imaginaire de l'équation a 5 — 1 = 0; mais cela est im- 
possible, car le second membre a 120 valeurs différentes, tandis qu'il doit 
être racine de l'équation z h — s\R=0 1 qui n'est que du cinquième degré. 
Le nombre m ne peut donc être égal à 5. 

2. Hoit m = 2. Alors v aura deux valeurs qui, selon ce que M. Cauchj 
a démontré, doivent avoir la forme 

v =2? -|- = y/**, 

oîi 

s = (x, — Xt) (.r 1 — x 3 ) • • • (* 4 — x r X 

et p ot q sont des fonctions invariables. 

En échangeant entre elles les deux racines x A et .r L ,, on aura p — — [ r //, 
et par conséquent p = Q, et par suite 

De là il suit que toutes les fonctions algébriques du premier ordre qui 
se trouvent dans l'expression de la racine, doivent être de la forme 
où a et /? sont des fonctions invariables. Maintenant il est impossible d'ex-^ 
primer une racine de l'équation générale du cinquième degré, par une fonc- 
tion de cette forme; par conséquent il faut qu'il y ait, dans l'expression de 
la racine, des fonctions du deuxième ordre, et qui doivent contenir un radi- 
cal de la forme 



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DÉMONSTR. DE L1MP0SS. DE LA KÉS. ALGÉBlt. DES ÉQUATIONS etc. 



où (3 n'est pas égal à zéro; m est un nombre premier et r une fonction 
rationnelle des racines. En changeant ;i\ en -x t on aura 

m 

ce qui donne vv l = ~]/a t — /?V. Maintenant a 2 — /? 2 .s 2 est une fonction in- 
variable; si donc vi\ n'est pas de même une fonction invariable, il faut que 

ni soit égal à 2; mais alors on aura v — V# -f- /3V.s 2 , ce qui donne pour r 
quatre valeurs différentes; or cela est impossible: donc il faut que vv x soit 
une fonction invariable. Soit cette fonction représentée par y, on aura 

v i~"y tîela posé, considérons rex])ression 

m m 

v+v l= Tu + /ï + . - j/— = 7 > = yzr + - r - ■ 

Cette valeur de peut être racine d'une équation du 7/* ,îw degré, et, 
comme cette équation sera nécessairement irréductible, }> aura m, valeurs 
différentes; donc m sera égal j\ 5. 
Alors on aura 

i i 

It* -\-yR 5 = r () -j- r, x -f- /\>ar -f- r 3 .r 3 -f- r 4 ^ 4 =y>, 

d'où 

x = s 9 + s l2 ,+ • • • + * 4 /> 4 = / 0 + ^^ 

/ 0 ? . . . / 4 étant des fonctions invariables. De là on tire, comme aupara- 
vant, 

i 

et 

^ / B_ <3f/ j)2_ / 10^V_0. 



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94 



DKMONSTR. DE I/1MPOSS. DE LA RÉS. ALGÉHK. DES ÉQUATIONS etc. 



Cette équation, dont les coefficiens sont des fonctions invariables, est 
du dixième degré par rapport à mais cela est contraire au théorème (3), 
parce que y a 120 valeurs différentes. 

Nous concluons donc en dernier lieu, qu'il est impossible de résoudre 
algébriquement l'équation générale du cinquième degré. De là il suit immé- 
diatement qu'il est, en général, impossible de résoudre algébriquement les 
équations générales d'un degré supérieur au quatrième. 



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VIII. 

REMARQUE SUR LE MÉMOIRE N° 4 DU PREMIER CAHIER DU JOURNAL 

DE M. CRELLE. 



Journal fur die reine uud angewandte Mathematik, licrausjrcgchen von CrtUr, Hd. I, Herlin 1826. 



L'objet du mémoire est de trouver l'effet d'une force sur trois points 
donnés. Les résultats de l'auteur sont très justes, quand les trois points ne 
sont pas placés sur une même ligne droite; mais dans ce cas ils ne le sont 
pas. Les trois équations, par lesquelles les trois inconnues Q, Q\ Q" se 
déterminent, sont les suivantes 

IP=Q + Q' + Q', 

(1) lQ'hmia= /'csin/?, 

( Qa m\a = — Q" c sm(« -j- fi). 

Celles-ci ont lieu pour des valeurs quelconques de 1\ «, 6, c, a et fi. Elles 
donnent en général, connue Fauteur l'a trouvé, 

(2) {<y=«^p, 

où 

r = ab gin a -j- ne sin/? — bc sin (a -f- fi). 
Or les équations (2) cessent d'être déterminées lorsque l'une ou l'autre des 



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REMARQUE SUR UN MÉMOIRE DU JOURNAL DE C'KELLE. 



quantités Q\ Q" prend la forme -> ce qui a lieu, connue on le voit 
aisément pour 

<* = /*= 180°. 

Dans ce cas il faut recourir aux équations fondamentales (1), qui donnent 
alors 

f=Q + Q' + Q", . 

Q'b sin 180° = Q"c sin 180°, 
Ça sin 180° = — Q"c sin360°. 

Or les deux dernières équations sont identiques puisque 

sin 180° = sin 360° = 0. 

Done dans le eas où 

a = /*=180 u , 
il n'existe qu'une seule équation, savoir 

P=Q + Q' + Q% 

et, par suite, les valeurs de Q, Q', Q" ne peuvent alors se tirer des 
équations établies par l'auteur. 



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IX. 



RÉSOLUTION 1TUN PROBLÈME DE MECANIQUE. 

Journal fur die reine und aiigowandte Mathcmatikf herausgegebcn von CrtlU, Bd. I, Berlin 1826. 



in 



Soit B/JMA une courbe quelconque. Huit BC une * 
drôite horizontale et (A4 une droite verticale. Supposons 
qu'un point sollicité par la pesanteur se meuve sur la 
courbe, un point quelconque 1) étant son point de départ. 
Soit t le temps qui s'est écoulé quand le mobile est 
parvenu à un . point donné A, et soit a la hauteur 
EA % La quantité r sera une certaine fonction de qui dépendra de 
la forme de la courbe. Réciproquement la forme de la courbe dépendra 
de cette fonction. Nous allons examiner comment, à l'aide d'une intégrale 
définie, on peut trouver l'équation de la courbe pour laquelle % est une 
fonction continue donnée de a. 

Soit AM=s, AP—x, et soit / le temps que le mobile emploie à 

parcourir l'arc DM. D'après les règles de la mécanique on a — ^zzz^a—x, 



donc dt = 



ds 



jusqu'à x = 0, 



Il s'ensuit, lorsqu'on prend l'intégrale depuis x = a 



■— - —f* ,is 

J a Va — x Jo Va — x 



l 



fi 



désignant que les limites de l'intégrale sont x = a et x = ft. Soit main- 
tenant 

r = (pa 

13 



98 RÉSOLUTION D'UN PROBLÈME DE MÉCANIQUE. 

la fonction donnée, on aura 

J o Va — x 

équation de laquelle on doit tirer s en fonction de x. Au lieu de cette 
équation, nous allons considérer cette autre plus générale 

de laquelle nous chercherons à déduire l'expression de *• en x. 
Désignons par Fa la fonction 

on a comme on sait 

oh a et (i doivent être supérieurs à zéro. Soit /?=l-n, on trouvera 

f IfjJV-, — «) 

Jo (\-y) n r(« + i-n)' 

d'où l'on tire, en faisant z = ay, 

En multipliant par ( _^._ , t prcnant rintég ,, lle depuLs a = Q 
a = x, on trouve 

r da firl±— Ta.T(l-n) f* a— ifa 

J « (•« - «y- n J 0 (a - z y ~ 't(a + 1~ „) J 0 (^_T)f-« * 
En faisant a = u#, on aura 

donc 

f* </<, fz<-idz r 



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RESOLUTION D'UN PROBLEME DE MÉCANIQUE. 99 

Or d'après une propriété connue de la fonction /; on a 

+ l) = «r«; 

on aura donc en substituant: 

En multipliant par a if a, du, et intégrant par rapport à a, on trouve 
da (' a (f(fa.az«- 1 da)dz 

Soit 

fcpa .x a da=fx, 

on en tire en différentiant, 

f (fa . ax a ~ l da =f'x, 

donc 

f if a . az"-*da = fz\ 

par conséquent 

ou, piiisque Tn .T(l — n) = , 

' sin nir 

(1) f *innxf x da ff'z.dz 

J ~ '« J. )"'-'" J, ("->* 

A l'aide de cette équation, il sera facile de tirer la valeur de .s de 
l'équation 



a— f " - 



(fa 

Qu'on multiplie cette équation par a ^ da , e t qu'on prenne l'inté- 
grale depuis a = 0 jusqu'à a = x, on aura 



sini 

7t 



imc Ç rfn.da s'mnrr Ç x da Ç" ds 

donc en vertu de l'équation (1) 



13* 



100 RÉSOLUTION D'UN PROBLEME DE MECANIQUE. 

_ sin njt Ç x (fa . da 

Soit maintenant n = \, on obtient 

Ç a ds 
(pa= — , 
Jo ya — x 



et 



^ 1 C x (fa . da 

7t JoY* — a' 

Cette équation donne lare s par l'abscisse x, et par suite la courbe est 
entièrement déterminée. 

Nous allons appliquer l'expression trouvée à quelques exemples. 
I. Soit 

(fa = a Q a^ -f- a x a^ -\ -f- a m a^ = ^aa^ 

la valeur de s sera 

"JoVx — a n \J o y x — aj 

Si l'on fait a = xy, on aura 

JoVx-a JoYl—!/ ' + ' 

donc 

ou, puisque 7'(i) = V^t» 

*=^f«-+.» + • • ■ + «.^|- 

Si l'on suppose p. ex. que M » = 0, ,«,, = 0, c'est-à-dire que la courbe 
cherchée soit isochrone, on trouve 

' « 0 nï)~re)l / 7r=T;> / ^ 

or s=-^y x est l'éq U ation connue de la cycloide. 



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RÉSOLUTION D'UN PROBLÈME DE MÉCANIQUE. 101 

IL Soit 

cp a depuis a = Q jusqu'à a = a 0J égal à ip/i 

cpa depuis a = a 0 jusqu'à a = a ly égal à <p Y a 

(pa depuis a = a t jusqu'à a = a 2 ^ égal à <p t a 



cpa depuis a = a m _ 1 jusqu'à a = a mJ égal à (p m a, 

on aura 

m _l j^g^g ? depuis x = 0 jusqu'à x = a 0 ^ 

j o y « — x ' 

f° 9 w a. da . r x w.a.da , , 
m = I / -= + / /- --- ' depuis x = a 0 jusqu à x = a i , 
Jo Va—x Ja 0 V« — œ 

f a9 rp a a.da , r a, (p.a.(ki . r x ff 9 a.d<i . ... 

^5 =a / -y^-— : + / -Y + / ? depuis a- = a. îusqu à x = a» , 

Jo Va — x x J a y a — x l J a Va — a r J 1 



JoVa—x Ja^Va—x Jfl m _ 2 Va — # A^Va-^' 

depuis « = jusqu'à x=za m1 

où il faut remarquer que les fonctions </ 0 a, </y/, <p 2 « . . . y> m rc doivent être 
telles que 

(p 0 a 0 = (p 1 a 01 (pidi = (p 2 ^ij W l 2 = <Pa a 2j etc -7 
car la fonction y a doit nécessairement être continue. 



X. 



DEMONSTRATION D'UNE EXPRESSION DE LAQUELLE LA FORMULE 
BINOME EST UN CAS PARTICULIER. 



Journal fur die reine untl angewandte Mathematik, heraustfegeben von Crellr, Bd. I, Berlin 1826. 

Cette expression est la suivante: 

(x + «)" = x« -f 1 « (x + /?)-> -f a (« - 2/î) (x + 2/9)-* + • • • 

a*, « et /? sont des quantités quelconques, ?? est un nombre entier positif. 
Lorsque 7i = 0 y l'expression donne 

(* + «)° = *°, 

qu'il fallait. Or on peut, comme il suit, démontrer que si l'expression sub- 
siste pour n = ?/?, elle doit aussi subsister pour v = m-\-l J c'est-à-dire 
qu'elle est vraie en général. 
Soit 

{x + «)- = x * + ™ «(* + py-* + -^-^ «(« - 2/3) (* + 2/?)— -f • • • 
Y «(« — (™ — (x -f (m — 1),?) -f «(a — /«/?)— ». 

En multipliant pur ( îft -f et intégrant, on trouve 



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Googl* 



DÉMONSTRATION D'UNE EXPRESSION DE LAQUELLE LA FORMULE BINOME etc. 103 

(x + «)- 1 = *+ l + ^ « (* + /*)- « (« - 2/3) (x + 2/3)»- + . . . 

+ ^t 1 «(„ - m/3)- 1 (x + m /ï) + C 1 

C étant la constante arbitraire. Pour trouver sa valeur posons x = (m -j- 1)/3, 

les deux dernières équations donneront 

(« — (m + 1)/3) M = (— l) m ( m _|_ _ wi »«0— i 

+ -J- ( M - l)"-'« (a - 2/3)/3'»-*- — g («i - 2)—«(« 3/3)73" -» + • . 



(« — (m-J-l)/3) M+1 = (— !)■+> 



(,„ _|_ _ ( m _f_ i) m - 0/ j- 

+ 6'. 



Multipliant la première de ces équations par (*»-f l)/3 et ajoutant le produit 
à la seconde, on trouve 



ou bien 



C= (a - (m + l),?)-* 1 + (>» -f l)/3(« - (,» + l)/3)™, 
C=«(« — (m -f l)/î)-. 



Il s'ensuit que l'équation proposée subsiste de même pour n = m -\-\. 
Or elle a lieu pour n = 0; donc elle aura lieu pour n = 0, 1, 2, 3 etc. 
c'est-à-dire pour toute valeur entière et positive de n. 

Si l'on fait (3 = 0, on obtient la formule binôme. Si l'on fait a = — x, 
on trouve 

0 = *■ - -f *(■» + + "t; - ^ x ( x + 2/j)- 

ou en divisant par x*, 

0 = x-> -^ {x + ,3)- + ^ -I) (a! + 2/ 3)- 

_^-l)(»-2) (j . + ;W _ 1+ ... 

ce qui et>t d'ailleurs connu; car le second membre de cette équation n'est 
autre chose que 

en faisant la différence constante égale à fi. 



XI. 

SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE 9 ' U . li ET 

YR 

ETANT DES FONCTIONS ENTIERES. 



Journal fur die reine und angewandte Mathematik, heransgegeben von CreUe, Bd. 1, Berlin 1826. 

1. 

Si l'on différence par rapport à x l'expression 
(1) z = log^*, 

p — qYÉ 

où p, q et lt sont des fonctions entières d'une quantité variable x, on 
obtiendra 

dz = d P± d (<lïËl _ 'jP^liqVR) 

P + qYÉ p-*qVË 

ou 

dz = iP^*Wp±iKqVx)] -(p + qYJi) [d P - <t( q Y~R)] 

p* — q*It ~~ ~ ' 

c'est-à-dire, 

dz = %%^hi2^ys 
Or ""-^ ' 

donc par substitution 

^ _ /'<? dR+ 2 (p d^—_gdp)R 



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SUR L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ' ctc 105 

VA 

par conséquent, en faisant 

dR\ l dn dp \ y , 

(2) ^ïfa + ^i-ïi:)^^ 

on aura 

(3) «fa = A"** , 

Ny'li 

où, comme on le voit aisément, M et A' sont des fonctions entières de x. 

Or, 3 étant égal à log , on aura en intégrant 

. p — qvR 

Il s'ensuit que dans la différentielle on peut trouver une infinité 

y/? 

de formes différentes pour la fonction rationnelle p, qui rendent cette diffé- 
rentielle intégrable par des logarithmes, savoir par une expression de la 

forme log ■ La fonction p contient, comme on le voit par les 

équations (2), outre i?, encore deux fonctions indéterminées p et q\ 
c'est par ces fonctions qu'elle sera déterminée. 

On peut renverser la question et demander s'il est possible de supposer 
les fonctions p et q telles, que y ou ^ prenne une fonne déterminée 

donnée. La solution de ce problème conduit à une foule de résultats intéres- 
sants, que Ion doit considérer comme autant de propriétés des fonctions de 

la fonne J yj^' Dans ce mémoire je me bornerai au cas où -^f est une 

fonction entière de x, en essayant de résoudre ce problème général: 

^Trouver toutes les différentielles de la forme , où o et H sont 

y R 

„des fonctions entières de js, dont les intégrales puissent s'exprimer 
„par une fonction de la fonne log î^+l^J . 

h p-qVB 

\ 14 



!(><> 



SLK I/INTÉGKATION I)K LA KOKMLLK MFKKliKNTIELLli j"^ i-u-. 



En ditterentiant l'équation 

X_=p 2 — 

on obtient 

tlX= 2p dp — 2q dq .R—q *dR; 
donc en multipliant par 

. l> di\= 2p-dp — 2pq dq . R — M *dR, 
c'est-à-dire, lorsqu'on remet à la place de jf sa valeur X-j-q^R, 
p dX= 2Ndp -f 2q 2 dp .R—2pqdq.R — pq*dR, 

ou 

p dN = 2Xdp — q[2(p dq — q dp) R -f pqdR] , 
donc, puisque (2) 

2 — , y _|_ pq dl{ = Mdx ^ 



on a 



ou bien 



donc 



p dX= 2Ndp — qMdx, 
qM-=2N'f -p d f, 

<Lc 1 d.r, 



(5) M / <M r 



Maintenant £ doit être une fonction entière de en désignant cette fonc- 
tion par on aura 

U s'ensuit que p ^ doit être une fonction entière de x. En faisant 
■N=(x + a? (s + „,)-. . . . (.r-f «„)'»», 



on aura 



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SUK I/INTÉGKATION I)E LA FORMULE DIFFÉKKNTIELLE ^- otv 107 



donc l'expression 



-, I L V h J L fl, « 



doit de même être une fonction entière, ce qui ne peut avoir lieu à moins 
que le produit {x -{- a) - • - (x -f- r/, t ) ne soit facteur de Il faut donc que 

? = + ' ' ' (X + «n)PlJ 

p x étant une fonction entière. Or 

N=p 2 — q 2 R, 

donc 

( x _|_ „)- ...(* + «.)-- = ^ (* + (,• + a,) 8 •••(* + «.)" - 

Comme R n'a pas de facteur de la forme (x -\- r/) 2 , et comme on peut 
toujours supposer que p et q n'ont pas de facteur commun, il est clair que 

m = m v = •••== m h = 1, 

et que 

X = (x + a){x + ai ) ■ . • {x + a.) It,, 

lii étant une fonction entière. On a donc 

N=(x + a)(x + a 1 ) • • • (* + «„), R = NB l , 

c'est-à-dire que N doit être facteur de R. On a de même p = Np x . En 

substituant ces valeurs de R et de p dans les équations (2), on trouvera 
les deux équations suivantes 

( 6 ) 3/ dR , a I dn dp] n 

a* = d, + 2 ( /.; - î il = 

La première de ces équations détermine la forme des fonctions p x , q, N et 
celles-ci étant déterminées, la seconde équation donnera ensuite la 
fonction p. On peut aussi trouver cette dernière fonction par l'équation (5). 

3. 

Maintenant tout dépend de l'équation . 
(?) plN-q'R^l. 

Cette équation peut bien être résolue par la méthode ordinaire des coefH- 

14* 




Digifzed by 



U)H SUR L INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE »*tr. 

ci eus indéterminés, niais l'application de cette méthode serait ici extrêmement 
prolixe, et ne conduirait guère à un résultat général. Je vais donc prendre 
une autre route, semblable à celle qu'on emploie pour la résolution des 
équations indéterminées du second degré à deux inconnues. La seule diffé- 
rence est, qu'au lieu de nombres entiers, on aura à traiter des fonctions 
entières. Comme dans la suite nous aurons souvent besoin de parler du 
degré d'une fonction, je nie servirai de la lettre â pour désigner ce degré, 
en sorte que iïP désignera le degré de la fonction P, par exemple, 

<V (x m -[- ax m ~ l -}-...) = w, 

D'ailleurs, il est clair que les équations suivantes auront lieu: 

i}{PQ) = âP+âQ, 

<y(P m ) = m <yp- 

de plus 

J(P+P') = JP, 

si âP' est moindre que <VP De même je désignerai, pour abréger, la 
partie entière d'une fonction rationnelle n par Eu, en sorte que 

oh <)V est négatif. 11 est clair que 

+ — 

donc, lorsque ds' est négatif, 

E (* + »')= Es. 
Helativement à ce signe, on aura le théorème suivant: 

„Lorsque les trois fonctions rationnelles >i, r et z ont la propriété que 



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SV\{ 1/INTKWKATIOX DR LA FOKMULK OIFFKHKNTIKLLE ot<- 109 

! // 

„on aura, si itz <^ (V/-, 

Eu ^ ± Er. 

En effet, on a par définition 

n —Eh.-\- u\ 
r=Ec+r\ 

âu' et ()V étant négatifs; donc en substituant ces valeurs dans l'équation 

• 9 I 

« =r -f z > 

(£«)* + 2«.'£m -f ?/' 2 = (Ev) 2 -f 2i/&< -1- >-' 2 + Z . 

Il s'ensuit 

— = z -f v' 1 — u' 2 -f 2w' — 2«' Jî« = 1, 

ou bien, 

(Eu — Ev) = t. 

On voit aisément que «V/ < âv; au contraire <V(£w -|- Ev) (En — Ev) est au 
inoins égal à <)V, si (£« -|- S») (# w — A'y) n'est pas égal à zéro. Il faut 
donc nécessairement que (Eu -f- Ev) (Eu — Ev) soit nul, ce qui donne 

Eu=±Er c. q. f. d. 
Il est clair que l'équation (7) ne saurait subsister à moins qu'on n'ait 

c'est-à-dire, 

<LV-f 2,)> I = ,V /?,-{- 2<? 7 , 

d'oft 

<î (NIi t ) = 2(âq — o>. + 

Le plus grand exposant de la fonction H doit donc être un nombre pair. 
Soit «LV= » — m, iy^ 1 = M -(-. w . 

'4. 

Cela posé, au lieu de l'équation 

jr>*iV— 1, 

je vais proposer la suivante 



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110 I/INTK«l«ATïON I>K LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE "' U eU - 

où /; est une fonction entière dont le degré est moindre que * A !±4^1. 

Cette équation, conmie un le voit, est plus générale; elle peut être résolue 
par le même procédé. 

Soit t la partie entière de la fonction fractionnaire A, et -soit ï le 
reste; cela posé, on aura 

et il est clair que t doit être du degré 2m, lorsque ^iV=« — m, et 
^ = »-[-,». En substituant cette expression de lt x dans l'équation (8), 
on en tirera / 

( 10 ) (jA-q*t)N-<ft' = r. 

Soit maintenant 

( n ) - > = 

on peut toujours détenniner /, de manière que le. degré de i' soit moin- 
dre que m. A cet efl'et, faisons 

/ = «„-!_„,* h + 

/, = / î,+ /îia . + ..._j_ /î-a .- 

'•'=/o+;'^H -hr»-. 

cela posé, l'équation (11) donnera 

« ï ^- ï " + «, m - 1 ^'"- , + « 2M • • • + • ■ + + 

+ ^-îX— 1 -f "/„_,*-* f_ y lX ; , o< 

De cette équation on déduira, en comparant les coefficiens entre eux, 
«*. =/?*, 

• "«-» = 2 /*. /*._, 4- /*.*-., ■ 

« 2ra _ 3 = 2/? m /î_ 3 -J_ 2/?^ 

«ta-4 = 2/î„,/î m ._ 4 -}_2^ + 

> = «- , — 2/?„, __2 / ?„, 



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SUK L 'INÏKGKATION DE LA FOKMULE DIFFERENTIELLE ; "'' C , tr 11 J 

\it 

}'o zz=z <*o /^o • 

Les //i -f- 1 premières équations donnent toujours, comme il est aisé de le 
voir, les valeurs des m-f-1 quantités . . . et les m dernières 

équations donnent les valeurs- de y 0 , y x , y m _ x . L'équation supposée 

(11) est donc toujours possible. 

Substituant dans l'équation (10), au lieu de /, sa valeur tirée de l'équa- 
tion (11), on aura 

( 12 ) {pi - <f t>) N- cf (Nt x ' -H') = v; 
d'où l'on tire 

En remarquant que 

on aura, par ce qui précède, 

.^1 =+^=+/,,. • 



donc 

ih = ±h<l -h ft, ofl 'ty* < 'ty> 
ou bien, comme on peut prendre t, avec le signe qu'on voudra, 

= h q -{-(•!■ 

En substituant cette expression, au lieu de y>, dans l'équation (12), elle se 
changera en 

( 13 ) (fl>+2fit t , l )X- q ' K = t,, 

où, pour abréger, on a tait' 

iV/,' + <' = «. 
De cette équation il est facile de tirer 



DigitizePby Gc 



112 s L'li L'INTÉGKATION UK LA FOKMUKK OIKFÉHENTIEI.LK ut t- 

V« 

q _ t,\y K (t* A*+ «) r 

ou, puisque /'JV-f * = # (car A, = /iV-f- « = .\7/ -f et / = /* -f 

Soit maintenant 
on aura 

1 ._ = + — 



Or, on voit aisément que 

d 

donc 



E 



et par suite 
donc en faisant 







I<'(t). 


















r -f- «» 









on aura 



= 2/1, 



on aura 



, / ~2/i/*-|-/ï 1 , où 
En substituant cette expression de ,/ dans l'équation (13), 

/»• a t + mxppp + a) - .v ( v/*» + 4^/? + /*») = 

c'est-à-dire, 

Faisant pour abréger 

(14) *i = 4 ,»'. A 7 — 4*« 2 , 
un obtient 1 ' 

(15) «./*'- 2^ 
Puisque A'(^:) = 2/Iî on a 



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SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE ^ etc. 113 

v -\-t x N= 2,su -f é , où < <to, 
par suite la dernière des équations (14) donnera 

)\ — r — é. 

»En multipliant l'expression de * x par s, on obtient 

' = JVi + 4,/^ — 4*V = Ns -f- t*N* — (2su — ^N) 2 . 
Or 2.s*u — t 1 N= i\ , donc 

M 1 = JVi + <îJV s — rj, et rî + ^^JST^ + f;^); 

de plus on a 
donc 

(16) rl + ss^NR^R. 

D après ce qui précède on a lt = r t -\- r\ donc 

/• a — r\ = ss x — r (/• -f r x ) (r — r,) = «s x — r '. 
Or puisque âr' <[ ()V T il suit de cette équation que 

*(**,)=*('•+'•.)('•-»•,), 

c'est-à-dire, puisque /• — = f , où & < <ÎV, 

-(- = âr -j- <îf . 

Or <T« >cî*, donc 

<h, < £r. 

On a de plus s = Xt l '-\-t\ où ât' <£ ilN et <)V< <ft,, donc 

Mais jK = iV(*-f «ï^, par conséquent, 

^ = 2^ + 2^, ' . 
et puisque âJi = 2âr = 2â>\ , on aura 

On en conclut 

15 



DigilflfedbyVJ *OC?l^- 



SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE etc. 



11-1 

L'équation p*N— q*B t z=v est dune transformée en celle-ci: 

*,/*'- 2,-,/ï/*, = 



ou 



On obtient cette équation, coinine on vient de le voir, en faisant 
(17) i'i = 'i<Z + /*, 

/, étant déterminé par l'équation 

< = 'î + f,', où <)V< ( ^, 
et par l'équation, 

>-* + /-' = AVV, s = M 1 ' + Ii l -M. 

De plus on a 

H s'agit maintenant de l'équation (15). 



ou 



(18) 



5. • 

Résolution de F équation: «F -2^0, - s(t . = Vf vh ^ < ^ 

En divisant l'équation 

(19) ^-2^-,.^ = ,, 

P ar «t/îï, on obtient 

j?" _ 2 ' ' /* _ « _ » 
donc /?î * A * ~^î' 



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Google 



SFR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ? -« etc 115 



On tire de b\, en remarquant que â | -J- — J <^ <f | n | 



donc 



£ (I,)= e (-i:)-('± i >' 

oh l'on doit prendre le signe -f, car l'autre signe donnerait = 0; 



clone 



par conséquent, en faisant 
on aura 

Substituant cette valeur de /? dans l'équation proposée, on a 

* (# + / Vi + 4// ï/îï) - 2*-,/?, (/?, + - = r, 

ou bien 
oh 

r 2 = 2// , .s, — j'j , .s, — ft _|_ 4,-, „ _ 4. Sj J . 
L'équation i?| ^'-j — donne 

»"i=A»i*iH-*i, oh 

On obtient par là, 

>i = »",— 2f„ 
«, = * -j-4f li « 1 , 

donc, comme il est facile de le voir,. 

L'équation (19) 'a par conséquent la même forme que l'équation (20); on 
peut donc appliquer à celle-ci la même opération, c'est-à-dire en faisant 

15* 



i;, 



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Google 



116 SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ?d *. etc. 

on aura 
où 

*s = *i + 4r 2 u 2 — 4s 2i ul = s, -f- 4f 2 // 2 , 

En continuant ce procédé, on obtiendra, après ?? — 1 transformations, 
cette équation: 

( 21 ) *„/?!_. - 2r a /9 B _^ B _ = (_ 

où 

Les quantités .s„, r„, /?„, sont déterminées par les équations suivantes: 

ft~-x = 2 ftu ft n + ft a+ „ 



t>„ = E 



r, 



A ces équations on peut ajouter celles-ci: 

1 n ==r n-l 2f„__j, 

Or les nombres ,?/?, ,îy? t , âfr . . . fifr, etc. formant «me série décroissante, 
on doit nécessairement, après un certain nombre ,1e transformations, trouver 
1111 fin égal à zéro. Soit donc 

l'équation (21) donnera, en posant n = m, 

(22) ' = i)-i p . • 

Voilà l'équation générale de condition pour la résolubilité de l'équation 

à sakfïiv TT (ieS 1 . f ? UCtions * ^ /»_, doit être pris ,1e manière 

a satisfaire à la condition 



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SCR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE eto 117 

L'équation (22) fait voir, que pour tous les s, et r l7 on peut trouver 
une infinité de valeurs rie qui satisfont à l'équation (19). 

En substituant dans l'équation proposée, au lieu de sa valeur 
(_ l) m - 1 s m fil _ n on obtiendra 

^ _ 2 - = (_ l)»-\s w 

équation toujours résoluble. On voit aisément que. /? et fi x ont le facteur 
commun fi m _ x . Donc, si l'on suppose que fi et n'ont pas de facteur 
commun, fi m __ x f sel'a indépendant de r. On peut donc faire y = 1, d'où 
résulte cette équation, 

- îr x fifi x - s fil = (- 

Les fonctions /?, /? n /? 2 . . . sont déterminées par l'équation 

fi n _ 1 = 2 t u n fi n + fi n+1J 

en posant successivement n = 1, 2, 3 . . . m — 1 et en remarquant que 
/? ro = 0. On obtient par là / ' 



/?„,- 


-2 = 2// m 


-1 /^f/i-l ? 




9// 

-3 "y m 


_-2 fi m— 2 -f~ fi m -\i 




9,, 


sfint-3 ~j~ fin- if? 



P a =2 f i a ft, + ft t , 
i% ==2 ( «, /*,-]-/?„ 
,3 =2/1, /?,+/?,. 

Ces équations doimeiit 

£=*■+-*-■ 



118 Sl T K L* INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE elc 

I n 

^w— 1 

pm—l 

On en tire par des substitutions successives: 
î? =2,,,, + -^-. 1 

' 2 /<M _, + 

On aura donc les valeurs de /? et de /?, en transfonnant cette, fraction con- 
tinue en traction ordinaire. 



6. 

En substituant dans l'équation 
pour r sa valeur (- 1 )— ^ , on aura 



ou 



donc 



or 



par conséquent, 



? =2^ + A, 
7A = 'iï + /î, 

; '' — / 4- ^ — / _L 1 



9 ^ 2 , 



? '' = / -I- i 

v 1 h V+, 1 i 



L'équation 



a. L 



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SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE etc 119 

\ 'H 



donne 



U/ A î*A' 

/'' _ 1/ J_ '• 

7 _ ' A' "t"«*A-î 



7 ' ;\ ' </ 

clone en supposant ni infini 



7 ^ A" ' 

donc 

' * ^ 2^ + etc. 

On trouve donc les valeurs de et de par la transformation de la 
fonction |/^ en fraction continue.*) 



Soit maintenant v = a, Ton aura 
Donc si l'équation 

pi^—q* li 1 = a, 
est résoluble, il faut qu'au moins une des quantités, 

•s, .v,, .s 2 . . . etc., 

«oit indépendante de 

D'autre part, lorsqu'une de ces quantités est indépendante de il est 
toujours possible de trouver deux fonctions entières y x et q qui satisfas- 
sent à cette équation. En effet, lorsque s m = a, on aura les valeurs de 
Pi et de q en transfonnant la fraction continue 

*) L'équation ci-dessus n'exprime pas une égalité absolue. Elle indique seulement 
d'une manière abrégée, comment on peut trouver les quantités i l} j/, ^ , ^ . . . 
fci toutefois la fraction continue a une valeur, celle-ci sera toujours égale a 



L INTÉGRATION OE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE " <U ctr 

— t 4- 1 1 

q 2 " + »i -4- 1 

2/11 + 2^+.. _ , 

' + 2/1^", 

en fraction ordinaire. Lus fonctions *, s,, .s,, etc., sont en général, comme 
il est aisé de le voir, du degré a— 1, lorsque AW, est du degré 2«. 
L'équation de condition 



donnera donc //— 1 équations entre les coefticiens des fonctions iV et lt,\ 
il n'y a donc, que w-fl de ces coefticiens qu'on puisse prendre arbitraire- 
ment, les autres sont déterminés par les équations de condition. 



De ce qui précède, il s'ensuit qu'on trouve toutes les valeurs rie R x et de 
A, qui rendent la différentielle intégrable par une expression de la 

tonne 

en faisant successivement les quantités .s, .s-, .s 2 . . . «„„ indépendantes de 
Puisque pz=j, l N, on a de mênie, 



ou bien 



/' =lo..- /•■VA'H-çVfl, 

} VU, y 15 yV'iV — VA, ' • 

en supposant *„ égal à une constante. 

Les quantités ,V, ^ et 7 étant ainsi déterminées, on trouve (j 



.(23) 



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SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^ etc 121 

V* 

par l'équation (5). Cette équation donne, en mettant p { N au lieu de p 

v 1 M 
et q au lieu de 

Il s'ensuit que 

â(i = â Pl -f- (LV — i — ,y g = <y p — <y q _ i. 

Or on a vu que — = », donc 

ô*(> = /< — 1. 

Donc si la fonction R ou l^N est du degré 2?«, la fonction (> sera 
nécessairement du degré n — 1. 

9. 

Nous avons vu plus haut que 

niais on peut toujours supposer que la fonction N est constante. En effet 
on a 

J VR t \ " }H yj\ _ q y Rl ' 

et par conséquent, 

f ed t - = i W / ^^-L?>'^ ) s = , lo0P <7 2 ^ + ipiqVJttN . 

ou, en faisant plN+qUi^j/ et 2 lh q=zq', 

[ *9d* =log />' + ?'V^ . 
J Vi* * p ' — q 'y'R 

H est clair que et 5' n'ont pas de facteur commun; on peut donc 
toujours poser 

A r = 1. 

Au lieu de l'équation p\N— q t U t == 1, on a alors celle-ci, 

16 



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122 
dont 



donc 



SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^ eto 

Vu 

on obtient la solution en faisant N=l et mettant R au lieu de R x . 
Ayant N= 1, on voit aisément que 



2 J"1 + 9-- , 

• . -| L_ 



(24) 



li= 






fl = 








?" 


= 


/• — 


-2*, 


*1 




E 


e 


■)• 






>\ - 


_ g 


M» 





//»= fi 



'•-+i = '-. — 2f. 



Ayant déterminé les quantités IL r u „ > 
,„„.„ 1 ' ."1 • • • 1 par ces équations, on 



aura 



(25) 



Jym~ 



ou 



" p'-q'VÉ 



2 dp' 



ce qui résulte de l'équation (5) en y posant N= 1. 



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SUR L'INTÉGRATION 1>E LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE " rte 128 

Y '< 



10. 

On peut donner à l'expression log 1>lV * + qy . Rx nue forme plus simple 

;>iVi\ — qv Ri r r ' 

riVN — qYRx ° tiVX-VRL 

+ log r -L± V/? + log"* + V/ ' 4- • • • + lue, + 



ce qu'on peut démontrer comme il suit. Soit 

1 

2», H • . 



— / 4- 1 



on a par la théorie des fractions continues, 

( a ) «» = s + 2 /'».-i ««-1 7 

De ces équations on tire, en éliminant // w _ 1? 

1 — = — _i — /?„, «„, _ à ) , 

donc 

— /?„«„_, = (— I)"- 1 , 

ce qui est connu. 

Les deux équations (a) et (b) donnent encore 

al = al_ t -f- 4<x n ,„i a m ^p m _ x -f- 4//;_ 1 «;_ t , 
/*i = AL, + 4/î._, + 4,i# . 

H s'ensuit que 

»«^ r — - «*_.. A r - /a 

H- 4 ,«„_, («„,_, jy - ) 4- 4,^,_ 1 («:.., n- pi_ t 1^ )• 

Or on a 

"i-iX- /*;_, lh = (- 1)"-**.-,, 

al^N-Pi^lt^i- 1)— 

1G* 



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124 SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ***- etc 

\R 

donc, en substituant, 

*. = *„_, + 4(- 1)— ,«„_, a m _ s N- ) _ 4 „. î_ 4 . 
Mais, d'après ce qui précède, on a 

». = -f- 4 1 // m _ 1 — 4.s m _ 1 «, l_ t , 

donc 

>•,„_, = (- «^iV- /?„_, ft^H t ). 

Soit 

«^«.y^+^ys:, et z m '=a m yN-ft m yn lt 

on aura en multipliant, 

z^'^ = «,„«„,_, A'_ /?„/?„,_, 7^ _ ( (Zm/?m _ i _ /?m) . 
mais on vient de voir qu'on a 

-<W m = (- 1)-', « M « M _ 1 iV- / 4 / ? M _ 1 7? 1 = ( _ 

on tire de là 

et de la même manière, 

^^~i = (-l) w, (^-^); 

on en tire en divisant, 



u 7 



>■« — Y R ' 



ou, en multipliant par ^ l -, 



En taisant successivement m=l 7 2, 3 



. w, on aura, 
n — YR V 



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SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE etc 125 

s m T m + Vit £ m _ t 



d'oh l'on tire, 



Or on a 



et 



donc 



_ _5L r ' + ^ R r » + ^ lt J5 + V-H . r m + y# 
V r, — Vif /•i-V.K »- 3 — V« r„ — yïî" 

3/ -= a 0 yA'- /9 0 yi?; = ^yjv- y/?, , 

a m -VN—jt m VR l ' 

«-VA — fi m Yk[ uYn—VRx ' "n — vii ' rî—Yit r m — Yit' 

et en prenant les logarithmes 

(26) , otr a ,VA r + /!f.yA 

° a m Y"N—p m YB t 

ce qu'il fallait démontrer. 



11. 

En différentiant l'expression z = log +M^L on aura, après les 

réductions convenables, 

<fe = ? X?-^- — <**m)#& i — a mPm(R idN — NdR l ) 
"(aiN-fiiR^Ym, 

Or on a 

«*xV-/^i? 1 = (-l)-', w , 

donc en faisant 

(27) (-ir-v.=2(«.*- / 9.^-)M,_«.^(3«--^.), 



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Googl 



SLR I/INTÉGRATION HK î.A KriWMl'T.i? mPï-ppifiiiTii? i i i? 



on aura 



et 



donc 



ou bien 



** VA'/?, 
J s >» VM>\ 
J *. VA7.', - « w y A -_^y^ ' 

Dans cette expression ,s,„ est tout au plus du degré («—1) et (,„ est 
nécessairement du degré (n — 1 -f <h m ), ce dont on peut se convaincre de 
la manière suivante. En ditiërentiant l'équation 

on trouvera la suivante 

2«„, da m N+ «* dX- 2,i H <l,1 M . h\ - dit, = (- 1) — </*,„ , 
ou, en multipliant par «„A T , 

*:N(2Nda m + « m dX)-2a mi i m <i l i m XIi l - j^XdR, = (- 1)-' „,„A^, w . 
.Mettant ici à la place de «*A~, .sa valeur tirée da l'équation (29), on aura 
(- l)-^(2 AVer. + «,„ dN) + /?,„ [2A7A/? M J« M + ajiJi, dX- 2a m d^XJi, 

...... - < *.«.^ I ] = (_l)-'a 1 .AV. - , 

c est-à-dire, 

/i [2 («„ rf/i - /y„, da m ) A7i', - «„,/? ra ( /<•, ,/A _ 

- ( - 1)- ' K (2 AV«. + «„ ,/A) - a m Xd,„] . 

En vertu de l'équation (27) le premier membre de cette équation est égal 
à /*„(— 1)" 1 donc on aura 

(30) a _ | 2A\fe «,„^Y\ AV*,„ 



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SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE etc 127 

V H 

Puisque <h m <n, le second membre de cette équation sera nécessairement 
.du degré (âs m + âN+âa m — 1), comme il est facile de le voir; donc 

= 9s. -f ,LV-f ,)>,„ _ ^ _ i. 
Or de l'équation (29) il suit que 

2,^ + ^=2^ + ,^, 



donc 



<ï(? m = âs m + — [ y - — 1 ; 



ou, puisque dN-\-iïB 1 = 2n, 

<ty« = + w — 1, 
c'est-à-dire que p m est nécessairement du degré {âs m -f n — 1). J] suit de 
là que la fonction Qm est du degré (n — 1). 

Faisant dans la formule (28) N=l, on aura = et par conséquent 

où, suivant l'équation (30), • 

p m ff m — £* m dv —a m Jp - 
L'équation (28) donne, en faisant .s w = a, 

J «VA log t t Va - y*, + lo § ^~v^ + • • • + log y - 

. où (U m = a(2N%+« m <§), 
et lorsque iV= 1 ? 

D'après ce qui précède, cette formule a la même généralité que la for- 



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128 SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ~ etc. 

ys 

nmle (32), et donne toutes les intégrales de la forme / ? oii (> et H 
sont des fonctions entières, qui sont exprimables par une fonction logarith- 
mique de la forme log P_ J r3JL^: . 



12. 

Dans 1 équation (28) la fonction ^ m est donnée par l'équation (30). 

Mais on peut exprimer cette fonction d'une manière plus commode à l'aide 
des quantités f n r n r ÉJ etc. // 17 u 2J etc. En effet, soit 

on aura en différentiant, 

7 I i dR 1 , dît 

d z = tl Jfj* 9 

r m + VB r m -VR ' . 

ou en réduisant, 



(33') dz = 



r m dR — 2R dr m 1 



K — R yA> 
Or nous avons trouvé plus haut 

« S m = + 4//, M „ 1 — 4^ , 

donc en multipliant par s m _ x , 



« S 'ro lS '»n_i 



c'est-à-dire, 
Mais on a 



— *m-2 + 4 ^ — 4*2^ ,11 * _ 4 , 



,s w s m _ y = 8u _ t s m _ 2 + r*^ - (2*^ ^ — r m _, ) 2 



donc en substituant cette quantité, 
d'où Ion déduit par transposition, 



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SUR L INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE °' U - ete 129 

Il suit de cette équation que r*-f*«*..-i a la même valeur pour tous 
les m et par conséquent que 

or nous avons vu plus haut que rl-\-sa l —l^ et par suite, 
(34) * = r; + ^n.. 1 . 

Substituant cette expression pour H dans l'équation (33'), on aura après 
les réductions convenables 

dz — — -- m — — m r " — (l,Sm ~ l Vm 
y' Te ** V 72 y 7e ' 

mais puisque r m =2s m , l u M _ i — /•,„_, , le tenue _i fo -=i r " se transforme 

««.-1 y R 

en -2^^ ()n obtient donc 

y 7e i y 7c 

— (9,/,> \ ^ r ' rt I '^w— i '*« i 

y 7e *» y 7e y Te 

et en intégrant 

(35 > & = - +/<*"•- - 7« +/ tr 



y/e 



Cette expression est, comme on le voit, une formule de réduction pour 



les intégrales de la forme / <l " m ~' m . Car elle donne l'intégrale f ~* 

J *m VR J *>* 

par une autre intégrale fie la même forme et par une intégrale de la forme 

/ 0U t est une fonction entière. Mettant dans cette formule à la place 

de m successivement m, m — 1 , m — 2 . . . 3, 2, 1, on obtiendra m équa- 
tions semblables, dont la somme donnera la formule suivante (en remarquant 
que r 0 = 2su — r 1 = t l N en vertu de l'équation r i -\-t i N=2s t u) 

J^?7e = -^+^ + -+"-+^+jT 7^ 

+ / 2 ( d >'l + ^2 H h d > m — fi d* — fl i ds x — • ^ Cfe n _, ) ^ ' 

^ yTe 

On peut encore réduire l'intégrale /— At— . £ n différentiant l'ex- 

J 8 y R 

pression 

17 



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130 SUK L INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE " </C otc 

on aura après quelques réductions, 

d? _• — *<lt L A'-» , — ' , , </N —AtŒj) 

Or on a 

substituant floue cette valeur de . if, dans l'équation ci-dessus, on trouve 
dz = ClNdi, -f /, dN) 1 - ^ iV . 

v/e * y ^ 

donc en intégrant 

1 /expression de j ^ ^ se transforme par là en celle-ci, 

+/v ■« ( ^ + * '< ^ + •••• + ^ - /« - ^ cO 

ou, en mettant à la place des quantités z, , z 2 . . . ] elu , s valeurs? 

(36) /'*»«, r m 

J *« Yn 

=7/^(^ + 4'.^+^ + • • • +^-/,^-, fl ^- 

Cette formule est entièrement la même que la formule (28); elle donne 

(37) -^-efc = — 

+2(M+i/ 1 4* 1 +-4*.- « l( /.s x ) 

1 1 r m— 1 ll, -f« 1 / • 

Mais l'expression ci-dessus dispense du calcul des fonctions „„ ot /*..' 



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SITU r/INTKOKATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^ ete 131 

Si maintenant s m est indépendant de a:, l'intégrale J'^'y^ ( ^ s P a ~ 
raît et Ton obtient la fonnnle suivante: 

(38) S Vu (H d * + Ndtl + dr > H l~ ^ ~ d * •"•» 1 

Si dans l'expression (36) on fait A T = 1 , on a = r, et par suite 
< 89 ) /'t v" R = f yj t {dr + ^ + — +*.-/' * A,-,) 



- îog + _ iog .-. + v ; r iog ."--+2^ , 



et si l'on fait .s„ = a : 



(40) / yii (,/r "t + " ' + ,h ' m ~ d " ' 7Sl J *-* ] 

= log + log + ^ + . . . + log > + * R . 

En vertu de ee qui précède, cette formule a la même généralité que 

(38); elle donne par conséquent toutes les intégrales de la forme f**!^' ou 

' est une fonction entière, (|ui peuvent être exprimées par une fonction de 

la forme loo- J' + 'l^ 1{ . 

° }> — qy'li 



13. 

Nous avons vu ci-dessus que 

-' ,+ ^ + 2< 1 . 



donc, lorsque A 7 — 1 , 



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132 SUK L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE etc 

VT{=r+L i 



"« 1-9.-. -_l 

+ ' . 



2 i"s + o 



Ln général les quantité, u, , ,, â , „ 3 . . . sont différentes entre elles. 
Mais lorsqu'une des quantités ,„ s s . . . est indépendante de x, la frac- 
tion continue devient périodique. On peut le démontrer connue il suit. 
On a 

r Ui + *» = Ji = r 2 + .s, 

donc, lorsque s m = a, 

r -+> _ r * = * - = + >') - r) . 

Or ffr. +1 = ,fc-, ch<«Tr, r^ +1 <Jr, (loue cette équation ne peut subsister 
a moins quon n ait en même temps, 



.s 4 



Or, puisque f , m+l = E ( r f±L ) on a de même 

f'm+i = a E 

mais E^ =f( , donc 
On a de plus 

donc ayant ,s — ar »• 

^ '> — >, u m + l = a Uj on en conclut 

or s l =l + 4 f ir — 4 t u** J donc 

On a de même 

donc, puisque -r t = 2w.ç — 



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SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMTLE DIFFERENTIELLE °— eto 133 



d'où l'on tire 



donc 



fi (:-♦'-)= J- à (;- 



En continuant ce procédé on voit sans peine qu'on aura en général 



(41) 



( ^ m + n 1 n— 1 ? 



Le signe supérieur doit être pris lorsque v est pair et le signe inférieur 
dans le cas contraire. 

Mettant daim l'équation 

> m + 'V i *,„ = r* -f - .<? 
a à la place de .<?„,, on aura 

0- — '0 K + = * — r '-Vi • 

Il s'ensuit que 



.s 
(I 



Or 



'on a u m == £ , donc 



1 7r 



c'est-à-dire 
On a de plus 

c'est-à-dire, puisque r m = r, Vi = -"' 



2* 



Mais r-f r 1 = 25//, d 



onc 



2* , 

>\n-l — >'l — " — att). 



Digitiz 



134 SITU L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ^ et c 

) * 

On a 

'">Ll +*-V-i 'V- s = >' ? + * *i ? 
c'est-à-dire, puisque s m _ l = * ? 

O'-i + >',) (r.^ — r,) = * (as, _ 
Or nous avons vu que 

>n,-l — >*1 = - (//^ — tf,/ ) ? 

clone en substituant, 

2 ( V i + >*i ) (/!„_! — a/i ) =: a.<?, — s m _ 2 . 
(Jette équation donne, en remarquant que â -f- r, ) > # (as, — s m 9 ) 

}*m-\ = aui s„_ 2 = as lJ 

et par conséquent 

Par un procédé semblable on trouvera aisément, 

" a 



et en général 



(42) j r » » — r » , = r/^ 1 , 



14. 

A. Soit w un nombre pair, 2Z\ 

Dans ce cas on voit aisément, en vertu des équations (41) et (42), que 

les quantités r, ?\ r « « , 

yant ^ s . ' * • • • *S s i j •% , . . ,,, ,,,, . . . forment les séries sui- 

0 1 ..2t_ S 2*_, » 2 , + 1 2 * +2 «• 4*+l 4/,+2 «•+» „„, 

• U Vl V r ^ r, >• r j , ? . e tc. 

« ' . „ "*> •• *i * 1 i ■ .s *, etc. 

^ « u _ r „„ f, 1 

« " „ ,«i ,« « », etc. 



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t,,lx 135 



SUR L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE * etc. 

B. Soit m un nombre impair, 2/»: — J. 
Dans ce cas l'équation 

donne, pour a = k 1 

%_! = a- 1 s k __ x , donc <re = 1 . 
Les quantités r, r, etc. .s, ^ etc. i#, //, etc. forment les séries suivantes: 
0 1 . . 1c — 2 k—1 k fc-J-1 .. 2fc — 2 2&— 1 2k 2&-J-1 etc. 

/' >'l - /'A-* >V-1 r i '* • >'l etC; 

« *i ... %-l *A-S <V-3 • • ***" 1 « *"i CtC. 

,"i • • /'* * 3 • • >* !" }<i etc. 

On voit par là que, lorsqu'une des quantités ,v, ,s x , s f . . . est indépen- 
dante de ur, la fraction continue résultant de \ f R est toujours périodique et 
de la forme suivante, lorsque s m = a: 



1 

2" 



1 + 2 ^+2, 1 

4- 1 



+ 1 i 



2/i + 



Lorsque Mt est impair, on a de plus a—l, et par suite 
1 l 

■ + 2 ''' + 2l + 1 1 

^ + -> r + ' 1 

' 2 "+V,-i--.. 

La réciproque a également lieu; c'est-à-dire (pie, lorsque la fraction 
continue résultant de a la forme ci-dessus, .s w sera indépendant de x. 

En effet," soit 



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SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ?** 

I u 



etc. 

Y a 



r 

1 ce 



on tire de 1 équation r u = * mf , m -\-* m , 

Or, puisque /■„ = r M __ x — 2t m n où 9* m 1<f JV, il est clair que 

+ où (*>,„< r)V. 

On en tire 



et par conséquent = , e qu'il fallait démontrer. En combinant cela 
avec ce c|iu précède, on trouve la proposition suivante: 

"Lorsqu'il est possible de trouver pour { , une fonction entière telle, que 



/ 



Vit K y -Vit 



"la fraction continue résultant de \li est périodique, et a la forme suivante: 

^ 2,/ -f. . ' 

"et réciproquement, lorsque la fraction continue, résultant de VjR a cette 
forme, d est toujours possible de trouver pour ( , une fonction entière qui 
.satisfasse a r équation, 1 

J Vit 8 y-Vït 

"La fonction y est donnée par l'expression suivante: 

2 " + 2, * 



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SUR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE V ' C etc 137 

Dans cette proposition est contenue la solution complète du problème 
proposé au commencement de ce mémoire. 



15. 

Nous venons de voir que, lorsque s, k _, est indépendant de x 7 on aura 
toujours = et lorsque s n est indépendant de x, on aura s k = cs k _ x , 

où c est constant. La réciproque a également lieu, ce qu'on peut démontrer 
connue il suit. 

I. Soit d'abord s k = # k on a 



.2 



k- 



or s k = s k _ 9n donc 
De plus 



donc 
Mais 

donc, en substituant, on trouve 

0 = *k(fk — ,«*-») + ** + 
Cette équation donne, en remarquant que <fc*<<to ft , (*V 2 < c)\s A _ 2 , 

t U k — /'A -2 7 f k = f ft-2 • 

^ r r *+i = '*A — donc, en vertu de la dernière équation, 



fe-l "f" ^ f k—2 1 



et. 



* + l ' k 

, puisque r k _, = r k _ 2 — 2* k _ 2 , on en conclut 

f 'k + l l'k-2' 

18 



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138 

On a 



SUR L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE etc 

VU 



donc, puisque. /-, +1 = > V:M = on a aussi 

En combinant cette équation avec celles-ci, 
on obtiendra 

Or on a r 4+1 = et r,_ 2 = — 2f M , par conséquent 

Il s'ensuit que 

En continuant de cette manière, on voit aisément qu'on aura en général 
En posant dans la dernière équation /^/^l, on trouvera 



S 2k~ 1 •*>_! • 



Or il est clair ( , ue .s- , est la même chose que 1; car «m a en général 



donc en faisant /« = (), 

par conséquent 



mais ^= / - JÎ -L. Jf ,i ()lu . .. ! . 

T ô ) noue a_j — 1 ? e t par 



IL Soit en second lieu * 4 = ,,- 4 _, , on a 



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SUR L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE ° dx etc 139 



donc 



r k — r k _, = s k _ x (cu k — u k _ x )-}-*,— * 
Or r k — r k _ x = — 2f<_ 1 , donc 



Cette équation donne 



1 



Donc des équations 

>V — 1 = — 2f,_, , r, +1 — r, = — 2f, , 
on déduit en ajoutant 

On a de plus 

n + l + ** **+! = + ** - 2 , 

et, puisque r it+1 = r 4 _ 1 et on en conclut 

1 

En continuant de cette manière, on aura, 

c'est-à-dire que s 2k est indépendant de .r. 

Cette propriété des quantités ,s-, * n s 2 etc. fait voir que l'équation 
s u = a est identique avec l'équation s k = a ±l s k _ 1 et que l'équation .«^=1 
est identique avec 1 équation s k = s t _ s . 11 s'ensuit que, lorsqu'on cherche 
la forme de R qui convient à l'équation s ik = a, on peut au lieu de cette 
équation poser $ k = a ±x s k _ x , et que, lorsqu'on cherche la forme de lî qui 
convient à l'équation s 2k _ i = l 7 il .suffit de faire s k = s k _ 2J ce qui abrège 
beaucoup le calcul. 



H). 

En vertu des équations (41) et (42) on peut donner à l'expression (40) 
une forme plus simple. 

18* 



1 Afl 

" S J' R I/1NTKOBATJON l>K LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE oto 

a) Lorsque m est pair et égal à 2k, on a 
[fvfi id '' + dri + • ' • + d >-*-> + i<h-!>Js-, ll ds l f.^d^) 

b) Lorsque ?« est impair et égal à 2/c— 1, on a 

. . ifvM {d, '+ dri + • ' + - f^-f^ — • J-/'*_i 

(44) < 

= log -!1+4 A> + ]og . Ii±>^ ■ . . , , oo . n-, + Yll 

17. 

Pour appliquer ee qui précède à uu exemple, prenons l'intégrale 

f _Q<lv 

J >V + a.r» + ^.r* + p. + * 

non entie les quantités, r/, /?, ^ f jr f> 1 
Faisant 

+ «.r 3 -f /? ^ + y a. + d = {x , + aa . + , ^ ^ 

on aura 

»■ = ** + + * = 

c est-à-dire ' 
De plus 

>: = >•- 2* = ^ + «x + A-2* = ^ + aa; __ 6ï 



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SUR 1/ 1 NTRO RATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE ; oto. 



141 



.i^ -f- (ur — h e f" 



Ab Aab 1 4/> ^ 1<>/*- 



t •'•+ , + 1 

<«? , e i , 
'i = ' , i-/'i". = -4/,+- 16/ , a -''. 

4M + lG/^r-4/^(4A + l^- /> 
Soit maintenant en premier lieu .s-j constant. Alors l'équation 

s 1 = — j- 4- 4-1 

donne 

/> = 0, 

par conséquent, 

r = .r 2 -f-r/..r, 

r + Vïf 



ou, puisque /# = ? .s* 



J V (.r-' + a.v)* + <?.!■ " .r* + <ur — y U ' 



Cette intégrale se trouve aussi facilement en divisant le numérateur et le 
dénominateur de la différentielle par j 7 ./'. 

Soit en deuxième lieu s.> constant. Dans ce cas la formule (43) donne, 
k étant égal à l'unité, 



f 2 {dr + U>\ - « A) = log r + V ^ + 4 log r « + 



+ yi/ 
y/î' 



Or l'équation s 2 = const. donne s { = es, donc 



4/> , 4<//> - - 

x A h- 1 = cex . 

o 1 /> 1 



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142 SITR L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE etc. 



L'équation de condition sera donc "'-[-1 = 0, c'est-à-dire 

o.= — 4ah, 

donc 

IÏ=(x* + ax-\-by — 4ahr. 

De plus, ayant // = - - , r = .r 2 a a* -f - />, ^ — a; 2 -|- a* — />, on aura 
la formule, 

T + «) <«* _ ^ loo . " 2 + + >> + >' * , t ]oo . + <w- h + Vù\ 

J V(.r* + ri.r + /i)s — 4«&.îî * .i? a 4-a.r + /i — Vif ' 1 * . r s + ^ r _/,_y 7 >* 

vSoit en troisième lieu « 3 constant. Cette équation donne « = ^, c'est-à- 
dire 



Ah "~ 1,;/,* " — 



On en tire 

,'= — 2/>(a+jV-f 4/>). 
La formule (44) donne par conséquent, puisque h— 2, 



(ô.r + |a + 4. V« 2 + 4t) </.<• 



n .r* + 4- y y; 1 B + „.,■_/,— y/; 



Si par exemple r/ = 0, /;=1, on aura cette intégrale: 

/' (b.r-l)d.v. =1()o . .r*+l+y(^+i)»_4.r_ .r*_ 1 + + 1)» - 4,- _ 

J y<.r*+ 1;*— 4.c- n >r *-|-l_y(.r*-f-l)*_4.r r n .r* — 1 — y'(.r* + l) 2 — 4.r 

Soit en quatrième lien * 4 constant. Cela donne .s., = , c'est-à-dire 

/ ne* . r 1 \ e* i a? , <'* A \ch . I 4af> , , \ 

UA-+ÏGA-«r--4A»'l4A + i07,»- A )= , r +\ , + 1 ) r ' 

On en tire, en comparant les coefficiens et éliminant ensuite r, 
aj ( , + 4 ah)' = - T ( 4/; + luV<2 - A , 



P 



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SUR L'INTEGRATION DE LA FORMULE DIFFERENTIELLE " etc. 

Y « 

(«4-4«6) :, =: 166 3 — e(« + -lrtô), 
e , -f-6«Ae = 8&* — 8rr//, 
« = — Sab + jAsT 3 +7^* = — ô (3 a± \'a* + 877) . 

En vertu de cette expression la formule (43) donne, 



(6.r + 3 a — J 1 a* + HA ) d.r _ j .r 2 + tur + A -fj/ « 

V(x 2 -f «7+ A) 4 - A(3« + V«t*+ HA ) jr ^ ■«•* + + /' — VA' 

4- Iok + ~ + ~ R -4- 1 lojr ** 1 " ( " ~ Va * + + V A> • 

"l" K j.ï 4. fW . — b — V 7/ * ^ + f wr + 1 a (a — Va 2 + HA) — V R 



Si l'on' fait par exemple « = 0, ô = -|-, on obtiendra 

/'_ (* -M) <'•<• = , ]( .** + i 4- Vx<+_s> + U- + .1 

J V 4- !f + i 6 ^ .«•* + J - V . e * + .r*"+ « + J 

* •<•* - j - y.'- 4 + •** + •'• + i - V ^ + .«* + .« + \ 

On peut continuer de cette manière et trouver un plus grand nombre 
d'intégrales. Ainsi par exemple l'intégrale 



|/(.«'+' 5 r , )*+(yo-iv 

peut s'exprimer par des logarithmes. 



Nous avons ici cherché les intégrales de la forme J qui peuvent 

s exprimer par une fonction logarithmique de la forme log r + 7*^. ( j n 

p — qYlt 

pourrait rendre le problème encore plus général, et chercher en général tou- 
tes les intégrales de la forme ci-dessus qui pourraient s'exprimer d'une ma- 



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144 SUK L'INTÉGRATION DE LA FORMULE DIFFÉRENTIELLE '7' etc. 

nière quelconque par des logarithmes; mais on ne trouverait pas d'intégrales 
nouvelles. On a en eftet ce théorème remarquable: 

J * (l 

^fonctions entières de est exprimable par des logarithmes, on peut 
„ toujours l'exprimer de la manière suivante: 

f^-^.41og V + ïJ*, 

J ill h p — qYli 

„oii A est constant, et p et q des fonctions entières de x. u 
Je démontrerai ce théorème dans une autre occasion. 



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XII. 

MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE D'UNE CLASSE TRÈS- 
ÉTENDUE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. 

Présenté à l'Académie des sciences à Paris le 30 Octobre 1826. Mémoires présentés par divers savants 

t. VII, Paris 1841. 

Les fonctions transcendantes considérées jusqu'à présent par les géomè- 
tres sont en très-petit nombre. Presque toute la théorie des fonctions trans- 
cendantes se réduit à celle des fonctions logarithmiques, exponentielles et 
circulaires, fonctions qui, dans le fond, ne forment qu'une seule espèce. Ce 
n'est que dans les derniers temps qu'on a aussi commencé à considérer quel- 
ques autres fonctions. Parmi celles-ci, les transcendantes elliptiques, dont 
M. Legendre a développé tant de propriétés remarquables et élégantes, tien- 
nent le premier rang. L'auteur a considéré, dans le mémoire qu'il a l'honneur 
de présenter à l'Académie, une classe très-étendue de fonctions, savoir: toutes 
, celles dont les dérivées peuvent être exprimées au moyen d'équations algé- 
briques, dont tous les coefficients sont des fonctions rationnelles d'une même 
variable, et il a trouvé pour ces fonctions des propriétés analogues à celles 
des fonctions logarithmiques et elliptiques. 

Une fonction dont la dérivée 4 est rationnelle a, comme on le sait, la 
propriété qu'on peut exprimer la somme d'un nombre quelconque de sem- 
blables fonctions par une fonction algébrique et logarithmique, quelles que 
soient d'ailleurs les variables de ces fonctions. De même une fonction ellip- 
tique quelconque, c'est-à-dire une fonction dont la dérivée ne contient d'autres 
irrationnalités qu'un radical du second degré, sous lequel la variable ne passe 
pas le quatrième degré, aura encore la propriété qu'on peut exprimer une 

19 



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146 



MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



somme quelconque de semblables fonctions par une fonction algébrique et 
logarithmique, pourvu qu'on établisse entre les variables de ces fonctions 
une certaine relation algébrique. Cette analogie entre les propriétés de ces 
fonctions a conduit l'auteur à chercher s'il ne serait pas possible de trouver 
des propriétés analogues de fonctions plus générales, et il est parvenu au 
théorème suivant: 

„Si l'on a plusieurs fonctions dont les dérivées peuvent être racines 
„d'une même équati&n, algébrique, dont tous les coefficients sont des fonctions 
^rationnelles d'une même variable, on peut toujours exprimer la somme d'un 
„nombre quelconque de semblables fonctions par une fonction algébrique et 
logarithmique, pourvu qu'on établisse entre les variables des fonctions en 
^question un certain nombre de relations algébriques" 

Le nombre de ces relations ne dépend nullement du nombre des fonc- 
tions, mais seulement de la nature des fonctions particulières qu'on considère. 
Ainsi, par exemple, pour une fonction elliptique ce nombre est 1; pour une 
fonction dont la dérivée ne contient d'autres irrationnalités qu'un radical du 
second degré, sous lequel la variable ne passe pas le cinquième ou sixième 
degré, le nombre des relations nécessaires est 2, et ainsi de suite. 

Le même théorème subsiste encore lorsqu'on suppose les fonctions mul- 
tipliées par des nombres rationnels quelconques positifs ou négatifs. 

On en déduit encore le théorème suivant: 

„On peut toujours exprimer la somme d'un nombre donné de fonctions, 
„qui sont multipliées chacune par un nombre rationnel, et dont les variables 
, r sont arbitraires, par une somme semblable en nombre déterminé de fonctions, 
„dont les variables sont des fonctions algébriques des variables des fonctions 
„données." 

A la fin du mémoire on donne l'application de la théorie à une classe 
particulière de fonctions, savoir, à celles qui sont exprimées comme intégra- 
les de formules différentielles, qui ne contiennent d'autres irrationnalités qu'un 
radical quelconque. 



1. 

Soit 

(1) 0 =p Q -\- Pl y + Pi y 2 -| |- Pn ^y n - 1 +y n = xy 

une équation algébrique quèlconque, dont tous les coefficients sont des fonc- 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



tions rationnelles et entières d'une même quantité variable x. Cette équa- 
tion, supposée irréductible, donne pour la fonction y un nombre n de for- 
mes différentes; nous les désignerons par y\ y" ... y (u \ en conservant la 
lettre y pour indiquer Tune quelconque d'entre elles. 

Soit de même 

(2) 0y = q 0 + qi y + q t y* -f • • • • + q n _,y^ 

une fonction rationnelle entière de y et x, en sorte que les coefficients q QJ 
?i î ( h - - - 5 soient des fonctions entières de x. Un certain nombre des 
coefficients des diverses puissances de x dans ces fonctions seront supposés 
indéterminés; nous les désignerons par a, a\ a", etc. 

Cela posé, si l'on met dans la fonction Oy, au lieu de ?/, successive- 
ment y\ y" . . . 7/^ n) , et si l'on désigne par r le produit de toutes les fonc- 
tions ainsi formées, c'est-à-dire si l'on fait 

(3) r = ey'.dy" . . . . êy», 

la quantité r sera, comme on sait par la théorie des équations algébriques, 
une fonction rationnelle et entière de x et des quantités a, a', a", etc. 

Supposons que l'on ait 

(4) ' r = F 0 x.Fx 7 

F 0 x et Fx étant deux fonctions entières de x, dont la première, F 0 x, est 
indépendante des quantités <7, a\ a", etc.; et soit 

(5) #£ = 0. 

Cette équation, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quan- 
tités a, a', a", etc., donnera x en fonction de ces quantités, et on aura, 
pour cette fonction, autant de formes que l'équation Fx = 0 a de racines. 
Désignons ces racines par £c n x i . ; . o^, et par l'une quelconque d'entre 
elles. 

L'équation Fx — 0, que nous venons de former, entraîne nécessairement 
la suivante r = 0, et celle-ci en amène une autre de la forme 

(6) 0y = 0. 

En mettant dans cette dernière, au lieu de successivement x n x 2 . . . x flJ 

19* 



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148 



MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



et désignant les valeurs correspondantes de y par y { , y 2 . . . y^ , on aura 
les a équations suivantes: 

(7) 0.y,-O, fy, = 0....%„ = 0. 



Cela posé, je dis que si Von désigne par f(x y y) une fonction quelcon- 
que rationnelle de x et et si Ton fait 

(8) , -f , H h/( j v > //,<)^-*V ? 

la différentielle dv sera une fonction rationnelle des quantités a, a\ a", etc. 

En effet, en combinant les équations 0y = O et %y=:Q, on en peut 
tirer la valeur de ?/, exprimée en fonction rationnelle de x et des quantités 
a, etc.; en désignant cette fonction par (j, on aura donc 

(9) V = P et /(* , ;/) =/(* , p) . 
Mais en différentiant l'équation Fx = Q, on aura 

^'s.cfa-f <î#c==0, 

en désignant, pour abréger, par F'x la dérivée de Fx par rapport à x seul, 
et par Ji^r la différentielle de la même fonction par rapport aux quantités 
r/', r/", 6tc. De là on tire 



(10) 

et par conséquent 



, ôFx 

dx = 



(H) f{x,y)dx = - âFx = V ,x, 

où il est clair que (p*x est une fonction rationnelle de a, a 7 , a 7 ', etc. 
Au moyen de cette expression de la différentielle f(x, y)dx, la valeur de 
dv deviendra 

dv = (pzXn -j- (f,x 2 -f- ■ • • • -f-y^-v 
Or, le second membre de cette équation est une fonction rationnelle des 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



149 



quantités a, a', a" . . . x XJ x 2 . . . x fl , et en outre symétrique par rapport à 
x n x 2 . . . Xp) donc dv peut s'exprimer par une fonction rationnelle de tf, 
a\ a!' . . . et des coefficients de l'équation Fx = O m , mais ces coefficients 
sont eux-mêmes des fonctions rationnelles de a, a', etc.; donc cZt? le sera de 
même, comme on vient de le dire. 

Si maintenant dv est une fonction différentielle rationnelle des quan- 
tités a, a' a" . . . son intégrale ou la quantité v sera une fonction algébri- 
que et logarithmique de a, a', a" . . . . L'équation (8) donnera donc, en in- 
tégrant entre certaines limites des quantités a, a\ a" ... 

(12) ff(x { , y x )dx x + ff{x, , -| h » = r > 

ou bien, en faisant 

(13) f/(^ 1 ,y 1 )dx 1 = ^ 1 x 1 ] ff(x t , y,)rfa^ = ^.x, . . . y„)dx f ,=z y f< x„, 

(14) v'i^i + V* 3 * + '/'^a H h »/y*« = " • 

Voilà la propriété générale des fonctions t^a^, etc., que nous 

avons énoncée au commencement de ce mémoire. 



3. 

Les formes des fonctions ^x,, V*^*? etc -? dépendent, en vertu des 
équations (13), de celles des fonctions , y 2 . . . y /4 . Ces dernières ne peu- 
vent être choisies arbitrairement parmi celles qui satisfont à l'équation /?y = 0; 
elles doivent en outre satisfaire aux équations (7); mais comme on a plu- 
sieurs variables indépendantes, a, a\ a" ... il est clair qu'on peut établir 
entre les tonnes des fonctions //,, y 2 . . . j/^, un nombre de relations égal à 
celui de ces variables. On peut donc choisir arbitrairement les formes d'un 
certain nombre de fonctions y x , y 2 . . . y fi ; mais alors celles des autres fonc- 
tions dépendront, en vertu des équations (7), de celles-ci et de la grandeur 
des quantités r/, a\ . . . . Il se peut donc que la quantité constante d'inté- 
gration contenue dans la fonction v change de valeur pour des valeurs 
différentes des quantités «, a\ a" . . . ; mais par la nature de cette quantité, 
elle doit rester la même pour des valeurs de «, a\ a" . . . contenues entre 
certaines limites. 

Les foi|ctions x n x 2 . . . x flJ sont déterminées par l'équation Fx = 0- 



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150 



MÉMOIRE SUR UNE PROPRIETE GÉNÉRALE etc. 



cette équation dépend de la forme de la fonction Qy\ mais comme on peut 
varier celle-ci d'une infinité de manières, il s'ensuit que l'équation (14) est 
susceptible d'une infinité de formes différentes pour la même espèce de fonc- 
tions. Les fonctions x x , x. 2 . . . x ft , ont encore cela de très-remarquable que 
les mêmes valeurs répondent à une infinité de fonctions différentes. En effet 
la forme de la fonction f(x, y), de laquelle ces quantités sont entièrement 
indépendantes, est assujettie à la seule condition d'être une fonction ration- 
nelle de x et 



4. 

Nous avons montré dans ce qui précède comment on peut toujours for- 
mer la différentielle rationnelle dv\ mais comme la méthode indiquée sera 
en général très-longue, et pour des fonctions un peu composées, presque im- 
praticable, je vais eu donner une autre, par laquelle on obtiendra immédia- 
tement l'expression de la fonction v dans tous les cas possibles. 

On a par l'équation (3) 

r = 0y' .Oy" . . . 6y (n \ 

donc, en différentiant par rapport aux quantités a, a', a", etc., on ob- 
tiendra 

9r = i y *By'+ £ 06 f + • • • + ^ â 8rj<«> ; 

or, on a 6y = 0j donc le second membre de l'équation précédente se ré- 
duira à -âOy, et l'on aura par conséquent 

Maintenant on a 

r = F 0 x.Fx, 

oh F 0 x est indépendante de a, a', a", etc.; donc, en différentiant, on ob- 
tiendra 

âr = F 0 x.âFx 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 151 

et,' par conséquent, en substituant et divisant par F 0 x, on trouvera 



Par là, la valeur de 



deviendra 



, dFx 



dX — „ —nT 1 5 

/V<< . F\t tty 

et en multipliant par /(#, y) 

f(x, y) dx = - F J F , x f(x, y) âdy. 

En remarquant maintenant que ^ r -- k] s'évanouit, car autrement on au- 
rait y <k) — y 7 il est clair que l'expression de f(x,y)dx peut s'écrire comme 
il suit: 

f{x,y)dx — 

Pour abréger, nous désignerons dans la suite par 2 F x y toute fonction de 
la forme 

F ï y' + F 1 y''+F 1 y'"+..-+F l y<»>; 
et par là la valeur précédente de f(x,y)dx deviendra 

(15) /(*, y)dx = - F J rF , x sf(x, y) l y My- 

Cela posé, soit %'y la dérivée de %y prise par rapport à y seul, le pro- 
duit f(x 1 y)%'y sera une fonction rationnelle de x et y. On peut donc 
faire 

où P et P x sont deux fonctions entières de x et y. Mais si Ton désigne 
par T le produit Py' .Py" . . . Py (a) , on aura 



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152 



MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



Fl9 — 1 Pu T 
>y — T rx J Py ' 

T 

or ^ - peut toujours s'exprimer par une fonction entière de *r et.?/, et T 
par une fonction entière de x, doue on aura 

PiU _ ï\ 

/y — T ' 

où est une fonction entière de x et y; mais toute fonction entière de 
x et t) peut se mettre sous la forme 

(if.) • u-\-hy-\-ujf^ H-ir' 1 =/»(*, y), 

où / 0 , /j . . . f n _ 15 sont des fonctions entières de a? seul. On peut donc 
supposer 

/(■>•, y) x'u = ''-y^'- • 

étant une fonction entière de a; sans 
De là on tire 

(17) ^ = 

En substituant maintenant cette valeur de f{^i y) dans l'expression de 
f(x,y)dx trouvée plus haut, il viendra 

(18) M'*?) dx= -I . ; w y . 

Dans le second membre de cette équation la quantité f x (x, >/) est 
une fonction entière par rapport à x et </; ou peut donc supposer 

où est une fonction entière de # et dans laquelle les puissances 

de y ne moutent qu'au (n — 2) € degré; Jix étant une f miction entière de 
x sans y. On aura donc 

y.y **y J xy 1 



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Googl< 



MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 153 

Or, oh a 

xY =(u'-y")(y' ->/") -■(>/' -y (n} ), 
x y=(y"-y')(y"-y" f ) • • • (y"-y <n) ), 

donc, d'après des formules connues, 

2^ = 0: Z J —- = 1. 
xy ' x y 

Par conséquent 

La fonction S^r-—-^~ à9y peut donc s'exprimer par une fonction entière 
de x seul sans y. Les quantités a, a', a" etc. d'ailleurs y entrent ration- 
nellement. 

Par là l'équation (18) donnera 

7 7 *- r 

(20) >> . x > da! — /,* • F 0 z . F T x ' 

En mettant dans cette équation au lieu de x successivement x x , x t . . . x„ 
on obtiendra ,u équations qui, ajoutées ensemble, donneront la suivante: 

J8a Rx* ... 

Si donc on désigne par une somme de la forme 

F x x, + F 1 x i -\-F l x s -\ h , 

l'expression de dv pourra s'écrire comme il suit: 

(22) dv = - S /&ttTWÏ' 
Cela posé, soient 

F 0 x = (x- ft)"' (x - /?,)"• ...(*- /?.)'«, ' 

(23) | /,oj = (s - A)"" (* ft)"' •••(*- A)"'^» 
lte = (s -/?,)*' "(*-&)*' • • • (s 

20 



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154 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

/? 2 . . . /? a , étant* des quantités indépendantes de a, a', a" ' etc.; 
//, , u $ . . . m l , 7w à . . . Jc t , A?/, etc. , étant des nombres entiers, zéro y com- 
pris; et B A x étant une fonction entière de x. 

En substituant ces valeurs de F 0 x, f 2 Xj Ex dans l'expression de dv, 
elle deviendra 

/ , v Rif 

— *~ A F'x . (x — ft)^ +■».-*«(*— fe)f*t+>*t-*t . . . (x—fia) +m «- A « ' 

ou bien en faisant, pour abréger, 

(24) fi 1 -f m, — fci = v x , /*, + w 2 — & 2 = r 2 , . . . fi a + m u — fc„ = y fl , 

(25) Afr-frY^x — fcy* . . . (x-p a )»a = 0 lX : 

w *-=-•* «^s- 

Maintenant on peut toujours supposer 

où B 2 x et x sont deux fonctions entières de x, le degré de la dernière 
étant plus petit que celui de la fonction 0 t X] en substituant, il viendra 
donc 

(27) dv = — 2; - S ^ — «— • 

R»x 

La fonction — -2 1 -^ t/ — peut se trouver de la manière suivante. 

Puisque x XJ x t . . . x M sont les racines de l'équation Fx = Q, on aura, 
en désignant par a une quantité indéterminée quelconque, 

1 __1 1 , _ 1_ 1_ , ■ 1 1 

/a — a — .i^ >Vj' ' a — x 2 F'x 2 ~1 r a _ ^ ^ ' 

c'est-à-dire 

(28) = S- 1 

v ' a a — x r x 

d'où Ton tire, en développant - 1 - suivant les puissances descendantes de a, 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



_}- = ± S JL-L.± S .JL-l L..i_^_^L_L . . ., 

Fa a F'x ' a* F'x ' r tt » + i — y\ T i ' 

d'où il suit que est égal au coefficient de — -+T dans le développe- 

ment de la fonction ou, ce qui revient au même, à celui de — dans 

ta 7 1 7 a 

le développement de En désignant donc par IJF^r le coefficient de 

dans le développement d'itne fonction quelconque F x x, suivant les puis- 
sances descendantes de x, on aura 



De là il suit que 



2 — - = 77 - 

A".r *'.r 



en désignant par i^x une fonction quelconque entière de x. On aura donc, 
en mettant iî 2 £c, 

(29) 2fë=tT%ï; 



mais ayant 



on aura aussi 



h\x. J\r 6Î.r . F7r ' /<> ' 



17-** =rr Ki l- + a/ 

BiX.Fx O it r.F.i' 1 /M? 

Or, le degré de i^x étant moindre que celui de ^a?, il est clair qu'on 
aura 



donc 



R z x _ 0 



20* 



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156 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

Le second terme du second membre de l'équation (27), savoir la quan- 

O^F 7 *' se trouve comme il suit: 
Soit 

~a—/ï i ~r I •"(. P _^ )r ; + etc.; 

ou bien, pour abréger, 



on aura 



■ = «2' 



où 



pour » = /?; c'est-à-dire 



et pai le produit 1. 2. 3 . . . (,,_ 

En substituant ces valeurs des quantités i lf ' . . . ^, il viendra 

(+(,- 1 )(,-2)^_ =5+etc .j 
Maintenant on a, en désignant -A par 2} 

donc l'expression de sa • 

P eut «écrire comme il suit: 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 157 



„ 1 ) dp^V T~ djf^ <ï t 1 

(, "I 1.2 ~df*-* *"» • ' ' ~rP d ^i ) 
Or la quantité entre les accolades est égale à ^^^_y-> donc 

8 x x Tv dfi'-L ' 

d'où l'on tirera, en substituant les valeurs de jl> et 7, et remarquant que 

r(i/-f i) = ,//v 7 . 

En substituant cette expression au lieu de ^ 3 ' r dans la fonction ? 

1 6 v r Q { x.b x 

il viendra 

(30) s-^'—S-^ Z'v ~~- * — ! • 

ou bien 

(31) v- z> v ) Jk<Lz L_„ f . 

Or, comme nous avons vu plus haut (28), 

v i L 

donc 

mais l'équation 

ti^x 21 tt L x 

donne, si Ton multiplie les deux membres par (x — ft) y , et qu'on fasse en- 
suite z = fi y 



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I 



158 MÉMOIKK SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

RiH Bip 

donc, en substituant, 

(32) S b* = _ v v S _JW ( 

«,.* . F'.r ~ ,1,1 —i j B^fTFfi j ' 

Ayant ainsi trouvé les valeurs de S |Ç et ^5^, l'équation (27) 
donnera, pour la différentielle dv, l'expression suivante, 

(33) dv = -n-^ -I- S'y*.— ) [ 

Our.Fx 1 ,1,1'-* Yèj'ip.FÀ \ ' 

ou bien 

(34) dv = -n~ *L*_ J_ S'y d -— | - ( 

Maintenant on a (19) 

R X = 2tt^J)r âe y = FaX , Fx , 2 f^ù*«l 
et (23) ^ " %y By 

Ii,x = Ex . (x - /?,)-». (s _ £)-*, . . . (ar _ ^)-*„ . 
donc en faisant, pour abréger, 
(35) F 0 x . (x - /?,)-*. (s _ . . . (a . _ 

= 0* -/?,)"■-*' (*-/?,)"■-*• . . . (;r- ^)^ = iT^ : 

lî 1 x = F 2 x.Fx.S M- T ±É d lK , 
t'y <></ 

on ?btuÏdra UaUt ^ ^ ^ ^ ^ 1 ' eX l Jression Précédente de dv, 

Sous cette forme la valeur de dv est immédiatement intégrable, car 
auxo„ell' R 1 A'L ^ * V - S0Ut ^ indé P endant <* d« entités à, a', a" . . . , 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 159 

(37) t . = 6W/|£x ^>.o g l^ S /^ Htt \ 

(* = /?,, A... A); 
ou bien en faisant, pour abréger, 

m 

et remarquant que d'après (23), (24), (25) et (35), 

(39) , = 6'-/7^ + ^V^>J- r ; 

voilà l'expression de la fonction # clans tous les cas possibles. Elle con- 
tient, comme on le voit, en général, des fonctions logarithmiques; mais dans 
des cas particuliers elle peut aussi devenir seulement algébrique et même 
constante. 

En substituant cette valeur au lieu de v dans la formule (14), il vi- 
endra 

(40) . • ^ + + xp^=C—nyx + 2'v- ( ^J^i 

ou bien pour abréger: 

(41) zyx = G- Flyx + S y -2l l r 
lorsqu'on fait 

(42) M + ^H \-y fg x tt = 2if>x et 2' = 2. 



Nous avons supposé dans ce qui précède que la fonction r aurait pour 
facteur la fonction 

F 0 x = (x- fi t )« (x - fl 9 )« ...(x- /?„)««. 
Sinon tous les exposants /£, , // 2 . . . [* a sont égaux à zéro, il en résultera 



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158 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

donc, en substituant, 

(32) 2-^*—=z — 2'v' l ~\ J*4 ' 

#, .t . F' m ~ dp ' -» ) fl,M^ . lp j " 

Ayant ainsi trouvé les valeurs de 2 *f et l'équation (27) 

donnera, pour la différentielle «fo, l'expression suivante^ 

(33) dv = ~n . v'.., i"- 1 I ( 

ou bien 

(34) j w = - A7- - - ! - *ï£- ( 

»i.r.tx 1 ^/.)' 1,-1 | O^'Ki' . I']v | 

(* = /?„ /?,.../?„). 

Maintenant on a (19) 

Rx = Z M*ïJÙ r â =F FXmS M* y) ÔJy 
et (23) ' " *» » 

Btx =Rx.(x- /9 4 )-». (x - &)-*. . . . {x _ ^ . 
donc en faisant, pour abréger, 

(35) F„x . (x - /?,)-*• ( X _ &)-*, . . . (x _ ^ 

= (x-/3 i y"-*^x-fa)»>-*, . . . ^_ /9u) /. Œ - i(t = ^ : 

R l x = F î x.Fx.2 AfeiiO 1% , 
on TbtieSra 11 "' ^ ^ ^ ^ ^ ^P™**™ P"**»*»* J,, 

Sous cette forme la valeur de A, est immédiatement intégrable, car 
auLelL U 'A l V - indé ^ d ^ ^ quantités «, a', «' . . ., 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 159 

(37) „=c-ri^&p/ho g e, J+ ^^ j*-,/!^,,} 

(*=ft, fi.... fi.); 
ou bien eu faisant, pour abréger, 

(38) 

et remarquant que d'après (23), (24), (25) et (35), 

0!.r 



(39) v = C-tI V x + 2'v*£ï£; 

voilà l'expression de la fonction v dans tous les cas possibles. Elle con- 
tient, comme on le voit, en général, des fonctions logarithmiques; mais dans 
des cas particuliers elle peut aussi devenir seulement algébrique et même 
constante. 

En substituant cette valeur au lieu de v dans la formule (14), il vi- 
endra 

(40) . • M + • • .■+^ x ,= C-n<px + Z'r?£^, 
ou bien pour abréger: 

(41) Jïyx = C-n V z + Zv d '2^T- 
lorsqu'on fait 

(42) ifj lXl + ip 2 x 2 H \-ipfy = ZifJZ et 2' = 2. 



Nous avons supposé dans ce qui précède que la fonction r aurait pour 
facteur la fonction 

F 0 x = (x- fi t )« {x - /?,)" ...(x- /?„)««. 
Sinon tous les exposants /ti t , // a . . . u a sont égaux à zéro, il en résultera 



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160 



MÉMOIRE SUU UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



nécessairement certaines relations entre les coefficients des fonctions </ 0 , q l , q s 
. . . q n _ x , relations qui peuvent toujours s'exprimer par des équations linéai- 
res entre ces coefficients; car si r = 0 pour x = fi, il faut aussi qu'on ait 
une équation de la forme 0y = 0 pour la même valeur de x\ mais cette 
équation est linéaire. En général donc la fonction r n'aura pas de facteur 
comme F Q x, c'est-à-dire indépendant des quantités a, a', a" . . . . Ce cas 
mérite d'être remarqué: 
Ayant (19) 

Ux = 2^^^d6y, 
xy 0y J1 

on aura en général, si F 0 x=l, k x =zk 2 = k z = • . . = k a = 0 (on peut faire 
la même supposition dans tous les cas); on aura donc en vertu de (35) 
et (25) 

F 2 x = lj 0 l x = F 2 x.f 2 2c=f 2 x 1 

la valeur (38) de (p x x deviendra donc (en remarquant que v l = m i , y 2 = m 2 , 
etc., et désignant v par ta) 

f' x — /,<«; 2 log >y ' 

et par conséquent la fonnule (41) (en désignant par B la valeur de y pour 

* = P) 

(43) zf^'i-iï— = ' 

~ J \+^(^%^)- 

Tour le cas particulier oh f t x = (x — /?)-, on aura /, w /? = 1.2 . . . 1», 
donc en substituant 

(44) TCfA'^J 0 -™^* 1 *'' 

( + 1.2.. .>:-i) r " lo g^J- 

Si »«= 1, il vient 

<«) = «- log „ + * ^ log M, 

et si ?/i = 0 , 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 161 

(46) v f 'MUÊ^L = C- zn f Ai]à log By. 

x y X y 

Dans la fbnnule (43), le second membre est en général une fonction 
des quantités «, a', a", etc. Si on le suppose égal à une constante, il en 
résultera donc en général certaines relations entre ces quantités; mais il y 
a aussi certains cas pour lesquels le second membre se réduit à une con- 
stante, quelles que soient d'ailleurs les valeurs des quantités a, a' a'', etc. 
Cherchons ces cas: 

D'abord il est évident que la fonction f t x doit être constante, car dans 
le cas contraire le second membre contiendrait nécessairement les quantités 
a, a', a" . . ., vu les valeurs arbitraires de ces quantités. 

En faisant donc f 2 x=l, il viendra 

j x y x y 

Or, en observant que ces quantités a, a\ a", . . . sont toutes arbitraires, il 

est clair que la fonction £^-, Lt U log Oy, développée suivant les puissances 

x y 

descendantes de x, aura la forme suivante: 

R\ogx + A l) x" + A 1 x^+ ■ ■ ■ +^ + d&±! + 4ji« + . . ., % 

R étant uue fonction de x indépendante de a, a\ a", etc., t u 0 un nombre 
entier, et A 01 A n ... A^ o , ^ 0+ i, etc., des fonctions de a, a', a", etc.; 
donc pour que la fonction dont il s'agit soit constante, il faut que // 0 soit 
moindre que — 1 ; et par conséquent la plus grande valeur de ce nombre 
est —2. 

Cela posé, en désignant par le symbole hR le plus haut exposant de 
x dans le développement d'une fonction quelconque R de cette quantité, 
suivant les puissances descendantes, il est clair que // 0 sera égal au nombre 
entier le plus grand contenu dans les nombres: 



~xY ' xY' h ~xW~' 



il faut donc que tous ces nombres soient inférieurs à l'unité prise négative- 
ment 

R 

Or, si - est une fonction de x 1 on aura, comme il est aisé de le 

Mi 



voir, 



21 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 
R 

R, 



h^^hli—hli,, 



par conséquent 

(47) h/fc, u'Xhz'y'- 1, h/ l{x , fXhx'y" - 1, 

De ces inégalités on déduira facilement dans chaque cas particulier la 
forme la plus générale de la fonction /,(*, y). 
Comme on a 

xY = {y'-f)(y'-y"')-:- {y'-y M ) 

X'y"=(y"-y')(y"~y'") . • . (y"~y<% etc., 

il .s'ensuit que 

(48) W-%'-y") + %'-.y"')+ . . . + 

W =%'-?') + %'-/") + • • • +%"- A etc. 

Supposons, ce qui est permis, que l'on ait 

(49) h'>hy>-, hy"^hy"', hy'"^hy"", . . . hy<»-»^hy<»>, 

de sorte que les quantités hy", hy">, . . . 8uivent r ordre de leurs 

deurs en commençant par la plus grande. Alors on aura, en général, ex- 
cepté quelques cas particuliers que je me dispense de considérer: 

Hy'-y")=hy>, h(y>-y>") = k y', k(y' - y"") = hy' 

! = hW-.,j>») = ky', h(y»-y»» ) = h y» 

{ } * ...%"-^) = %", 

Hy'"-y') = hy', h{y'"-y») = h y», h(y"' — y"") = hy"' 

Si ces équations ont lieu, on se convaincra .sans peine, en supposant 

(51) ' y) = t 0 -\- fi y+t 2 y*_\ f-'-iy- 1 , 

que les inégalités (47) entraînent nécessairement les suivantes: 

(52) AC^^X^y-i, /^-x/^y-!, 

HW-Xhzy-i, ... 

»* étant l'un quelconque des nombres 0, 1, 2, . . . n -l. 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 163 

D'où l'on tire, en remarquant que 

HLy m ) =h* m + hr = * + m hi, 

les inégalités 

ht m <h X 'y' - mhy' - 1 , hi m <h X Y - mhy" - 1, 

. • • H' y (n) — mh y M — 1 • 

Or, au moyen des équations (48) et (50), on aura 

hy/y' — mhy' — 1 = ('« — w — 1) — 1 ? 
h y y _ — 1=(« — m — 2)hy" +hy' — 1, 

h X 'y" r - mhy'" -l = (n — m — Z)hy'"+hy' + hy"-\, 
etc., 

hx'y (n - a - l) - mhy'»-'"-» - 1 = hy ( """- 1} -f- % ' + H h /';/ f "-'"- 2; - 1 , 

/^y«-»o _ -\=hy' + hy"-\ y — 1, 

A j y*-+v _ m hyC'- m+1 > -l = - hy ( «-» +1 > + ' -f H h % fB ~ m; - 1 » 

etc., 

h x y> — m hy<"> — 1 = — mhy M + %' + H + — 1 • 

En remarquant donc que les quantités hy', hy", . . . suivent l'ordre de 
leurs grandeurs, il est clair que le plus petit des nombres 

J lx y _ m ky' — 1 , hy/y" — mhy" — 1, etc., h X 'y M — mhy<"> - 1 

est égal à 

hi' + *//' + H h - L 

Donc la plus grande valeur de ht„ est égale au nombre entier immé- 
diatement inférieur à cette quantité, et on aura 

(53) h l m = hy' -f hy" -| h hi/™-» - 2 -f 6.„._, , 

où «„_„_, est le nombre positif moindre que l'unité qui rend possible cette 
équation. 

Cela posé, soit hy'=™j, m' et //' étant deux nombres entiers et la 
fraction réduite à sa plus simple expression, alors il faudra que l'on ait 

hy' = hy" = hy'"= • • • =hy< m > = ^r. 

21* 



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164 



MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



Car si une équation de la forme %y — 0 est satisfaite par une fonction 
de la forme 

m' 

y = Ax"'-\- etc., 

cette même équation est aussi satisfaite par les ft f valeurs de y qu'on ob- 

i 

tiendra en mettant au lieu de x** ' , 

JL JL 1 

1, « n a 2 , ... a^_ x étant les t u' racines de l'équation a**' — 1 = 0. 

Parmi les quantités hy\ hy" , . . . hy (n \ il y en a donc fi qui sont 
égales entre elles. De même le nombre total des exposants qui sont égaux 
à une fraction réduite doit être un multiple du dénominateur. 

On peut donc supposer 





hy' =• hy" = 


• : hy<"'> = 


m' 

y 




hy< k ' +i) =hy (k ' +i) = • • 


• = hy (k '> = 


m" 

7' ' 


(54) < 


\ hy< k - +1 > = hy ( ™>= • • 


• =hy <"->= 


m'" 



etc., 

hy( k(e - l) +» = hy( k(€ - l) +*)=. . .=hyM= m(t) r , 



où 



(55) 



7/ = n\u' -f n/>" -f n "y " H |- ; 



les tractions ^, -, ^ , . . . sont réduites i\ leur plus simple expression, 
et n\ n" , ri", . . . n (%) sont des nombres entiers. 

Supposons maintenant dans l'expression de ht m , que m = n~ h in) — /? — 1, 
/? étant un nombre moindre (pie k (a+1) — k Ut \ c'est-à-dire moindre que 
n<«+V a+,, ï u viendra alors 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



h y' + hy" + 

4- -f-Ay^+W-j 

-(-etc. 



{ + *<*«+/») ~ 2 5 
or, les équations (54) et (55) donnent 

%' + %"+ • ■ • +hy<-> = k'^ = nW, 
hy**» -f Ay<*-+» -| 1- = (fc" _ Je') 7 — = n"m", 



n'm' -f ?i"m" + n"'m"' -| (- n M m M 



etc.,. 

donc, en substituant 

Quant à la valeur de f f „, il est clair qu'en faisant 

Je -f~P ' 

cette quantité sera le plus petit nombre entier positif, qui rend le 

nombre fim (a+l) -\- Afi +1) divisible par u ((t+1) - on aura donc 



2 -J- n'm' -f n"w" + n"'m"' -| [- w w 



( 57 ) ht n -k(«)-p-x = ) , + 

En faisant dans cette équation « = 0., il viendra 

ht - o. f«' + ^V. ' 
/* r„_^_i — — ^ i , , 

donc si ^ m ~t^ /î <[2, ht m _p_ t est négatif, et par conséquent il faut faire 
t n _p_ t z=zQ* car, pour toute fonction entière ht est nécessairement positif, 
zéro y compris. Or, en faisant /?=0, on a toujours - m -^^-<^2; donc 



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1GG MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

t n _. t est toujours égal à zéro, c'est-à-dire que la fonction fi(x y y) doit être 
de la forme 

(58) y) = t 0 -^ tl y-^t^-\~ . . . + t^y-r-*, 

oh /?', étant plus grand que zéro, est déterminé par l'équation 

d'où il suit que /?' est égal au plus grand nombre entier contenu dans la 
fraction - r 4- 1 . 

Une fonction telle que f x {x, y) existe donc toujours à moins que ft' 
ne surpasse n — 1. Pour que cela puisse avoir lieu, il faut que 

7*1 ii- 



r +l=n + *, 



où £ est une quantité positive, zéro y compris; de là il suit 



1 



/Ll' Il 1 + 6 

Or, la plus grande valeur de // est n 1 donc cette équation donne 

m' _ _1_ nï_ _ JL_ 
ft' n — 1 fx' n 

Or, je dis que dans ces deux cas l'intégrale ff(x, y) dx peut s'exprimer 
au moyen de fonctions algébriques et logarithmiques. En effet, pour que 
y-, qui est le plus grand des exposants hy\ hy", . . . hy (n) , ait une des 

deux valeurs — —, , — > il faut que l'équation /?/ = 0, qui donne la fone- 
tion ;>/, ne contienne la variable x que sous une forme linéaire. On aura 
donc 

Zi, = P+xQ, 

oh P et Q sont des fonctions entières de y; de la il suit 

P , PdQ— QdP 

X =- -Q> d *=- < r ' 



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MEMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 1(>7 

où il est clair que li est une fonction rationnelle de ?/; par conséquent 
l'intégrale flïdy, et par suite ff(x,y)dx, peut être exprimée au moyen 
de fonctions logarithmiques et algébriques. 

Excepté ce cas donc, la fonction fi{f,y) existe toujours; en la substi- 
tuant dans l'équation (46), elle deviendra 

(59) s J(*o + *i9+- • ; + = Q 
Un cas particulier de cette équation est le suivant: 

(60) x-f-*fîf-. = v. 

où k et m sont deux nombres entiers et positifs, tels que 

(61) W< „_J^_l; 

fc<_i+»w+»«w+ . . . i^; H ; 

TA = « — W — ft — 1 ; /? < fl '" + «»<•« + «'; 

et il est clair que cette formule peut remplacer la formule (59) dans toute 
sa généralité. 

Puisque le degré de la fonction entière t m est égal à ht m , cette même 
fonction contiendra un nombre de constantes arbitraires égal à ht m ~\-l, La 
fonction fi{x, y) en contiendra donc un nombre exprimé par 

Af. + ^-l 1_ _}_„_/?', 

ou bien, comme il est aisé de le voir, 

ht 0 + ht t -\ -f- ht n _ fl _ x -] \- ht n _. 2 + « — 1. 

En désignant ce nombre par y, on trouvera aisément, en vertu de 
l'équation qui donne la valeur générale de ht„ n 

A 0 ' , m' + .V , 2m'-\-J i ' . . («y — l)w' + ^'»>-i 

V ««' - ' n' ~l I" """"" /«' 

, _Jo* , m" + 2/«" + J,* , , (»V — 1)'"* + ^V «--i 

/<" "r ~l /t " ~l r ' ,«« 

-f ///«'»" u" 

"TV"" 1 ~r y" "i r , ( <» 

+ (»'»'-)-»'«»>">"' 

-n+1; 



7 = 



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1B8 



MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



or, en remarquant que m et //' sont premiers entre eux, on sait par la 
théorie des nombres que la suite A 0 ', \ A/, A% . . . -A' w> '-m contiendra 
ri fois la suite des nombres naturels 0, 1 7 2, 3 7 ... /tt — 1, donc 



2 '» 



de même 

A" + A/ + 4," H + A" H . ft ._ t = n" (0 + 1 .+ 2 H h - 1) 

— n 2 , 

etc. 

En substituant ces valeurs et réduisant, la valeur de y deviendra 
/ — n -f 1 -f -l m'n'(n'ft' — 1) + J »'(/*' — 1) + | w'V»" — 1) 

y = ( -j [- ^ » fr WVV" — 1) -[- ^(.«^ — 1)-) 

-f »'«'»>' + (»'•»*'+ »*»/** ) «"'/'""+ (»'«*' H- + ""m" )»""/»' 

{ -j h ("''»' + »" w " H h n (f " v m (( v )n (e, fi ([ > ; 

ou bien en i*emarquant que 

n = n'a' + n'/i' -\ |- 

(62) 

n fi — ^ — H - " ." w H 2 — )i ' \mn-\-m n -j ^ — 

7 = / -J f- « "V w ( m'n + /« "«" -j h m ff ~" n (f ~ y -f "l^ÇzzI j 

«'(/«'+ 1) «"(/«"+ 1) _ Hf !l'i' w +i)j_i 

_ _ 2 _ 2 " " 2 re- 

connue cas particuliers on doit remarquer les deux suivants: 
1. Lorsque 

. . fy' = ty-=...=A^ = -£- 

Dans ce cas t = 1 , et par conséquent 

(63) v = ny- 2 m 2- + 1 - 

Si en outre /i—n, on aura n'=l, et 

(64) ;' = (/* — 1)— y" ' 



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MEMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. ](>9 

2. Lorsque toutes les quantités hy' , h\f ', . . . hy (n) sont ries nombres 
entiers. Alors on aura 

fc' = fl "= f c'"=...=^=l- 
et si l'on fait de plus 

n' = n"= ■ ■ • =«'"=1, 
on aura « = •«, et par conséquent en substituant, 

(65) y = (»— 1 K + (»— 2 )" t " + (« — 3)»»"' H 

c'est-à-dire, en remarquant que >a' = ky'j m" = hy" , etc. 

(66) y = (« - 1)%' + (■,, - 2)%" + (» - 3)%"' + • • • 

2 % -f A y f- « — ■» -f 1 . 

Dans le cas où tous les nombres hy', hy" ', . . . hy'"' 1 ' sont égaux 
entre eux, la valeur de y deviendra 

(67) y = % ' - » + 1 = (» - D ( ^' - 1 ) • 

La formule (59) a généralement lieu pour des valeurs quelconques des 
quantités «, a", . . . tontes les fois que la fonction r n'a pas un fac- 
teur de la forme F 0 x* mais dans ce cas elle a encore lieu, sinon F 0 x et 
l'y 

* v s'évanouissent pour une même valeur de x. Alors la formule dont 

il s'agit cesse d'avoir lieu, et on aura au lieu d'elle la formule (40), qui 
deviendra, en faisant f 2 x=l, 

r*f w { C— 112 fl (' r ,'ÏÏ logé» 
(fi8) S (h(*,!i)<l* _ J X!J h J 

c'est-à-dire, en remarquant que 
Maintenant on a (19) 



22 



170 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

d'où il suit que si conserve une valeur finie pour x = ft n la fonc- 

tion entière lix aura (x — (t^ 1 pour facteur, donc 

k l = l u 1 et v l = f.i l — k x = 0. 

Par là on voit que, dans le second membre de l'équation précédente, tous 
les tenues relatifs à des valeurs de /?, qui ne rendent point infinie la va- 
leur de -^^g— s'évanouiront; par conséquent ledit nombre se réduit à 

une constante, si F 0 x n'a pas de facteur commun avec 



Reprenons maintenant la formule générale (14), et considérons les fonc- 
tions x n x 2 , # 3 , . . . Xp. Ces quantités sont données, par l'équation Fx = 0j 
en fonctions des quantités indépendantes a, a\ a", etc.; soient 

«i=/i(«j Vz=f % (a,a',a", ...); . . . x fl =f f (a 1 a, a" , . . .). 

Si maintenant on désigne par a le nombre des quantités a, a\ a", . . . 
on peut en général tirer de ces équations les valeurs de a, a', a", ... en 
fonctions d'un nombre a des quantités x x , # s . . . x^ ; par exemple, en fonc- 
tions de sc n #3, . . . x a . En substituant les valeurs de a, a', a", . . . ainsi 
déterminées, dans les expressions de a? u+n . . . x^, ces dernières quan- 

tités deviendront des fonctions de x % , x 2 , . . . x a ; et alors celles-ci seront 
indéterminées. La formule (14) deviendra donc 



( 70 ) «Mi + v**H h« 



où x* n . . . sont des quantités quelconques, tf a+n . . • x? des 

fonctions algébriques de et 0 une fonction algébrique et 

logarithmique des mêmes quantités. 

Les quantités a, a', a", ... et x u + t , x t , +2 , . . . x u se trouvent de la 
manière suivante. Les équations (7) donnent les suivantes: 

(71) % = 0, 0y, = O, ...0y a = 0, 

qui toutes sont linéaires par rapport aux quantités a, a', a", .... Elles 
donneront donc ces quantités en fonctions rationnelles de x 1J y i ' y x 21 y 9 ] x 31 y 9 ] 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 171 

• • • Maintenant si Ton substitue ces fonctions au lieu de a, a', a", . . . 

dans l'équation Fx = 0, la fonction Fx deviendra divisible par le produit 
(x — x } ) (x — x 2 ) • • • (x — x a ) ; car on a 

Fx = B(x — x l )(x — x i ) • • • (x— x a )(x — z a+1 ) • . • (x — xj. 

Fx 

En désignant donc le quotient - ( ^ ^ r par F (ï) Xj l'é- 

{x x j ) (,r x 2 ) • • • {x x u ) 

quation 

(72) F (1) x = 0 

sera du degré // — a, et aura pour racines les quantités x a+1 , . . . x^. 
Quant aux coefficients de cette équation, il est aisé de voir qu'ils seront 
des fonctions rationnelles des quantités 

De cette manière donc les // — a quantités x a+1 , . . . x^ sont déterminées 
en fonctions de x n x 2 , ... x u par une même équation du (// — a) e degré. 

Les équations (71) sont en général en nombre suffisant pour déterminer 
les a quantités «, a', a", . . . , mais il y a un cas oh plusieurs d'entre elles 
deviendront identiques. C'est ce qui arrive lorsqu'on a à la fois 

x \ = x s = • • • = x k ; iji = y 2 = • • • = ijk ; 

car alors 

= $]h = • • • 

Or dans ce cas on aura, d'après les principes du calcul différentiel, au lieu 
des k équations identiques, 

les suivantes 

(73) «*=0, *£ = 0, *& = <>,... **■=.!, 
qui, jointes aux équations 

% +1 = 0, ... 0y B = O, 
détermineront les valeurs de a, a', . . . 

La formule (70) montre qu'on peut exprimer une somme quelconque 
de la forme 

22* 



172 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

par une fonction connue v et une somme semblable d'autres fonctions; eu 
effet elle donnera 

(74) i//, x x -f y* 1- y/„ .r„ = v — ( l // u+1 -] (- ^ ;r„ ) . 



7. 

Dans cette formule le nombre des fonctions V^+i^+i» ^«+2^+2? • • • ^«^V 
est très-remarquable. Plus il est petit, plus la formule est simple. Nous 
allons, dans ce qui suit, chercher la moindre valeur dont ce nombre, qui est 
exprimé par // — a, est susceptible. 

Si la fonction F Q x se réduit à l'unité, tous les coefficients dans les 
fonctions </ 0 , q^ ... q n _ x seront arbitraires; dans ce cas donc on aura 
(en remarquant que, d'après la forme des équations (71), un des coefficients 
dans les fonctions q 0 , q t , ... peut être pris h volonté sans nuire à la gé- 
néralité), 

a = hq 0 -\-hq l -\-hq 2 -\ ' -f-Afr-i + w— 1. 

Si F 0 x n'est pas égal à l'unité, il faut en général un nombre h.F 0 x 
de conditions différentes pour que l'équation 

F 0 x.Fx = r 

soit satisfaite; mais la forme particulière de la fonction y pourrait rendre 
moindre ce nombre de conditions nécessaires. Supposons donc qu'il soit 
éo-al à 

(75) hF 0 x — A, 

le nombre des quantités indéterminées r/, a\ a" , . . . deviendra 

(76) a = h q 0 + h q , -f h q 2 H \-h f Jm _ t -f 11 - 1 - // F ir r -f A ; 

maintenant on a 

// r = h F {) x -f // Fx = h F 0 x-\- u , 

donc 

(77) f i = hr — kF 0 x, 
et par conséquent 

(78) Jii — « = + % +*ftH \~hq„ — w-f 1 — i4. 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 173 

Mais comme on a (3) 

r = 0y'.0y" . . . 0y (H >, 

il est clair que 

(79) hr = h Oy' -f hOy" -| f- h 0y ( »> ; 

donc 

(80) u — a = h0y' -\-k0y" -\ 1- A 0 y ^ 

— (hqo + kqi H h*î»-i) — w + 1 — il. 

Ayant maintenant (2) 

% = 2o + îiy + <m 2 H h 7,-1 7 

on aura nécessairement, pour toutes les valeurs de •»», 

oïi le signe > n'exclut pas l'égalité. 
Donc en faisant 

.y =//',. '/",.'/'",...//"", 

et remarquant que 
on aura aussi 

(81) h6y'>hq m + mky'- hOy" > hq m + mhy" , . . . h6y M >hq m + mky<">. 

Cela posé, désignons par n\ vi\ /<', /c'; ?>?,", fc"; etc. les mê- 
mes choses que plus haut dans le numéro (5), et supposons que A (<y 0| //'*•) 
soit la plus grande des />//*' quantités 

en sorte que 

( 82 ) H. + > A 2-/»-i + (* - P - 1 ) % '• 

En désignant, pour abréger, hq m par /m, et mettant au lieu de 
/>//', il est clair que cette formule donne 

( 83 ) ./V, —/(»—/?— i) = i — Pl ) 

(depuis /? = 0 , jusqu'à fi = k' — 1) , 

oïi 4/ est un nombre positif moindre que l'unité, et t'p un nombre entier 
positif, zéro y compris. 
Soient de même 



174 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



I /ft -/(« - /» - 1 ) = (» - /? - 1 - *) , + V + -V 

(depuis ft = h', jusqu'à ft = k" — l) y 



fo 3 -/(»-/?- 1) = («-fi- 1 ~ fc) + V" + 4 



/// 



(84) 



(depuis /? = &", jusqu'à fi = k"'—l), 



etc., 



/P. - -/(»—/» - 1 ) = (* - /î - 1 - P.) ^ + V* + V 



(depuis fi = k {m ~», jusqu'à fi = k M — 1), 

etc., 

(depuis fi = k (t ~ 1 >, jusqu'à fi=n — 1). 



/p, - /(»*■ -/*-!) = (» -/*- 1 - p f ) „ (f) + V° + 4. 



^4^", -4/", . . . étant des nombres positifs et moindres que l'unité, et 

f^", f^'", ete. des nombres entiers positifs, en y comprenant zéro. 

Considérons l'une quelconque de ces équations, par exemple la (m — 1)'; 
en donnant à fi les' k <M) — valeurs, 

fi = k <m ~" -f 1 , k (m ~ l > -f 2 , . . . h m — 1 , 

on obtiendra un nombre k (m) — h (n -' t) d'équations semblables; et en les ajou- 
tant il viendra 

' \ (2n — k (m) — k (m - x > — 1) (k (m >— k<— v ) ~ 

4-/(»-^ ,w) )- 

Or 

donc en substituant, 



| (2». — fc w — h'"" 1 * — 1) »<"'»» w 

+ / (M _i-*<- «)H +/(„_/^). 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 175 



Or, en remarquant que A^ (m) est le nombre, moindre que l'unité, qui,, ajouté 

m (m) 

à (n-(i — l — 9m ) -~, ren 
voit sans peine que la suite 



m( m ) 

à (n — ft — 1 — () m ) rend cette quantité égale à un nombre entier, on 



A (" l > -L A (*> 4- . . . . JJ A (m) 



qui est composée de ?i (tn) [i (m) ternies, contiendra n (m) fois la suite des nom- 
bres 

0 1 2 juW — 1 # 



donc 

En substituant cette valeur, et faisant pour abréger, 

f On) I . (m) J I J») (7 

il viendra 

i|(2w — fc w — fc fw - 1J — 1)»<"W" , > 
+ |n«( / e«-l) + CL 
_ _ i) ^ _ fccoj. 

Maintenant on a, en désignant par (pm, 

(87) y(ife<"-»+l):=y^ • • • = y(fc w ); 

en remarquant que /iï/ rn ° conserve la même valeur pour toutes les valeurs 
de w, de 7c fw_i; -|- 1 à & rw °- Les inégalités (81) donneront donc 

+ 1) -f- y (k (m - l > + 2) + y (k (m - 1} + 3) -j 1- y (k M ) 

> (/*■ + * ) (*" - ^-") > »"V w (/* + ~S ) ' 

donc on aura, en vertu de l'équation précédente, 

p^-tf + 1) + (y (fc f "-° + 2) + 9 )(&<- 1 > + 3)-| \- <p(k<->) 

| J»w»W(2)t- — fc'— 1 ' — 1) + i?* w (/c w — 1) + G' w 
> j + /(„_ fcf-«_ 1) -f /(» - - 2) -| (_/(„_&«). 

En faisant dans cette formule successivement m=l,2,3, .... et puis ajou- 
tant les équations qu'on obtiendra, il viendra 



17(5 



MÉMOIRE SDK UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



+ hv(«) 

/(u-l)+/(«-2)+/(n-3)+ • • • +/(l)4-/(0) 
+ 4 »W(2n k' - 1) + J »*'(/*' - 1) + 4 
+ 4 m"»»" (2 » — fc'; — k' — 1 ) + | »"(/* " — l) + tf, 
4- 4 n"'m"'{2n — h'" — k" — 1) + J »'"(/*"' — 1) + C 3 

I + { »w w W(2 M — fc">— Jb*- 1 '— 1) 4- 1 -w fr V w — !) + ^ • 
En .substituant les valeurs des quantités k\ k", k'", . . . savoir, 
k' = n'fï; k" = n'u'-\- u" ft "- k'" = n'fi' -\- ri'fi" -\- «"'/*'", etc., 
et pour ii sa valeur (55) 

n = »y4-»V4 (-«<V\ 

on obtiendra 

%'4-%"4-%'"4- . . . 4-%""_ ^^4-7,^4-7,^4 

où Ton a fait pour abréger 

/ n'vi' (5>'=l + w '>"4-n'V"4- • • • 4~ » <V") + «' i ^r- 

I 4_ ti"m" ( 4- »">'"+»">"" H 1- « ( v s) ) +'»" ~ir 

(88) 4- 

4-»«->w«-« ( " if 4- „ ) +»" - y - ) 

De cette formule combinée avec l'équation ^80) on déduira 

(89) ,u — o>7 # — w+ 1 — A+ L\ + C È -\ \rC 6 . 

Or, je remarque que le nombre y 9 — est précisément égal à 

celui que nous avons désigné précédemment par y, équation (62), donc 

(90) f i — «>;/ — A -f C\ -f C r 2 -| h ^- 

Cette formule nous montre que /t — a ne peut être moindre que y — J., 
or je dis qu'il peut être précisément égal à ce nombre. 
En effet c'est ce qui arrive lorsqu'on a 




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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 177 

(91) { yfc w =/e.+e.-^-» 

et C 1 + G; + C s H \-C t = Q; 

or on peut démontrer de la manière suivante que ces équations pourront 
avoir lieu. 

En se rappelant la valeur de C m1 il est clair que l'équation (91) en- 
traîne la suivante: 

«<P = 0 (depuis fi = k (m ~ 1) 1 jusqu'à fi = k (m) — 1); 
donc en vertu des équations (83) et (84) 

m (m) 

(92) /(n- fi- 1) =f(f n - (n-fi- 1 - Çm ) — r - Af, 

(depuis fi = ¥ m - l >, jusqu'à fi = k (m > — 1). 

Il" s'agit maintenant de trouver la valeur de fç m . 
Or l'équation (91) donne 

(93) . . f(f m + <>,„ -^r > /<>« + p« -^j 

pour toutes les valeurs de vi et de a. 

De là on tire, en désignant pour abréger 

w f«) 

(94) ^parcr a , 

(95) fff m —f(f a > ((fa — (fm) <*m • 

En faisant m = a — 1 7 et changeant ensuite a en m, de même que a 
en m — 1 7 on obtiendra les deux formules 

f(fm —f(?m-l < (CV-1 — (fm) <7—l , 
f(?m — fÇm-1 > (Pm-1 ~ (fm) <*m - 

Par là ou voit que la différence entre la plus grande et la plus petite va- 
leur de f(f M — f(? m ^i ne peut surpasser ((f m -i — (fm) (<*«-i — Par consé- 
quent on doit avoir 

f(fm — f(fm-l ={(f m -l — (fm)Om-\-0m-l ((fm- 1 ~ (fm ) K-l ~ ^ ) , 

où ^ w _! est une quantité positive qui ne peut surpasser l'unité. 
Cette équation peut s'écrire comme il suit: 

(97) = (e»-x-<0 P-i«L-i + 

23 



(96) ! f?" •• 



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178 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

De là on tire sans peine 

(98) A>»= \ + fa-Q>)[ê*o % + (l-O t )o a ]-\ 

( h (çf m ^ — p.) [0 m _ t a m _ 1 + (1 — fl^) a w ] . 

Si /p m a cette valeur, il n'est pas difficile de voir que la condition 

est satisfaite pour toute valeur de a et m, quelle que soit la valeur de 

et celles des quantités 0 n 0 2 , • • • pourvu qu'elles ne surpassent pas 

l'unité. 

Connaissant ainsi la valeur de f(f m1 on aura celle de f{n — (t — 1) par 
l'équation (92). 

Après avoir fie cette manière déterminé les valeurs de toutes les quan- 
tités /(0), /(l), f{2) } ...f(n — 1), voyons à présent si elles satisfont en 
effet à l'équation (91) 

Pour que cette équation ait lieu, il est nécessaire et il suffit que l'équatiou 

(99) fitm + CA>/« + «^ 

soit satisfaite pour toutes les valeurs de a et m. 11 faut donc que 

(100) /^=/«u + o. 

Soit a t ) = n — /? — 1 ? où (3 a une valeur quelconque comprise entre k^~ l) 
et k (r)) — 1 inclusivement, l'équation (92) donnera 

f<*d =/(M — («* — (m) o 9 — Af ; 

et par conséquent 

(101) P<* =f (?m -}- {„ m -a»)a m + (a 9 - Çi )a 3 + 
En mettant m -\- 1 au lieu de /«, il viendra 

PJÎ+l — = f(f m + , — /<>„, + C- + 1 °m + ! — if m " M + « S (O m — <7 n + , ) . 

/ 

On a par l'équation (97) 

— /V* = (A,^ + 1 1 — ; 

donc, en substituant et réduisant, 

(102) P% - !><»> = («,,- [<,„(! - ê m ) + *„] ) (a m ~a m+1 ) ; 



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I 



MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 179 

or, en remarquant que est compris entre n — 1 — k ( *~ 1} et n — lc ( *\ que 
() m (l — 0 m )-^-() m+1 6 m Test entre Q m et p wl+1 , c'est-à-dire entre n — k (,n ~ v — 1 et 
n — k (m * l) , il est clair que le second membre de cette équation sera toujours 
positif si m ^ > â-\- 1, et toujours négatif si vi^d — 2. 

De là il suit: 1° que -P w+1+ ,î>0 si P,? + i>0; 2 ° V 1 * 3 > 0 si 

P ( ui>0. Donc pour que P„^ ; soit positif pour toutes les valeurs de r/?, il 
suffit qu'il le soit pour 7n = â-\- 1, ô\ â — 1. 

Or, en faisant dans l'équation (102) m = âj m = â — 1, il viendra 

1% - = («, - fo,(l - $ s ) + <>, U A] ) (<r, T -<r, î+1 ), 
- P\l x = ( a, - [ Çs _ t (1 - + (^ J ) - a,) . 
Mais Téquation (101) donne pour m = d, 

donc Pj,® est toujours positif, et en substituant cette valeur, les deux équa- 
tions précédentes donneront, en mettant *T — f— 1 au lieu de â dans la dernière, 

PJ>+* = [ w - a» +t - ê ê ( 9t - 9t+1 )] (o,-o t+l ) + A$+». 

De ces équations on tire (en remarquant qu'on doit avoir pour P$+i et 
des valeurs positives), 

f » = 

i 0 < W -J?«±l , =j n 

Maintenant 0^ est compris entre 0 et 1 ; par conséquent il faut que ]i$ ne 
surpasse pas l'unité, et que Cj soit positif. Or c'est ce qui a toujours lieu. 
En effet on trouve 

l_J % = «L-J!±! + A ff. 

donc 1 — Bx est toujours positif en remarquant que « f î>(M +1 ; par consé- 
quent B 9 ne peut surpasser l'unité. De même ^>^+iî donc @s est tou- 
jours positif. 

La condition 

P<*> > 0 

23* 



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180 



MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



est donc satisfaite pour toute valeur de â et m] d'où, résulte l'équation 

On aura donc, comme on vient de le dire, 

(104) }i — a = y — A, 

qui est la moindre valeur que peut avoir p — a. 

Si l'on suppose que tous les coefficients dans les fonctions q 0 , q x , . . . q n ,_ x , 
soient des quantités indéterminées, alors F 0 x = 1 , et par suite A = Q* } donc 
dans ce cas 

(105) t u—a = r . 

C'est ce qui a lieu généralement, car c'est seulement pour des fonctions 
d'une forme particulière que le nombre A a une valeur plus grande que 
zéro. 

Dans ce qui précède nous avons supposé que tous les coefficients dans 
9.oi <Zi 5 • • • î étaient indéterminés, excepté ceux qui sont déterminés par 
la condition que r ait pour diviseur la fonction F 0 x. Dans ce cas on a 
toujours, comme nous l'avons supposé plus haut (87), 

et par suite 

(106 ) hr=\ + 

C'est la valeur de Ar en général. Supposons maintenant que les quantités 
a, a', a", ... ne soient pas toutes indéterminées, mais qu'un certain nombre 
d'elles soient déterminées par la condition que la valeur de hr soit de A' 
unités moindre que la valeur précédente. En général, un nombre A' des 
quantités «, d, a f> ', . . . sera déterminé par cette condition, et alors a — a 
ne change pas de valeur; mais il est possible que, pour les fonctions d'une 
forme, particulière, la condition dont il s'agit n'entraîne qu'un nombre moin- 
dre d'équations différentes entre- a, a\ a", . . . Soit donc ce nombre A' — 7i, 
la valeur de /i — a deviendra 

iu -A')-[a-(A'-Ji)]-A, 

c'est-à-dire 

(107) u — a = y — A — B. 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 181 



Pour donner un exemple de l'application de la théorie précédente, sup- 
posons que ^ = 13, en sorte que y soit déterminé par l'équation 

n — ) po+pm +p*y*+ w/ 3 + ps/ + p*y* + p*y* + p^f 
f + Psf +P»y> +W 0 +Pny lï +p»h" + v l \ 

et 

Oy = q^ J r ( hV J r ( lsf-\ +î«.y"- 

Supposons que les degrés des fonctions entières 

PojPu P*> Psi Pa, P*> Pu» Pu P*i Psi Pm PuiPi*i 
soient respectivement 

2, 3, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 1, 

D'abord, il faut chercher les valeurs de hj , hf . . . hy (n) . Or, pour cela, 
il suffit de faire dans l'équation proposée, 

y = Ax m , 

et de déterminer ensuite A et m de manière que l'équation soit satisfaite pour 

X = oo. 

On obtiendra l'équation 

j ' -j ^ 8 4V w+î + iJ 1 4£c w+3 |^ 2 . 

Pour y satisfaire il faut qu'un certain nombre des exposants soient 
égaux et en même temps plus grands que les autres, et que la somme des 
termes correspondants soit égale à zéro. 

Or on trouve qu'en faisant 

4 

1° 13 = 10m -j- 4, d'ohm = les deux exposants 13?/?, lOw-f-4, 

seront les plus grands; 

2° 10w + 4 = 5m + 5, Xohm= ~ } 10m-f4, 5w-|-5; 

3° hm-\-h= m -f- 3 , d'où m = — y> 5w-}-5, m-f-3, 

4° 7/1 -f 3 = 2, d'où w = — 1, m + 3, 2. 

On a donc 



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182 



MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



donc 

A = — \b w et h y' = h y" = h y'" = m ' r = i , n' = 1 ; 
y = Ax\ ii 10 ii 10 + Ji 5 ^ = (), 

donc 

i 

donc 

4 

il J/— 'Il et = « y (l0 > = hy (n > == %™ = = -~~ - , = 2 ; 
y = Ax-\ ii.A + = 

donc 

4 = -g et ly« = ^- = -l, n""=l. 

Ayant ainsi trouvé les valeurs des nombres m\ u', n\ m", /t", n", 
m"\ f t"\ ri", m"", ri'", on aura 

fc' = ny = 3, fc" = wV + nV = 8, k"' = ri f i' -f n>/'-f ri"n"'= 12, 
fc"" = w >' + w>" + w">' " + *">""= 1 3 = w. 

Maintenant le nombre p 4 doit être compris entre 7^ — 1 et n — h\ (j 2 entre 
n — k' — 1 et n — h", etc.; donc on trouvera pour ces quantités, les valéurs 
suivantes : 

ft = 12, 11, 10, ?2 = 9, 8, 7, 6, 5, ft = 4, 3, 2, 1, p 4 = 0. 

Connaissant p n (> 3 , p 4 , on aura ^4/, A/', A/", A/'" par l'équation 
(92); ensuite 0 l , 0^, 0 3 , 0 ti par les équations (103); j f(? 9 , /p 4 par l'é- 
quation (98); et enfin /(0), /(l), /(2), . . ,/(12) par l'équation (92). 

La valeur de y, qui est toujours la même, deviendra par l'équation (88) 
et la relation y — y' — w -f- 1 , 



1.4.( 3 - 1 + 5 + 4+l)-j-l. 3 - 1 

+ i-i.( 5 7 1 + 4 + i) + i. 5 7 1 
^ +M-i).( 4 7 1 + 1 ) + »- f 7- 1 

f -fi.^-D.p-ij + i^-J-iH-i, 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GENERALE etc. Ig3 

c'est-à-dire, en réduisant, 

7 = 38. 

Pour pouvoir déterminer numériquement les valeurs de a et de /i, 
supposons, par exemple, 

Alors l'équation (92) donnera les suivantes: 



/(12) 


-/(ii) - i 




donc 


= 1,7(12) 


=/(ll) -2 


/(10) 


=/(") + * 


A ' 

^2 y 


donc A 9 ' 


= i,/(10) 


=/(H)+ 1 


7(9) 


=/(«) -1 


A " 

^ 1 


donc .4g" 


= *, /(») 


= ~ 1 


/(«) 


=/(«) -1 


A " 


donc A A * 


= *, /(8) 


= m - 1 


/(7) 


•=/(«) -i 


A " 


donc ^4 5 " 


= *i /( 7 ) 


= /(«) - 1 


/(*) 


=/(«) +1 


A » 


donc ^4 7 " 


= *, /(6) 


= /(C) 


/(8) 


=/(*) -i 


A "' 

A) ? 


donc A 9 "' 


= i, /(8) 


= /(4) - 1 


/(*) 


= /(4) - 1 • 


j /// 


donc -A 10 "' 


= 0, /(2) 


= /(4) - 1 


/(l) : 


= /(*) -| 


j /// 
^-11 ) 


donc A n '" 


= i. /(l) 


= /(4) -2. 



Pour trouver maintenant /(0), /(4), /(6), /(11), il faut chercher les 
limites de 0 n 0 2 , 0 3 , 0 4 . 

Or les équations (103), qui déterminent ces limites, donnent 

a ^ 11 — «i 3vi*' „ . . 1 2^1 1 

•»>-T^— îf » d'où tf 1 >_ B - 17 , 0, . — i ; 

' 1< -6- +-l-r' (Uu 5 +5TÎ7' 5 +5TT7' 



' H suit de là que 



4 , 12 6 _j 3 

5 "~r"5. 17"' A ' 5 ~ i ~5TT7 



On trouve de la même manière 

0 S >^, 0,<1, tf,>|, 0 3 <1. 

Maintenant l'équation (97) donne 

f(f m — > ((>„_, - <> m ) + (1 - «Vi)«»J , 

./>„ — < — <>„) [«'»_,v, + (1 - 0'^_ t ) a m ] , 



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184 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

où 0" m ._ x est la plus petite et 0' m _ x la plus grande valeur de 6 m „ x \ donc on 
trouvera, en faisant, 

= 3, 4, 

/(G) -/(11) > 5 . [H . i + (1 - H) •!](=! + Il) 
/(0)_/(ll)<5.[A.i + (l-T S T)4] (=3 + 1) 
/(4)-/(6) >2.[A.i-(l-A)-i] (= -I) 
/(4)-/(6) <2.[l.i-(l-l).l] (=|)^ 
/(0)-/(4) >4.[|.(-|) + (l-i).(-l)] (=-3) 
/(0)-/(4) <4.[ 1 .(_|) + (1_1).(_1)] (=-2); 

donc on aura pour /(6) — /(11), /(4) — /(6), /(0) — /(4), les valeurs sui- 
vantes: 

/(6) -/(11) = 2,3, /(4) -/(6) = 0, /(0) -/(4) = -3,-2; 

d'oîi 

/(G)=/(ll) + 2,/(ll) + 3, /(4)=/(ll) + 2,/(ll) + 3; 

/(0)=/(ll)-l,/(ll),/(ll)+l; 
/(12)=/(ll)_2;/(10)=/(ll)+l;/(9)=/(ll) + l,/(ll) + 2; 

/(8)=/(ll)+ 1, /(H) + 2; /(7)=/(ll) + 1, /(11) + 2; 

/(5) =/(l 1) + 2, /(11) + 3; /(S) =/(ll) + 1 , /(11) + 2; 

/(2) =/(ll) + 1, /(l 1) + 2; /(l) =/(l 1), /(11) + 1. 
Eu exprimant donc toutes ces quantités par /(12), on voit que les fonctions 
(Zi2 7 'in* 2i0 7 • • • #07 son t respectivement des degrés suivants 

(12) (11) (10) (9) (8) (7) 

0, 0 + 2, 0 + 3, [0 + 3,0 + 4], [0 + 3,0 + 4], [0 + 3,0 + 4], 
(6) (5) (4) (3) 

[0 + 4,0 + 5], [0 + 4,0 + 5], [0 + 4,0 + 5], [0 + 3,0 + 4], 

(2) (1) r (°) 

[0 + 3,0 + 4], [0 + 2,0 + 3], 

où 0 est le degré de la fonction 
De là suit que 

« =/(0) +/(1) H f-/ll2) + 12 = 130 + 47, 130 + 48, 

130 + 57, 130 + 58, 



0+1, 0 + 2 
0 + 2, 0 + 3 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 185 

a. 

et 

/( = n'fi' j/^ -f (>, y ) + n"fi" (/(>, -f q t y, ) 

+ «"y (/<* + es ';r ) + *">"" (/(>., + <>., ^ ) 

= 3(/(ll) + 114) + 5.(/(6) + 6.|) + 4(/(4)-4.1)+l.(/(0)-0); 
c'est-à-dire, 

^=130 + 85, 130 + 86, 130 + 95, 130 + 96. 

La valeur de t u — a deviendra donc 

[x — a = 38, 

comme nous avons trouvé plus haut pour la valeur de yJ 



9. 

Par les équations (92) -et (98) établies précédemment, on aura les va- 
leurs de toutes les quantités /(()), /(l), /(2) . . . f(n — 1), exprimées de la 
manière suivante: 

(108) fvi=f Çl + M n , 

où M m est indépendant de fç lm dette dernière quantité est entièrement ar- 
bitraire. Le nombre des coefficients dans q 0 , ç, , q 2 . - 7„_i, sera donc égal à 

(109) »/ ft + m 0 + m, + M t h h ; 

mais a, ou le nombre des quantités indéterminées <7 , a , (ï' . . . , est eg*al au 
nombre des coefficients déjà -mentionnés diminué d'un certain nombre. On 
aura donc 

(110) « = n/fc + lf, 

où J/ est indépendant de /(>j. 

De là il suit qu'on peut prendre a aussi grand qu'on voudra, le nombre 
fi — a restant toujours le même. 

L'équation (74) nous met donc en état d'exprimer une somme d'un 
nombre quelconque de fonctions données, de la forme xpx, par une somme 
d'un nombre déterminé de fonctions. Le dernier nombre peut toujours être 
supposé égal à y, qui, en général, sera sa plus petite valeur. 

De la formule (74) on peut en déduire une autre qui est plus générale 
encore, et dont elle est un cas particulier. 

24 



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186 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

En effet, soient 

(111) y.*. + V'.*H +V>«*u = v-(y tt+1 z a+1 + y a+aXa „-\ 

ViV+^VH h^'.-<' = 

»' - Wa-^'a'+i + H h 

où i///, y*', . . . sont des fonctions semblables à y/ x , »//„, ... 
Supposons, ce qui est permis, que 



et 



les équations précédentes donneront 

+ + • • • + f„x u - v - M yC_, <+( ,*v_, (+ft 

= v-v' + tf ,\, +1 x' l , +l + . . . -j-^>V; 
donc en mettant K au lieu de v — v\ a' au lieu de «'_,,.-[-„, 

V/, • • • </'/' hu lieu de ^„. +s , • • • «/'V, 

«i", a/, • . . au lieu de x' u . +1} x',,,^, , . . x ' fl ,, 
et enfin k au lieu de ,«' — «', il viendra 

(112) ^ + M + . . . + vv . _ ^ ^ v 

Le nombre fc, qui est égal à ,u> - «', est indépendant de a et qui 
sont des nombres quelconques. 
Si l'on suppose 

(118) = = ...^ = Ct , 

^, c 2 , . . . c, étant des constantes, alors la formule (112) deviendra 

(114) M + ^ + • • . + ^ _ y iW _ ^ ^ ^ = c+ ^ 

oh un nombre * des quantités *„ *„ . . . ^ . . . ^ sont fonc . 

Zd ' CU T U éqUati0,,S ^ 13) ' 11 ^ nu'on peut 

P^ndie c n c 2 , . . . q . de manière que 6' deviendra égal à zéro 

Supposons maintenant qu'on ait dans la formule précédente 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



187 



/ x x = x 2 = x 3 = • . . =x Fx =; 



x i 



•X. 



,+2 ^,+3 " 



■X : 



e,+e t "2 J 



X> 



(115) 



W-, M + 1 = + > = ' ' ' = V'« = ^ W ! 



en sorte que 



Supposons les mêmes choses relativement aux quantités x\ , x\ , . . . ï/Zj , 
y/ 2 , • * * a ? en accentuant les lettres f n f 2 , . . . f ffl , z 1 , , . . . z w , ^ , tt 2 , 
. . . 7r m et Alors la formule (114) deviendra: 



'M 



JTq Zy • • • £ w# Jl ^, ^ ^, ^ 



I *2 '^2 ^2 

où un nombre des fonctions n x z x , .t 2 2 J7 . . . tt/z/, • • • dépendent des for- 
mes et des valeurs des autres. 

En divisant les deux membres de cette équation par un nombre quel- 
conque A et désignant les nombres l'ationnels 



A' ~ A ' 



A 



par h xi Ajj, A 3 , . . . h a , et mettant <// au lieu de .t, x au lieu de z, et r au 
V 

lieu de . 5 il viendra: 

(117) + V'^ + ' • ' + A aV , «^« = ^7 

oîi il est clair que A n A s , ... peuvent être des nombres rationnels quel- 
conques, positifs ou négatifs. 

En remarquant que k des quantités x t , x 3 , . . . x u sont déterminées en 
fonctions des autres, on peut écrire cette formule comme il suit: 

(118) *iVi*i + *iVV E i+ " M* VV^-m 

= » + *i Vi'*/ + h Vi V H h h v* V, 

h x , A 3 , . . . h m , À\ , fc 2 , . . . k k 

24* 



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188 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

étant des nombres rationnels quelconques; 

X i1 X 2l • • • x m 

étant des quantités indéterminées en nombre arbitraire; 

étant des fonctions de ces quantités, qui peuvent se trouver algébriquement, 
et Je étant un nombre indépendant de m. 
Si l'on prend, par exemple, 

on aura la formule 

(119) /W,+7 W ,+ • • • wr w 

= »' + ' -h v* V -\ h V* V- 



10. 



Après avoir ainsi, dans ce qui précède, considéré les fonctions en gé- 
néral, je vais maintenant appliquer la théorie à une classe de fonctions qui 
mentent une attention particulière. Ce .sont les fonctions de la forme ' 

< 12 °) ff 
ou y est donné par l'équation 

(121) zy=y n +r*--=o, 

p» étant une fonction entière de ' 

Quelle que soit la fonction entière ]>() , on peut toujours supposer 
^ " J —Po = r?rï>rï . . . r/v, 

f 7 • *'< 8,mt des non,bre « ontiew et positifs, et r, , r„ . . r des 

fonctions entières qui n'ont point de facteurs égaux. 

tirera t Tf ltU T t ^ eXp, ' eSSi ° n d ° dww ^l™*»' ( 121 X on en 

tneia Ja valeur de savoir: 

/ioq\ »* /<* 'v 

* J .'/ = >■." r 8 - r 3 « ..., v «. 

Si l'on désigne cette valeur de y par j», et par 1 m a." 
les n mêmes de l'équation «•- 1 — n l i *»«*,«',...«» 

1 Jn w — 1—0, les n valeurs de ;/ seront 

(124) Ji i «> 8 #, «> 3 ii\ . . . 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



189 



on aura, par conséquent, 

(125) r = %'.%'\..fy w = Oz„ + q,R + qjl* -\ \-q..Jt"~ l ) 

X ( 3 , + coq, li + i»% ir--{ h «""-'tf.-,/^- 1 ) 

X (q„ + c»*^ + i^qji* -| 1- w 2 '- V t /?"-') 

X (?. + «» V + «V H h ^qn-^- 1 ) 



X (?„ + oi—j, li + «,-- » g , if» + f-' «, f—^.., 72—) ; 

attendu que 

/ %'=?„ + -h <z 2 # 3 H h?-^"- 1 , 

non / ^ //= ft+ «fc* + »VP+ • • • +«>- , 'Z» \ 

' etc., etc. 



Cela posé, soit 
et supposons 

oîi f 2 x et f % x sont deux fonctions entières de alors on aura, en vertu 
de l'équation %y = 11" ~\~ l>o ? <l u î donne %'y = ny*~~ x , 

d'où 

(.29) 

L'une quelconque des valeurs de y est de la tonne io r H, donc 

(.30) 

il»/' )• ' * ou * es l es fonctions 
^a;, . . . yi^x seront de la forme in~ rm \f>.r. Soient donc 

(131) tfr 1 x — a>-''"'ifi.r, ifi i x = iD-'* m i/>.r, . . . W ar = «* - '''" > 



où 

. r/.r - 



Maintenant les équations (38) donnent pour yx et les expressions 

suivantes: 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

c'est-à-dire 

où il est clair que 

y" ii™ i ' r -f-"» - — Rm 1 

ou bien 

v H% _ 1_ ) log 07? _J_ w — Jog ^(0)7/) w -f l og . tf^/) | 

y- fl« \ _| h«»-'"^logtf(e«>"-^B). | 

En faisant donc, pour abréger, 

(132) w x = £ 3lV ) lo ê* d7? + lo g + w- 2 '" log 6(u> 2 Ii) ( 

f -) h«r f "~ M "log*(«>"-iff) | 

on aura 

(133) „ = ££, 

La formule (41) deviendra donc 

(134) w-<> m f Xl -f a>- ^ -| [_ ^ 

Les équations /f * W ) ' 

%i = 0, %=o, . . . %„=o, 

qui ont lieu entre les quantités «, a', a", . . . ^ , . . . x ^ ^ . . . f 
peuvent, dans les cas que nous considérons, s'écrire comme il suit: 

= 0, flfo, = o, tffc, = 0, 

oh ••• %,,»'^) = 0, 

%> .y) = ?o + + fc// 2 -| \- q^y-\ 

et H 7? 3 , . . . ^ désignent les valeurs de 7«> pour * = a-,, . . . x„. 

te a posé, supposons d'abord que tous les coefficients dans ?0 , ?1 , . . . ». , 
-ent des quantités indéterminées, en sorte que le nombre des quantités 
a j ° 7 a ■ , . . . serait 

035) « = ^ fl + /, 7l + %+ . . . +hn i + n _ h 

et cherchons la plus petite valeur de „ -«. 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 191 

Comme toutes les fonctions y\ y", y"\ . . . y<»> «ont du même degré, 
ou aura 

h/ = hf = hf =...= hy" ^ ; 

par conséquent 

t = 1 , 11 — ItffL = k'. 

L'équation (92) donne donc 

(136) /»=/fc + (fc-*0£--<C, * • 

où m est un nombre entier quelconque depuis zéro jusqu'à n — 1 , et AJ 
une quantité positive moindre que l'unité. 
On a de même par (106) 

fi=hr = ny (/<>! + <>! 

donc 

(137) ^ = w/ft + »W Pl , 

et par l'équation (62) la valeur de qui sera celle de ft — a, savoir: 

/iqon , ,n'm' — 1 , m' -4- 1 , , 

(la») /* — « = y = M/i 2 2 + 1 ' 

ou bien en remarquant que n = n\u', n m' = nhlt: 
(139) _ « = y = " - 1 n . Ml + + 1 . 

C'est là la moindre valeur de // — a lorsque toutes les quantités a, a\ 
a", . . . sont indéterminées;- mais dans le cas qui nous occupe, on peut ren- 
dre ce nombre beaucoup plus petit en déterminant convenablement quelques- 
unes des quantités «, a', a", . . . 

Désignons, pour abréger, par EA le plus grand nombre entier contenu 
dans un' nombre quelconque A, et par eA le reste, on aura: 

(MO) A = EA + cA, 

où il est clair que eA est positif et plus petit que l'unité. 
* Cela posé, soient 

(141) 0 m = E 4- E 2/Mm + E }] > Um J UE , 

et 

(142) ^, = ^-^(^- aw )/ 



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192 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc7 

oh 'm est l'un quelconque de» nombres 1, 2, 3, . . . *, .i un de» nombres 
0, 1, 2, . . . n — 1, et a n . . . a e des nombres entiers positifs. 
Supposons 

(143) î, = vA-V>... r /- 

v T étant une fonction entière de x. 
De là on tire 



or 



niais en vertu de l'équation (140), 

A' ( iT -"'" _ M_ ^Z'™ _ 5- _ f I 7 3'« - "» \ 
donc en substituant: 

(144) «*> + ,y =v + + é -_«. 

en faisant donc, pour abréger, 

(145) — 
on aura 

ou bien en faisant 
(147) „*., A,., = ft ,„ : 

,,^.,r^...^ U „, 
Par là il est évident qu'on aura 

( '/.H-ytiif+v,if-+ . . . + , /jfJ «' + . . . +7 „ ^-i 

(149) / =(oJi«»+o l R<». + Vsl ïc;)_ { •••+^if*- y ) ■ 

! • *■'+:■" •.+.? 

' i ... r e 

et en général (126) 



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Mémoire sur une propriété générale eu-. 193 

(150) ' = M"" + "^i^" + < y2e ^ H h a» f "- I> ^ 1 ii f - y ) 

\ X /-! /•„ . . . r, ; 

Soit, pour abréger, 

(151) v 0 R (0 > + <»'tvft fi; + w fc H h a>'- y 't> 1 _ 1 i*'»-» = 0>, *), 

il est clair que 

(152) r = 0y'.6y" . . . 0y (n > 

= $'(x,Q)e'(x,l)6'(x,2) . . . 6'(x,t£-l)r;*+«>r; 0 *+" . . . r' 8 '*"", 

donc eu supposant que tous les coefficients dans v 0J , ... y„_, soient des 
quantités indéterminées, on aura 

(153) 012 , 

v ' Fa? = tf'(j;,0)« / (»,l)tf'(a;,2) . ; . 0'(x,n— 1). 

Maintenant l'équation (19) donne, en substituant les valeurs de f x (x,y) 
= nf 3 x.if- m ~ l et de %'y = 

Jir— v/«* ÎL'^f. 

— r «y ' 

or, par l'équation (150),' 

donc, en substituant et mettant au lieu de r sa valeur, 

/• = F 0 x . Fx : 

(154) Rx — Fx^ AxF ^ m ' r,e) , 
où 

or, on a par (123) 



m^t , roi/, m t l f 



y m = r i " r, 



2 



r 



donc • 

' ]?"•'' £ m,tl ê mU - 

(155) y*» = Tl r t . . . r e X r x . r 2 ... r, 

en faisant donc pour abréger 



( 156 ) ** — '"i " r 2 n . . . r 



25 



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194 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

et posant ensuite 

on aura 
donc 

et par conséquent la valeur de lix deviendra 

! . + ...+„-,.-.» w^^,) ) 

Maintenant il est clair que • 

4iv*' ( *' o) ' 

qui est égal à (153) 

B'(x, 1) 2) . . . B\x, n~ 1) J#' (aî} 0) 

et par conséquent une fonction entière de s et de B<°> B<>> R<-» imit 
être mise sous la forme ' ' ' ' ' 1 

M 0 + + ^ + . . . + 3/ M , w + • • • + i/„_ lV , , 
ou M 0 , M n ... J/ b ^ sont c i es fonctions entières de x. 

De là il suit que la fonction Ux\ qui doit être entière, sera égale à 

ni\x.fx.M m . 

La fonction est donc un facteur de lix, et par conséquent 
(159 > Ux = F^x. 

aura ?ar ^ " "* ^ V6rtU de " ^l™*»» ( 23 )> (25) et (35), qu'on 

(160 > Fx'-V 0, f 

Uela JXMé, 1„ ïaleur (182) (le ^ <lev . o|idra; en ^ 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 195 

de 5 substituant les valeurs de Q(Ii), 0(coll), etc., données par l'équation 
(150), en remarquant que 

1 -f- w— ' -f- (o- 2n » -| -J- or -<*~ l >* = 0 : 

(161) w x = f -* ! %^,0>+c^log^,l) + co--log^,2) 

V } ^ ) H 1) 

et les valeurs (133) de <px et 

et par suite la formule (134) donnera 

(162) œ-^iffx, -f œ- e * m ipx 2 -| f- ar>>a^ 

on a 

fix^x—fl^ix-fl,)* . . . 

/ Il nous reste à trouver la valeur de // et le nombre des quantités in- 
déterminées; or, on a par l'équation (153) 

(163) kF 0 x = (nO x + ai )hr x + (nO Ë + a, ) Ar t H 1- + a,) Ar e ; 

mais 

donc 

/< = + nWft - |>A + a^hr, + + -f h + <0**vl 5 



or 



. V = n . Al? = n ( £ Ar, + £ Ar, + .•• + £ ^ ) 

= /*i*ri + »'H — >v , 

donc en substituant, 

(164) ,;— j w /Pi + C"iCi — vd i — "i)^ r i 

Maintenant l'équation (143) donne 

(165) hq, =fn = â hn . Ar, -f * ff> .hr,-\ h . hr f -f- Ar, , 

donc, en écrivant p au lieu de p„ 

,« = nhv t + (nâ 1 ,„—ne, -f (*,«, — «,)/*»•, -f (n*, «0 2 + p/i, — a,)Ar, -f- 

25* . 



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190 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GENERALE etc. 

mais en vertu de (144) on aura 



no mi0 — ne m -\-çft m — a m = ii.é" 



donc 

(100) f i = nhv f + n.e W^l^ + n.ê ^'V^H +n.«- f ^ hr t . 

Cherchons maintenant la valeur de a ou le nombre des indéterminées. 
On a 

u = 1iv 0 -{-hi\-\-hv i -\- • • ■ -\-hv,,_ x -f-?? — 1, 
donc en vertu de (105) 

% + % + % H — ' + hn-i -\-n — \ 

-(<Vo + *i.. + '>i.H h^-i)*»", 

(167) « = / -(^-l-^.-j-^.-j h\»-.)^ 



. — (<^. o -|- <K i + + • • • + <K » -i ) * >' f • 

On a d'après (130) et (85) 
(108) + ••+%.., 

= M -*? f +[«» + (p-i % )+---+(c-»+i)l^--(^. / +^iH h 4 --.) 

- n (hv 9 + + v '•*+•••+ ) + (,, e - ) _ «v-D , 

et d'après (142) 

(10») + ■•+*- k .-, = »«. 

— | E~ a - -(- E- tm -~ " m -|- E 2fÂm ~ am -[-... | 

En désignant le second membre par 



on aura 



or, la suite 



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MÉMOIRE SUR UNE .PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 197 



contiendra k m fois la suivante 



si Ton suppose 



•+.! + .»+...+!!=», 



/'m /'» 



: ~ w - et n = k m v m ' 
et 

(170) a m = e m k„,, 

e„, étant un nombre entier. 

La somme dont il s'agit sera donc 

et par conséquent 

. p ■ n — 1 v m — 1 , 



En faisant a TO = 0, on aura d'après (141) P m = 0„ n donc 

fi — n ~ l u —H- m ~ 1 h • 



de là il suit:* 

<Vo + ^«.î H h ^«..-i = «■ + (« — i )0» ; 

la valeur de a deviendra donc 

nhv f + [»A e — «, — (» — 1)0,] hi\ 

+ [**..,-«,-(»- W'^H 

. . «V— 1 ) i f »fw— 1)\ i»' 



or 

7? 



<.-«.-»#. = »». f^- ""'-(>/<„,, »>' = » 



et 

donc en substituant 



+ (». f ?!^ + tf f _?7-V f )Ar t +-.. 



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198 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

niais nous avons vu que 

0 — n ~ 1 n îtm ~ 1 h n — 1 11 — *» 

donc 

jrf. f +(...f.L.^Î._î^*,)» ri 

< 171 ' «=j +(». ( t"i 7 7-5«_»-*.) Ari+ ... 

( +(...i&=a._ï^) 4r ,_ 1 +»+»:. 

Ayant ainsi trouvé les valeurs de ,,, et „ on aura celle de u-a 
savoir : ' ' 

(172) ^-«=--A/, ri+ ^, Tï+ «-A, rs+ ... 

est donc, comme on le voit, indépendant de p et «,, « s , . . . « f . 
En vertu des équations (145) et (147), il est clair qu'on aura aussi 

( 173 ) P = n.hv (! + n.hRW, 

Les quantités kv 0 , hv n . . . peuvent s'exprimer en hv au moyen 

des équations (136) et (165). 9 7 

On a 

fm = â.Jtr, + -| f_ _f_ ^ 

et = «M* + â %9 kr a H 1- ,^r f + hv<; 

donc en éliminant fm. et /p, 

| ^ + (p - WÎ )^ + (^-^)^ 1 + (<\ f -^)Ar ï + • • • 
Qr? ( +(^ 9 -^ n )^_^. 

»«' _ 1 , 

V'— iruw+M'-iH h,«>e), 

et par 142) 



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MEMOIRE SUR UNE PROPRIETE GENERALE etc. 199 

k ,-*.=#.-*( ? -?)-{..-*( ) j 

= (. - rt * + . Ja=5 _ , lac- - = (,„ _ (>) a + h; _ Km . 

donc en substituant et réduisant 

c'est-à-dire en remarquant que AJ est positif et plus petit que l'unité, 

(175) *».=*i, e +£Î^-^* ri+( ^~^-] A ;!+-V w j. 

D'après l'équation (147), qui donne la valeur de on peut aussi 

écrire 

(170) ' kv a = kv, + Eh-*l~ 

Cela posé, soient 

(177) < ^ U + l == Z{ ' ^" + :fZ=:2:î ' ^«+3 — ^3 5 • • • X u-l Z — Z 0- \ 1 X n = - Z 0f 
( e a + l' = *1 J C u + 5 Z - Zf 2? .^«+3^— *3 J • • • *7<— 1 =Z * 0—1 > e ft = — è 0') 

et pour abréger 

(178) tu -< > = œ u , rVzz,7 r 

La formule (134) deviendra, en mettant s m (x) au lieu de s Mj et au 
lieu de <p^x, 

(179) 017^ -f- co^px, -) [- (<i/^- a -f .1- ifjz, -f .7 J ^ h *S 



Dans cette fonnule on a 

où jfx* est une fonction entière quelconque, et 

Les quantités x XJ x 21 ... x al sont des variables indépendantes; œ t1 co 2J 
. . . a> a , des racines quelconques de l'équation 

— 1 =0. 



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200 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ. GÉNÉRALE etc. 

Les fonctions z n z s , . . . z 0 , sont les 6 racines de l'équatîon 

Les quantités «, a', a", . . . sont déterminées par les a équations 
•(182) 0'( : x l ,e i ) = 0, d'(x„e 3 ) = 0 } = 0, . . . 0'(x u ,e tt ) = Q- 1 

et les nombres e, , f „ . . . f()j par les 6 équations 

(183) •*'(*,, fl ) = «, = 0, *'(*,%) = <>, . . . = 0. 
La fonction 6'(x,e) est donnée par l'équation 

(184) 0'(x, e) = v 0 lt«» -f m'vjiw + io*'vJt™ + • • • -f w'"^^^'-", 
et la fonction <px par 

(185) y (a;) = log 0'(x, 0) -f w— log 0'(x, 1) -f log 0'(*, 2) -| 

-f w-f-^iog tf'fo n— 1). 
Si les fonctions r„ t-, , . . . sont déterminées d'après l'équation (175), 
les quantités 0, t u et a auront les valeurs que leur donnent les équations 
(172), (173), (174), et dans le même cas la vaieur de ,a — « ou le nombre 
des fonctions dépendantes est le plus petit possible. Mais si les fonctions 
v 0 , i\ , .. . . v n _ t ont des formes quelconques, alors on a toujours 

(186) * = tt = h[6'(x,O).0'(x,l).6'(x,2) . . . *'(*,»-.l)]ï 

« ou le nombre des indéterminées «, «' a", . . . est arbitraire, Priais sa va- 
leur ne peut pas surpasser le nombre 

hv 0 + ko, -f ^ f_ / u , a _ ( n _ i > 

ou celui des coefficients dans r 0 , . . . moins un . 

Comme cas particuliers on doit remarquer les suivants: 
1° Ixn-xqué f,x = (x—,iy. 

Alors la formule (179) deviendra, en faisant pour abréger, 
«ï>*. + o»ï <^ H h <V"Y, = Sa'px, ■ ' 

*rv*, + h h .75^ - 

(187) m ,i< x -\-^u m ,pz = (J _ ff . _/'••'/-.« , 1 \f{i. ( f t i{ 
et ' TV j ^) j'' 



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MEMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 201 

2° Lorsque f 2 x = x — /:?, 

,188) W +s*-„=<j- n ^££_ + ■ 

OÎl 

3° Lorsque f t x=\. 
Alors ou aura la formule 

(189) S m - ^ _|_ v 7 » ^ = c—n ■ 

Si le degré de la fonction J ,l ' f f tl es ^ moindre que — 1, alors // — ' 
s'évanouira, et on aura > 

(190) 2w m -f - Sn m ipz = C. 

D'après la valeur de tpx, il est clair que le degré de la fonction 
'■ — '~ ou le nombre h-'-\\ est toujours un nombre entier: or wx est du 
degré zéro en général, et ne peitt pas être d'un degré plus élevé, donc 
^ ~s '(l) ue P e " u * P as 8Ur P asser ^ e pl ,ls g %l *<™d nombre entier contenu dans 
A 9 ' ^ ? c'est-à-dire que, d'après la notation adoptée, on aura en général 

h <; Eh£^- <: E(hfx) + E[-hs m (x)] <L hfx + E[-hs m (x)}. 
Si donc 

(191) hfx<-E[-LsJx)]-2, 

le nombre ^'^ ^y ^ra toujours moindre que — 1, et par conséquent la 
formule (190) aura lieu. 

La détermination de la fonction </u*, qui dépend de celle des quantités 
«, a\ a'\ etc., est en général assez longue; mais il y a un cas dans lequel 
on peut déterminer cette fonction d'une manière assez simple^ c'est celui où 
l'on suppose 

(192) ^ e\x,0) = e t H (t) + li ( ^. 
En effet, en faisant 

(m » t =ox, 

2G 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

les équations 

0'(x l ,e i ) = (), B'(x s , ... B\x u ,e a ) = [) 

peuvent s'écrive connue il suit: 

(194) 0Xi = at[ ,-, 0iXii Bx^'io^B^ ...0^ = 

Eu supposant maintenant que tous les coefficients dans A/; soient des 
quantités indéterminées, la fonction Bx sera du degré a — 1 • il «'ao-it donc 
de trouver une fonction entière de x du degré a-1, qui, 'p ouv £ „ va . 
leurs particulières de ,;: x l7 x„ . . . .>•,, auront les a valeurs correspondantes 

• Or, connue on sait, la fonction Ox aura alors la valeur suivante: 

(,— ., 2 )(,._,. 3 )... ( . i; _ rf . re) 

('.-*.)(*,-* j"~(*t-^) f °< *> :c ' ' : 

^ En désignant cette fonction par k fom;tion la lus énérale j 

peut satisfaire aux équations (194) sera 

(mî) ^ = ^ + • • • 

0"x étant une fonction' entière quelconque. * • ■ 

Ayant ainsi déterminé Bx, on aura *'(*,«) d'après l'équation 
^ 197 ) 9{x-, m) = m ,m $x.R v} -f- w'"'<l{<'>\ 

et la fonction <p; par l'équation (185). 

f 06 PréCède ,lOUS aVO " S ex P°^ « e q« concerne les fonctions" 

J >,>:.. e " S éuëral > ( l" ell c que soit la forme de la fonction s.. ' 

Considérons maintenant quelques cas particuliers: 
A) soit d'abord n= 1. 

r«m?^T ,e ."" mbre "** f "" ctious «•> • rfd«hà- 



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MEMOIKK StJlî UNE PKOIMUKTÉ fïÉNKRALK ctr. 203 

Ou aura doue 

, 0 = i, v>*=J^ • 

L'équation (147) donne ll (n) =l, et l'équation (184) 

d'(x,0) = vji<«> = v 0 (x); 
on aura ensuite la fonction tpx par (185), savoir: 

Les équations (182) qui détermineront 
seront 

(198) ' *>«(*,) = 0, <o(.*y) = o, ... roW==0 , 

et celle qui donne 2, , z 2 , . . . z 0j 

Gela posé, la formule générale (179) deviendra, en remarquant que 
m = 0, . 

(200) v'*i + v«« H h + V' 2 i + H' z 2 H h y*<» 

• •• =°~ ^:.% î, ^+^' / ^ io g , o(/ 9)). 

Les équations (198) et (199) donnent 

r 0 (aî) = a(.r — — ^)(.r — x â ) . . . (.r — .r„) . (;/• — z,) (.r — z t ) . . . (x—z 0 ). 

D'après l'équation (172) il est clair qu'on peut faire 0 = 0. Alors on 
aura, en faisant en même temps v = 1 , 



2xf>x = 



C- TJ ^[logrr+log( ; r~ i r 1 ) + log (*-*,) + - • . +l„g (,-*.)] 
+ ^ 0[log^ + log(/?-^)-hlog(/?-^)+ . . . + log (/?-<)]. 
En faisant « = 1, il viendra 

(201) /^.=c- W /îu*(,_„)+x^ (^W-*,)). 

formule qu'il est aisé de vérifier. Elle donne, comme on le voit, l'intégrale 
de toute différentielle rationnelle. 

26* 



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204 



MÉMOIRE SUR UNE PROPRIETE GÉNÉRALE «te. 



B)-soit on second lieu n = 2, i?=r*r/, « 1= =1, « 1== 0. Dans ce ea> 
on aura 



* 0 =1, .^(r.r,)*, 7^ = ^", B<» = rf, 

• «V,0) = r,r-"+i; 1 r», »>, 1) = ».»•• - v// » = - 1. ' 
La fonction tpx sera, en faisant m = 1 , 

<p; = log 0) _ kg 1) = ]og •£> <0 , 
donc /? ' 

<ra = loo- .Mil+JliV . , 
* n i i 

0' 1 ' i 7 2 

Cela posé, en mettant vfr) et au lieu de v„ et et faisant 

la formule (179) deviendra, en faisant w=l,. 



(202) 2 « if lx + 2* y/s = C — 77 - /,f - loo- [ -"«W y '/V r + (•'•) X '/ , * 

./s*y (f ;x • <f x x * \ vj.r) y'^.r — Vj (, r ) y 
7 fa*Yff 0 .i\ff l .r 

Les fonctions r 0 (.,) et «,,(*) sont déterminées par les équations: 

? '»(^) }W* + «wfo) f V, î 8 = 0, etc. 
et «i, 2 S , . . . «o, par l'équation (181). qui deviendra 

(203) hOOlV.-— h(*)]V r ,c 

(-—*,)(*-* .)... (,_.,„) =o. . 
Les quantités „,„ . . . i0 < mnt ^ ^ ] ^ fc _ 

^, qui sont aussi de la même forme, sont déterminée- par 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE otc. 205 

La plus petite valeur de 0 se trouve par 1 équation (172), en remar- 
quant que 

h x = 1 , fe=:l; 

on aura 

B = \hr x + ±hr t - $ = i[*(V*)-»'L 
où n' est le plus grand commun diviseur de 2 et -\-hr t ; si donc 

/? (y 0 # . y»!») = 2 m — 1 , 

ou 

h((p 0 x.(p l x) = 2m, 
on aura pour 0 la même valeur, savoir: 

0 = m — 1 ; 

quant aux valeurs de v Q et w 17 on aura l'équation (176), savoir, si p = l, 

Ha) 

kv 0 = Aî? t £A fi - (0J = -f E\(h(f ,x — h(f () x) ; 
donc dans le cas où h((p a x.q) 1 x) = 2m — 1, 

Ar 0 = hi\ -f | (% ^ — % 0 .r) — £ , 
et dans le cas où h((p 0 x.(p v /') = 2m, 

hr 0 = hv x -f - 1 (%./• — % 0 *). 

Pour les valeurs de // et a on aura, d'après les équations (173) et (174), 
// = 2hi\-\-hcf) l x 1 
a = 2hi\ -\- hxp x x — m -\- 1 . 

Si w=l, on a 0 = 0, donc alors: 
Dans ce cas: 

où i? est du premier ou du second degré. 

Cette intégrale peut donc s'exprimer par des fonctions algébriques et' 
logarithmiques, comme on le voit, en faisant 



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20(î MEMOIRE SUR UNE PROPRIKTE GENERALE etc. 

on aura 



a = l — 9 = vjp), 

V'/Vi 



donc en substituant et faisant a) i = 1 7 



(204) f ... • / M :' ,X 



+ <VK«i-''i + <*i) 

./> loa V(«o^+rfoK«^iT^) + >Wi + 4)(e^+<j|)\ 

(.,—>)'•:?(£„.,•+ ,ï„) («,.,• + ($!) °" V(é^+ (ï„)(e 1 x 1 + ,y 1 )^y( Co .r 1 + (!f 0 )( £ ^+5,) I 

soit, par exemple, r = 0, /.r, — 1 , on aura, en mettant 2 au lieu de x A , 

JV(fo- + rf„)(e 1 c + (Ji) ~~ 

' " 1 ~ I V(£ ( , f + d„) ( £ ,.r + ($0 n i/( tl ,r -f <î 0 ) ( £ ,r + — y( £ ,x + d,) (««c + 4) ) 

Il •* y £(l£) 1 . / <M y £o y £l c + a, - y £l y £o .- + 4, ~ Il 

done 

f _ ^ ,z - _£i 1 j 00> v^y^+d.+y^y^+d^ 

J y ( £o « + <y 0 ) ( £l2 + "j, j "f" y £(|£l ( 8 y £() y £l - + _ y £| y É( - + <î 0 " 

Si v// = 2, on aura 

//(<f „:r.<p i x) — ?> on 4. 
Dans ee cas on aura donc 

(205 ) ZwifJX = V — ^l/'Z, = („, ,//.,-, -|_ (y, ,/,.,-, -| 1- IO u if>S„ ; 

et la fonction i/>x sera mie fonction elliptique. 

On aura immédiatement la valeur de z, par lequation (208). 
En. effet, en faisant 

(»„ 2) * y,, z — (», z) 2 y , z — yl -| 1- y; 2 " + 1 , 

on aura ' • 

x l x i ... Xu z i = A H (-l)" +l , 

donc 

= A (_-l)« + t . 
7i .r 1 .r i . . . ' 



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MÉMOIRE SUtt UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



207 



A 

il est clair que est une fonction rationnelle de , x, , . . . x u , }^(p 0 x i , 

. . . y</v\o Vvi^i, y^i^, . . . y^Â. 

Soit, par exemple, 

<p 0 x=l, cp i x = a 0 -\-a i x-\ r a,x :i -\-a. 6 x\ i\x=\, v 0 x = a 0 -\-a l x. ) 
on trouvera les équations: 

^o(^i) = — o>i.Vyi^i — — ^2 y^i^ , 
^(^•) = — «i, f - ; y^,*, — cw, ^ y , 

on trouve de même: 

A — aî — a 0J B= — ( f s , 

donc 

2— 1 _ ( a ?> — «o) _ 1 / x\€piX\ + ^'îJjTi' 1 '^ — 2cj A ftia - Yy A .i? A . yi »r 2 \ 

si l'on fait 

w 1 = 1 , œ 2 — + 1 , 
l'équation (205) deviendra donc 
(206) xp Xl ± xpx 2 = ± xpz + : 6' 



ou 

\px 



» ( - A =■ lo K ^ ) + * " t^i ( - JL r- log F fi ) , 



'' — / — — - =_É^-^' 1 ^ — =r— _ , wx = a 0 -\- a.x A- -I- a.x 3 , 
(j; 2 y'f|rvci ± •'•îV^-i ) s — ao fa — Xj)* 



Fx = 



ou bien 



I X 2 ^-i — * 1 



^V'i + Vy^A I J^y 58 



(Xj— x) (a;,- x a ) — (x a — x) (x a — x x ) (x — x x ) (x — x a ) 



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2<>8 MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

Pour f a x = x — ft, fx=l, on a 
et pour y>=l, fx=l, 



t + = + ,^ _J_ 6', où fx = / 

J Vrr.v 



VA _ . . . r . 

Vf/.. 

Soit encore ™ = 3, ou aura 0 = 2, et h(<p )) x.<p l x) = b ou 6. Dans ce 
cas donc ou a 

/' fie . d.c 

wx= ! ._. , 

où if est un polynôme du cinquième ou sixième degré, et 

w l tfjx, -f w s yjx s -| 1- Wa y Xo — „ _ ^ ^ _ ^ y;i8j > 

Ces fonctions z n Zj sont les deux racines d'une équation du second 
degré, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de x t , x s , x 3 . . . 
et y# 1} y/4 . . . ? en désignant par B,, IL, J{ 3 . . l es valeurs de # 

correspondant k z„ x,, x, . . . . 

Comme cas particuliers je citerai seulement les suivants : 
1° Lorsque fx = A Q + A l x, f s x=l. Alors on aura 

lffX=[ ( A » + \*) <1^ 

et •/ >'«<> + «i .r +•-.•+ «s-* 16 + «fax* 

± V i ± VA ± '/A ± • • - ± — ± H<z, ± v«, + C. 
2° Lorsque y v x- = 1 , « o + , + 3+ 4 + . 

Alors on trouvera facilement 

et 

± VA ± VA ± VA = ± V 2 i ± V- 2 * + 

- n S* i ofl . ^ _u v „ </ "~ 1 l *V | 

où 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. # 209 

et 

±jV_i , ±Vï*~i „ i __± Vy*s , J 7 ^ 

(*x C*i-*a) (*i-*i")(* a -a:s) ' (*3-*)(*3-*i)(*3-*iJ> (*-* x Û»-* a )(»-ï g ) 

z A et 3 3 sont les racines de l'équation 

Qu*) 2 — qz __ 0 
0— jjj) {z — x 2 ) (z — x 3 ) 

En faisant dans la formule générale (202) ^=1, on aiira 

1 — .r 2 ) . . . — #«) " y-o x i 2 (a- 2 — tfj) (# 2 — ./- 3 ) . . . — j^) f c p 0 x 2 

_ . . . _ w J, 0 ,,, ( jf - i/y^ 7 

" 0„ — OTi) • • • (x a — X a _ X ) V y QtXa ' 

et d'après cela 



VnX = 



où 



c-n[ — A_=io g ^ 

\fi x . Yfpvc . y ! x * î # 

+ v„f7i( Jl 



F,x = 



r yu^i 1 r y 0 g a i 

o?)^!— • • • (tfj— * u ) ' (.fa — x)(x 2 — X,) • • • (x 2 —x u ) ' 



F x x = 



j r | ^ y„* 

7^0*1 r r y 0 * 2 i 

— x) — ^) • • • (xi — x u ) ' — (.-r a — #i) • • • (.r* — .r tf ) ' 

f j ; . . Y*.'* _. 

\ ' (**•« — •*?) — . t*i) • • ■ 0« — j . — x'i) 0 — •••(#— # u ) ' 
2^ sont les racines de l'équation 

(c— (z—x 2 ) • ■ • (*—#«) 
En faisant dans la même formule générale / 2 x = 1 , on aura • 

S aV x + yz = C-nl , U . log 

27 * 



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210 MEMOIRE SUK UNE PROPRIÉTÉ GENERALE etc. 



OU 



l l JX = / 77"=----= • 
Si /j? est du (w— 2) e degré, on aura 

w ij>x -f- Smpz = 6 r ; 
Si Ton fait f^x — x — fi,.fx= 1, on aura 



où 



r dx 

ip X= \ - — . 



1 2 



C) Soit en troisième lieu « = 3, R=r 1 3 r*, a 1 = 0, a 2 = 0. 
Alors on aura 

1 2 2 1. 

* - 1 , », = r» , ?1 = r «"r/ , # <•> = «„ , #w = ? = ^ } 
6'(x,0) = o 0 -\- Vl r?r* + v a r>r}, 

1 2 .21 

1) == o 0 -f- «i»^' r," -f m'v a r?rf , 

y* ^ log 0\x, 0) -j- «)- log e'(z, 1) -f w«- log 0V, 2), 

*'(■*, 0) 1) 2) = o2 + „} ri r \ + vl ri - 3t W r, . 

En faisant donc «=1, ,. = ^ , = (jJj) = ( ) 

». = la formule (179) deviendra • 

/ . f , A 

, - s [log (J» -f o> log -f to* log (F,x)] 



ou 



: - r- 5 - 



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MÉMOIRE SUR UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 211 

2 ai. 

12 2 1 

J> = iT,(a-) + ««'.(tf).^) 3 fax) 3 ~ + „,»»,(*) (y,,*) 3 ((/),/)», 

12 2 1 

. F s a- =; v a (x) + tu 2 ?», (a?) (<p 0 x) 3 fax) 3 -f ^(.r) (y 0 x) 3 (y,*)» . 

Pour les mêmes valeurs de or, , x 2 , x 3 , . . . z, , z 2 , . . . F 0 x, F t x, F s x, on 
aura aussi 

2 u>\f>x -\- 2 nyz =. 

C-fT 1 _ [logC^ + wMog^ + wlog^ir)! 

( fw -(fr.fi* wy ' ) 

Les fonctions z,, z s , . . . z„, sont les racines de l'équation 

f c ?{?)J!+ M?) ] 3 Vo 2 (^) 8 + [»■ (5) ] 3 (yo«) 2 (yi «) - 3 »o («) L »i (2)^2^2 . (p } z = 0 

(z -r a-,) (z — a-,) (z — *„) • • • (z — *„_,) (z — *„) 
D'après l'équation (172), la plus petite valeur sera 

en remarquant que = 1 7 7^=1, ri est le plus grand commun diviseur 
de 3 et hr 1 -{-2hr 9 . 

Soit d'abord hr l -\- 2hr 2 = 3w, on aura w' = 3 et 0 = h((p 0 x'.<p 1 x) — 2. 

Si -j- 2Ar, = 3?w — 1 ou 8?/? — 2, on aura ??' = 1 , et par suite 
0 = h((p i) x.<p 1 x) — 1. 

Ainsi, par exemple, on aura pour 

Hv Q x. Vl x) = l J 2, 3, 4, 5, 6 . . . 

0 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . lorsque Ay 0 ^-(- 2Ay 1 rr = 3m+ 1 
et 6= 0, 1, 2, 3, 4 . . . lorsque k(p 0 x-\- 2hip l x = Sm. . 



27* 



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XIII 



RECHERCHE DE LA QUANTITÉ QUI SATISFAIT A LA FOIS A DEUX 
ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES DONNÉES. 



Annales de Mathématiques pures et appliquées rédigées par M. J. D. Oergonne, t. XVII, Paris 1827. 



Lorsqu'une quantité satisfait, à la fois, à deux équations algébriques 
données, ces deux équations ont un facteur commun du premier deo-ré. ' En 
supposant quelles n'ont pas d'autre facteur commun que celui-là, "on peut 
toujours comme l'on sait, exprimer rationnellement l'inconnue en fonction 
des eoefficiens des deux équations. On y parvient d'ordinaire à l'aide de 
élimination; mais je vais faire voir, dans ce qui va suivre, que, dans tous 
les cas on peut calculer immédiatement la valeur de l'inconnue, ou, plus 
généralement encore, la valeur d'une fonction rationnelle quelconque de cette 
inconnue. 1 

Soient 

(1) tpy =p 0 + Pi y _j |_ i>m i ^ + yn _ 0 ^ 

(2) n , y = q ,J tqi yJ r qi y^ r -<7»-,#"- I + ?r = 0, ' 

les deux équations proposées, la première du ««- et l'autre du »*» degré. 

Designous les n racines de (2) par y vu „ . î i X 

„ T1+ x-.,,. ■» , , , y ^ > V Al u i Vit Vit ... y„_i; en les substitu- 

ant toui à tour dans (1), on aura les n fonctions 

(3) 



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(4) 



RECHERCHE DE LA QUANTITÉ QUI SATISFAIT A DEUX ÉQUATIONS. 213 

Soient 

R = yy x . <py t .<p lh (py H 3 . <py n , , 

Ki = <py • v>!h • <P!h <py»-« • <py„-x , 

74 = 9?/ . .</>?/,, y y a _ t . , 



^ n _2 = <py • yy. • wh «ipz/n-a • y y„-i , 

l i?„_i = <py . (pij! . <py a <py„_ 3 . tpy n _ t . 

Cela posé, soit fy la fonction rationnelle de y dont on vent déterminer 
la valeur, et désignons par Oy une antre fonction rationnelle quelconque de y. 
On aura l'équation identique 

(5) , fy.0y.R=/y.0y.R. 

Maintenant, ayant <py = Q, on aura 

R[ = 0, R 3 = 0, R 3 = 0, . . . . R n _ 1 = 0, 

et, par suite, 

^+^ + ^ + ^4 + • • • + + R n -i = tR, 

où f n Aj ? ... f B Sj ^ j son t des quantités quelconques. 
En faisant donc d'abord 

t = 6y, t, = Oy, , f, = 0y s , ... = 0 , 

et ensuite 

h=fy l -0y i , ^ = /> s .% a , ... c.i . , 

on obtiendra les deux équations 

j Oy.R=0y.R+0y l .R i + 0y i .R i + . ; . /«!„_,, 

( G ) j fy-6y-ll=fy.0y.R+fy 1 .0y l .R i +f lh .0! h .R^ 

' +fy»-i-0y«-i-K-i] 

par là, l'équation (5) deviendra 

fy{0y.R+dy l .R l + 0y i .R i + • . • JC.) 

= Oy.fy.R+0y l .fy l .R l + 0y i .fy,.R i + ■ ■ ■ +ey a _ 1 .fy n _ 1 .R„_ l ; 
équation qui, en posant, pour abréger, 

j ey.R-}-0y 1 .R l ~\-0y i .R i -\ h ôy n -i • K~i = 20y.R, 

(7) l/y .Oy . R -j-fy 1 . éty, . R l +fy t . 0y a . R 2 + . . . 

' • %„_i • = zfy .Oy.R, 



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214 KECHEKC'HE DE I,A QUANTITÉ QUI SATISFAIT A DEUX ÉQUATIONS. 

deviendra 

fySBy.R = Sfy.ey.li 1 . 

et de là 

(8). f v — ~/_y 'Oy-R 

• J-l— mty.il 

Maintenant il est clair que le numérateur et le dénominateur de cette 
valeur de fy sont des fonctions -rationnelles et symétriques des racines ?/, 
!h » lh t Ihi • • • }Jn-\ 5 on peut donc en vertu des formules connues, les ex- 
primer rationnellement par les coefficiens des équations (1) et (2). Il en 
est donc de môme de la fonction fy. 

La fonction rationnelle Ôy étant arbitraire, on peut en disposer pour 
simplifier l'expression de fy. Pour cela, soit 



JJ XH 



oîi Fy et xy «ont deux fonctions entières ; on aura, en substituant, 

^Fy.Oy.R 

El' — *L _*«L' . 
X y ZOy.R ' 

si donc on suppose Oy = X!J, on aura 

(9) _Fy _2Fy.R 

xy Zxy-ll ' 

et alors le numérateur et le dénominateur de cette fonction seront des fonc- 
tions entières des coefficiens des équations proposées. 

Si z.?/=l, on aura, pour une fonction entière quelconque Fy, 

m f«=- sf *-- e . 

ou bien 

li + it i +it. 2 + -7+-]t H z l 



Mais on peut encore simplifier beaucoup l'expression de Fy de la manière 
suivante: . 

Désignons par y,'y l a dérivée de y,y, par rapport à y, et faisons 

0y = -\ 



1 équation (8) donnera 



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KECHKKCHE DE LA QUANTITÉ QUI SATISFAIT "A DEUX ÉQUATIONS. 215. 

Cela posé, on peut d'abord exprimer i£ par une fonction entière de* y. En 
effet, si Ton fait 

(*-&)(*— yi) • • ■ y^i)=^ 1 +^«"^+ w"^H r^o=o, 

on peut transformer qui est une fonction entière et symétrique rfy 
y 3 , ... y„_i, en fonction entière des coefticiens r 07 jy 3 , ... 2V_ 2 . 
Maintenant, on a 

t'o + ^ + ^ 8 -| |- ^"~ 2 + 2 (* - ^) 

= 2« + 2i* + î^ 2 H h în-iz"- 1 + z» = z» + (/;„_, - y) *— 

+ ( y »-3 — y O*""" + (^-.i — y *v- 3 K' 3 H 

donc 

^4 = 2«-3+y-^-3» 



d'où il suit que # 0 , ... 0 M _ 3 sont des fonctions entières de ?/; la 

fonction H Test donc aussi; elle est donc de la forme 

(12) - * = ft + ?i« + fcif , + fc!f"+ • ' • + 

où il est évident que p 0 , ^ , p â , . . . y fl seront des fonctions* entières des 
coefticiens des équations (1) et (2). 

La fonction H sera d'un degré supérieur h n — 1 ; mais il est clair 
qu'on peut, en vertu de l'équation (2), en éliminer toutes les puissances de 
y supérieures à la (n — l) iime , et de cette manière mettre 11 sous la forme 

U=Vo + (?iy + + (?sy s + '- ■ • +(V-i# M ~S 
°k Po 5 • • • -sont toujours des fonctions entières de jj oj p x , y;.,, 

' ' • l J m-ll </<M <hl <hl • ' • ?n-l- 

En multipliant ii? par la fonction . entière F y on aura la fonction F y . Y**, 
qui est de même une fonction entière de y. On peut donc la mettre sous 
la même forme que li, t'est-à-dire qu'on peut poser 

(13) F 9 .R=t 9 + t l9 + t t!f ' + t,f+ • • • + 



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210 RECHERCHE DE LA QUANTITÉ QUI SATISFAIT A DEUX ÉQUATIONS. 

*o ? * i > t* i • • ^n-i étant encore des fonctions entières de p 0 , ^ 7 . . , 

f io 7 2m c h •> • • • (Z«-i * 

Dès que R sera déterminé par l'équation (12), il est clair qu'on aura 

= ?o + ci y* + y î + ih y H h (v-i y r 1 7 



= (>o + *>i z/n-i + {h yi-i + (>a y Li H h e—i y ï-î • 

On aura de même 

2fy • «i = *o + ky x + f,yï + Uy \ H \- t^ifr 1 , 

2fy 3 . JB 2 = f 0 + y, + f a y ■ + / 3 y 3 , H h '-lyS" 1 î 

Fy n _ x . jK n _i = f 0 -f hy n ^ -f -f f,y -| [- t^^^J . 

Maintenant je dis qu'on aura 



En effet, on a d'abord 



F«= --•=!■. 

J Q»-i 



doue, eu substituant les valeiu - s de li, B 1 , 7iî 2 , ... i?„_j , 

v * /j. , jl_ , J i , i_ ] . 

^ Pl 1 ^ </''.'/, ^ ^ ^ V'.'/»-. i 
Or, y, y», • • • y n -ir étant les racines de l'équation (2) on a 

'p'y = (y—y*) {y — y*) (y—y 3 )---(y — y„-i) , 
¥yi={yi— y)(i/i— y*)Q/i— y») • • • y«-x), 
y>'y* = Qj* ■— y) b/*—>/i) (y*— y») • • • (y°—y«-i), 



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KECHEKCHE DE LA QUANTITÉ QUI SATISFAIT A DEUX ÉQUATIONS. 217 
• V Vl = {Vn-l—y) (!/n-l —I/d (l/n-l— */*) • • • il/n-i—Un^) î 

donc, d'après une formule connue, les coefficiens de (> 0 , () l , p 2 ? • • • (V-i? 
dans l'expression de ^ > s'évanouiront tous, excepté celui de (> M _j , qui 
se réduira à l'unité; on aura donc 

v A — 

On prouvera exactement de la même manière que 
donc, en vertu de l'équation (11), 



17 



ou bien, en écrivant t et p, au lieu de f„_, et p„_i, 



(14) - • Fy = ±-> 

Soit maintenant .f 7 '?/ une autre fonction entière de y; en supposant 

(15) F'y . R = t'y-* + r n _ 2 y— + ''«-a H h h'y + 

^? ^«-3 5 • • • étant des fonctions entières des quantités p 0J jp n ^> â , 

• • • Pm-n ?o 5 îu ?2 7 • • • 2«-rv 011 aura 

(16) ; i v y = j; 

d'où, en comparant (14) à (16), 

(17) *\ = L. 

Ainsi on aura la valeur d'une fonction rationnelle quelconque *J/ par le 
développement des deux fonctions 

Fy.R et F'y.lt. 

La formule (17) peut facilement être traduite en théorème. 
Le cas le plus simple est celui où l'on cherche uniquement la valeur 
de y. Alors on a 

t 

ou 

1{— <>y n - 1 + <>y > - 2 -| et By = ty n - x -\-t'y n -*J r . .. 

28 



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218 UEKCIIEC1IE DE LA QUANTITÉ QUI SATISFAIT A DEUX ÉQUATIONS. 

Ou peut exprimer t eu p et ç'. Eu effet eu substituant la valeur de 
Z£, il viendra 

ity=w"+(>y-H ; 

or, en vertu de l'équation (2), on a 

l) n = — <ln-i>J n ~ l — 2— «y""" 1 ; 

donc, en substituant 

*y=(^ / -w-i)y"'" 1 H 

Dans le développement de iiî//, le coefficient de y n ~ l est donc 
donc 

jf — ' 

ou bien 

De cette manière, on n'a besoin de connaître que les coefficiens de y n ~ l et 
y H ~* dans le développement de 

22 = 9 y*~* -f ç'y -| ^<py x .<py t . <py s . . . . 

% Paris, le 2 novembre 1826 



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I 



w de 



XIY. 



RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 + " x + — "7-^1""--.^ + 



Journal fur die reine und nngcwandte Matheinatik, herausgegcben von Creîb; Bd. I, Berlin 1826. 



1. 

Si Ton fait subir au raisonnement dont on se sert en général quand il 
s'agit des séries infinies, un examen plus exact, on trouvera qu'il est, à tout 
prendre, peu satisfaisant, et que par conséquent le nombre des théorèmes, con- 
cernant les séries infinies, qui peuvent être considérés comme rigoureusement 
fondés, est très limité. On applique ordinairement les opérations de l'analyse 
aux séries infinies de la même manière que si les séries étaient finies, ce 
qui ne me semble pas permis sans démonstration particulière. Si par ex- 
emple on doit multiplier deux séries infinies l'une par l'autre, on pose 

(u 0 -f u x + + u 3 + • • • ) (v 0 + v t -f v É -f v 3 -| ) = u 0 v Q -f- {n Q v x -f- u x v 0 ) 

+ («ot'a + ?Vl + U *V*) H h ( U <$n + UlVn-l + h W »0 ~\ 

Cette équation est très juste lorsque les séries n 0 -\- u x • • • et v 0 -f- 1\ -\- . . . 
sont finies. Mais si elles sont infinies, il est d'abord nécessaire qu'elles con- 
vergent, car une série divergente n'a pas de somme; ensuite la série du 
second membre doit de même converger. C'est seulement avec cette restric- 
tion que l'expression ci-dessus est juste; mais, si je ne me trompe, jusqu'à 
présent on n'y a pas eu égard. C'est ce qu'on se propose de faire dans cq. 
mémoire. Il y a encore plusieurs opérations semblables à justifier p. ex. 

28* 



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220 RECHERCHES SUR LA SERIE l -f ~ x + * l) <e* + . . . 

le procédé ordinaire pour diviser une quantité par une série infinie, celui 
de l'élévation d'une série infinie à une puissance, celui de la détermination 
de son logarithme, de son sinus, de son cosinus, etc. 

Un autre procédé qu'on trouve fréquemment dans l'analyse, et qui assez 
souvent conduit à des contradictions, c'est qu'on se sert des séries divergentes 
pour l'évaluation des valeurs numériques des séries. Une série divergente 
ne peut jamais être égale à une quantité déterminée; c'est seulement une 
expression jouissant de certaines propriétés qui se rapportent aux opérations 
auxquelles la série est soumise. 

Les séries divergentes peuvent quelquefois servir avec succès de sym- 
boles pour exprimer telle ou telle proposition d'une manière abrégée; mais 
on ne saurait jamais les mettre à la place de quantités déterminées. Par 
un tel procédé on peut démontrer tout ce qu'on veut, l'impossible aussi bien 
que le possible. 

Une des séries les plus remarquables dans l'analyse algébrique est 
celle-ci :• 

l ~r i x -r î.2 x i Î7273 

„,(,„-!) ( m -2) • - - [m-(n-l)] , . 
~ï 1.2.3. ..fi X ' ' " 

Lorsque m est un nombre entier positif, on sait que la somme de cette série, 
qui dans ce cas est finie, peut s'exprimer par (l-\-x) m . Lorsque m n'est 
pas un nombre entier, la série ira à l'infini, et elle sera convergente ou di- 
vergente, selon les différentes valeurs qu'on attribuera à m et à x. Dans 
ce cas on pose de même l'équation 

(!+*)•= l + . . ., ' 

mais alors l'égalité exprime seulement <£jue les deux expressions 

(l+.r)- et I f'; , * + '" , ;«- 1 V-|---- 

ont certaines propriétés communes desquelles, pour certaines valeurs de m 
et de ce, dépend l'égalité numérique des expressions. On suppose que 
l'égalité numérique aura toujours lieu, lorsque la série est convergente; 
mais c'est ce qui jusqu'à présent n'est pas encore démontré. On n'a 
même pas examiné tous les cas où la série est convergente. Lors môme 



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r 



RECHERCHES SUR LA SÉRIE l + * x -l~ m {m ~~ l) x * -L . 221 

qu'on suppose l'existence de l'équation ci-dessus, il reste encore à chercher 
la valeur de (l-|-#)' n , car cette expression a en -général une infinité de va- 
leurs différentes, tandis que la série • • • n'en a qu'une- seule. 

Le but de ce mémoire est d'essayer de remplir une lacune par la so- 
lution complète du problème suivant: 
"Trouver la somme de la série 

i + - x +"'^-%*+ m ( ,n -v(p3 x >+ ... 

"pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x et de m pour 
"lesquelles la série est convergente." 



2. 

Nous allons d'abord établir quelques théorèmes nécessaires sur les séries. 
L'excellent ouvrage de M. (Jauchy "Cours d'analyse de l'école polytechnique", 
qui doit être lu par tout analyste qui aime la rigueur dans les recherches 
mathématiques, nous servira de guide. 

Définition. Une série quelconque 

0o + v i + v 2 H + W «H 

sera dite convergente, si pour des valeurs toujours croissantes de w, la 
somme v 0 ~h v i ~\~~ ' ' ' 4~" v m s'approche indéfiniment d'une certaine limite. 
Cette limite s'appellera la somme de la série. Dans le cas contraire la série 
sera dite divergente, et elle n'a pas de somme. D'après cette définition, pour 
qu'une série soit convergente, il est nécessaire et il suffit que pour des va- 
leurs toujours croissantes de m, la somme v m -\-v m + x -\- • • • -j-*\ M+n s'approche 
indéfiniment de zéro, quelle que soit la valeur de n. 

Donc, dans une série convergente quelconque, le tenue général v m s'ap- 
prochera indéfiniment de zéro*). 

Thêorhne L Si en désignant par p 0 , p n (> 2 . . . une série de quantités 
positives, le quotient ^ w+ -, pour des valeurs toujours croissantes de ra, s'ap- 
proche indéfiniment d'une limite a plus grande que 1, la série 



: ) Pour abréger, on représentera dans ce mémoire par co une quantité qui peut être 
plus petite que toute quantité donnée. 



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222 RECHERCHES SUR LA SERIE l -f x -f - • - x* - - • • • 

1 1 ' 1.2 ' 

où, h m est une quantité qui pour des valeurs toujours croissantes de m ne 
s'approche pas indéfiniment de zéro, sera nécessairement divergente. 

Thêorbme IL Si dans line série de quantités positives p 0 -{- ç x -{- p a -f~ * ' ' 

"h Pw ~1" • " • ^ e quotient + 1 , pour des valeurs toujours croissantes de w, 

s'ap]>roche indéfiniment d'une limite a plus petite que 1, la série 

*0C0 + *lPl + M>H + *«P« + ' ' 

où f 0? f n f a etc. sont des quantités qui ne surpassent pas l'unité, sera né- 
cessairement convergente. 

En effet, d'après la supposition, on peut toujours prendre m assez grand 
pour que p wl+1 < aç m , p w+2 <<*(**+, , ... p w+ „ < ap ÎM+w -i . H suit de là que 
(W < «*P«. et P ar suite 

+ hp«+»<p« UH-« + « 8 H (-«")< fLj a ' 

donc, à plus forte raison 

Or, puisque «*p w , et « < 1, il est clair que p w et par conséquent 

la somme 

aura zéro pour limite. La série ci-dessus est donc convergente. 

Thêorhne I II. En désignant par / 0 , / M / 2 , . . . /„, . . . une série de 
quantités quelconques, si j>„, = / 0 -|- t i -\- f 2 -\- . - . -[- f m est toujours moindre 
qu'une quantité déterminée <V, on aura 

r ~ + 4" *2 f 2 H h *mtm < < J *0> 

oh f 0 , f j , f 2 . . . sont don quantités positives décroissantes. 
En effet, on a* 

h=l\i t 1 =p ï —]) 0 , U=p t —p x etc. 

donc 

r = *oPo + *i (lh —Po) + ^ —Pi) H h é « —Fm-\\ 

ou bien 

— po (*« — ti)-\-Pi(f'i—**)~\ \-Pm i (*.- -i — *• ) + ^« *« • 



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RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + - x -| as* -\ 

Or les différences ë 0 — 1 1 , £ x — ... étant positives, la quantité r sera évi- 
demment moindre que âe 0 . 

Définition. Une fonction fx sera dite fonction continue de entre les 
limites x = a et x — b, si pour une valeur quelconque de comprise 
entre ces limites, la quantité /(x — /?), pour des valeurs toujours décrois- 
santes de /?, s'apprôclie indéfiniment de la limite fx. 

Théorème IV. Si la série 

fa = v 0 -\- v 1 a-\-v 2 a*-\ \- Vm a M -\- . . - 

est convergente pour une certaine valeur â de a, elle sera aussi convergente 
pour toute valeur moindre que <)\ et, pour des valeurs toujours décroissantes 
de /?, la fonction /(a — ft) s'approchera indéfiniment de la limite /a, en 
supposant que a soit égal ou inférieur à ô\ 
Soit 

^.«r+^ +1 «- +1 H =^a, 

on aura 

-j-J i> désignant la plus grande 

des quantités r.J", 0.*" + + + etc. On 

pourra donc pour toute valeur de «, égale ou inférieure à J, prendre m 
assez grand pour qu'on ait 

\pa = eu. 

Or fa = <pa-\-ipa J donc — f(a — fi) — (pa — (f (a — (1)-\-u). 

De plus, ipa étant une fonction entière de a, on peut prendre (3 assez 
petit pour que 

<pa — (p(a — (i) = co ; 

donc on a de même 

/«—/(« — /*) = «>> 

ce qu'il fallait démontrer. 
Théorème V. Soit 

une série convergente, dans laquelle v 0 , v xi v 2 . . . sont des fonctions conti- 



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224 . . .KECHEUCIIKS SUK LA SÉRIE 1 + ™ * -f- - + 

nues d\ine même (quantité variable # entre les limites x = a et x = b, la 

série 

/x- = î; 0 -|-î; 1 a + î» a a , + - ' 
oh a < fV, sera convergente et fonction continue cle x entre les mêmes limites. 

Il est déjà démontré que la série fx est convergente. Ou peut dé- 
montrer comme il suit, que la fonction f x est continue. 

Soit 

Vo + Vi« H h = '<pZ, 

^«"+t?.+i«" + H =v*, 

ou aura 

. fx = (px-\~ipx. 

Or ' 

v*= ( ; ; p«. + i*- +i +( ; ) w+ v*^ +2 + ■ • ■ ; 

donc en désignant par Qx la plus grande des quantités v u â m j v m (ï M -\- v m +ià"*\ 
.6' w ()' m -|- -|- ^ w+ 2^ w,+2 e ta-> on au *' a en vertu du théorème III: 

ifJX < | 0x. 

Il s'ensuit qu'on peut prendre ni assez grand pour qu'on ait ipx = œ, et 
que par conséquent ou ait aussi • 

fx = <fx + œ, 

où œ est moindre que toute quantité assignable. 
On a de même 

f{ X -fl) = if{x- /*) + », 

donc 

— / — (1) = (f x — ( P (x — (3) -f (O . 

Or d'après la forme de il est clair qu'on peut prendre /? assez petit 
pour qu'on ait 

(px — (pfe^fi) — 

d'où l'on tire 

fx—f(x — l3) = u). 
Donc la fonction fx est continue*). 

*) Dans l'ouvrage cité de M. CancMy on trouve (p. 131) le théorème suivant: "Lors- 
que les différens tenues de la série, a u -f- u x + ^ ~f~ * ' ' sont des fonctions d'une 



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I 



RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 4- - x 4- x 1 A 225 

1 1 1 1.2 1 

\ la Théorème VI. Lorsqu'on désigne par p 0 , p M p 2 etc. ç 0 ', ç/, ç 2 ' etc. les 

valeurs numériques des membres respectifs des deux séries convergentes 

*\>+tfi + H 

< + V+<H 

j. r si les séries 

Po + Pi + ftH 

Po' + <V+e/H 

sont de même convergentes, la série r 0 + ^ + ^ + • • • > dont le terme gé- 
néral est, 

» - = v 0 v m ' + + 0*0' w -2 H h Vo', 

sera de même convergente, et aura pour somme 

(*. + »! + *,+ ' « •)«+ + • • •)• 

Démonstration. En faisant, 

jp« = ^0+ 0i H h v «» 

iV=0o / + 0/H 

on voit aisément que 

t (a) /o + ^i + ^H \~r Sm =p m 2> m ' + [iwJ +lhv\ M -i-\ hiV-^+i ( = /) 

+ iV0^+i>/0 2w -i+ ■ ■ ■ +jP«-it'»+i (==*')]. 

Soit 

po+ pi+ ?H = 

Po'+Cl' + fr'H = 

il est clair que, sans égard au signe, on aura, 

' < W(p / 2m + p , ^_i+ ' ' * + (*'« + ! ) 
*' < U'((>»n + .P*h-1 H h + 

"même variable continues par rapport k cette variable dans le voisinage d'une 
'Valeur particulière pour laquelle la série est convergente, la somme * de la série 
"est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de 
Mais il me semble que ce théorème admet des exceptions. Par exemple la série 

sin x — \ sin 2.r -f- ^-sin 3x 

est discontinue pour toute valeur (2m-\-l)-it de œ, m étant un nombre entier. H 
y a, comme on sait, beaucoup de séries de cette espèce. 

29 



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226 RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 -f * x + m ( ™ ~ x* -\ 

Or les séries p 0 -f- Ci + Pa + : * ' et Po' "f* Pi' "f" P*' "f" * * • ^ tant convergentes, 
les quantités £ et /', pour des valeurs toujours croissantes de m, s'approche- 
ront indéfiniment de la limite zéro. Donc en faisant dans l'équation (a) m in- 
fini, on aura 

'o+'-i + '^+'aH — =(^ + ^1+^ H )(*V + H )• 

Soient / 0 , ^ , t 2 , . . . , f 0 ' , , f / . . . deux séries de quantités positives 
ou négatives, dont les tenues généraux s'approchent indéfiniment de zéro, il 
suit du théorème II que les séries / 0 -|- t x a -|- t 2 a* -J- • • • et V "f"'/ aB 
-[-..., où a désigne une quantité inférieure à l'unité, doivent être conver- 
gentes. Il en sera de même en attribuant à chaque terme sa valeur numé- 
rique, donc en vertu du théorème précédent: 

(b) j = W + Ci V + *o*x) « -f C* V + hh' + W) «•+••• 

( + C- V + '-i h' + V H h t 0 t u ') a' H 

Maintenant si l'on suppose que les trois séries, 

>o + 'i + U 4 — 

W 4- C. 4- to ti) 4- C. C + 'i 4- W) 4 

soient convergentes, on trouvera, en vertu du théorème IV, en faisant dans 
l'équation (b) a converger vers l'unité: 

= to to + C, to + t u h') + (*, c + * t 4- f 0 v) + • • ■ ' 

3. 

Examinons maintenant la série proposée, 

1 + » X + «(J!-I) aj . + .... 

En la désignant par <p,n, et -faisant pour abréger, 1=»^, '['- = »»,, 
m (;"-i) = Mï , et en général fep?+l) =„»„, 0 „ am . a 



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I 



RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 + x + --— *« + ■•■ 227 

1 1 1 1.2 



oehe- 



(1) cpm = m 0 -\-m 1 x~\- vi 2 x 2 -^- • • • -f~ W/*^'' H~ ' ' ' 

' in- Il s'agit d'abord de trouver les valeurs de m et de x pour lesquelles 

la série est convergente. 

Les quantités m et x étant généralement imaginaires, soit*) 

.[ a* = a -f- b i, m = & -j- A/ ? , 

'» il où a, &, fc, A; 7 sont des quantités réelles. En substituant ces valeurs dans 

; V l'équation (1), elle prendra la forme 

' e1 '" (pm=j)-\-qi, 
ne- 
où 2) et q sont des séries dont les tenues ont des valeurs réelles. On peut 

trouver ces séries* de la manière suivante: Soit 

(a 3 -fô 2 ) J = a, ^- = eos<p, £=sin<jp, 

Ton aura 

x = a (cos if -f- i sin y), 

où « et sont des quantités réelles, a étant en outre positif. Si Ton fait 
de plus 

- -j-X- = <T„ (cos y„ + 1 sm y,)= ^ , 

on trouvera 

k—u + 1 k' 



(- >--] +17) J 5 co ^< = -7^ sm? '<< = M< 



Si dans l'expression 

on fait successivement u égal à 1, 2, 3 7 . . . /i, on obtiendra > équations 
qui multipliées terme à terme donneront 

m — ^m-l) (m-2) . . . (m-ff + 1) 

= t l â f â 9 . . . ^[cos^ + y.-f h^) + ? ' sin (ri + ^H hJV)]- 

On tire de là, en multipliant par 

*) Pour abréger les formules nous écrivons partout dans ce mémoire t au lieu de Y — 1. 

Note des éd. 

29* 



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228 RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 + " x 4- ?JHL~ A> lS . 

1 ^ 1.2 

.e" = a « (cos ç> -j- 1 sin q>) " = « " (cos ,« y -f i sin ,/t 93) : 

«V^a^j, j s . . . *4co8( /ty +;, 1 + J , t -] 

+ î ' si »(.«y+r 1 H-/ â H h^)l, 

ou bien en faisant pour abréger 

. . . <K = X fl , fiip+y^y,-] [-y ft = e M : 

m, t x" = (cos 0„ 4. i sin 0„ ) . 
L'expression (1) se change par là en celle-ci, 
• <p m = 1 -f A t a (cos (9, + 1 sin 0, ) -f À 2 « 2 (cos 0 2 -f * sin 0 2 ) 

ou en celle-ci, + " " ' + ( °° S «» + »* sin ^ + ' ' ' » 

9 m =14-^ cos 0, -|- V 3 cos 0 S -1 f- x /( „» cos 0„ -I 

4" * «i» #i 4" **« s «in 6 3 4- • » . 4. l«« sin * -I ) 

n a donc 

(2) j J ' = 1 + Ka cos + cos M h V cos 0„ -| 

t q = A, « sin e x 4- sin 0 2 -j f_ a„«« sin 6„-\ 

Or je dis que ces séries seront divergentes ou convergentes, selon que « est 
supérieur ou inférieur à l'unité. 

De l'expression de A„ on tire „ +J = A, t , donc 

A„«^ — «'Vu? 

niais on a 

■lotte pottt- de, valeur» toujoan, Cfok,a„tc, de ,„, d„ .'approcher» de la limite 
1, et^par ,„ite "£«_._ de ,„ , imite „ ^ en ^ ^ j ^ 

"t^f ks f * 2 -roat divergente., ott ccaver- 

ue même de la série proposée y m. 

Le cas où « = 1, sera traité pUls bftg 

tomme la série yw est convergente pour toute valeur de a inférieure 



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RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 + ™ x + ~ x* + • • • 

à l'unité, la somme en sera une certaine fonction de m et de a*. On peut, 
comme il suit, établir une propriété de cette fonction à l'aide- de laquelle 
on peut la trouver: On a 

(pm = m 0 -\-m l x-\- m 2 x 2 • • • -{-m^ x " -\- • • • > 
ipn = n Q -f- n x x -f- ?? 2 x 2 -f- • • • -|- n^x u -j- • • • ? 

où désigne la valeur de m u pour m = n. On en conclut d'après le théo- 
rème VI: 

<pm .ipn = / 0 C + (y/ + Z^') + (/ 0 V + ^/ -f f t / 0 ') -| 

+ W + Vi +.MV-* H h '-'</) H > 

où t fX = m ft x u J t u '=zn u x", en supposant que la série du second membre soit 
convergente. En substituant les valeurs de et on aura 

(pm.(pn= m 0 n 0 -j- (/tt 0 /? j -j- w 0 ) x -j- ( w 0 w 2 -}- -f- w 2 ?? 0 ) x 2 -(- . • . 

Or, d'après une propriété connue de la fonction m tn on a 

(m + w ),< = wi 0 -f "h V-i + H + w /4 w 0 , 

(//*-[- w)^ désignant la valeur de m fl lorsqu'on y substitue m-\-n pour m. 
On aura donc par substitution 

(p m ,<pn = (m -f- >*) 0 -j- (/» -{- n^x -f- (-m -f- w) a x- 2 -j- • - • -f- (ta -j- w)« -f- • • ■ 

Or d'après ce qui précède, le second membre de cette équation est une série 
convergente et précisément la même chose que (f(m -j- n) ; donc 

(3) (p m ,(p?iz= <p (m -j- n). 

Cette équation exprime une propriété fondamentale de la fonction <p m. De 
cette propriété nous déduirons une expression de la fonction sous forme finie 
à l'aide des fonctions exponentielles, logarithmiques et circulaires. 

Comme on l'a vu plus haut, la fonction <p m est de la forme p-\-qi-, 
p et q étant toujours réels et fonctions des quantités 7c, k\ a et y, et 
m = k -j- k' i , a* = a (cos <p-\-i sin y). Soit 

j9 -f-ç?' = r (cos s -f- 1 sin 5), 

on trouvera 

(P > + 2 , )* = ''> ^ = coss, -J = sin*, 



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230 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- * + /^i> ,« , 

r étant toujours positif et .s une quantité réelle. Soit 

r=f(k,k'), *=,,,(/,,*'), 



ou aura 



(3') 2 , -f q i= <p {k -f fc'i ) =/(*, fc') [eos h') -f t " s i„ /,')]. 

On en tire, eu mettant successivement /, /' et k + k' -\-V h la place de 
A; et A;', 

y( / + ''0=/(/,/')[cos V '(/,/') + /sin^(/,/')], 
+ / + + 

=/(fc +7, fc' -f /') [cos y.(k+ /, fc'-f-/') -|- t -«i n y , ^ fc'-f /')]. 
Or en vertu de l'équation <pm.<fn = (p(m-\-n), on à 

. + ' + + 0 1 ] = (f (k + &' /) < P (/ + /' /) , 
en faisant « = * + *',•, « = / + /'/. l) on c en substituant, on obtient 
/(k -f /, fc' -|- /') [cos v (fc -f /, /c' + O + * «in v (fc + /, fr' -f /')] 

=/(k\ *')/(/, 0hs(^(VO+ + * an(^<Jfc,fc') + v(', 0)]. 

(Jette équation donne, lorsqu'on sépare les tenues réels des termes imagi- 
naires, - " 

/(* + /, k' + /') cos y (* + /, k' + O =/(*•, k')f(I, V) cos |>(]fe, *') + „,(/, /')], 
/(* + /, k' -f /') S in y, (k + /, k' + /') /') sin fo,(Jfe, f j + ^(7, ?')]. 

En faisant les carrés et ajoutant les équations membre à membre, on aura 

d . oîl [/^H-'^' + '^^f/^fcVC/,/')]», 

{4) ' f( k + l >v+n=f{k,k')f(i,r). 

En vertu de cette équation les précédentes se transforment en celles-ci: 

COS V'(^ + ^fc' + /') = zC08[ 1/ .(A-,^) + V ,(/,r)], 

. d,, V(* + / »* / H-n=-în[^ > fc') + ^,0], 
dou l'on tire, 

( 5 ) V(* + '.* / +0 = 2*w + ^(fc,fc') + v , ( / înï 

m étant un nombre entier positif ou négatif. 

Maintenant il 8 > agit de tirer le§ ^ ^ 



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RECHERCHES SUR LA SERIE 1+ "* x + 1 * a?* H 231 

1 1 1 1.2 

équations (4) et (5). D'abord je dis qu'elles sont des fonctions continués de 
k et k' entre des limites quelconques de ces variables. En effet, d'après le 
théorème V, p et q sont évidemment des fonctions continues. Or on a 

/(*, V) = (!>* + «')*, co * * (*, *0 = /( /^,) ' «în y (/>',&') - ^ ; 

donc f(k) k'\ de même que eus i/>(& 7 et sin est une fonction con- 

tinue. On peut donc supposer que est aussi une fonction continue. 

Nous allons d'abord examiner l'équation (5). xp(k,k') étant une fonction 
continue, il faut que m ait la même valeur pour toutes les valeurs de k\ 
/, /'. En faisant donc successivement / = 0, A- = 0, on obtient 

ifj (A- , &' -f Z ' ) = 2 m ,t -f î/' l M ' ) H- 0 > ' ' ï , 
,/,(/, fc' -f /') = 2 „w -f- </,((),&') + ^(/, Z'). 

En éliminant entre ces équations et l'équation (5) les deux quantités \}>{k,k') 
et Z') 7 on trouvera 

^(fc,fc' + Z') + ^(^ 

Soit pour abréger 

J V{k,k' + l') = 0k, 

[ 2ï«.7 + v'(0,yt')-hv'( 0 > ? ')=°7 

on aura 

(7) tfA: + -f- tf(fc + /). 

En faisant ici successivement l = k,2k, . . . yk, on aura 

0fc + 0(2fc) = « + tf(3fc), 

e/c-\-6((f — l)k = a~\~0((jk). 

Eh ajoutant ces équations, on trouve 

(7') if6k=:{(f—l)n^-e(ffk). 

On en tire, en faisant k = 1 , 



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232 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + x + -J^T l 2 x t . . 

^1 ^ 1.2 ^ 

on bien en faisant 0(1) — a — c, 

(*) 0Q = C ()-{-a. 

Voilà donc la valeur de la fonction 0k, lorsque k est un nombre entier. 
Mais la fonction 0k aura la même forme pour toute valeur de k, ce qu'on 
peut démontrer aisément comme il suit. Si Ion pose dans l'équation (7') 

k=fl Q ' <" c ' tm,t 11,1 wniibrc entier, on en tire p . 0 [ ^ ] = ( p _ \) a -f- 0*/. Or 
en vertu fie l'équation (8) 

^ = c/# + «» 
donc en substituant et divisant par p, on trouve 

•(;)=•(■:)+■• 

L'équation (8) a donc lieu pour toute valeur positive et rationnelle de <>. 
Soit l= — k, l'équation -(7) deviendra, 

8k + 6{—k)=za-\-$(0). 
Il s'ensuit, en posant & = (), 

0(0) = a, 

et par conséquent 

0 (— k) = 2a — 0k. 
Or étant rationnel et positif, on a 0k = ck-\-a, donc 

\j équation 1 
(°) 0k = ck + a, 

a donc lieu pour toute valeur rationnelle de jt et par conséquent, puisque. 
fffe est une fonction continue, pour toute valeur réelle de Je. 

_ /J °!\^ = ' / ' (A:, ^ + / ' ) ' et rt==2w - 7 + V'^^) + V'(0,/'); taisant donc 
c — 0(A> , / ), on obtient 

(10) V'(A-,A-' + /') = ô^',/')./,+ 2 ) ».T+ V)i 0,/ l -') + v ,((),/'). 

On tire de là, eu faisant fr = 0, 

V (0, /„•' -j- 1 ' ) = 2 m jt -f y (0, k' ) + ^ ( 0, l ' ) . 

Cette équation étant de la même forme que l'équation (7), elle donnera de 
la même manière 



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KKCHKRCHKS SUR LA SÉRIE 1 + x 4- "' , - 11 4. . . . 233 

' L 1 1.2 ' 

i/i(0, k') = l 3'k' — 2*1.7, 
étant une quantité indépendante de J5r'. 
En mettant /' à la place de on obtient y/(0,/') = — 2w,t-|- /?'/'. En 
substituant ces valeurs de i/'(0, et de i/>(0, /') dans l'équation (10) on en 
tirera 

On voit par là que 0(le',V) est une fonction de fc'-j-/'. En la désignant 
par F (&'-[- /'), on aura 

y\k, k' 4 /') = + /') + /?'(&' + /') - 2w*, 

et par conséquent, en taisant /' = 0, 

i// (A , &' ) = F/y . fc + — 2 -m .7 . 

En remarquant que 

,/,(&, fc' 4 /') = 2m.7 + ,/,(&, V) + */>(0, /'), 
i//(0, /') = ,?'/' -2w7, 

l'équation précédente donne 
c'est-à-dire: 

F(k'-\-l') = Fk'. 

Donc faisant A-':=0, on obtient F/' = F(()) = ( 3 = Fk'. Par suite la valeur 
de //) prend la forme, 

(il) i/i (A, // ) = pk + /r // — 2 /// 7 , 

,*> et /?' étant deux constantes. Cette valeur de i{>(k,k') satisfera à l'équa- 
tion' (5) dans toute sa généralité comme il est aisé de le voir. 
Maintenant, examinons l'équation, 

/(&+/,*'+0=/(M')/(',n. 

Puisque f(k,k') est toujours une quantité positive, on peut poser 

F(kjk') désignant une fonction réelle continue de k et k\ En substituant 
et en prenant les logarithmes des deux membres, on trouvera 

30 



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234 RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 + ^ x + - * ( ™ - x* + . • . 

Comme cette équation coïncide avec l'équation (5), en mettant F à la place 
de ip, et 0 à la place de m, elle donnera en vertu de l'équation (11) 

(12) F(k,k') = âk + â'k\ 

(T et â\ de même que (3 et /?', étant deux quantités indépendantes de h et 
de k'? La fonction f(k,k') prendra donc la forme, 

f(k,k') = e* kU ' k \ 

Les fonctions ip(le,k') et f(k,k') étant trouvées de cette manière, on 
aura, d'après l'équation (3'), 

(13) (f (k + fc' 0 = [cos {(3k + 7c 7 ) -f î sin (/ta + ■/* ' À/)] , 

où il reste encore à trouver les quantités cî, â\ /?, qui ne peuvent être 
que des fonctions de a et de (p. On a 

<p(k-\-k' i)=p-\-qi\ 

j) et q étant donnés par les équations (2). En séparant les quantités réelles 
des imaginaires, on aura 

/ e' M ' k 'Qox{ l 3k-{- l 3'k') = î +A 1 «cos^ 1 -|-Â 2 r( 2 cos^-| 

! -l-Â.r/^cos^H 

\ r/^'tm^k + J'k') = Â A r/ sin^ + ^crsin^-] 

{ H-A^sin^-) 

Nous allons d'abord considérer le cas où m est réel, c'est-à-dire où 
k' = Q. Alors les expressions (14) prennent la forme, 

| e ,h cos i 3 k = 1 -(- * a cos <p -|- ^ « 2 cos 2 </) 

(15) 



, *(*— l)(Jfc— 2) 3 , 
+ 1.2.3 a cos3 H =•/« 



<^sin /ta = * «siny + A( J~^« f Hin2 V 

-f- j 2 3 sin3<y?-{- • • • =0a. 

Pour trouver (î et /?, posons &=1 7 on aura 

e'* cos = 1 — |— « cos y ; e'* sin (3 = a sin (/? . 

On en tire 

e f5 = (l-}-2«cosy-f a 1 )*, 



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RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1+ ™ * + — 1 ' a-* -| 235 

cos 1 = ; - ----- k , , sin /? = ^ ' • 

(1 + 2«cosr/-f ' (l + 2acosy+a a )-' 

, ^ asin</ 
taiiff/î = — - ^ . 
° 1 -)- a cos iy 

Cette dernière équation donne, en désignant par <s la plus petite de toutes 
les valeurs de fi qui y satisfasse, et qui est toujours renfermée entre les 

limites — ^ et ? 

{ 3 =8+1177, 

u étant un nombre entier positif ou négatif. Donc les équations (15) se 
changent en celles-ci: 

fa = e A * cos k(s -f- u n) = e fU cos ks cos ku .1 — e' Vk sin ks . sin fci/ jt, 
0 « z=z ^ sin k(s -f- /' -t) = e A * sin cos /ci/ tt -j- cos ks . sin fcii ,t. 

De ces équations on tire 

cos ku .7 = e~ <1k (f a . cos ks -f- 0 a . sin fc$) , 
sin / tt — c ~ ôk (6 a . cos ks — fa . sin fcs) . 

Or, d'après le théorème IV, 6a et fa sont des fonctions continues de «; 
par conséquent il faut que cosfc//.T et sin &//t conservent les mêmes valeurs 
pour toute valeur de a. Il suffit donc pour les trouver, d'attribuer à a une 
valeur quelconque. Soit « = 0, on aura, en remarquant qu'alors <?'*=1, 
/a=l, Oa = Q, s = 0, 

cos ku 7t — 1 , sin fc/i .7 = 0. 

En substituant ces valeurs dans les expressions de fa et 0a, et en se rap- 
pelant que e ô — 2 a cos (p-j-** 2 )*? on obtiendra 

-}-2a cos<p-\-a 2 ) 2 cosfcs, 6a = {\ -j- 2a cos (p -|- « 2 ) 2 «iules. 
Donc enfin les expressions (15) deviendront: 

1 * « cos if -J- a 2 cos 2</) -f- ^-"^-g^"^ « 3 cos 3y -f" ■ • • 

= (1 -j-2a cos </>-)- a 2 ) 2 cosfc*, 

A . jb(A— 1) f . 0 , k(k — l)(k — 2) 3 . Q 

Y « cp -j- - g - a sin 2 y -f- — j 23 """ a sm ^ V "1 * ' * 

= (1 -J- 2a cos y -j- a 2 ) 2 sin&s, 
30* 




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236 RECHERCHES SI7K I I «fc'nic- . i "' , »<» — Il 



RECHERCHES SUR LA SERIE 1 -f " * + ""'»— J ' w4 ^ 

* étant renfermé entre les limites J et -f J et satisfaisant à l'équatim 

tang * = , K8i,1 V . 

1 + a cos r/> 

Les expressions (16) ont été établies pour la première fois par M. Caucb, 
dans l'ouvrage cité pins haut. 

On a supposé ici la quantité « moindre que l'unité. On verra plus 
bas que « peut aussi être égal à l'unité, lorsqu'on donne à la quantité k 
une valeur convenable. 

Dans ce qui précède nous avons trouvé les quantités â et ,? Mainte- 
nant nous allons montrer comment on peut trouver les deux autres quantités 
inconnues 9 et . Faisant à, cet effet dans les équations (14) k = 0 et 
k =n, on obtiendra 

<>*■" cos ,3'v = 1 -f A, « cos $ t -f A, « â cos 0 t -| 

<" v " sin = A,« 8 j n tfj _|. ^ ft * sin ds _| ? 

oil.A. = W . . J„, ^ = i<ty , +7i+/ï+ . . . + et 
mines par les équations 



I>e ces équations on déduit les suivantes: 

'."'"cos^'w— 1 A 3 



- - = -;;«,in^-f- ^«* s in6» 2 +.... 

Or en supposant » positif on a A, = = „ donc — ,ï ,Y î * 

1 » — "j uonc „ — i's«s . . . o u , et par 
suite " 

«"''"cos^'w— 1 

= a cos 0, -f â, et" cos 0 2 -j- «3 co .s _| , 

— — == a 8iii 0, -f <f t «* sin 0, -f- ,r a ,r, «» s in 0 3 -J 

nous continue», „„ ,'btient tnéoième V, le» senes sont .1» fonc- 



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lîe I: 

inte- 
rires 
» et 



KECHKKCHES SUK LA SÉK1E 1 + ~ a; + " l ' x a -j 237 - 

uari,,, . <\' = a co.*0/ -j- J/o" co« 0/ + <V<V" 3 cos 0 3 ' -j , 

t r = a sin 0/ -f J/»* «in 0* + <V'V« 3 «in ^ H > 

puisque (V et sont les limites des quantités **" ~ * et ' *'BinJ'i» . 

0/ est la limite de 0 M et celle de rî„. Or, d'après l'expression de d\ t , 
pl,,. on a ry = /< ~ 1 ; donc cos ;/„ = — 1 ; sin^==0 (lorsque </ > 1), donc 

cos 0/ = cos (,« y Yi + H h Vu ) = + * [ " W • ( — 1 ) " , 

sin 0/ = sin (i/y -f Yx + 4 \-y h ) = -- cos iiy . ( — 1 ) 

où il faut se rappeler qu'en vertu de l'équation 

if i = fi l (cos Vj -j- i «in Y* ) ? 
on a cos;',=0, sin ;^ == 1 . Donc les valeurs de /?' et rV seront celles-ci: 

— a cos y — ^ a 2 cos 2y -J- i<* 3 cos * >,( P — * ■ * * 
(V = — a sin r/) — £« 2 sin 2cp -|-£a 3 sin 3 y — 

De cette manière on a trouvé les quantités /?' et <V par des séries infinies. 
On peut aussi les exprimer sous forme finie. Car on tire de l'équation (15): 

f^eoê/tk—1 i *— 1 * il (*—!)(*— 2) , 

^ == « cos y, -f- - j 2 rrcos2y-j- j 2 !J — « J cos 3y -|- . - - . 

 = « sin 4- T 2 ««sin 2</.-f- v j-J- 8 7 a 3 sm 3y -j 

On en déduit, en faisant converger k vers zéro, 

Ifi — auo&<f> — ^w 2 cos 2(p -{- l r« 3 cos 3</r> — • • • < 
/? = « sinr/5 — sin 2</> -j--J-« 3 sin 3 </) — • - . , 
donc /?' — rî, = — Donc les expressions (14) prennent la forme 

(18) J = e*~*' cos + âk')= p, 

\ /., « sin -f- Â 2 a 2 sin 0 2 -[--.- -j- x /t sin 0„ -j- • - - 
' = An (j1k + âk') = q, 



(17) 



ou 



^ = 4 lofif (1 4- 2« cos a -f- /? = arc. tans; " sin y . 



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238 RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 -4- * x + - x* A 

n 1 _ 1.2 ~ 

or la somme de la série proposée étant égale à 2 } ~\~*lh 011 * im 'a 

* + r^H — 1.2 ' "f r- 1T2.../I ■ '"H 

. = e*'-!*' [cos (/?£ M') + / sin (/îfc -f fik')]. 

Maintenant on a 

m — k -f- k' ? , x = a (cos (f ~\- i sin (f ) = a -{- h i ; 

donc 



« : 



jtt* -]-/>% «COS = (XSU1 = 



<)' = i log ( 1 -f 2« + «» + &») = « log [(] + «)' + A»], /? = ave tang • 

En substituant et en écrivant m pour k et pour k\ l'expression ci-dessus 
prend la forme: 

(19) 

1 + ">+l'J ( „ _|_ h { ) _j_ +."iKl"^J ± » 0 ( „ + b ,y 
I (m-j-wi)(»« — 1-f ></)(»< — 2 + "Q ^ CT | | 

"f" " 1 . 2 . 3 . ^ ^ ~r ' / 1 

= J^cos ^»( arc tang 4- J «log[(l+a)-+/> !î f)+/sin arc tang l°g [(1 ) 

«I b 

r ,* v„ , — m arc tang—. 
X[(l+«y + l,*]*e 

Cette expression a lieu comme nous l'avons vu, de même que l'expression 
(18), pour toute valeur de a = } f a* -\-!r inférieure à l'unité. 
En faisant p. ex. 6 = 0, # = 0, on a l'expression 

(20) 1 + > + ! > «•+... =(!+«)-, 

de laquelle nous tirerons parti ci-après. 



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RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 -f "* x 4- w uu ~Zll x 2 i 

1 1 1.2 ~ 



239 



4. 

Dans ce qui précède on a trouvé la somme de la série proposée toutes 
les fois que a= ^a a -f-6 a est inférieur à runité. Il reste encore à examiner 
le cas où cette quantité est égale à 1. 

Nous avons vu par le théorème IV que lorsque a s'approche indéfini- 
ment de l'unité, la série 

v 0 -\-i\a-{-v 2 a 2 -\ • 

s'approchera en même temps de la limite ?? 0 -(- v 1 -f- r 2 -}-..., en supposant 
que cette dernière série soit convergente. En taisant donc converger a vers 
runité dans les équations (18), on aura 

(21) I l+AiCostf. + A.cos^H (-„cos0 w -| =«: , .*-^*'co8(/3 1 fc+* 1 Jk / ), 

| ^sin^+Â.sin^-f . -f-À„sin0„-| = e A >*-* k ' nnifijc + âtf), 

où J t et /?! sont les limites des quantités â et /?, en supposant que les séries, 
contenues dans ces équatioys, soient convergentes. Or il est clair que 
£ log (2 -{- 2 cos (f) est la limite de rî, et que 



arc tang -— ^- = arc taug - g - ( - } y) ; ' = arc tang (tang |y) 



2 cos si n \ (f _ 



to 1 -f- cos cf • 
est celle de on a donc 

(22) fi x — | log (2 -f- 2 cos y), /? 4 = arc tang (tang -J- y). 

Nous n'avons donc qu'à examiner dans quels cas les séries sont convergentes. 
A cet effet il faut distinguer trois cas : lorsque h est égal h — 1 , ou com- 
pris entre — 1 et — x: ; lorsque h est égal à zéro ou compris entre 0 
et e * lorsque h est compris entre 0 et —1. 



Premier cas, lorsque h est égal ïl — 1 ou compris entre — 1 et — oc , 



On a 



En faisant donc k 



1 — on a 



' + 



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240 RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 -|- '" y A- *" 

d'où Ton voit que Jf^ est toujours égal ou .supérieur à l'unité. Or on a 
) mfA = ()\ â 3 . . . â„ , donc pour des valeurs toujours croissantes rie a , A ne 
convergera pas vers zéro, donc en vertu du théorème 1 les séries (21) sont 
divergentes. 

Deuxième cas, lorsque k est positif. Supposons que c soit une quantité 
positive inférieure à A;, on aura 

— 1 +,.)' = (,,— k— l) 2 + 2r(i/ — fc — n + 

donc 

(„ _ /, — 1)* 4. A:' - = ( — jfe — ] 4. r )* + jfe'* — c* — 2c [u —k—\ ). 
Si Ton fait 



// > k-\- 1 — |''4 - ? 



2r 



il s'ensuit que À/" — — 2<;(// — k — 1) est négatif; par conséquent 
( // - k - \y + < (// — Ar — 1-+- r)% 



c'est-à-dire : 



u — k—\-\~c t 14-k — c 

à„ < ~ i <>„ < 1 — 



Si dans l'équation (20) on fait n : = * , = — //^ on aura 

1 1 « | M ' 1.2 f< 2 

— 1 _ " i"C"+ r ) 1 /i_- + M \_i_ 

~ « ' 1.2 »- \ :j« M ' 

Donc en faisant it=\-\-k — c, on voit aisément que 

('+,-) , : 

par conséquent 



donc 



En posant successivement // = 1, 2 7 3 . . , h, et en faisant le produit des ré- 
sultats, on obtiendra 



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[ 



RECHERCHES SUR 



on a 



aurite 



LA SÉRIE 1 + * « + ~ ** + • • • 241 



or *,< +( ,— ^i^^s • • • clone 

par conséquent lorsqu'on fait // = 0, 1, 2 . . . //, 

VK<.+-+V»<« • ■ • *.(<-+' 1 ) , "-'(( r + 1 1 ) .>-+ ( 7+4-.-^ 

+ •■•+; " ' 



Si maintenant dans l'expression (20) on fait a — 1 , m = — k 4-c 

on aura 

1 _ _J P = ] 1 k ~l 1 (*-*+ !) , 

# 0-4- m -1-1 l /,_(_„ J_ 1 T~ 1 •>/-«!„ 1 i\s"r *' 



donc en se rappelant que > e : 

( * + * P>H 

U+^ + i) ^ A -r f+/4 + i 

Il s'ensuit, en divisant par (Je — n) (p -{-/#. -f- 1)*-% 



Cela donne, eu faisant // = 0, 1, 2 . . . /1 et ajoutant, 
1 _ 1 1 , , 1 

1 / l 1 \ 1 1 



A ( __J 1 



II s ensuit que 

pour toute valeur de //. Donc la série 1 +^ 0 + K + Ai + • • • » dont tous 
les termes sont positifs, est convergente, et par conséquent, d'après le théo- 
rème II, les séries 

1 -f - X ï cos 6 X -f- cos 6 2 -f- • • • -f- cos 0^ -J- . . -. 
A x sin 0j -f- ^2 s" 1 0* + • • • -f- *m s " 1 ^ H~ ' • # 
seront de même convergentes. 

31 



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242 RECHERCHES SUR LA SÉRIE l + ™ x + W - ' a; 8 -4 

Troisième cas, lorsque & est égal à zéro ou compris entre zéro et — 1. 
Dans ce cas les séries ci-dessus seront convergentes pour toute valeur de ifc, 
pourvu que cp ne soit pas égal à (2n-\-\)n. Cela peut se démontrer comme 
il suit: Soit 

m = k -\- k' i, x = co$q> siny, 
1 ^m 1 x-\-7ri 2 x* ~{-m 3 x* -\- • • • -\-m n x n = p n . 
En multipliant par 1-f-œ, on obtient 

1 + (m t + 1) x + (m, + m, )^ 2 H h K + + w » =2>- (* + 

Or on sait que 

Wl + 1= (wi+l) n ^, + ^ = (^+1), . . w (B + wi II- . 1 = (w+ l) w , 
donc en substituant: 
1 + (>». + 1),* + ( w + 1 ), *» -| h + !)» = ~ ™» a;n+ * + P-0 + 4 

Maintenant, si Ton fait /? — ro, le premier membre de cette équation sera, 
d'après le cas précédent, une série convergente. En la désignant par s, on 
aura 

où ?? est infini. Or on peut démontrer comme dans le deuxième cas que 
m n = 0 pour n = oc . On a donc 

s =]) (1 -|— se), où p = 1 -f- ?^ a- -|- w, 8 # 2 -j- • • • 

(Jette équation donne, si #-J-l n'est pas égal à zéro, 

s 

La série p est donc alors convergente, et par conséquent les séries ci-dessus 
le sont également. 

Si x-\-\=0, on a 1 -j-cosy-j--/ siny = 0, donc siny = 0, l-|-co8y=0, 
d'oii (p = (2n-\- l)^r, ??, étant un nombre entier positif ou négatif. Donc les 
séries en question sont convergentes pour toute valeur de k égale à zéro ou 
comprise entre 0 et — 1, si cp n'est pas égal à (2?i-\-1)tt. 

Lorsque <p = (2n -\- 1)tt, les séries sont nécessairement divergentes, car 
si elles étaient convergentes, elles auraient pour somme les limites des fonc- 
tions 

e k * ^ [cos (fc/î -f k'â) + t sin (kft + fc'J)], 



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RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- x + — - a? 8 H 243 

^ 1 1 1.2 1 

eu y faisant converger a vers l'unité, et faisant <p = (2 ■#-{-* 1).7. Or 
<T = |log(l-{-2« cos <p + a*), /? = arc. tang ^ > 

donc pour y— (2n-|-l)^ on a 

J = log(l — a), /? = 0. 
La fonction en question prendra donc la fonne 

(1 — a) k [cos (&' log (1 — «)) -f « sin (A?' log (1 - ce))] . 

Or, le étant égal à zéro ou négatif, il est clair qu'en faisant converger a 
vers l'unité, on n'obtiendra pas pour cette fonction une limite tinie et déter- 
minée. Donc les séries sont divergentes. 

De ce qui précède il s'ensuit, que les séries (21) ont lieu pour toute 
valeur de </>, lorsque Je est positif, et pour toute valeur de <p pour laquelle 

cos ^ u est P as z éro, lorsque le est égal à zéro ou compris entre — 1 et 0, 

quelle que soit d'ailleurs la valeur de le'. Dans tout autre cas les séries 
sont divergentes. Dans le cas que nous examinons, la série générale (19), 
lorsqu'on y fait è 2 -f~*a*=l, ou i = yi — «% prend la forme: 

/ 1 + ,n + ni {a + yj=ï) _|_ (>-+^)(m~l±ni) ( q + f } , 

■ (m + nt) (mi — l+nt)(m — 2 + ■ y^-, j- ^3 ■ 

1.2*3 

= (2 + 2a) ^ e~ * m ' ^ ^+~« [cos j m arc. tang )/ -f \ n log(2 -f 2a) ) 

1 siu | m arc. taug _^ ~ -j- 1 n log (2 -f- 2a) 

Voici un résumé des résultats précédents: 
I. Lorsque la série, 

! + »± + » ' (a + 6 f) + (!1±_» 0 (" =i + »L) (« + ft t) » + • • • 
est convergente, elle a pour somme 

[(1 _f_ «)" -|- 6*f e"~" ta " g r + a [cos ( m arc. tang -f y log [(1 -f a) 2 -f- i 4 ] ' 

+ * s»" ( » arc - tan g î^T a + y lo g [(1 + «)" + &"] ) 

31* 



(23) 



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244 RECHERCHES SUK LA SERIE 1 -j- ~- x -f- { '" ^ - je" 1 -\ 

IL La série est convergente pour toute valeur de m et 7*, lorsque la 
quantité est inférieure à l'unité. Si ^a^-j-ô* est égal à l'unité, 

la , série est convergente pour toute valeur de m conij)rise entre — 1 et 
-|- - , si Ton n'a pas en même temps a = — 1. Si a — — 1, m doit être 
positif. Dans tout autre cas la série proposée est divergente. 

Comme cas particuliers on doit considérer les suivants: 

A. Lorsque n = 0. On a alors 

(24) . h h 

| = [( 1 -|- a) 2 -j- b*]* cos | m arc. tang a J 4~ 1 s * n 1 m arc - tan 8' ~\~-Ça ) " 

Cette expression donne, en faisant a = rccosc/>, fe = « siii y> et en séparant 
les termes réels des imaginaires: 

1 -|- p a cos (/> -j - y - « cos Zip -\- • • • 

ni . . 

= ( 1 -f- 2 a cos (/) -f- a * ) * cos | m arc. tang ^ ^ j ' 

/// . « m (m — 1) « . ^ , 
j a sin (/) -j- j g— -ce* sinsy-J- • • • 

= (1 -|- 2 « cos y -f- a 2 ) 2 sin | //* arc. tang f^^^y j * 

B. Lorsque 6 = 0. 
Dans ce cas l'expression générale prend la forme suivante: 

7/i _j_„; (m + u/)(#/*— l+wi) a , 
1 X + ~ j" -«"h- 1 . 2 ~ 

! = (1 + «)" • l«g l 1 + «)) + * si" (» • H (! + «))] • 

C. Lorsque 1^ = 0, b = (). 

Alors on a 

(27) 1 + 1 a + - D a* + ^~^p S) «'+•..= (1 + «)-. 

Cette expression a lieu pour toute valeur de m lorsque la valeur numérique 
de a est intérieure à V unité, de plus pour toute valeur de m comprise entre 



(25) 



(20) 



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m , m (m — 1) a , 245 



RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- — x 4- — — - — x* 4- • • ■ 

1 1 ' 1.2 ~ 

— 1 et -f" 00 ? lorsque a=l 5 et pour toute valeur positive de lorsque 
a=— 1. Pour toute autre valeur de «.et de m le premier membre est 
une série divergente. 

Faisant p. ex. a^l, a = — 1 , on a 



-, m - m (m — 1) 



= 0. 



La première équation a lieu pour toute valeur de m comprise entre — 1 et 
-j- 00 * et la seconde pour toute valeur positive de m. 

D. Lorsque |/a 2 -(- b* = 1. 

Alors on a 

/ i + ^ (fl+] ^r_ 1 - ) + ( !î L±^ 1)8+ . . . 

(28) =(2+2«)^--~^^[oo8(»amta ng |/g+ J-log(2 + 2«)), 

( + * si » ( "* arc- tang + log (2 + 2a) ) . 

Si l'on fait ici a = cos y, on obtient 

|i i >«+»«/ , . . \ | («i + »'«')(»« — 1 + «<), _ , . . ~ . . 
1 _| „ — ( cos y _j_ j 8111 y) _|_ v ^ t- y ^ cos 2^ _[_isin2y)-| 
= (2 + 2 cos y) » e — ( i |~ cos j /w ^ y _ ^ «. , og (2 _|_ 2 cos ^ j 
+ * s" 1 ( ™ (i 9» — ^) + y (2 + 2 cos xp) ) J , 

en remarquant qu'on a 

arc. tang |/[~^ = arc. tang j/} ~™gf = arc. tang (tang \<p) = ^ — on, 
si l'on suppose \ip compris entre un — ~- et un + 4>- • 



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246 RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 + * x + — — x* ^ 

' 1 ' 1.2 n 

E. Lorsque ]ïa*-\-b*=l) « = cos<p, è = sin<p, /^ = 0. 
Dans ce cas l'expression précédente donne 

1 -f- j* (cos y -f~ * 8 * n <P) 4" — ^-g— - (cos 2y> -\- #sin 2y) -f- * • 



(30) ( _ ^ -j_ 2 cos tf) 2 [cos m (-$ y — (>jï) -j- i sin ?m (\ <p — qti)] 
depuis \(p = Qji — ~ jusqu'à \{p = Q7i-\- ~ , 

ou, en séparant la partie réelle de l'imaginaire, 

1 -j- "~ cos <p -f- m ^ cos 2y> -|~ • • • = (2 -f- 2 cos </>) * cos m (| </> — p7r) 

(31) < ™ S j n y _j_ Jl) S j U 2 y _J_ . . . =(2 -f-2 cos^)) 2 siii7/ï(|y — yn) 
depuis l<p = çn — ~ jusqu'à J y = (ur-|- 

F. Lorsque a = 0, & = tangy. 



Dans ce cas on obtient, lorsque tp est compris entre -j- ~ et — ? 



(32) J l + ~T^* ta W + ~-^ 

= (cos y)~ m e~ WT [cos (m (p — n log cos </>) i sin (irup — n log cos (p)]. 



Des expressions précédentes on peut, par des transformations conve- 
nables, en déduire plusieurs autres, parmi lesquelles il s'en trouve de très 
remarquables. Nous allons en développer quelques unes. Pour plus de dé- 
tail on peut consulter l'ouvrage cité de M. Caucky. 



Sommation des séries a cos (f — | a * cos 2 tp -f- \ a 9 cos 3 (p — • • • ? 
a sin (p — Ja* sin 2<p-\- \ a* sin3y — 

Lorsque a est supérieur à l'unité, on voit aisément que ces séries sont 
divergentes. Si a est inférieur à l'unité, nous avons vu plus haut qu'elles 



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RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 -f * x + "L^^L, n _| 247 

' 1 ~ 1.2 ' 

sont convergentes; leurs sommes sont les quantités /? et â du § 3, c'est-à- 
dire, en mettant pour ft et ô leurs valeurs données par les équations (18), 

I|log(l -j-2cr cos y -f-a 2 ) = a cosy — £a 2 cos2y-j-i aS cos 3 y — • • •> 
« 8111 ff> . « . ^ , . Q . ^ 

arc. tang ^ _|_ g c o isTy = a sm( P — ^ « sin 2 y -f - ^ « 3 sin 3 y — • • • 

Pour avoir les sommes de ces séries lorsque a — -j- 1 ou — 1, il faut seu- 
lement faire converger a vers cette limite. La première expression donne 
de cette manière 

( "£ -f* 2 cos (p) = cos cp — ^ cos 2 <p -f- ^ cos 3 (p — • • • ? 

(34) < 

( £log(2 — 2 cosy) = — cosy — \ cos 2<p — £ cos 3(/> — • • • > 

en supposant que les seconds membres de ces équations soient des séries 
convergentes, ce qui a lieu, d'après le théorème II, pour toute valeur de y>, 
excepté pour <p = (2fi-\- l)n dans la première expression, et pour (p = 2u7T 
dans la seconde, ft étant un nombre entier quelconque positif ou négatif. 

La seconde formule donne, en supposant <p compris entre n et — tt, et 
en se rappelant qu'on a alors 

arc ' tang l + ccfsy = arC - tang ( tang * *ÏÏ = ^ V : 

(35) \ <p = sin <p — \ sin 2 cp -f- \ sin 3 (p • • (depuis tp = tt jusqu'à (p = — tt). 

Lorsque (p = n ou = — tt, la série se réduit à zéro, comme on le voit aisé- 
ment. Il s'ensuit que la fonction: 

sin cp — \ sin 2 (p -f- ^ sin 3 (p — • • • 

a la propriété remarquable d'être discontinue pour les valeurs (p = jr et 
<p = — n. En effet, lorsque </) = + 7r, la fonction se réduit à zéro;, si au 
contraire (p = + (n — «), a étant positif et moindre que tt, la valeur de la 
fonction est 

+ 1* - a 
- \ 2 2 

La formule (33) contient comme cas particulier la suivante: 
(30) arc. tang a = a — i« 3 + i« 5 — • ' • 

ce qu'on trouve en faisant (p = J • Cette formule sera applicable pour toute 
valeur de cr, depuis — 1 jusqu'à les limites y comprises. 



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248 RECHERCHES SUR T,A SKBIR i _i_ m - i »(» — !) 



RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 + - x 4- m(m ~ 1 ' x 2 4. 

1 T 1.2 r 

B. 

/Mvrlof,jm,mU <h> cos m y et de du m y suivant les puissances de. tmy ff . 

On peut déduire ces développemens de l'expression (32). En effet, en 
faisant n = 0, et séparant les parties réelles des parties imaginaires, on' ob- 
tient, après avoir multiplié par (cos <p) a , 

Ieos = (cos y,)- ( 1 _ m X ) ( tang y )« 
+ - ( '-7^f ^(tang^-...), 

depuis y= 4 C jusqu'à </>=_ J-, et ces équations ont lieu pour toute va- 
leur de m lorsque tang cp est moindre que 1. Si taiigy = +l, elles ont 
lieu pour tout m compris entre -1 et Elles sont alors: 



(38) 



^(-■î)=(if(--- 1 -^r 5 +...). 



c. 

* ("")" « (-•'•)" - -W,* sukant ,W WM , „ ,„ ,, Ws 

wultiplrs. ^ 

Dopui» v ,,,l q „e to „,,s p]„.,ie„,„ a„nly«t« „ .,„„t occupé., du dcveloppc- 

II Vt x) ot r , * ) "- M,,is ■ i " sti "' i ' i "- &cnt > » > » - « 

u te ., . «„„ reae „ci„„ s , mais „ M ex preS8 i„„» „•„,„ p 1>s J rigo,- 
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mntaph» 1» pro „„c re pal . ^ et |n sei;omle o / obt .' ent ' 



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>n olj- 



va- 

nlit 



«t m {m — 1) 9J.0 

RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + x + — ac 2 ^ ^*«* 

1 1 1 1.2 

cos « -}~ Y" cos ( tt — y) H~" ~ "p" g - " ~ cos ( r * — ^ 9) ~f" ' ' ' 

= (2 -}- 2 cos y) 2 cos « — -f~ wpji 

| depuis \ (p = {)ji — ~- jusqu'à \ <p = ça -\- ~ j • 
Or puisque 2 -f- 2 cos <p = 4 (cos \ y>) 2 , on aura, eu faisant (p = 2x, 
cos « + y cos (a-2x) + — y-ïp- cos («-4a;) +■■-«= (2 cos x)'" cos (a-wu; + 2 /rc^-r) 
depuis # = 2(>.7- - - jusqu'à x = 2()n - + 

cos « + j cos (« - 2x) + - y^2" cos (« - 4a;) H = (- 2 cos x) m cos [a - + m (2 y + 1 ) tt] 

depuis x = 2().i+ ™ jusqu'à x = 2 (>:t + ^ • 

Si l'on fait ici 1) a^wa; 2) a = mx-\- ^ 3) ct = niy, x = y — — ; 
4) « = m ?/ — y ? a; = ?/ — y» on obtiendra 

1) (2cos^) w cos2?^(>7r = cosm^ + y cos(vm-2)x + — ^^^cos(/M-4)a;+ • • - , 

2) (2 cos x) m sin 2 mçn = siu m a; + y sin (/m - 2) a? + — y^ sin (m -4) a; H , 

depuis x = 2ffn-*j jusqu'à x=^2ffn + ~; 

3) (2 sin#) m cos//i(2(> + D^ = cos7/ix - y cos(w-2)x + - ^ n ^~cos(m-4)x 

4) (2 sinx) m sin m(2(i + |) ,7= sin ma; - y sin(w-2)x + ^^ sin (w-4)x - - - . 

depuis u:=-2(>.t jusqu'à ar = (2(H- 1)- 7 * ; 

5) (- 2 cos x) m cos w(2 + 1)^ = cos //^ + ™ cos (w- 2)x + M (™J1 C08 4) # _j 

6) (-2cosa;) m sin m(2(?+ï).i==m\wix+ ™ mi(tn-2)x + sin (-/w-4)o;H 

depuis # = (2(>-f-|)* j USf l u ^ » = (2(i + |-)jr; 

7) (- 2 sin x)* cos m(2 (; + f ) u =■ cos ma; - y cos (w- 2)a? + — y^p cos (m- 4) a; - 

8) (-2 sina;) w sinm(2p + =-sin - y sin(m-2)x + ^'-^ sin (m -4) a; - . - . 

depuis x = (2q + Ï)7i jusqu'à x = (2q + 2)ti. 



32 



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250 RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 + "** + "* f « r~ 3:3 H 

1 1 . j£ 

Ces formules ont encore lieu pour les valeurs limites de x', lorsque m 
est positif. Lorsque ta est compris entre — 1 et 0 ces valeurs sont exclues. 
Comme cas particuliers on peut considérer les deux suivants: 

(2 cos x) = cos mx -J- y cos (7/1 — 2) x -\ — - cos (in — 4) x -|- • • • ? 

0 — sin mx -|- ^ sin (m — 2) a; -* ^- ^ ^ sin (m — 4) x -(- • • • ? 

depuis x* = — ^ jusqu'à x = ™ . 



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Journal fiir die reine und nngewandtc Matliematik, lienius^e^eben von CrelU, Bd II, Herlin 1827. 



Lorsque une intégrale définie contient une quantité constante indéter- 
minée, on peut souvent en déduire, par différentiation, une équation différen- 
tielle par laquelle l'intégrale définie peut se déterminer en fonction de la quan- 
tité constante. Le plus souvent cette équation différentielle est linéaire; si elle 
est en même temps du premier ordre, elle peut, comme on sait, s'intégrer. 
Quoique cela n'ait pas lieu en général, lorsque l'équation est du second ordre 
ou d'un ordre plus élevé, on peut pourtant quelquefois déduire de ces équa- 
tions plusieurs relations intéressantes entre les intégrales définies. Montrer 
cela sera l'objet de ce mémoire. 

Soit ^ "J- -j-jp ^ — [— </ // = 0 une équation différentielle Knéaire du se- 
cond ordre entre y et a, p et q étant deux fonctions de a. Supposons 
qu'on connaisse deux intégrales particulières de cette équation, savoir y = y A 
et y = y i<} on aura 

(1 lJi _1_ 7) ^ Juan — 0- d *V* 4- v +av — 0 
De ces équations on tire, en éliminant q, 



32* 



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252 SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 

donc en intégrant 

m =•-**. 

e étant la base des logarithmes Népériens. 

Supposons que les deux fonctions #1 et ?/ 2 soient exprimées en intégrales 
définies, de sorte que y l = fvdx, y* = fudx, v et u étant des fonctions de 
x et de a, cette relation entre ^ et y t donne en substituant, 

(1) Jndx j^dx-Jvdx J *Ldx = é-f'*. 

Cette équation exprime, comme on le voit, une relation entre les quatre inté- 
grales Jndx, jvdx, f-^-dx, f'* dx. Il s'agit maintenant de trouver 
des intégrales qui puissent satisfaire à une équation différentielle du second 
ordre. 11 y a plusieurs intégrales qui jouissent île cette propriété, et que 
nous allons considérer successivement. 

I. Soit * = .> + «)r + l_ e t + 

le signe ^ dénotant que l'intégrale est prise depuis x = 0 jusqu'à ar=l. 

En différentiant la quantité (x + a)r X '(l -x)> = r par rapport à x, on 
obtient 1 ' 

dr = dx.x" -U^-xy-^x^a)y^[ r x(l- x ) + a(x^a)(l-œ)-/i(x^a)x]. 
Or 

yx(l-x) -f « (x -f a) (1 _x) - /? ( ; r -f «) x 
= ~ ?(«*+«) + [«(/?+/) + (« + 1) (a+y)] ( œ +r,)-(«+ / 9-f- / ) (*+«)«, 
donc en intégrant entre les limites x = 0, x=l, on obtient 
0 = — y („» JL a ) [\{*+«)v- l d.v 

+ [</*+,) «+(. +r , ( . + D]/',£+^ -i.+n+r)f;&$' . 



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SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 253 

fi ^ 1 d 

De cette équation on tire, en divisant par - _|_ j et substituant à la place 
des intégrales leurs valeurs en y, 

( 2 ) da*-\"a +r+aj^+ a(«+l) U> 

Si Ton met à la place de «, /?, / respectivement 1— /?, 1— rc, 
a J^pj^y — 1 , on aura la même équation, donc 

r 1 (x-L-a)Y+idx r 1 (.r+«)«+/»+yrf^ 
(») * = J 0 ii^l et ^ 2 = J 0 >(1 -*)« 

sont deux intégrales particulières de cette équation. 

Or p== — a ±? — ttl, et par conséquent e-f'* = Ca'+* [l-\-ay*r 

1 a 1 + a x 

donc Téquation (0) donne 

M *^-*ï = C«-*r(l+»rr.- 

Pour déterminer la quantité constante C, soit a = 00, on trouvera facilement 

C= - (a + /? — 1) £dx . a;"- 1 (1 — xy- 1 .J\lx . .r-" (1 — a-)-", 
c'est-à-dire 

C = 71 [cot (a.?) -f cot ((3.l)} . 
Par suite l'équation (4) donne 

(5) l , , n T + + 

- + 1) J 0 " J. *"(!-*)" 

I = — n [cot («*) + cot (/?*)] (1 -f 

Le cas oil y = — a — /? mérite d'être remarqué. On a alors, comme on le 
voit aisément, 



Or 



r 1 «/.r _ r«./^ 



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2^4 SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 

rm étant égal h / x—ie—dx, donc 

J 0 ' 

f l Ta^rp 1 

J 0 .r'-''(l-.rj^(,- + ( , r +/*— + # ^(T+T)« ' 

Soit p. ex. ft=l — a , on aura 

dx __ra^r(\~a) 1 

Jo (l-.r)«.<-'-« Çr+a) ~ /'(l) ~ ^-^(ï +^ ' 

or /'(1)=1, /'«.y(l-«)=-^ r --, donc 

sin a>r 

r 1 da[_ /r i 

J o 0 ?, + a ) * A ~ tt (1 — .r)«~ sin 77* -« (Hfa)" ' 

. fcoit /7=J n ("f+^^^^r* En di fférentiant on obtient 
(y 4-1) f °° 

Lorsqu'on différence la fonction *•-«(] +*)'-/*(*+«)-/-. = on obtient 

donc, puisque } 

<l = (y + 1) 0 - a) a - [(« + y) (1 _ a) _ (; , _|_ ^ ff] (a! + „ } 

On tire de là en intégrant 

(6) *£. + l!L±r__fi + r\ d ;l Y(1 - a _p_ y) 

da*~T\ a l-a)d^-\ a{ï-à)~ J y= ( >- 

En mettant respectivement 1 — /? ] _ „ „ i _ . o i ,n i, ,i , 
a fi » W ,.' u i ' ' ' / r flr- r/ J — J l * la place de 

«, /*, / , il on resuite la môme é<piation, donc 



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SUR QUELQUES INTEGRALES DÉFINIES 

,V- a U;C 



255 



(1 + .,•;'-'< (.c-\-a)«+t+r-i ' 



V 



sont deux intégrales particulières de cette équation. 

Or, puisque ^==£L^_f_±-£ et par suite ^ /pda = a a +ï (l _ a y+.y 
on a en vertu de l'équation (0) 

M* ~da 1Jl ' da ~~ â*+r(î—â)i*+r ' 
En faisant a=l, on trouve G'=0, et par conséquent 

c'est-à-dire y Y = Cy s , C étant une constante. Pour la trouver on fera a = 1 ; 
on aura 



Or 



donc 



(î+7) T -' r (*' + a) "^47-1 



Par conséquent l'équation y i = Cy i donne 

f°° -- a - b - - r{u-a)r(a+(i+r-i) r 
Jo (i+.vy(.r+a)y r,i.r r J 0 

Si dans l'équation (6) on met (1 — a) h la place de a, /? et a k la 
place de a et elle ne change pas de forme. 
Il s'ensuit que 

est de même une intégrale particulière de la même équation. On a donc 

dy r djf^ C 

^ da lJl da ~~~ a«+r(\ — a y+r' 



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256 SUK QUELQUES INTEGRALES DÉFINIES. 

En mettant xa à la place de x dans l'expression de y t , on obtient 
On trouve de même, en mettant (l — a )x à la place de x, 

/V J 0 (i+-'-) y+, [i + (i-«).'T"' 

En substituant ces valeurs, multipliant par o u+ J'(l — a)"** et écrivant 6' au 

lieu de — , oi> trouve 

Y 

Pour trouver C, soit « = 0, ou aura 

Si l'on fait p. ex. /?= 1 _ «, on aura en remarquant que 

y.sina* J o (1+^(1 + a .r)'-« 'J 0 (1 + [X _ o) -j„ 
Lorsque ce = ^ = ^ on a 

+(i-«) r , - .r '>■>■ 

J, V.r(l + .,)[l + ( l_ a)if] J o V ; c(1+ir)3(1 + (M . ) 



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SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 257 

Toutes ces intégrales peuvent s'exprimer par des fonctions elliptiques. 
En effet, soit x = (tang </))% on aura aj>rès quelques transformations légères 



2 J 0 y'1 — (1 — a)sin*r/> J 0 V'1 — <« . sin*<f 

J, Vl— asin»f/> Jo VI— (1 — tOsin^ 
c'est-à-dire, lorsqu'on fait « = 0", Z> 2 =1 — <r, 

J = F l (c) E\b) + E\c) - F\c) F\b), 

où, d'après la notation de M. Legendrc, 

^( C ) =/"■'• rf J , i? 1 (c) = ciy . y ï= V- iin'y. 
Jo VI— <<"8in-r/> Jo 

La formule ci-dessus se trouve dans les Exercice* de Calcul intégral par 
M. Legendre, t. I, p. 61. 

Dans la formule générale (7) les intégrales peuvent s'exprimer par 

d'autres dont les limites sont 0 et 1. Soit à cet effet x = ~ J - : on aura 

1— y' 

( f(l -«)Z'(W ) r(« + ,i + y - 1) _ /" </y(l -y)«+/H-y-» [ l <}y(\ -,j)<'+i>+Y-i 

(8) ) ~~ a J 0 r[i-(i-«)yP. "Jo 

( +( a) Jo r[i-a-«)y]^ 'J, "y(i-«y)«" " 

Nous avons vu plus haut que 



dx Fa . ifi 1 



On peut trouver, comme il suit, une expression plus générale de la- 
quelle celle-ci est un cas particulier. En différentiant l'intégrale 

u-J o {x + ay+fi ~ 
par rapport à a, on obtient 

- rf £ = -(«+/*) J o (jr + a)B+ , + - " 

33 



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258 . SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 

Il s'ensuit que 

du ' \ i + „ -r a j j (t(1 (^j_-y a -: +/ * • 

En multipliant cette équation par + le premier membre devient 

une différentielle complète, égale à d[y . a<\l + «)«], on aura donc en inté- 
grant 

y • (1 + a)" = 6' — x° (1 _ x y fda.ai^ (1 + a )«-i 
' 7 Jo (« + *)«+/* • 

Pour trouver C', qui peut être une fonction de *, uous ferons a = c*. 
Un aura 

y . « " ( 1 -f a) " =J \l x . x « -i ( ! __ x y- . ? 
et par conséquent, ° 

6 — f ^ • x"- 1 (i - .tV- 1 (i - x y f^^'^a+u)"- 1 

Si l'on fait a = ' c ~ 0 f „.„. OI1 v_ „ .< + "•'• 

y — j. ' ct P' u M «*e # = r on trouvera 

Jo («+*)«+/* ~- = ~ x ~ a { l —x)~ l> J dy.y«- l {\—y)ti-i 
= ^(l-.,)-^_£^,.^ 1(1 £ dx .x^(l 
En substituant cette valeur, on obtient 

G'== / J. c . a;"- 1 (1 _ a;)'^- 1 = r «- ^ 

/(a 4/*)' 

et par conséquent 

Si p. ex . « + ()U aura 

Si de plu, on ol)tient 

v ' ' 1 ,c (« + .»•) Vu-j-a 2 



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SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 259 

ce qui est juste, car 

f - — ^=-— = --~ arc. tang l/*±*? , 

f - ^ - - = ,, 2 — arc. tang l/îF™. 

. 1 7T 

et arc. tang 2 -(- arc. tang — = ^ • 

III. Soit y= I e-^x'-^l—o-y-'dx, oîi a>0, ,?>(). 

J 0 

En différentiant par rapport à a on obtient 

Lorsqu'on différence la fonction r = e-" x x" (1 — a-)'' par rapport à x 
on obtient 

= ar K x»-' (1 — x)"- 1 da; — (a -f- /? + «) e- ax x" (1 — a-)''- 1 eZa: 

-\-ae- ax x a+l (l — xy- 1 dx, 

donc en intégrant depuis x = 0 jusqu'à a; = 1 , et substituant pour les inté- 
grales leurs valeurs en y, et ^f~: 

Ou satisfait aussi à cette équation eu faisant 

y = y x =J™e- ax x a - 1 (x—iy- 1 dx, 

a étaut positif. Or on a p= ?dd*+l J donc e-f*" = -^^- Donc l'é- 
quation (0) donne 

dy dy^ _ C 

33* 



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SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 

Si dans l'expression de .y, on met x+1 à la place de x, on trouve 

= e-" / e-"' a!"-' (1 -f- a-) «-» </ :r , 

rf/y, / ,oc 
*/ o 

on bien, en mettant à la place de a:, 



*J 0 



En substituant ces valeurs de, y, , de même qne celles de ,/, en nml- 
tipliant par et faisant «=0, on trouvera 

C = f e-'dx.x^"- 1 . Çdx.x"-' (l— :c y-^ 
c'est-à-dire ° Jo 

On aura donc v ' ; 

r«.rft=f\-«* dx.x-*(l-„)*-* .J~e-dx.x^{a + xy 

~ 0 L - a-)"- 1 .J^e-'dx.xt-^a + xY-K 

Lorsque /?— 1 — «, on a 

.nfb=X , t'«--"( r £;)''.p-'^( 1+ »)- 

-:/>--[.i;)T*.-('+;r- 

IV. Soit 

y=£ 0 °e' u -"x"- l dx, oh «>0. 
Eu différeiitinnt on aura 



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SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES 

e— dx. 



261 



Or 



d(e"*-*'- x ") = dx . e"*-*'*"-* (« 4- r/.,- — 2r*); 



donc en intégrant depuis x = 0, jusqu'à .r==-.x-, en substituant les valeurs des 
intégrales en ?/, et ^Jf , et divisant par — 2, on aura 

Cette équation conserve la même forme lorsqu'on remplace a par — a, donc 

noo 
J o 

est de même une intégrale particulière de cette équation. Puisque p est égal 

a- 

à — \a, on a ^—7/"^ = * ? et p ar conséquent, 

Jl da J du 

Si, pour trouver la quantité constante (7, on fait <r = 0, on trouvera 

?/, = J™e-*'x a - 1 dx = | r | ?- ) , 

/•ce 

/ c- x 'jr fl «/3:=— 



da 



2 



donc en substituant: 



0= tW-î-l r\% 



et par suite 



e-° x -* t dx.x" 



p OC /« OC 

J 0 J 0 



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202 



SUR QUELQUES INTÉGRALES DEFINIES. 



Si l'ou met a '(/ — 1 à la place de a, on obtient la fonnule suivante: 
-j r r| a + 1 |r|"Je T =J dx . c-*' cos ax . x"- 1 .J^ dx . e~ x ' cos ax . x" 

n oc /'OC 

-\- l dx . e~ x * sin ax x"~* . I dx. e~ xi sm ax . 

J 0 J 0 



Note. Los quantités constantes (exposants), qui se trouvent dans les intégrales de 
ce mémoire, doivent avoir des valeurs telles que les intégrales ne deviennent pas infinies. 
Ces valeurs sont faciles a trouver. 



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XYL 

RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Journal fur die reine und angcwandte Matlieinatik, herausgegcben von Cr<llt y Bd. 2, 3. Berlin 1827, 1828. 



Depuis longtemps les fonctions logarithmiques, et les fonctions exponen- 
tielles et circulaires, ont été les seules fonctions transcendantes, qui ont attiré 
l'attention des géomètres. Ce n'est que dans ces derniers temps, qu'on a 
commencé à en considérer quelques autres. Parmi celles-ci il faut distinguer 
les fonctions nommées elliptiques, tant pour leur belles propriétés analytiques, 
que pour leur application dans les diverses branches des mathématiques. 
La première idée de ces fonctions à été donnée par l'immortel Euler, en 
démontrant, que l'équation séparée 

- - + - =0 

Va + ibt+yx* + dx» + e.c l 1 V « + fijt + y y* + ày' + ey* 

« 

est intégrable algébriquement. Après Euler, Layrantje y a ajouté quelque 
chose, en donnant son élégante théorie de la transformation de l'intégrale 

/ M de 
, ■ — ' 1 , où H est une fonction rationnelle de x. Mais le pre- 

mier et, si je ne me trompe, le seul, qui ait approfondi la nature de ces 
fonctions, est M. Legendre, qui, d'abord dans un mémoire sur les fonctions 
elliptiques, et ensuite dans ses excellents Exercices de mathématiques, a dé- 
veloppé nombre de propriétés élégantes de ces fonctions, et en a montré 
r application. Depuis la publication de cet ouvrage, rien n'a été ajouté à la 



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2f>4 ltECHKKL'JIES SUK LES FONCTIONS ELLll'TIQLES. 

théorie de M. Je crois qu'on ne verra pas ici sans plaisir des 

recherches ultérieures sur ces fonctions. 

En général on comprend sous la dénomination de fonctions elliptiques 
toute fonction comprise dans l'intégrale ' 

/'_ Rd.,: 
J Va + ,U + y.r« + Ôx* + ce* ' 

où H est une fonction rationnelle et «, /?, y, e , ont ( ,es quantités con- 
stantes et réelles. M. Zrç,^ a démontré que par des substitutions conve- 
nables on peut toujours ramener cette intégrale à la forme 

r i>d ;l 

J Va + Ayf + cy*' 

où P est une fonction rationnelle de Par des réductions convenables, 

cette intégrale peut être ensuite ramenée à la forme 

et celle-ci à i + ¥ + . 

J C'+7/ 8 i„-»» yi _> 8inï( ,' 

où c est réel et moindre que l'unité. 

Il suit de là, que toute fonction elliptique peut être réduite à l'une des 
trois tonnes: 

fïl -~ d *--*J (dOyi — c'mJo, f d0 

■/>l-cw« J 1 J (l + n^yï-c^e' 

auxquelles M Legendre donne les noms ,1e fonctions elliptiques de la pre- 
mière, seconde et troisième espèce. Ce .sont ces trois fonctions que M. Le- 
yendre a censurées surtout la première, qui a les propriétés lis plus re- 
marquables et les plus simples. 

Je me propose, dans ce mémoire, de considérer la fonction inverse, 
ccst-a-d.re la fonction <p«, déterminée par les équations 

/' d» 

a = j , 

xin 0 = (pa = jc. 

La dernière équation donne 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



265 



donc 

— f _ (/ * r 

M. Legmdre suppose c* positif, mais j'ai remarqué que les formules devien- 
nent plus simples, en supposant c 2 négatif, égal à — e*. De même j'écris 
pour plus de symétrie 1 — c*x* â au lieu de 1 — x 2 , en sorte que la fonc- 
tion cpa = x sera donnée par l'équation 

Jo V(l— c^i-*)(l + «\r*)' 

ou bien 

<p'a=y(ï— c*<p*a)jr-fe*(p*a). 
Pour abréger, j'introduis deux autres fonctions de a, savoir 
fa = yi — c\p*a, Fa = yi+"e ï y*a. 

Plusieurs propriétés de ces fonctions se déduisent immédiatement des 
propriétés connues de la fonction elliptique de la première espèce, mais d'au- 
tres sont plus cachées. Par exemple on démontre que les équations (pa = 0, 
fa = 0, Fa = 0 ont un nombre infini de racines, qu'on peut trouver toutes. 
Une des propriétés les plus remarquables est qu'on peut exprimer ration- 
nellement (p(ma), f(ma), F(ina) (m étant un nombre entier) en (pa, fa, Fa- 
Aussi rien n'est plus facile que de trouver (f)(ina), /(ma), F (ma), lorsqu'on 
connaît <pa, fa, Fa-, mais le problème inverse, savoir de déterminer tp a, 
fa, Fa en ip^ma), f(ma), F{ma), est plus difficile, parcequ'il dépend d'une 
équation d'un degré élevé (savoir du degré m 2 ). 

La résolution de cette équation est l'objet principal de ce mémoire. D'a- 
bord on fera voir, comment on peut trouver toutes les racines, au moyen 
des fonctions <p, f, F. On traitera ensuite de la résolution algébrique de 
l'équation en question, et on parviendra à ce résultat remarquable, que 

^ m ' f m ' ^ m l )ellven ^ ^tre t>x P r i m és en <p&i /<*> F a i P ar uue formule 
qui,- par rapport à a, ne contient d'autres irrationnalités que des radicaux. 
Cela donne une classe très générale d'équations qui sont résolubles algébri- 
quement. Il est à remarquer que les expressions des racines contiennent 
des quantités constantes qui, en général, ne sont pas exprimables par des 
quantités algébriques. Ces quantités constantes dépendent d'une équation du 
degré m 2 — 1. On fera voir comment, au moyen de fonctions algébriques, 

34 



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2(\(l RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

on peut en ramener la résolution à celle crime équation du degré m-\- 1. 
On donnera plusieurs expressions des fonctions if(2v :-|~ l)a , f(2n-\-\)a, 
F(2n-\- \)a en fonction de if a, fa, Fa. On en déduira ensuite les valeurs 
de (f a, fa, Fa en fonction de a. On démontrera, que ces fonctions peu- 
vent être décomposées en un nombre infini de facteurs, et même en une in- 
finité de fractions partielles. 

§ i- 

Propriétés fondamentales des fonctions (fa y fa, Fa. 
1. 

En supposant que 
(1) if a = x, ' 

on aura en vertu de ce qui précède 



(2) . «=/"*, 



Y(i — c r **)'(i + 

Par là on voit que a, considéré connue fonction de x, est positif depuis 
x — 0 jusqu'à x = 1 • En faisant donc 

C 

1 

( f t / c du: 

2 ~Jo Y(l — c^*j(ï+ e* ' 

il est évident que y a est positif et va en augmentant depuis a = 0 jusqu'à 
« = ~2 ' et f l u on aura 

W *(<>) = o, 

Comme « change de signe, lorsqu'on écrit —a; à la place de il en est 
de même de la fonction if a par rapport à «, et par conséquent on aura 
l'équation 

( ,r> ) " if( — «) = — if a. 

En mettant dans (!) xi au lieu de x (où pour abréger, représente la 
quantité imaginaire ]/— 1 ) et désignant la valeur de « par /ît, il viendra 

( 6 ) xi=<p(fti) et /?=/'% - ^ - rf-r - 

Jo V(l + c* **)(! — 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS" ELLIPTIQUES. 267 

ft est réel et positif depuis x = 0 jusqu'à x = * ? doue eu faisant 
(7) ?-=/'' ,U - 

a; sera positif, depuis /? = 0 jusqu'à /?= f* > c'est-à-dire que la fonction 

\ ( p{fà) sera positive entre les mêmes limites. En faisant = # et 
y (a/) 

on a 



Jo V(ï-*v)0 + 'V) 



V(i-^v)(i + ^v; 

donc on voit, qu'en supposant r au lieu de # et e au lieu de e, 

se changera en (fa. 

Et comme 

/« = yi — 

on voit que par le changement de r en f et o en ^, f(ct?) et F(ar) se 
changeront respectivement en i*V/ et /«. Enfin les équations (?>) et (7) font 
voir que par la même transformation co et u) se changeront respectivement 
en uJ et 

D'après la formule (7) on aura x=^ pour (3=*^ , donc en vertu 
de l'équation 'jri—<p((3i), il viendra 

2 , 



En vertu de ce qui précède, on aura les valeurs de (fa pour toute va- 
leur réelle de a, comprise entre — ™ et ~hy> et P our toute valeur ima- 
ginaire de la forme /??' de cette quantité, si /? est une quantité contenue 
entre les limites — ™ et -j- • Il s'agit maintenant de trouver la valeur 

de cette fonction pour une valeur quelconque, réelle ou imaginaire, de la 

34* 



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RECHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 

variable. Pour y parvenir, nous allons d'abord établir les propriétés fonda- 
mentales des fonctions y, / et F. 
Ayant 

/*«= 1 — « 2 y 2 «, 
F'a=l+e*<p*a, 

on aura, en différentiant 

fa .fa = — c *(pa. y'a, 
Fa .F'a = e î <pa .<p'a. 

Or d'après (2) on a 

donc, en substituant cette valeur de <p'a dans les deux équations précéden- 
tes, on trouvera que les fonctions yr,, /„, Fa sont liées entre elles par les 
équations r 

<p'a=fa .Fa, 
f'<*= — c 2 <pa.Fa, 
F'a=ie-tpa .fa. 

Cela posé, je dis qu'en désignant par „ et fi deux indétern.inées, on aura 

( 10 ) / fia 4-3)— /«•/(*— c'ya . fffl . Fa . F(i 

F (a + B) = - F °L?P + « V • <r(±fa . .//if . 
Ces formules peuvent Être déduite, sur le champ des propriétés connues 
peut aussi les venher aisément de la manière suivante. 

(10) on wf r Ï C SeC ° ml mem,,re de k P™" 1 ^ de « Rations 

W, on aura, en différentiant par rapport à «, 

&n substituant pour m'a T?> î , 

(9), il viendra ' ValeU1 ' S d ° nnées P ar les équations 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



269 



dr _ fa . Fa . ffi . Ffi 2e*c*<p*a . <p*fi . fa. ffi . Fa . F/J 
,/« — 1 +>*c*y* a ". (1 ~+e*e*ip*a . (f*fi)* ' 

, tf* . ipfi . (1 + e*c*<f*a . r f V) (— ^ F*a + e*f*«) - 2«?*^r« . ^ . // ' ./*« ^« ? 

d'où, en substituant pour /*« et leurs valeurs 1— c 2 (p 2 a, 1 -f- ^V*" * 

et en réduisant, on tire 

cZi- _ (1 — e*e*tf*a. ff*fi) [(e*—c*)cpa.cpfi-\-fa.ffi. Fa . l^i] — 2e i (rhpa . fffi (cp 2 a+^rfi) # 
da — 7 " (1 + ^yo . y*/*) 3 

Maintenant a et /? entrent symétriquement dans l'expression de r; donc on 
aura la valeur de ~, en permutant « et /? dans la valeur de 'J- • Or 
par là l'expression de ne change pas de valeur, donc on aura 

dr dr 
(fa d fi 

Cette équation aux différentielles partielles fait voir que r est fonction 
de «-J-/Î; donc ou aura 

r=ip(a + ft). 

La forme de la fonction y se trouvera en donnant à ft une valeur particu- 
lière. En supposant par exemple /? = 0, et en remarquant (pie y (0) = 0, 
/(0)=1, .F(0):=1 7 les deux valeurs de r deviendront 

r = cpa et r = i//«, 

donc 

ipa = (pa i 

d'où 

r=^(« + /?) = y(« + /?). 

La première des formules (10) a donc effectivement lieu. 

On vérifiera de la même manière les deux autres formules. 



3. 

Des formules (10) on peut déduire une foule d'autres. Je vais rappor- 
ter quelques-unes des plus remarquables. Pour abréger je fais 

(11) l+e'r*<p*a.<p*ft=R. 

En changeant d'abord le signe de /?, on obtiendra 



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(12) 



270 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

f <r(«-\-fi) + <p(«-fi) = 2 '*^ Fti -, 

+ /?) + y (« — /?) = 

'/(« + fi)~ /(« - /9) - -l^^jJSL?? , 
F(a + fl) + F(a-.fi = *^ F ll, 
F (a + /?) - F(« - /?) = 2 - 2 ^- VpfrJl . 

En formant le produit de <p (« + /?) et y («-/?), on trouvera 
y (« + /?). y (« — /?) = • Fp + <fti.fa. Fa ç« Fp—yp.fa. Fa 

_ cp'ajy . F* fi — <f *(i.f*a.F *a 
il* " 

ou, en substituant les valeurs de /»/?, F*/?, /»«, F*« en <p t 3 et </,«, 
V (« + /?) • y (« — /?) = ^ c ~ ^ ~~ ' 'f V» • ffV + ^ V/? • y 4 a 



or lï=l-\-e i c i (p*a. ( p'ft, donc 

0») < 
On trouvera de même 



( 1 ») g» (« + /?) . v (« _ /?) = V s « - TV 



(14) 



/(« + /*) •/(« ~ fi) = Pa ~ "'V'fi^'a = PP - *>fa L F*(t_ 

+ /?) . F(« — /?) = +r V/* ■/*« = + f v« . /■•/? 

7 '' ' A' 



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RECHERCHES SUU LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 



271 



4. 



En faisant dans les formules (10) (1 = ± i ^, (1=.±-^i, et en remar 



quant que / 1 + I = 0, Fi± — ■ i I = 0, on aura 



<P\ a ± 9 



(15) 



eu 



(p la ± w i = ± <P U * 



ou bien: 



(16) < 



i i 0 • 



= + 



1 fa 



+ 



... o .\ Ve*+c» 1 
^l a± 8«) = -- e fa 



De là on tire sur le champ 



(17) 



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27- KECJ1EKCHES SUK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

(1H) 

En faisant a = '* et £ /, on en déduit 

En mettant ensuite dans les trois premières équations (17) a + J au lieu de 

«, et dan, les trois dernières au Iieu de B) on leg gu ._ 

vantes 

(19) { v (« + ») = - V « ï /(« + W) ==-/„; _|_ ((J) = ^ . 
' = -¥>«; /(«+»!)= /«; *'(«+<»,■)=_*•«; 

et en mettant «-f- w e t « -f Coi au lieu de «: 

( y(2« + «) = y«; y(2ffl» + „)= y „ î . y(w + a>I . + a) = 

(20) /( 2o , + a) = /a; /(ffl ,- + e) = / „. 

( ^+«) = ft; ^(SiBi + «) = *'„. 
Ce» équations font voir que les fonctions y „, /„, ^ sont (les fom . 
«eux nombres entiers positifs ou négatifs: 

9 [(■»* + ») «i + (■/« - n + 1 ) t D/-f_ „] = _ y „ ; 
/(2 WW + mW ,- + „)=/ o; /[(2/ , i + l) w + „] = __ /ff 
l + 2«0»,- + «) = Fa ; * >4a , _|_ (2 „ _|_ 1} + ff] = Fn - 

Ces fonnules peuvent aussi s'écrire comme il suit: 

V ('«w -f~ niùi± a) — ± (— 1)"+»^ „ 

/(ï«(y -|- W( y „) _ (_ J)™ 

w -f- nmi± a) = (_ 1)» 
On peut remarquer comme cas particuliers: 



(21) 



(22) 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 273 

(p(/tuo±a) = ±( — 1)"' (pa ; (p {n(Bi± a) = ± ( — l) n (pa; 
(22') l f(mw±a) = (-l)-fa; /(n«D»± «)=/«; 

^(ww ± a) = F« ; JF(nfi>t'± a) = (— l) n i<V 



Les formules qu'on vient d'établir font voir qu'on aura les valeurs des 
fonctions (pa, fa, Fa pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la 
variable, si on les connaît pour les valeurs réelles de cette quantité, com- 
prises entre [y et — " et pour les valeurs imaginaires de la forme pi, 

où P est compris entre ~ et — ^ • 

En effet, supposons qu'on demande la valeur des fonctions (p(a -\~pi) r 
/(a-}-/?/), F (a -j-/3/), oh a et p sont des quantités réelles quelconques. 
En mettant dans les formules (10) pi à la place de /?, il est clair qu'on 
aura les trois fonctions dont il s'agit, exprimées par les fonctions (pa, fa, 
Fa, <p(pî), fiPi), F (pi). Il ne reste donc qu'à déterminer ces dernières. 
Or, quelles que soient les valeurs de a et p, on peut toujours trouver deux 
nombres entiers m et n, tels que a = mœ±a', p = nU)±P', où a est une 

quantité comprise entre 0 et -f--|r> et P' entre 0 et Donc on 

aura, en vertu des équations (22'), en substituant les valeurs précédentes 
de a et p, 

(pa = (p{inœ ± a') — ±( — \) m (pa', 

/«=/(»>(» + «') =(-l)-/a', 

.Fa =F(mw±a') = Fa', 
tp (/?/) = 9 (nœi±ft'i) = ± (— 1)" y (/î't), 
f(fti)=f{nBi±(3'i)=f{fi'i), 
F((3i) = F(nmi±p'i) = {— l) n F{(3'i). 

Donc les fonctions </>«, /a, </>(/?i), seront exprimées comme 

on vient de le dire, et par suite aussi les fonctions y (a -\- fti), /(«-]-/??'), 

Nous avons vu précédemment, que (pa est réel depuis a= — ^ jusqu'à 

35 



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274 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

« = + et q ue est réel depuis « = — -J jusqu'à o = + Donc 

en vertu des équations (22) il est clair 

1) que if a et sont réels pour toute valeur réelle de a- ( pa est 
compris entre — 1 et -4- — , et f/> v^ entre — -- et -4-- 1 -- 

2) que <pa s'évanouit pour a = mw, et 3:L"0 poU r « = wt «j, ,„ étant 

un nombre entier positif ou négatif; mais <pa n'est pas nul pour aucune 
autre valeur réelle de a. 

Eu remarquant, que f a = fl -cûpî~ a , ^«=yi + e 'V«, «1 suit de 
ce que nous venons de dire 

1) que les fonctions fa, Fa, /(ai), F (ai) sont réelles pour toute va- 
leur de a; 

2) que fa est compris entre les limites — 1 et + 1 et Fa entre les 

limites -f 1 et -f |/l -f ^ , de sorte que Fa est positif pour toute valeur 
réelle de a; 

3) que f(ai) est positif et compris entre les limites -f- 1 et j/i -p'*" 
et entre les limites -1 et -f 1 pour toute valeur réelle de «; 

4) qne> s'évanouit pour « = ( w _|_ i ) tw et pour « = ( wi + ^ . 
mais que ces fonctions ne s'annulent pour aucune autre valeur de «. 

On remarquera ce qui suit, comme corollaires des formules (22): 

1) Soit a = 0. Dans ce cas, en remarquant que y (())=■(), /(0)=1 
-t (0) = 1 , on aura 

i<p(w<u-4-re(Se) = o, 
/(*»e> + rcû)/) = (__ 
-j- nCSi) = ( — 1)». 

2) Soit «= g-- En vertu des équations: 



"1 ?)=!•/(?)=». ^(ï)= y ' i+ -"='- > 

on aura v " ' c c 

| y [ (w -J- 1) w -j- nm i] = (— 1) -+» 1 , 

< 24 > j /[(« + i)» + nlDi] = 0, 

( ir [( w + i)<« + ntD/] = (— i)- A . 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 275 

3) Soit a = ~ i. En vertu des équations 



on aura 



(25) 



<p [mut + (« + £) G)t] = (— l) m+n 1 , 

f[mœ + (n + 1) œi] = (- 1)" * , 
F[mw -f- (n -4- \) ®t] = 0. 

4) Soit ° — 2 ~|~ 7 * ^ n vertu des équations ci-dessus on aura 

(26) | /[(« + *)» + (» + *)»*!=*, 

^[(» + i)» + (» + i)o«l = *. 



G. 

Les équations (23), (24), (25) font voir que la fonction y ce s'évanouit # 
toutes les fois que a est de la forme a = mw-\-na}z', que fa s'évanouit 
toutes les fois que a est de la forme a = (m^±)œ-\-niBt J et que Fa s'é- 
vanouit toutes les fois que a est de la forme a = mco-\-(?i^-^)a)t. Or je 
dis que pour toute autre valeur de «, les fonctions epa, /«, JF« auront né- 
cessairement une valeur différente de zéro. Supposons en effet qu'on ait 

y(«+/?t') = 0, 

cf et /? étant des quantités réelles. En vertu de la première des formules 
(10), cette équation peut s'écrire comme il suit: 

Maintenant les quantités y a, ^(/?0 sont réelles et y (/?*") est 

de la forme iA, où .4 est réel; donc cette équation ne peut subsister à 
moins qu'on n'ait séparément 

Va.f(Pt)F(/V) = Q ] ipi(ii)fa.Fa = 0. 

35* 



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276 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Ces équations ne peuvent être satisfaites que de deux manières, savoir en 
faisant 



ou 



(pa = 0, y(/?t) = 0, 
/(/?/) F(/?i) = 0, fa.Fa = 0. 



Les deux premières équations donnent a = my; ft = n Gi. Les deux 
dernières, en remarquant que Fa et f(fii) ne peuvent jamais s'évanouir, 
donnent ' 

fa = 0, F(t3i) = Q, 

d'où 

« = (»» + *)», /9 = (»-f-$)ffl. 
Mais pour ces valeurs de a et /?, la valeur de y(«-f-/îi) deviendra infinie; 
donc les seules valeurs de a et /? sont « = »,«, et /? = w a>, et par consé- 
quent toutes les racines de l'équation 

<px = 0, 

• peuvent être représentées par 

( 27 ) x = mai -\- nmi. 

De la même manière on trouvera que totites les racines de l'équation 

/* = 0, 

peuvent être représentées par 
et celles de l'équation 

= 0, 

par 

( 2 9 ) x = mw -f- (n + 1) S)/. 



7. 

Les formules (26) font voir qu'on satisfait aux trois équations 
<5PX = £, = = 
en donnant à x une des valeurs de la forme 

(30) * = fa-f-*)oi + (> + |)a>/. 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 277 

Or on peut démontrer que les équations en question n'ont pas d'autres ra- 
cines. En effet, ayant 

les équations en question entraîneront celles-ci: 

*(*- ï— î-1=°. /(*- ?••)=". ^(*-;)=»î 

mais en vertu . de ce qu'on vient de voir dans le numéro précédent, ces 
équations donnent respectivement 

z — g g- î = wico -j- w(o/ ; x — y * = \m> + i) <° + vœt i 

x — ~ = mœ-\- ( 7? 4-|)â)?; 

ces trois équations sont équivalentes à la suivante: 

» = (w + |)oi + (w + |)fi>î, 

c. q. f. d. 

8. 

Ayant trouvé comme ci-dessus toutes les racines des équations 
cpx = Q, fx = 0, Fx = 0, 

je vais maintenant chercher les racines des équations plus générales 

(px = <pa, fx=fa, Fx = Fa, 

où a est une quantité quelconque réelle ou imaginaire. Considérons d'abord 
l'équation 

(fx — cpa = 0. 

En faisant dans la seconde des formules (12) 

,r -f- a n ir — a 

a = - § --, ft = 2 , 

on trouvera 

<px — <pa= — >— - '-} 2 /—;—-(- = o. 



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278 RECHKRCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Cette équation ne peut subsister que dans l'un des cinq cas suivants: 



1) 


si 


V 


la' — a 

l~2 , 


) = o, 


d'où 


2; = 


a-|-2?«(y-f-2??û)?:, 


2) 


si 




1 -r + a ' 


l = «. 


d'où 




— a -f (2w -(- 1) t« -}- 2«û)/, 


3) 


si 






1 = 0, 


d'oîi 


a* = 


— a-f 2mto-(-(2n-f- l)a>/, 


4) 


si 




.r — « \ 

"2") 


=zl 
0 5 


d'où 


# = 


a -f (2m + 1) (y + (2« -f 1) «j/, 


5) 


si 




.r + « \ 
2 ) 


— X 
0 5 


d'où 




— r, -|- (2m -j- 1) a» -f (2n -f' 1) mi. 



La résolution de ces cinq équations est contenue dans les formules (27) 
(28), (29), (30). 1 h 

Des valeurs trouvées de x il faut rejeter celles que donne la formule 

x = — n -\- (2m + 1) «, -f (2„ -f 1) mi, 

car une telle valeur de x donne, en vertu de l'équation (22), 

(px = — (pa, 

tandis qu'on doit avoir <pr = ( pa; mais les autres valeurs de x, exprimées 
par les quatre, premières formules, peuvent être admises. Elles sont, comme 
on le voit, contenues dans la seule formule : 

( 31 ) x = (— l) w+ »«-f- ww -|_ „ (7 , ? -. 

Telle est donc l'expression générale de toutes les racines de l'équation 

<f>x = (pa. 

On trouvera de la même manière que toutes les racines de l'équation 

f-r=fa 

sont représentées par la formule 

( 32 ) ? = ±a-\-2)Mo-{- nwi, 
et toutes celles de l'équation 

, , , Fx = Fa 

par la formule 

v x = ±a -\- iruo -\- 2 moi. 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



279 



§ H- 



Formules qui donnent, les videurs de (p(na), f(na), .F (net) exprimées en fonctions ridion- 



9. 

Reprenons les formules (12). En faisant dans la l r , la 3* et la 5 r 
a = nfi, il viendra 



où #=l + c Vy*(///f)y*/ï. 

Ces formules donnent la valeur de <p (n -f- en <p(u — et (/>(/?/?); 
celle de /(w-j-l)^ en f{n—ï)(i et /(/*/?), et celle de ^>+l)/* en 
F (ii — et F(jift). Donc en faisant successivement n = 1, 2, 3 . . . , 
on trouvera successivement les valeurs des fonctions: 




(34) 




ç>(2/î), y (3/3), V (4/*)...<p(/*/ï), 
/(2/?), /(3/?), /(4/?) . . . /(»/?), 
t\2fl), FCàft), F(4fl) . . . F{nft), 




(35) 




Les fonctions f{nfi)i F(nfî) étant des fonctions rationnelles de 

Vfti ffii F fit on peut toujours les réduire à la forme ? où 7 J et Q sont 



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280 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

des fonctions entières de y/9, //*, F(i. De même il est clair que le déno- 
minateur Q aura la mênie valeur pour les trois fonctions que l'on considère. 
Soit donc 

(35') <p (nfl = * , An()) * , Fm = PS f 

on aura également 

,(-+i)/» = ^;. /(«+!)/»=£;;, f ( » + i )/J =^ 
M» - --= ^; , /(» - i)fl= £ ; , i X » - 1)/*= • 

En substituant ces valeurs, la première des formules (34) deviendra 
ou bien " 



n + l 



on aura 



En égalant les numérateurs et les dénominateurs de ces deux fractions, 



(36) P B+1 = _ P B _, (Ql + c « fl V/9 . + 2//J . ^ . p^ç^ f 

(37) ^ B+1 = Ç„_ 1 (Ç B + e ï cV 8 /5.P n ). 

La seconde et la troisième des équations (34) donneront de la même manière 

(38) P' B+1 = _ P'„_ 1 (^ + cV^.P„ )+ 2//Î. P/0^, 

(39) P'< b+1 = _ p,^, + cV y^. P„) + 2P/?. P/ . 

En faisant dans ces quatre formules „=l, 2, 3 . . ., et remarquant qu'on 

&=1, £, = 1, P 0= = 0 , P^y/Î, 
P 0 '=l, P,^//*, P 0 "=l, P/W /? , 

on trouvera successivement les fonctions entières Q , P P ' p " DOUV 
toutes les valeurs de ». " "» ^ ' P OUl 

Soient pour abréger: 



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KECHEKCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 281 

les. formules précédentes donneront 
[ ' ' S P'„ +l = - P n + 2y P; Q n , 



P\+i=-P"»- 1 K+ 2zP n "Q H Q u _ l . 
En posant « = ] , 2 , on aura 

A', =z Q\ -f e*c'x*P* = 1 + e-c*x\ 

(43) { ^ = -^ + 2^/^=2^, 
P,' = - P 0 'A + 2yP/ = - 1 - e'c'x* + 2y% 
P," = - PS 1^ + 2zP," = - 1 - e'cV + 2a». 

Ii t = Q* + e*c i x t P\ï={l+e*c*x'y-\-e*-c*x t AxY*\ 

P 3 = - 1\P 2 + 2yzP i Q ï Q i = - .rP 2 + 4y Va-Ç, 

(44) ( • = x{Ay*z*Q i -lt î ), 
,P,'= - P/P, + 2yP i 'Q,Q l = -yU> -f 2yP,'& 

= y(2Q i P 3 ' -E 3 ), 

P 3 "=z{2Q i P i "-E î ). 

En continuant de la sorte, et en remarquant que y*=l — c 2 # 2 , 
•2 2 = 1 -\-e 2 x 2 1 on verra aisément que les quantités 

sont des fonctions entières des trois quantités x 2 , ?/ 2 , 3 2 , et par conséquent 
aussi de Tune quelconque de ces quantités, pour une valeur entière quelcon- 
que de n. 

Cela fait voir que les expressions de (p (/?/?), f(nft), seront de 

la forme suivante: 

(45) \f(2n(3) = T 1 , f(2n+l)(3=f(3.r", . * 
( F{2np) = T„ F{2n+\)(3 = F ( 3. 2"", 

oh P etc. représentent des fonctions rationnelles des quantités (</?/?)*, (//?)*, 



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282 



UKCJ1KKCI1KS SUU LKS FONCTIONS KLMI'TICJUKS. 



§ III. 

ftéxolutioii dru ('quittions 

10. 

l>V,\s ce qu'on }l v ,i, les fonctions y (»/*), /(»/*), s'expriment 
' ; , m : ell(>me,,t en ' •'/' *■ L » réciproque n'a pas lien, car les équations 
(35 | «ont en général d'un degré tres-élevé. Elles ont par cette raison un 
certain nombre de racines. Nous allons voir comment on peut aisément 
exprimer toutes ces racines au moyen des fonctions y, /, F. 

\. Considérons d'abord l'équation y(„,S) = .£, ou Q n . (f{n ^ = F ^ et 

cherchons toutes les valeurs de ,-. Il faut distinguer deux cas, selon" que 
n est pair ou impair: 

J ) Si n est un nombre pair. 

D'après ce r (u \m a vu dans le paragraphe précédent (45), on aura 
ciHiis ce cas 

ou, en vertu des formules 

y=]/\—c*x\ z = ^l_j_ 6 V: 
<f (2n l 3) = x.,f,(x*)}Xl - c V)(l-}: e «x»). 
l>onc l'équation en x deviendra, 

Eu désignant le second membre par 0(x*), on aura 

'/,' étant une des valeurs de on aura 

,hi| . y*(2 w /*) = tf(y- / j), 

avoir * = u,le r f me quelconque, on doit 

<p*(2n,'1) = 0(< p * a y 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



Or, en mettant dans (46) a an lieu de /?, il viendra 

(f» 2 (2)?a) = 0((f'a) J 

donc 

(47) y ! (2« / î) = ^*(2»«), 
équation qui revient à ces deux que voici: 

(f>(2na) = (f(2nt3) et (f(2 na) = — (f(2n/3). 

La première donne, en vertu de (31), 

2 va = ( — 1 ) " + " 2 nfi -(- m œ-^/tmi, 

où m et u sont deux nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs, zéro 
y compris. 

La seconde donne les mêmes valeurs de 2>w, mais de signe contraire,, 
comme il est aisé de le voir, en récrivant comme il suit: 

(f{— 2na) = <fj{2nfi). 

Toute valeur de 2va qui satisfait à l'équation (47) peut donc être repré- 
sentée par 

2na = ±[{— Vy" + " 2vfî + mu) + ttû)?]. 
De là on tire la valeur de rc, en divisant par 2?>, savoir 

« = ±((-i)- + V+s M «»4-i , H «"")- 

Ayant la valeur de (/, on aura 

(48) y «=±v>((- d- + -/ï+ «H" 2>») 

Donc toutes les valeurs de r sont contenues dans cette expression, et on les 
trouvera en donnant aux nombres m et u toutes les valeurs entières depuis 
— ^ jusqu'à + v. Or pour avoir toutes celles qui sont différentes entre 
elles, il suffit de donner à m et u des valeurs entières moindres que 2v. 
En effet, quels que soient ces nombres, on peut toujours les supposer réduits 
à la forme: 

m = 2nk-\-m', u = 2n h' -{-/, 

où kj y sont des nombres entiers, et ?/?/, //' des nombres entiers moindres 
que 2v. En substituant ces valeurs dans l'expression de .r, elle deviendra: 

x = ± <f ( (- 1 + «> + i'„ ® * + + * ) ; 

3(3* 



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284 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES 

or en vertu de (22) cette expression se réduit à 

m x = ± v ( (- 1)-^/9 + £ «, + ^ a.- 



Cette valeur de x est de la même forme que la précédente (48), seulement 
m et ^ sont remplacés par m' et /*/, qui, tous les deux, sont positifs et 
moindres que 2 n ; donc on % obtiendra toutes les valeurs différentes de x, en 
donnant seulement à m et toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 
2n exclusivement. Toutes ces valeurs sont nécessairement différentes entre 
elles. En effet, supposons par exemple qu'on ait 

±»{<- D-"7»+ £-+£«.•) 
'=±,((-1)»-/»+-" - + £-.■), 

il s'ensuivrait, d'après (31), 

(- ' + î>'=±((- + + 2 >/) + ^ + *™, 

et // étant des entiers. Cette équation donne 

//' = 2n + /», m' = k. 2n ± m, (— — + ( 1)"'+/'.' 

Les deux premières équations lie peuvent subsister a moins qu'on n'ait &'=!, 
= 1, fi' = 2v— fh m' = 2n — m, et alors la dernière deviendra 

(— l) 1 "- 1 "-'' — _ (_ ]) m +^ 

d'où l'on tire 

( iy»-Hf — | 

résultai absurde. Donc toutes les valeurs de x, contenues dans -la formule 
(48) sont dinérentes entre elles, si m et sont positifs et moindres que 2n. 

Le nombre total des valeurs de x est, comme il est aisé de le voir, 
égal à 2(2»)* = 8« s ; or l'équation y »(2«/3) = ne peut avoir de racines 

égales, car dans ce cas on aurait ^f> = 0, ce qui donnerait pour x une 
valeur indépendante de /?. Donc le de^ré de l'équation y "(2»,i)) = 
e*t égal au nombre des racines, c'est-à-dire à 8,r. Si par exemple v=\, 
on aura l'équation 1 

y "(2/?) = = .4*»(1 - + e*.x*) 

. K ' (1 + e*c***)*~ 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 285 

ou bien 

(1 ^_ e Va 4 )» cp 2 (2 { 3) = 4x 2 (l — c 2 x 2 ) (1 -f e'x'), 

et, d'après la formule (48), les racines de cette équation, au nombre de huit, 
seront : 

x = ±cp(3 J x = ±y( — /î-f g ), 



) 5/ n est un nomhre impair, égal a 2n-\-\. 
P 

Dans ce cas s* 1 * 1 est, comme nous -l'avons vu, une fonction rationnelle 
de x, et par conséquent l'équation en x sera: » 

(50) y (2n+l) / î = -^ + *-. 

On trouvera, précisément comme dans le cas précédent, que toutes les 
racines de cette équation peuvent être représentées par 

(51) *=?>((- + 2 ;;ï » + 2 / + 

où il faut donner à m et // toutes les valeurs entières depuis — n jusqu'à 
+ n inclusivement. Donc le nombre des racines différentes est (2n-\-l) 2 . 
C'est aussi le degré de l'équation en question. On peut aussi exprimer les 
racines par 

Si par exemple on aura une équation du degré 3 2 = 9. La 

formule (51) donne pour x les 9 valeurs suivantes: 

<f(/*); 

-ft- 3 * 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
I o w G A 
/ l M » & A 

*("+;-;<). 

B. Considérons maintenant 1 équation 

et Perchons les valeurs de y qui satisfont à cette équation. La fonction 
,/ .'tant, «mime on l'a vu plus haut, rationnelle en y, l'équation en y 
''il faisant " = y/»/, sera 

/(;//?) = vv/ . 

(5:5) /(»/*) = v (.//*)• 

*™T?7 HUtm ; ValeUrS de * «"V"» Par « une nouvelle in- 
le i telI e que //=/«; on aura 

/(»/*) = y (/«)•; 

«j «» vertu de (68) le second membre est égal »■/(„)■ donc pour déter- 
c, on aura l'équation 

/(»«) =/(»/?)• 

* vertu «le la formule (.,*) cette équation donne pour expression générale 

wef = ± ■»/* -f_ 2 mot -f- „<W, 
il ',',!, ", i ,f" t ,lMa """' , " M Cllti "" l"** • ^-•«S y „,n,p,-i., De 

•■ = ±li+' 2 "' '■>+'' ai 

et par conséquent: 

''='(*"+': »+>•)=* 

1 !'e»1 ta valeur générale de 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 287 

Maintenant pour avoir les valeurs différentes de //, je dis qu'il suffit de 
prendre (i avec le signe -f- et de donner à m et // toutes les valeurs en- 
tières, moindres que //,. En effet, comme on a /(-{- a) =f(— a), on aura 
d'abord 

Donc on peut toujours dans rexjjression de y prendre [5 avec le signe -)-• 
Ainsi toutes les valeurs de y sont contenues dans l'expression 

(54) *=/(/*+*>+>/). 

Maintenant, quels que soient les nombres m et /<, on peut toujours supposer 

m = k. n -f- m\ /i — k' . n -|- // ', 

où 1c, k\ m', u f sont des nombres entiers, les deux derniers étant en même 
temps positifs et moindres que n. 
En substituant, il viendra 

Or, en vertu de la fonnule (22), le second membre de cette équation est 
égal à 

(56)' / ( /ï+ .^. + ^..i) = ,,. 

quantité de la même forme que le second membre de (54); seulement m 
et //' sont positifs et moindres que n. Donc etc. 

En donnant à m et // toutes les valeurs possibles, moindres que //, on 
trouvera 71* valeurs de y. Or, en général toutes ces quantités sont différen- 
tes entre elles. En effet, supposons par exemple 

/("+■*;-+■: "l^+^+ï--'')' 

on aura en vertu de la fonnule (32), en désignant par k' deux nombres 
entiers, 

Puisque /? peut avoir une valeur quelconque, il est clair que cette équation 



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288 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

ife peut subsister à moins qu'où ne prenne dans le second membre le sigue 
supérieur. Alors il viendra 

~ h UJ + „ a * = ~ n <» + { ® * + 2fe« + fc'fflï, 
d'où l'on tire, en égalant les parties réelles et les parties imaginaires, 



m 



n = m' -\-kn, '. = fi' -\-k'n, 

équations absurdes, en remarquant que les nombres m, m', ,i et a' sont 
tous positifs et inférieurs à n. Doue en général l'équation 

/(«./?) = 

a n' racines différentes entre elles et pas davantage. Or généralement tou- 
tes les racines de cette équation sont différentes entre elles. En effet, si 
deux d'entre elles étaient égales, on aurait à la fois 

f(nfl)=yy et 0 = y/y, 

et cela est impossible, car on remarquera que les coefficiens de y dans tf/tj 
né contiennent pas /?. Donc généralement l'équation (52) est nécessairement 
du degré n*. 

C. L'équation 
( 5(î ) F(n,3)= J -f, 

étant traitée par rapport à z, absolument do» la même manière que l'équa- 
tion /(»/*) = ^ l' a été par rapport à y, donne pour expression générale 
des valeurs de 3 

(57) «H 

où ■/« et ,u sont entiers, positifs et moindres que «. L'e nombre des valeurs 
<le z est y/. 2 , et elles sont en général toutes différentes entre elles. 
Donc généralement l'équation (56) est du degré n*. 

11. 

Nous avons trouvé ci-dessus toute» les racines des équations 



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r 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES 289 

racines, qui sont exprimées par les formules (48), (51), (54), (57). Toutes 
ces racines sont différentes entre elles, excepté pour des valeurs particulières 
de fi] mais pour ces valeurs, les racines différentes sont contenues dans les 
mêmes formules. — Dans ce dernier cas un certain nombre des valeurs des 
quantités x, ?/, z seront égales ; mais il est clair que toutes ces valeurs 
égales ou inégales seront néanmoins les racines des équations dont il s'agit. 
Cela se fait voir en faisant converger fi vers une valeur particulière qui 
donne pour x-, ou ?/, ou z des valeurs égales. 

En faisant dans la formule (48) fi—^* on aura l'équation 

(f a= „, 

dont les racines sont # 

( 58 ) k + ^+k»*)* 

où m et ft ont toutes les valeurs entières et positives moindres que 2n. 
En faisant de même dans la formule (50) fi = ^ on aura l'équa- 

P. 

tion (fa — Q 2n+l i dont les racines sont 

m et fi ayant pour valeurs tous les nombres entiers depuis — n jusqu'à -\-n. 

Enfin en faisant dans les formules (52), (50) = on aura l'équa- 
P ' 

tion fa— ? dont les racines sont 
y» 

m ,=/|^ + *-„ + £•«•). 



P " 

et l'équation Fa = > dont les racines sont 

y» 

(61) , = *•(■. + >+»>/), 

où m et ft sont renfermés entre les limites 0 et n — 1 inclusivement. Si n 
est impair et égal à 2n-|-l, on peut aussi supposer 

V = (~ 1)V( 2nT 1 + 27T+I W + 2T+Ï ^ ) ' 

37 



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290 



KECHKUCHKS SlîK LES PONCTIONS ELMI'TIQUES. 



2 =(- i >^(^; i + 2 ,;;t»+ 2 -4 i «<). 

m et f i ayant toutes les valeurs entières de — n à -f-?«. 

Dans toutes ces équations la quantité a peut avoir une valeur quel- 
conque. 1 

Comme cas particuliers on doit remarquer les suivants: 

1) En faisant dans (58) et (59) « = 0, on aura les équations 

j ^ï»=<>, dont les racines sont x= ± ( p J^'- lt) _|_ (T)Z 'J 
(62) / ( les ,imites m et /, étant 0 et 2« — 1), 



dont les racines sont x=zwi — w — «,-L. 
(les limites de m et étant — n et -f-??.). 



2) En taisant dans (fiO) « = •- ot dsui« /'«n „ ' 3 • 

v ; 2 aa,1,s v bl ) a = 2 et ^marquant 

que = F(^') = 0, on obtiendra les deux équations 

(63) P„' = 0, dont les racines sont y =/((2m -J- " _|_ ai -J 
(fi-t) ^," = 0, dont les racines sont z = ^j-" w -f- (2a-f-|) — j 
(les limites de »t et f i étant 0 et m — 1). 

3) En faisant dans (58) « — 0J _L / „ t _„ 

v ) — 2 ' 2 ' eu remarquant que 

M 2 • 2 ' j ù ' on aura l'équation 

GÏ. = o, 

dont les racines seront 

x=±9 [ [m + * (- ^'"^ £ + 1.» + i (- 1 r -j #i ) • 

ment L ";T e , rr i de " dOÎ ? Ut ^ ^ deUX à *«, et l'on verra aisé- 
quc les valeurs inégales- peuvent être représentées par 

(65) + + 

LtTit i:ii' u ,as . valeur * entières d ^ 

">nt les ,acines de l'équation par rapport kx 

Q* n = 0. 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 291 

En faisant de même .dans (59) « = £ + £ », on aura l'équation 

&, + . = 0, 

dont les racines seront 

j^(-ir^( («» + i) ^+ r + 0' + V 2 „fr ) ' 
(««) y = (~ i) m /( + i) - 2 4ri + (■" + i) 2„ + 1 ) ' 

( * = (- D" ^ ( (- + i) aï, +-i + C " + i} *« + 1 ) ' 

w et if ayant pour valeurs tous les nombres entiers de — à -f- ». 

Parmi les valeurs de y, 2, il faut remarquer celles qui répondent 
à m = n, jii =n. Alors on a 

y = (- D- /(?- + ■?*) = *• 

z = (-l)-^-+ 2 «) = *• 

Ces valeurs infinies font voir que le degré de l'équation Ç 2 „ + i = 0 est 
moindre d'une unité que celui des équations dont elle soit. En écartant ces 
valeurs, celles qui restent, au nombre de (2w4-l) 8 — 1, seront les racines 
de l'équation Q 2H ^ i =zO. 



§ IV. 

Résohithn algi'hvique îles équations 

12. 

Nous avons vu dans le paragraphe précédent, comment on peut aisé- 
ment exprimer les racines des équations en question au moyen des fonctions 
</>, /, F. Nous allons maintenant en déduire la résolution de ces mêmes 
équations, ou la détermination des fonctions if " » ./' n » F - en fonctions 
de wa, fa, Fa. 

37* 



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" 92 REi'HKW.'IIKS SITU UCS FONCTION* KLUPT1QUKS. 

Connue on a 

et cnsu.te celui aï, n est un nombre impair. 



A. E.vjwsxions ,f,. s /ourlions a " , /" " , « 

♦ 

13. 

Les valeurs de w " , f " V " , 

Vt>S s >* s peuvent être trouvées très facilement 

<*« la manière suivante. K„ 8IlppoHimt (lmw ]es ft 

en faisant ■ ' 2 L 



U viendra 

1 +<~<-*-<- A 1 _|_ ,,*,.2,,,4 ' 

ou bien, en substituant les valeurs de f et 2 * en 



r z .r 4 

1 + 



Ces e'quations donnent 

Fu - 1 = 2 H , ,~"; rï) , Vu 4-1-20 + *r») 

d'où 1+—.H 1-1— I+ ,„ VLV1 , 

A '«-l_ 2 . \-f u 

et par suite, en remarquant que ;,*=]__ rV % 2 * = !+„*.,.* 

». - ^ «« « i.r,";„ e , a ,.,, e , et „ rempla . 

9 a,,t //, 2 par leurs valeurs y J'" , 



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f 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS EM.ll'TIQlTES 293 

/ a 1 \/\ — fa 1 1 /Fa — T 

. T2 = K i + >„= , V /„-+!'.. 
( ./ 2 = V 1 + /<•« ' 7 2 = y i +/« • 

Telles sont les formes les plus .simples qu'on puisse donner aux valeurs des 
fonctions <p " , » F " • De cette manière on peut exprimer algébrique- 

ment y-"-, / ? ^ en /«, F«. De la même manière </> 4 > / 4 > ^4 

s'exprimeront en / " ? JF-g- ' et ainsi de suite. Donc en général les fonctions 

(f " , , JP" peuvent être exprimées au moyen d'extractions de racines 
carrées, en fonctions des trois quantités /a, JF'a. 

Pour appliquer les formules trouvées ci-dessus pour la . hissection à un 

exemple, supposons a — ^ • Alors ou aura f 1 * — 0, F" =^ ~^ » donc 
en substituant, 

1 r 

/ >.+.. 



ou bien 



V) 
<f A 



1 _ f">V + 



4 



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294 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



H. Kr/wenHimm ilfs fanctioiiH m " f " , F " t \ <• i ,1 ■ 

v 2«+ 1 •' -> H + 1 ' ^ 2,, +T " (il(j£l>ri<jue fan 

quantité* f fa, fa, Fa. 



14. 



Pour trouver les valeurs de w .., f _ a _ , F a p» ™„ / 

Il mut rnsminiv» ùrinniinn., 



il faut résoudre les équations 

^„+i g 2ll+1 

qui toutes sont du degré (2»+l)« Nous allons voir qu'il est toujours pos- 
sible denectuer algébriquement cette résolution. 
Soient 

(«») ' nfl^M + J™) 

et 

ou 0 est une racine imaginaire quelconque de l'équation 0*»" -1=0 Cela 
pose, je dis que les deux quantités 

ffi-Vifi et (V'/î) s " +I + (v' I/ î) ï " +1 
pourront être exprimées rationnellement en y(2w-f 1)/?. 
D'abord, en écrivant (f,/-} comme il suit: 

=^V"l ,r .:V e "- a ' l ' spri "' cr rati -""'*"- • «. */». s„,- t ,i„„ c 

av7/>) 7 on h de même 



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Googl 



r 



RECHERCHES SUK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 295 

oa bien, en taisant 

«*=*./(^.)'UT;H *(/.£)='. 

et en substituant pour f[i et 2^ leurs valeurs )j 1 — c*x* et y l-j-e 2 ;*;*: 
„ . \_ , /^±AV(l-c- s .r«)(l + ^;\ 

or, / désignant une fonction rationnelle, le second membre de cette équation 
peut se mettre sous la forme 

où i£p et Ay sont des fonctions rationnelles de x. Donc on a 

( P ± Si ) = ± 1{ > : >^ - C ^K 1 + «"'T- 

En substituant dans les expressions de ift/ï et <//,/?, il viendra 



( y /î = 4 d'à, + V (1 - c"^-) (i + « "i^, 

\ — n —m 



Maintenant, jR et R ' étant des fonctions rationnelles de x-, les quantités 
+» 4-»» 

SfifiRp et SpOPRp le sont également. En élevant donc ipfi et i//,/? à la 

— n — n 

puissance, les deux quantités (i/'/?) aM+1 et (i/',/?) 2m+1 pourront se 
mettre sous la forme: 



= < - <' V(T^ c 2 .« 2 ) (i : R^ â ), 

t et t' étant des fonctions rationnelles de x. En prenant la somme des va- 
leurs de (rpi'Sy +l et (ip 1 /5)* B+1 , on aura 

W) 2n+1 + ('/'./?) 2 " + - 2 '- 

Donc la quantité (t/'/?) 2 " +1 + (V'i/?) 2 " +1 P eut 6tre exprimée rationnellement 
en a;. Il eu est de même du produit i/'/i. t/',/3, comme on le voit par les 
équations (70). Donc on peut faire 



(71) 



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KM HKKCHKS SIK UKS FONCTIONS KLklPTIQI'KS. 



/./• cl, /.,./• dînant des fonctions rationnelles de <) r CM fonction* ont 

In propriété .le m. pas changer de valeur, lorsqu'on met à la place rie s. une 
autre racine <|iielconcpio de l'équation 



J 7 2 « + 1 



Considérons d'nl.ord la fonction /r. En remettant la valeur de x = «tj 
on aura ' 

d'oii l'on tire, «• cftHiif. /V-l- _i_ 2X: '' a< ' 

1 2«4-l 1 2ti- 



2/e, 2/t- 
«M"' 2/, 4 I 



2£Vn , 



= ,//[/* 4 4- * A '"' I .„ //,> , , 2*e, \ 

M' ^ ^»+l + 2 H +lJ- , /''(/ ) +2n + ï+ 2 , t -^r 1 J- 



Cela pose, en reinanpiant cpie 
,72) * " + " 



on 



mira, en faisant, dans l'expression rie ^ = _^_|_ i 2Af " 



or 



r|,n>-;7'>-)» f {,, + *< : +;)._ 8 ., =f ^ + ^.: 

* (<'+*.*+ 1 )=»«*• 

Kn méfiant dans l'expression de y >' W-L 2/ '' r " • 1>X7 " 
V«>« trouvera + 1 2 " + l 

vertu de lu formule { 7;\) on a 

\ - w -i- 1 



(/J 



au lieu de 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



297 



donc 



2 k' ai 



2koj 



+» 



2(i-' + jt/)t5t 



En vertu de la formule (72) on a 



— n \ 



2n+l 
+» 



=«-'5.»' *(/» + /£î ) + f- »-- y ,(/»+-^î 

2(|U 7* 1) (3i 



2 — j— ti)&i 



2«+ 1 



donc, en remarquant que 0 "+'*-*' == tf^-»- 1 -*' e t que 



2(/u + w)c<>/ 



il viendra 
(74) 

On trouvera de même 



/ 3 , 2k'G)i , 2^w 
H^ + 2^+ï + 2» + l 



Ces deux équations donneront 



2w+l 



</'/* + 



2kio-\-2k'&i 



ïn+l 



, f / , . 2&w+2£'<3i 



2n + l 



== ( V ^»- + i + ( y , l/ ï)« 



En vertu de ces équations on obtiendra, en mettant, dans les valeurs "de 
%/3) et ^(^), /9 + ^ + i 2 ^ 5< ' au lieu de /?, 



2n+ 1 



I a . 2kio+2k'ai 

<P[H 

/ -, , 2kxo + 2k'ai 



Or yl^-j- ^+^^ lj exprime une racine quelconque de l'équation 



V (2n+1)/J=^ 



2n + l 
2n + l 



38 



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KECJIEKCHES SUK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. ' 

l>onc ( connue nous l'avons dit, les fonctions U et X,x auront les mêmes 
fleurs, quelle que soit la racine qu'on mette à la place de x. Soient x 
•''m • • • ces racines, on aura . °' 

lx = 2vTJ + + • • • + As, r ), 

^=27+1^ + ^1 H K**,)- 

<>r 10 StM H """' bre dc ccs Votions est une fonction rationnelle et symé- 
inqne des racines de l'équation y(2»+l)y9 = ^, donc Ix et ^ pour- 
ront s'exprimer rationnellement en <f.{2n+l)ft. 'Ën faisant 

kx = E, l iX = 2À, 

les équations (71) donneront 

{«'fi** 1 (fr/?)»» = , + (»/',/?)>-' = 2 ^, 
floù l'un tire 

(75) = + 2^ 1 

— n \ 1 2«-j- 1 / 



15. 

Aynnt trouvé la valeur de ^, »n en déduira facilement celle de 

- ^ Pour * successivement toutes les racines imaginaires^ 
/; ):M . , . Ct 6n d6 «P»nt !« valeurs correspondantes de A et 



, 

" par ^, ^ etc>? on obtîendra 

st»+i ■ — V '» + 1 / 

0û «»*»"* de même la somme des raies: 



4* " + h 



- - l T 2n + lt 2ri+1 )-J 9l | / î + _l I j ) 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 299 

qui est égale à (2n-j- 1) (p(2n -\- 1)/?, comme nous le verrons dans 4a suite. 
En ajoutant ces équations membre à membre, après avoir multiplié la pre- 
mière par 0f*, la seconde par 0^ k , la troisième par 6^ k ... et la (2n) ihme 
par 0 2 ~*, il viendra 

% (i + * r*+ *r* + • • • + ^ ( 7? + 2!'+! ) 

= (2» + 1M2» + 1)/? + 4 ^ V i„ + - ; 

1 

or la somme 

i+*r*+*rN M£r* 

se réduit à zéro pour toutes les valeurs de fc, excepté pour k = /ti. Dans 
ce cas elle devient égale à 2?i-\-l. Donc le premier membre de l'équation 
précédente devient 

(8. + !)„,( 0+3^.), 
donc, en substituant et divisant par '(2?i-\~l), on a 

2n-fl 2n+l_ 

V (2n+ îî/î+g-^-j^r* |^ï+V^ï — +I " + «r* M>+M;-ve +1 

2n-f 1 

H + 

Pour k = 0, on a 

2n+l 2«+l 

(77) Vl/ 9 ==ç ,(2„+l)/9-(-g- 1 + - 1 [ ^, + ^«"-7^4- l/Àt+Ul-'Jiï*' 1 



2n+l 

-1 h y^T+Tii- /£ Ti ' 



16. 

Ayant ainsi trouvé la valeur de y,/?, il s'agit d'en tirer celle de </>/?. 
Or cela peut se faire aisément comme il suit. Soit 

(78) ^ = £. ^ / » = S.»-,(/J-^= r ), 

38* 



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300 RECHERCHES" SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



on a 



Il suit de là qu'on peut faire 

oh r et « sont des fonctions rationnelles de (ffi. De là on tire 
(79) j V>ft'V»ft = x(<pP), 

( (^/5) 2 " +1 + (V'a/î) 2 " +1 = ^(^), 
/(y/ 5 ) P* étant deux fonctions rationnelles de. <p/3. 

Cela posé, je dis que x (< r /3) et Xl ( v (ï) pourront s'exprimer rationnelle- 
ment en On a vu que 



(80) y^—yp^J. ^_!A}l±±}_\*»_+± 1 

En faisant <p/3 = x, on aura une équation en x du degré (2w+l). Une 
racine de cette équation est a! = yi/î; or , eu mettant yî + ^^L. au Heu de 
/?, ne change pas de valeur; donc * = < P (/9 + .^ f ) "sera une racine, 
quel que soit le nombre entier A, Or, en donnant à //toutes les valeurs en- 
tieres depuis -^jusqu'à 4.^.) pi , ndra 2n+1 valem , (Uffé . 

rentes donc ces 2 » + 1 quantités .seront précisément les 2»+l racines de 
1 équation en x. 

Cela posé, en mettant 84 an i;„ n . . 

' ~ 2w + 1 lleu de P dans 1 expression de 

il viendra en vertu de l'équation (72) 



donc, puisque = et 9 ^ + K«^l) w j = v ^ + 2_g±^j f 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



301 



ou en tirera 
(81) 

De même on aura 



2 k 



On voit par ces relations que les équations qui donnent les valeurs des 
fonctions xWP) et conduisent à ces deux égalités: 



X 
Xi 



>(/»+2. ! +t)] = ^ 



<P\P + 



2kw 
2h+T 



= Xi(<Pp)> 



De là on tire 



<p\p- 



2kco 



2n + 1 / _ 



1 +n 

Or, ces valeurs de x(<p(ï) et Xityft) son * des fonctions rationnelles et sy- 
métriques de toutes les racines de l'équation (80). Donc elles peuvent être 
exprimées rationnellement par les coefficiens de la même équation, c'est-à-dire 
rationnellement en <p x (i. 
Soit 

les équations (79) donneront 

d'où, en remettant la valeur de i// 2 /?, 

(82) yc+yc'^/F- = £ [ft + 2 ;/™ T ) • ' 

De là on tire, en mettant 0 au lieu de 0, et en désignant les valeurs corre- 
spondantes de C et D par C IA et 

En y joignant l'équation 



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302 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

on en tirera facilement 

(8»)- (*-+l).»(/»+^)=, 1 /» + i,^7c7+yt;-flp. 
En supposant Aj==0, il viendra 

( * 4) ^-^(W^+m-î>r- + • • • + tef<r^p). 

Cette équation donne y/9 en fonction algébrique de Vl ft. or nous avons 
trouve précédemment </>,/? en fonction algébrique de y(2w + l)/?. Donc en 
mettant au lieu do ^ ou aura / « j ^ 

de <pa. - * ~ ' 

Pur une analyse toute semblable on trouvera fl^) en fonction de 

J* et ^(2«+t) en fon ct»on de Fa. 



17. 



Les expressions que nous venons de trouver des quantités Vl fl et v ff 

LTine H 'n ( + V V^ 8 ' ^ qUe chacUne de ces q^tités est la 
pr ion T T T ï (2 " + 1) " MaîS » P«* Iner aux ex- 

précisément égal à 2w-j-l. Pour cela soit 



2 ^ , • . 2 



^ C ° S 2,Ïl+^.sin-^| r ; 
on peut faire +1 



Soient de même 

(85) . | v '"=5^("+if 1 ?V)- 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

on aura en vertu de l'équation (74) 



303 



2vdi 
2/7+ 1 
2w5i , 
2«~+ f 

^(/ ? +2T+T 



:6 +ky Ifljl, 

■■6-" y 1 fi y 
:0 +•>;/?. 



Soit maintenant 
(86) 



P((pft) et Q((pfî) seront des fonctions rationnelles de </)/?; or en mettant 
^ i 2ww+2^ ^ ^ 3 clair, en vertu des formules précéden- 

' ÙU -f- 1 ' 

tes, que P et Q ne changent pas de valeur; donc on aura 
™ 1 7>F / o i 2ww + 2ju«r" 

p (^) = (27T+ip • 5 îr F [ v ( /? + - 2-+ 1 

or, le second membre étant une fonction symétrique et rationnelle des raci- 

ries de l'équation y(2n4- 1)/? ==-*"- 1 > P{<pft) pourra • s'exprimer rationnelle- 

ment en (f(2n-\- 1)/?. Il en est de même de Q((pfi). Ces deux quantités 
étant connues, les équations (86) donneront 



1 ~ 1 w 



or 



donc 



Donc on aura 

où F k et i/* sont des fonctions rationnelles de (p(2n-\~ 1)(3. En rempla- 



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304 RECHERCHES SUK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

iTviendra 6 * ^ ^ ^ ^ ^ S " bstitUant les valeurs de V*/? et (^/i)*, 

Sfn-fl 

donc la valeur de y,/? deviendra 

(87) y 1 /9 = ç ) (2n + 1)/?+ _1_ f [(4 + yZï-^TB^ïji.V, 

H h + f.4 2 r _ ï/»«+ï ) _j_ y 4 i ZT#*» + , • jif" i ] # 

Par un procédé tout semblable on trouvera 

(88) ^=2-1^ [y 1 /î + (C'4-|/6--X>v B+ - l)3n V 1 

H h G 8 *. + 4„ ^C* ) (<7_j_ zT^tïïtï n J _ 

oîi Jf,, Z,„ K 3 , L 3 ... K 2n , L 2n sont des fonctions rationnelles de 

Ces expressions de e t çy? n'ont q ue 2 »+l valeurs différentes 

quon ob tl en dra en attribuant aux ra*caux Lrs 2 7+ ! ZIL U ^l 

Z::xtz:^ peut prendre * — « 



18. 



La valeur que „ avons trouvée pour 9 fl ou ,J « < ) 
encore, outre |, f 01Ktio „ ^ , M 8U ; vallle5 . U»+ 1 / 



'(-..-r). *U>f)' /fe). 

/(^ r ). '■:,;;',!• 



pour de 3 va.eurs q ue,co, lq ue 8 (le „ depuis , ^ ^ 

que so.t la valeur de „„ peut ^..^ rf ( , 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 305 



en yl^n^pr)' ^ out est ^ onc connu dans l'expression de y | 2 ^^_ ^ j > ex- 
cepté les deux quantités indépendantes de «, cp | ^ j ? y | i j ' ^ es 

quantités dépendent seulement de c et e, et elles peuvent être trouvées par 
la résolution d'une équation du degré (2 ^ — |— l) 2 — 1, savoir de l'équation 

= 0 . Nous allons voir dans le paragraphe suivant comment on peut 

en ramener la résolution à celle d'équations moins élevées. 



C. Sur l'équation P 2n + iz=0. 
19. 

L'expression que nous venons de trouver pour (p 1 2~~^_ j | contiendra, 

comme nous l'avons vu, les deux quantités constantes (p | 9;i ^_ ^ | et <p 1 2~|r[ | • 
On trouvera ces quantités en résolvant l'équation 

dont les racines seront représentées par 

(89) a; = 9'(-2, t +T-)' 

oîi m et // pourront être tous les nombres entiers depuis — n jusqu'à -\- n - 
Une de ces racines, qui répond à m = Q, //=z0, est égale à zéro. Donc 
Pïn+i est divisible par x. En écartant ce facteur, on aura une équation du 
degré (2rc-{- l) 2 — 1, 

(90) jR — 0. 

En faisant x* = r, l'équation en r, #=0, sera du degré ( 2n +- *) ~ 1 
= 2n{n-\~l), et les racines de cette équation seront 

/n et m ayant toutes les valeurs positives au dessous de n -f- 1 , en faisant 
abstraction de la racine zéro. ^ 



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306 



UECKEKCHKS SUK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES- 



Nous allons voir maintenant, comment on peut ramener la résolution 
de l'équation li = 0 à celle de deux équations, l'une du degré n t et l'autre 
du degré 2n-\-2. D'abord, je dis qu'on peut représenter toutes les valeurs 
de r par 



(92) 



en donnant à fi toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2w, et à m 



toutes celles depuis 1 jusqu'à n. En effet ^^/T^t) re P v ^ sen ^ e d'abord 

n valeurs de r; or les autres peuvent être représentées par V 2 | m ^^£j~J' 

Soit, pour le démontrer, m^i = (2n-\- l)k-\-rn\ oh m' est un nombre entier 
compris entre les limites — n et -\-n. En substituant, on aura 



-f- 



2» + ï 



^"( m ^^r ) ^ 0I1C 11116 va ^ eur de r; maintenant, à chaque valeur de 
/£ répond une valeur différente de m'. Car si l'on avait 

7ïiu l — (2n-^- 1)/^ -f- w', 

il s'ensuivrait 

ce qui est impossible, puisque 2/z-f-l est un nombre premier. Donc 
(p* |?m ^^X* ] ' combiné avec V 2 ( 2 1 )' re P r ^ sente toutes les valeurs de r. 
Cela posé, soit 











9 ( lltO \ 













(93) 

= r'" 1 + r»' 3 -| j- Pl r +p 0 . 

Les quantités ^? 0 , , . . . 7V-1 > seront des fonctions rationnelles et symétri- 
que* de ^(—-ï), <P'(j^ T ) ■ ■ • ^(2^1 )» ces Onctions peuvent 
être trouvées au moyen d'une équation du degré 2?^-}-2. Soit p une fonc- 
tion rationnelle et symétrique quelconque de y 2 ['2n\- 1 ) ' ^(ïJn^j-T) ' " " 



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RECHERCHES- SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



307 



y 8 | 2n + l )' 0ÎI œ ' t,ési g ne la quantité ?nœ -\- uwi. En vertu des formules 
que nous avons données plus haut pour exprimer <p(nfi) en </>/?, il est clair 



qnon peut exprimer (p 2 \^m 2 M _j_i'| eu fonction rationnelle de <p 2 | 2>t _p| J • 
Donc on peut faire 



(94) p = rff 



2»+ï 



= 6 



r 



2» + l 



r L; 



2w' 



2m + 1 



* 2» 



'+1/J 



0 désignant une fonction symétrique et rationnelle. En mettant rio' au lieu 
de a/, il viendra 



VCO 



2vto' 



2 ! 



or en faisant % 

ay = (2 W +l)fc„' + fc a , 

où fc a est entier et compris entre — n et -\-n, la série 

7^, fc 2 , . . . k n 
aura au signe^ près les mêmes termes que celle-ci : 

1, 2, 3 . . . w; 

donc il est clair que le second membre de l'équation (95) aura la même 
valeur que j). Donc 

(96) 

équation qui, en faisant m' = io et w' = mœ -f"«^', donnera les deux suivantes: 











V 


k(-2-+i.)] 







(97) { ' J 



= '/' 



2w+T 



donc, en faisant, pour abréger, 



(98) 
il viendra . 
(99) 

Cela posé, ^oit 



ru 



2;t+ 1 



duo -j- tài 



2» + 1 



39* 



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308 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



nom J (P — V r ù(v — V r ^)(p — V r >A){p — y r i,*) • • • (p — V'lu) 

Je dis qu'on peut exprimer les coefficients q 01 q t etc. rationnellement en e 
et c. D'abord, en vertu des formules connues, on peut exprimer rationnelle- 
ment ces coefficients eu f 17 t 2 . . . f 2n+2 , si Ton fait, pour abréger, 

(îoi) /i ^(,^.^ + ( V , rio )* + ^,. il )*4-... + ( V , rMB )*. 

Il s'agit donc de trouver les quantités t i , / 2 . . . ; or cela pourra aisément 
se faire au moyen des relations (99). En effet, en y faisant successivement 
v— 1, 2 . . . après avoir élevé les deux membres à la k ihnr puissance, on 
en tirera sur le champ: 

(</"•,)*= l-[Wr 1 ) k + (fr i y+ ■ ■ ■ +(^r.)*], 

(102) { * ' 
(Vr>,„) k = { -[(Vr 1 ..)* + (^r,..)»+ • • • + (vO'j. 

Donc en mettant pour m tous les nombres entiers 0, 1 ... 2/?, et en sub- 
stituant ensuite dans l'expression de t kJ il viendra: 

l w./ t = (^rO* -f- (y/r,)* H h (V"*.)* 

+ (y»-...)* -h (V"-..o)* H h (v--..)* 

(103) { +w+wm h(^r 

+ 

+(v^-, s -,) i +(V"-M») i -h • • • +('/"•„,».)*• 

Cette valeur de f k est, comme on le voit, une fonction rationnelle et symé- 
trique des v(2n-\-2) quantités r M r 2 . . . r n , r, 0 , r M . . . r fl ft . . . r 1>2 «, r 22n 
• • • r n,2m q u i sont l es n(2^-f-2) racines* de l'équation U=0. Donc, 
comme on sait, t k pourra s'exprimer rationnellement par les coefficiens de 
cette équation, et par suite en fonction rationnelle de e et c. Ayant ainsi 
•trouvé les quantités t k1 on en tire les valeurs de q b , q t . . . r/ 2w + 1 , qui seront 
également des fonctions rationnelles de e et c. 



20. 

Cela posé, en faisant 
(104) + |-2.- + .l' , " +, +J» , " + % 



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RECHERCHES SVR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 309 

on aura une équation du (2n-}-2) ihne degré, dont les racines seront 

La fonction i//r 17 c'est-à-dire une fonction quelconque rationnelle et symétri- 
que des racines r 17 r 2 , ?\, . . . r n pourra donc être trouvée au moyen d'une 
équation du degré 2n-\-2. Donc on aura de cette manière les coefficiens 
2>oi Pi • •'• Pn-n eu résolvant n équations, chacune du (2n-\-2) ihnc degré. 
Ayant déterminé /j 0 , 2 } i • • •? on aura 7 eu résolvant l'équation 

(105) 0 -f-^r H [~p n ^ r- 1 -f r", 

les valeurs des quantités 

^1 J • • • **n 5 ^1,0) ^2,0 • • • ^\»,0Î r 2,l • • • 1 ^tC 

dont la première est égale à y 2 1 2,/.|_ i ) * D° rlc l a détennination de cette 

quantité, ou bien la résolution de l'équation Ii = Q, qui est du degré (2n-\~2)n, 
est réduite à celle d'équations des degrés (2?i-\-2) et n. 

Mais on peut encore simplifier le procédé précédent. En effet, comme 
nous le verrons, pour avoir les quantités -p 01 • • •> ^ suffit de connaître 
Tune quelconque d'entre elles, et alors on peut exprimer les autres ration- 
nellement par celle-là. Soient généralement p, q deux fonctions rationnelles 
et symétriques des quantités i\ , r 2 . . . r n , on peut faire, comme nous l'a- 
vons vu, 

p = yr x , q = 0r x , 

\fjr l et 0r l désignant deux fonctions rationnelles de i\ , qui ont cette pro- 
priété de rester les mêmes, si l'on change i\ en une autre quelconque des 
quantités r l7 r 2 . . . r„. Supposons maintenant 

^(f 1 r«'',+(f 1 ,») i «' , .,.+(f"'., 1 ) i » r 1 ,H — h («/"•,,*..)* 

je dis que s k pourra être exprimé rationnellement en e et c. En effet, on a 

(,p ri y Or, = (y r,)* 0r, = J [^yêr, -f (./>/•*)* 6v, -| h W » r.] , 

(V^. m )^^ ra = (,//>•„,„,)* 6r r>m = ] [{ipr^f dr hn -f (yr,,.,)* 0r f> . -| 

En faisant ra = 0, 1, 2 ... 2?z, et en substituant dans l'expression de s k , on 
verra que s k est une fonction rationnelle et symétrique des racines i\ , r 2 



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310 % 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



. . . r l 0 ... de l'équation E = 0] donc pourra s'exprimer rationnellement 

en e et c. 

Connaissant $ k , on obtiendra, en faisant k = 0, 1 , 2 . . . 2rc, 2n-\-\ 
équations, desquelles on tirera aisément la valeur de 0r M en fonction ration- 
nelle de yji\. Donc, une fonction de la forme p étant donnée, on peut ex- 
primer une autre fonction quelconque de la même forme en fonction ration- 
nelle de p. Donc, comme nous l'avons dit, on peut exprimer les coefficient 
Pot Pu • - • Pn -i rationnellement par l'un quelconque d'entre eux. Donc enfin, 
pour en avoir les valeurs, il suffit de résoudre une seule équation du degré 
2 -{-2, et par conséquent, pour avoir les racines de l'équation i?=0, il 
suffit de résoudre une équation du degré 2rc-}-2, et 2?z-f-2 équations du 
degré n. 



21. 

Maintenant, parmi les équations dont dépend la détermination des quan- 
tités y| 9w q7yj' ^^w^pr)' ce ^ es ^ u c ' e 8 T ^ n peuvent être résolues algé- 
briquement. Le procédé par lequel nous allons effectuer cette résolution est 
entièrement semblable à celui qui est du à M. Gauss pour la résolution de 
l'équation 

0»»+»_l = O. 

Soit proposée l'équation 

(106) 0 = p 0 + Pi r +p t r* -| 1- p„__ t r- 1 -f r", 

dont les racines sont: 

2 I co' \ 2 / 2o/ \ 9 / nto' 



où en' a une des valeurs co, ma> -j- Wi. Désignons par a une des racines 
primitives du nombre 2//-[-l? c'est-à-dire un nombre entier tel que // = 
2n-j- 1 soit le nombre le plus petit qui rende a^~ l — 1 divisible par 2n-\- 1: 
je. dis que les racines de l'équation (106) peuvent aussi être représentées par 

(107) y »(«» e ) . . . <f*{a»-*e), 

Soit 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

«- = (2n+l)^±a al , 



311 



où h est entier, et a m entier, positif et moindre que w+1, je dis que les 
termes de la série 

1, a l? a 2 . . . 

seront tous différens entre eux; En effet, si l'on a 

a m = %, 

il en résulte, ou 



«-- a" = (2n+l) 



OU 



a- + ^ = (2n+l)(fc w + /^). - 

Il faut donc que Tune des quantités a m — a* 1 , a m -\-a ,t soit divisible par 
2ra-f-l.; or supposons m > /*, ce qui est permis, il fout que a m ~^ ~ 1 ou 
so i t divisible par 2n-|-l; or cela est impossible, car m — fi est 
moindre que rc. Donc les quantités 1, a M a, . . . sont différentes ' entre 
elles, et par conséquent elles coïncident, mais dans un ordre différent, avec 
les nombres 1, 2, 3, 4 . . . n. Donc, en remarquant que 

<P*[((2n+l)k m ±a m )e] = cp\a m e), 

on voit que les quantités (107) sont les mêmes que celles-ci: 

V '(é), <p\2s) . . . <p»(ne), 

c'est-à-dire les racines de l'équation (106) c. q. f. d. 
Il y a encore à remarquer, qu'ayant 

«" = (2m+ 1)^-1, 



on aura 

donc 

et 



a 



(2?a-f-l)fc„ «"■ — «•", 



(p\a n+m t) = <p\a m t). 
Cela posé, soit 0 une racine imaginaire quelconque de l'équation 

0 n —\=0 



et 



(108) tf,( e ) = ( p*( ( ) + (p *( a e)d-\-<p'(a 3 f )Ô 3 -] \-<p 3 (a n - 1 f )0'- 1 . ^ 

En vertu de ce que nous avons vu précédemment, le second membre de 



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312 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

cette équation peut être transformé en une fonction rationnelle de <p*(t). 
Faisons 

(109) ' ye = x {<p> t ). 

En mettant dans la première expression de V / ( f )j a " e an ^ eu ^ e f ? ^ vien- 
dra 

y>(a m t) = y *(«"*) + <p*(a m + 1 t) 0 -f y 2 («" +8 €) 

+ y ^a"- 1 *) -j- <p*{a n *) 6 n - m -\ + tp*(a n + m - l t)0 H - 1 ; 

mais nous avons vu que y 2 (a n+M f) = <p 2 (a m t) , donc 

y,(a"e) r= £»— y»( f ) -j- 0 — + 1 y 2 {«f) -f 0 B - m + V(aV) -j 

-f fl— 1 y^a""'*) -f y 2 («'" f ) + 6<p\a m+1 e) -| 1- 0— — V(«"~ lf )- 

• En multipliant par 0 , le second membre deviendra égal à \pt , donc 

(îio) xfj(a m t) = e- n yi, 

ou bien 

tf't = 0 m z[<p'(«""e)], 

d'où l'on tire, en élevant les deux membres à la n ihM puissance, et eu tenant 
compte de la relation 0 m "—l, - 

(111) W^iX&'ia"'))]"- 

Cette fonnule donne, eu faisant successivement m = Q, 1, 2, 3 . . . n — 1, 
n équations qui, ajoutées membre à membre donneront la suivante: 

(112) »M"=[x(v , 0]" + U(v>«))]"+U(y , (« !, 0)]'+ • • • 

+ [x(v"(«"- , 0)]"ï 

or le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symé- 
trique des quantités </) â £, (p\at) . . . "'^f), c'est-à-dire des racines de l'é- 
quation (106); donc (i/'f-)' 1 peut être exprimé eu fonction rationnelle de 
iV- • • l'n-n par conséquent en fonction rationnelle de Tune quelconque de 
ces quantités. Soit v la valeur de («/'*) n , on aura 



(1 13) \o = r/> 2 * + 0y *(«*) -f «V («**) -] f- 0"" V(«*~~ lf )- 

Cela posé, soit ô = cos -j- zsin-^'-- Les racines imaginaires de l'équa- 



2/r . . . 27 

h- 1 sin - 

H 1 H 

tion 0 n — 1 peuvent être représentées par 

0, 0 2 , . . . o n - % 



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RECHERCHES StJR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 313 

* 

Donc en faisant successivement 0 égal à chacune de ces racines et en désig- 
nant les valeurs correspondantes de v par v 17 v 2 . . . v n _ ly il viendra 

n 

y»; =<p>( t )-\- ey^ae) -i 1- tf-v^- 1 *), 

n 

^ =ç> 8 ( f )-j- -| |-d , "-V»(o"- , e), 



^1 = 9>"(0 + *"~V(«*) H h ««—'V^a- 1 *). 

En combinant ces équations avec la suivante: 

-iv-i = ?'(«) +?'(«)+ • • • * 

on en tire aisément 

(114) 9> , (a- € ) = l(-^ 1 + tf--l^ + tf- ta fe + ^fi;,+ • • • 

+«-<-«)- y P — ), 

et pour m = 0, 

(115) v 2 w=|(-i^+i^+fe+ • • • 



22. 

Toutes les racines de l'équation (106) sont contenues dans la formule 
(115), mais puisque leur nombre n'est que il reste encore à donner à 
(p 2 (e) une forme qui ne contienne pas de racines étrangères à la question. 
Or cela se fait aisément comme il suit. Soit 

n 

Vît 

«s* = — 



En posant ici a m ê au lieu de £, se changera en 6 km yv k1 et ^ en 
6~ m v 1 ^ donc s A se changera en 

n n 

8-** Vv k Vv k 



(e- m Vvi) k (VtTi)* 

La fonction s k , comme on le voit, ne change pas de valeur, en mettant a m e 



40 



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314 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

9 

au lieu de t. Or s k est une fonction rationnelle de <p 2 (f)- Donc, en désig- 
nant s k par /[y> 2 (*)], on aura 

quel que soit le nombre entier m. De là on tirera, de la même manière 
que nous avons trouvé (»/'*)% la valeur de s k en fonction rationnelle de 
Tune des quantités p Q , p x . . .p n _ x . Connaissant s k ^ on a 

Donc en mettant v au lieu de i\, F expression de <p*(a m e) deviendra 

1 / 1 1 — \ 

(116) (p\a m e) = ~\—2J n -i + 0~ m v n +s 2 Ô-* m v n -\ \- s n ^e~ {n - l)m v n J; 

pour 7n = 0: 

(117) -^-fV-'-j- h h«-i»" )• 

Cette expression n'a que n valeurs difféi*entes, qui répondent aux n valeurs de 
i 

v n . Donc en dernier lieu la résolution de l'équation P 2n+1 =:0 est réduite 
à celle d'une seule équation du degré 2?z -|-2; mais en général cette équation 
ne paraît pas être résoluble algébriquement. Néanmoins on peut la résoudre 
complètement dans plusieurs cas particuliers, par exemple, lorsque e = e, 
e = c^^j e = c(2±\f t d) etc. Dans le cours de ce mémoire je m'occuperai 
de ces cas, dont le premier surtout est remarquable, tant par la simplicité 
de la vsolution, que par sa belle application dans la géométrie. 

En effet entre autres théorèmes je suis parvenu à celui-ci : 
"On peut diviser la circonférence entière de la lemniscate en m parties 
"égales par la règle et le comjjas seuls, si m est de la forme 2 n ou 
"2 n -}-l, ce dernier nombre étant en même temps premier; ou bien si 
71 -m est un produit de plusieurs nombres de ces deux formes," 

Ce théorème est, comme on le voit, précisément le même que celui 
de M. Gauss, relativement au cercle. 



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RECHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 3l5 t 



§ vi. 

Expressions diverses des fomtiiom (f{n(î) 7 f( n fi)> 

23. 

En faisant usage des formules connues, qui donnent les valeurs des 
coefficiens d'une équation algébrique en fonction des racines, on peut tirer 
plusieurs expressions des fonctions <p(w/î), f(nfi), F(nfi) des formules du pa- 
ragraphe précédent. Je vais considérer les plus remarquables. Pour abréger 
les formules, je me servirai des notations suivantes. Je désignerai 



1) Par 2 m \pm la somme, et par TI m \pm le produit de toutes les quan- 

k k 

tités de la forme \pm, qu'on obtiendra en donnant à m toutes les valeurs 
entières, depuis k jusqu'à k\ les limites k et k' y comprises. 

k' v' k' v' 

2) Par S m 2! fi \p{m^i) la somme, et par TT m TT^^{in^u) le produit de 

k v k v 

toutes les quantités de la forme i/> (?#,,//) qu'on obtiendra en donnant à m 
toutes les valeurs entières de & à k\ et à u les valeurs entières de y à v\ 
en y comprenant toujours les limites. 
D'après cela il est clair qu'on aura 

(119) £.^( W )=v'(*)+y(H-i)+ • • • +v(* / >, 

k 

(120) h m y(m) = y(lc).xp{k+\\ . . . ip(k'), 

k 

(121) ,/,(,»„„) = s, (/ ;(fc„„) y(k + H h 

k Y v Y Y 

(122) n/n^m.^^TT^k.u) . h^+hf) TT^(k\u). 

k V Y Y Y 

Cela posé, considérons les équations 

V (2» + l)/9=g ï± J. 

(123) _ / /( 2 »+l)/9 = i > ' 



2n+l 



Nous avons vu que P 2 *+i es * une fonction rationnelle de ce du degré 

40* 



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j}16 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

(2n-\-l)* et de la forme x.ifj(x 2 ). De même P' 8n+1 et P" 2n+1 sont des 
fonctions de cette même forme, la première par rapport à y et la seconde 
par rapport à z. Enfin Q 2n+i est une fonction qui, exprimée indifféremment 
en x y y ou 2, sera du degré (2ft-|-l) 2 — 1, et contiendra seulement des 
puissances paires. Donc on aura 

J> 8n+1 = Ax*«» H \-Bx, 

P\n + l= ^'v*"-"»' h y-B'*, 

Q in+1 = Cx*'+"-* H (- D, 

^„ +1 = G"2 <4n+1), - 1 +---+ J D". 

En substituant ces valeurs dans l'équation (123), il viendra 

(Ax (2n+i)t -| h A») =y(2»+ l)/î.(Cx< ,f,+1), - 1 '4 h^l» 

(A» z i2n +^ -| \-B"z)= F(2n'+ (0" z ^ n ^- 1 -| [-£>"). 

Dans la première de ces équations A est le coefficient du premier tenue, 
— (p (2 n 1) [3 . C celui du second, et — cp (2 n -f- 1) /? . D le dernier terme. 

C /> 
Donc ^ç)(2n-f- 1)/? est égal à la somme, et -^-y(2w-{- 1)/? égal au ^ pro- 
duit des racines de l'équation dont il s'agit, équation qui est la même que 
celle-ci : 

(124) ,(2.+ l)/J=-£;. 

Donc en remarquant que A, G et I) (et en général tous les coefficiens) sont 
indépendants de /?, on voit que (f(2n -f- 1)/? est (à un coefficient constant 
près) égal à la somme et au pi'oduit de toutes les racines de l'équation (124). 

De la même manière on voit que f(2n-\-ï)ft et F{2n-\-l)ft sont re- 
spectivement égaux au produit ou à la somme des racines des équations 

en ayant soin de multiplier le résultat par un coefficient constant, choisi 
convenablement. 

Maintenant d'après le n° 11 les racines des équations (123) sont re- 
spectivement : 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

x= (- 1)- "9 (fl + 2^ 1 » + -2»TT «4 



317 



où les limites de m et // sont — n et -f-w. Donc en vertu de ce qu'on 
vient de voir, et en faisant usage des notations adoptées, on aura les for- 
mules suivantes: 

■ , (2n + 1 )(} = ^ 5,i; ( -i)--^/» + "i + + T'> 

— n — n \ 1 ' 

/(î . + d/j = a- s. s, (- D" / ( /» + ";::T ; ) • 



— « 

+n +n 



(125) 



ir ( 2„ + D/j = a" x ( - iyf[p+ -7.+ 'r , . 

— n — n \ 1 



^..+i)/?=7i55.^/î+^„ + + ''r). 



+» +» 



/(ï.+D/»=i»'*î.fr,/|fl+-7.-^ 

— n — n \ 1 



! ir ( 2« + l)/î=^/7 m /7^l/? + ^f 

\ — n — n V 1 

Pour déterminer les quantités constantes A, A\ A", B, B\ B' il fau- 
dra donner à /? une valeur particulière. Ainsi en faisant dans les trois 

premières formules fi= £ + J i, après avoir divisé les deux membres par 



y/?, il viendra, en remarquant que cp I 2 -f- 



î 

TF ? 



il= fT(2»+_l)/?\ 



Soit /? = ^ — |— ^ 2* — j— « ^ on a 



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318 



RECHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 



A ff ( (2n + 1)a + M ° + nG>i + T + l *') 



_ y ( ( 2, + i >+:+^ -)^ ^ 



_ /((2« + 1)« + ,«„ + «o, + | + * ;) 



pour a = 0. 



F((2- + l)« + ^. + |i) ' 

= (_ i) n --A 2 --Z — (_ n» ^ - — L 

F («+f+î f ) /'((2» + l)«+Ji) 

Ces expressions de -4, J.', J." deviendront de la forme $ en faisant 
a = 0, donc on trouvera d'après les règles connues 



A = 



i (=1): 

2n+ 1 — ~~ 2»+ 1 



D'après cela les trois premières formules deviendront 

(120) / /(2„ + i) / }=.W):|.|, ( _i )V ( ( j + ™+^. i ) > 

Pour avoir la valeur des constantes B\ B'\ je remarque qu'on aura 
(127) TT m ri M y(m, p) = f (0,0) TT m y(m,0) ip(—m,0) ri fl y(0,f')V'(0> ~") 



x n m n„ v (m , //) v ( — w , — fi) n m n y (m , — /O y> (— w , ,» ) . 

11 11 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



31â 



En appliquant cette transformation aux formules (125), en divisant la première 
par (pfi, la seconde par ffi et la troisième par Fj3, en faisant ensuite dans la 

première /? = 0, dans la seconde ft = ~ et dans la troisième (3=^1, et en 

remarquant que 2^^=2»+l, pour (3 = 0, que f^+lW = (-!)• 

(2n+l), pour , et que ^g^ = (- 1)"(2»+ 1), pour /J = f 

on trouvera 

<*-+»=*Mî^)V(i.ti) 

(-ir( 2 n+i)=^A/^+^)^/ 2 (5- 1 



(128) 



i 

vf ", /s / w | mat + (taî\ fi I w . w/w — ju<Dt'\ 



2n+ 1 



En tirant de ces équations les valeurs de i^, jB', B" et les substituant 
suite dans les formules transformées, il viendra 



en- 



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320 



RECHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 



(129) 



( ~ mio 4- tnî>i\ ( m(o-\-inl)i\ ( . mio — utbi\ ( n mio — ttâ>i\ 

v 2n + 1 / T \ 2n + 1 / 

/(2« + 1)/» = 



|^(2»+ 1)/? = 
(-1)"(2«+1)J 



F* ("1 ;,"'" + '' a L i \ pif'' 0 ■ w«>— /id>>\ 

\2 ^ 2« + l y V 2 2" + ! / 



On peut donner à ces expressions des formes plus simples, en faisant 
usage des formules suivantes: 



T(/? + c)yQ* — c) _ __. r*« 

1 



/G* + «)/_(/» - «) _ _ f_ ( 2 + ° 

/*(;+«) ~ ~ i- - . 

/*(«+-;+:-'■ 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



321 



qu'on vérifiera aisément au moyen des formules (13), (16), (18). 

En vertu de ces formules il est clair qu'on peut mettre les équations 
(129) sous la forme: ' 



( <p(2n+l)fl = 



1 1 — 



/ mot \ 



tJ / Ot O) . Il H') 

! TV 

„ / mot 4- »<&î \ 

flrV ■ 



1 1 



l_ <t*J 



<r*tt 



x r/ m rr^ — 

1 1 i 7 r T -.-. s î- 

a / ot 10 . mot -f- non y 

9 ,, (. + . l+ -ii-+r 



k , / (Tt . /loti \ 

y <l 2 t 

'/V 

0 /' <y tî) . mot — iittti 



f(2 n+l)P = 



1 — 



(130) « 



1 — 



2 2 n -j- 1 



1 — 



/ <«i mot-\ - il toi 

y/7 77 *- V + 

- r !'\ _ /v 

<ù • mot ti toi 
■ t '\J + 2 l+ tn+l 



1 — 



^ 0 / o) mot — fiibi \ 



/V 



J\2»+l)/ï = 



1 — 



pi.) i & • n,t ' f \ 



i— 



i— 



»,'2 / "' . < u ; . """ 



1 1 — 



t+ 2„+l) 
\ 2 2 2 n + 1 

va / • i + \ " fa (" J _ ; . '«<"—/"« \ 

V"2 _2»H-1 / \2 2«+l / 



1 — 



1 — 



7, 

2 * 2 ' 2n-f- 1 



1 — 



\ 2 + T ' + " 2 « +4") 



41 



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322 RECHERCHES SUU LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Ces formules donnent, comme on le voit, les valeurs de y(2»-{-l)/? 
/(2w+l)/3 et 2^(2» -f-1)/?, exprimées respectivement en fonction rationnelle 
de <p,3, f(3 et Ffi sous forme de produits. 

Nous donnerons encore les valeurs de /(2« -f 1)/?, F(2n-\- l) t 3 sous 
une autre forme, qui sera utile dans la suite. 

On a fp=\ — c>if-fi, donc 

j /V c 3 ((p-ji — tf- n ) 

'f*a ~ ' f* a 

et 

/-*(:<'+«) /•(?.■+.) 5 

or en vertu de l'équation (18) on a 

/■(î'+«)=^->.- ^ 

donc * • 

— — = - x - '--hf 2 . 
/ ( 2 * + «) v 

On trouvera de même 



■»-* + « 



1- . . r * 



1 ,» + c * „>„ i— 



1 ^ c * «TV 



En vertu de ces fommlcs, et en faisant /9= 0 pour déterminer le fac- 
teur contant, il est clair qu'on peut écrire les expressions de /(2,+ l) /9 , 
\ ^ r~ )n comme il suit: 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



323 



1 — 



f{2n+l)fi=fpfT m — 
1 1- 



VI Ot \ 

h 4-1 / 



2 2m + 



/7, 



V \ 2 2n+l / 



2 2M+ 1 



1 1 — 



<jT 2 hr + ^r* + 



2 » -j- 1 



1 — 



X/7 m /7 M — 
1 1 1- 



r ( 2 + , 

9 / to mo)-\-/i(»i\ 9 / oj mot — [iùri\ 

n-i+-ïiTï-) V (-,-+- 2M+1 -) 



2 2 



(130') 



ç>«( 
1 — 



1 — 



2 2n-f ] 



F{2n+l)fi = Fft!T m - 
1 1- 



2 m -j- 1 ./ 



i— 



w — fttoi \ 



AT 



ri s -« 



;+ 2"!- I ) 



u 

1 i- 



1 — 



10 (t) . 

+ T «+ 



X /4 //„ 

1 1 1- 



» / à) . mf()-\-tnoi\ a I (>i . mot — nori\ 



a / o) ib . nuo — uo)i\ 



2n 



Dans ce paragraphe nous n'avons considéré les fonctions cp(nfi), f(nft), 
F(nft) que dans le cas des valeurs impaires de n. On pourrait trouver des 
expressions analogues de ces fonctions pour des valeurs paires de mais 
comme il n'y a à cela aucune difficulté, et que d'ailleurs les formules aux- 
quelles nous sommes parvenus sont celles qui nous seront les plus utiles dans 
la suite, je ne m'en occuperai pas. 



§ VIL 

Développement des fonctions (fa, fa, Fa en séries et en produits infinis. 

24. 

En faisant dans les formules du paragraphe précédent (3 = ^ » on 

obtiendra des expressions des fonctions cpa, fa. Fa, qui, à cause du nombre 
indéterminé n, peuvent être variées d'une infinité de manières. 

41* 



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324 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



Parmi toutes les formules qu'on obtiendra ainsi, celles qui résultent de 
la supposition de n infini sont les plus remarquables. Alors les fonctions 
<p, f, F disparaîtront des valeurs de if a, fa, Fa, et on obtiendra pour ces 
fonctions des expressions algébriques, mais composées- d'une infinité de ter- 
mes. Pour avoir ces expressions, il faut faire, dans les formules (126), (130), 

3 = ~ et ensuite chercher la limite du second membre de ces équa- 

2 n -j- 1 1 
tions pour des valeurs toujours croissantes de n. Pour abréger, soit v une 
quantité dont la limite est zéro pour des valeurs toujours croissantes de ??. 
Cela posé, considérons successivement les trois formules (120). 

En faisant dans la première des formules (12G) /î=g^-~- -y, et remar- 
quant que 

(131) £ï,0( WS/ ,) = 0(O,O) + ^^ 

—m — n i i 

+ S m S„ [0(m, fi) + 6(-m, -«) + 0(>»., -,«,) + 6(-m, /,)} , 

1 1 

il est clair qu'on peut mettre la formule dont il s'agit sous la forme: 

(132) 1 -.<«( a \ + — 



a + mco \ 



2« + l 



oïl l'on a fait pour abréger, 



(133) 



i//(m,//)= - L | 1 _ .. _ i 1 1 

2//-fl S (f ( n -\- <™+\u»+<ft-\-{')iïi\ ' /« — (m + — <" + £ )«>i\ >> 



Maintenant, en remarquant que 



+ T. 



— J(- 1 ) 

2n+ï ) V 



-- 1 l 

2« + 1 ' j I 



1 + " 1+11 >+"M î 3,MkQ 



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RECHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 325 
/ a-f j/cD/l , / a — jd(d i\ (sn-fl) ' ( 2 « 1) " ^(-iu-f i ) 

^ ) + *U»-+ï) " i+^^'VG.;,) " 2 "+ T ' 

où 4 OT et sont des quantités finies, le second membre de l'équation (132,) 
jusqu'au terme qui a le signe — > prendra la forme 

1 a 1 n 

2n + f ^ 2« + 1 + (2w + 1)* f " (_ lr ^ w + ^ 5 

or la limite de cette quantité est évidemment zéro; donc, en prenant la li- 
mite de la formule (132), on aura 

cpa = — l lim. 2 m (— — m, n — //) 

-f ■ ' Km. S m 1„ (- 1 )" + " - »», » - ,«), 

1 1 

ou bien: 

(134) cpa = - î- Jim. V !)•+» y(m lft ) 

+ him."£X(- </',(>»„")• 

Il suffit de connaître l'une de ces limites, car on aura l'autre en chan- 
geant seulement le signe de t. Cherchons la limite de 

n s m %(— i)^K,u). 

0 0 

Pour cela, il faut essayer de mettre la quantité précédente sous la forme 

P+v, 

oh P est indépendant de ??, t et v une quantité qui a zéro pour limite ; car 
alors la quantité P sera précisément la limite dont il s'agit. 



25. 

Considérons d'abord l'expression 

B ^(-l)"V/(m,, M ). 



0 

Soit 



(135) 0( m ,u) = a ^ wt - + - }) ^-- +1) ^ p , 



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326 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

et faisons 
on aura 

(137) s\ (- l)'>(m„„)-?, (- l)^(m, / 0 = 2«^(- ÎY^/X^i- 

Cela posé, je dis que le second membre de cette équation est une 
quantité de la forme - v — T -. 

D'après les formules (12), (13) on aura 

i i, 1 = <r(P + € ) + y (/* - £ ) = 2 <r? f £ • ^ g 

donc, en faisant /? = ^ XT et e== (^)^ et 

27/ + 1 2n-fl 2// + 1 

f€.Fe = 0f 7 on a 

w,«)__L_.J?("Vî)- , (i&) 



Or on a 



V \ 2/7+1 j — 2/i +1 i" (2/^+Tp ! 



donc 

et par conséquent 

V(îm -, ,u) - 6(m, u) = ^ 2a —- 1 1 ^_G»+ïl. 1 1 

(2 " +1 >fc;,)-^:;,) 



-T7» 



in+l) 



Donc la valeur de deviendra 

(138)72,,= S*ï± x L f i _l_ _ ^ _ \ 1 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 327 

% Cela posé, il y a deux cas à considérer, suivant que gr jpy a z ^ ro 
pour limite ou non. 



à) Si ^ — ~-zr a zéro pour limite, on aura 

7 2n -f- 1 A 

(r 2 [ €fA \ * I ^J 1 € J* 

V \ 2»+l / — (2w + l)« > '(2n+l)*' 



» ( «rr ) = V 1 - « V '[ 2^tt ) V 1 + « V ( 2 /+- , ) = i + ^ ■ 



a \ « 2 . 1) 



4 



V 2 \ 2n + 1 ) ~~ "(2» + l) 2 + (2n + l) 4 ' 
où C^, 2) ont des limites finies; donc, en substituant, 

i + <••« 

(139) R, = Aa*.- ai ^if" +1)2 

i ^(2; i + l) 2 .^ "(2n + l;« 

a 2 Dec* 

Cf'~2 "4 ^ 



or que soit fini ou infini, il est clair que cette quantité convergera tou- 
jours vers une quantité finie pour des valeurs toujours croissantes de n. 
Donc on aura 

(140) R ii = r/l + v fl , 
où est une quantité finie indépendante de n. 

b) Si î a P 0UI ^ n " fce une q llant ité finie, il est clair qu'en nom- 

mant cette limite J , on aura 

(141) B — — J — ^ -4- v ' 

n-l 2? # 

Cela posé, considérons l'expression JE^ ( — ^)^(9^+Tp" ^ n a 

< 142 > ?. (- !>' (STTl). = (STD- •[*-* + *- *+ ••• 

+ (- 1)'"' K,_, + (- 1)' (M, - R,„ + X rt , - if, + , H h (- 1)-'-' *,_,)]• 



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328 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Supposons d'abord que 2 ^ ^ ait pour limite une quantité «nie, quelle que 
soit la valeur de t u. Alors, en remarquant que 

on aura 

, K — ^+i = < — w^+i» 

donc 

7" ^ j (2» + 1) 2 — (2« + i> _ Vl + *'* -^H 

où fc = « ou w— 1, selon que « est pair ou impair. -La quantité B a tou- 
jours pour limite une quantité finie, savoir B = Q si « est pair, et B = R n _ t 
si n est impair. 

Maintenant on sait qu'une somme telle que 

h»*-» 

peut être mise sous la forme fc», » ayant zéro pour limite. Donc en sub- 
stituant 

V 1 / iy Rf> kv-\- B 

o V ' (2n + ï) »*— (2» + 1)1 ? 

étant égal à « ou à n - 1, et 5 fini, la limite de **±- B - sera zéro 
«ic 2«+l 

(143) VV i)f ^« 

T V ' (2« + 1)» — 2»+l ' 

Supposons maintenant que ait zéro pour limite. Alors ^L- { 

a également zéro pour limite, à moins qu'en même temps 2 > l n'ait pour 
limite une quantité finie. Soit dans ce cas v le nombre entier immédiate- 
ment intérieur à )/n, et considérons la somme 

En supposant cme „ soit un des nombres 0, !,...„, il est clair que 

O + lj 2« + 1" a 2e«> pour limite; donc, selon ce qu'on a 

vu, B m sera une quantité finie, et par conséquent 

R «- R l + Z* + (-l)^R^ l = r.X 1 



or 
donc 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 329 

où B est également une quantité finie. 
Considérons maintenant la somme 

(- ly^-B.^ + R^ \-(- 1)»— 

Si ^ ^j- ^ a pour limite une quantité différente de zéro, on a, comme on 
Ta vu, 

— ^ + l = V — ^/i + lï 

si au contraire - ki — a pour limite zéro, on a 
2 n + 1 * 

^ = ^v + <; 

or, si en même temps /£>]/w, il est clair qu'en vertu de la valeur de i? /0 

r — B — G - 

or il est clair que B ft et C^, tous deux, ont pour limites des quantités in- 
dépendantes de /i, donc en nommant ces limites B et C, on aura 

B„ = B-C+v„ 

et par suite, aussi dans ce cas, 

Ru — — v p • 

Donc, comme dans le cas oîi 0 €fl { 1 aurait une limite différente de zéro 
7 2 n + 1 

pour toutes les valeurs de //, on démontrera que 

(^1)*^--^+ ■••+(- 1)--^-.) = v«\ !)• 
Maintenant en combinant les équations ci-dessus, on en tirera 

f >< ( _ XY (27T+ ïy = (2n +lp ' VR + 2n + ï 5 
or 2r^T\ a z ^ ro P our limite, donc 

n— 1 ï? 

v r— iv — — - 

V A >> (2/i+ l) 3 — 2/i+l 

Donc cette formule a toujours lieu, et par conséquent la formule (137) de- 
viendra 

(144) X(- i)" *(«,/«) = ^ir- 

o o 1 

42 



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330 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Cela posé, il s'agit de mettre 'JS fl ( — l)**0(m,ft) sous la forme P-\- h y • 
Or c'est ce qu'on peut faire comme il suit. On a 

'ni OO OC 

( i45) : 

^(-•i)^(»ft,/0 = (-i)-[»K«)-«K»+i) + »K»+2) ]• 

Or d'après une formule connue on a 

0(//V>) — tf(w- 7 w+l) + «(w,w + 2)— • • • 

=^(,„, tt)+ 4^) + ^^) + . . . , 

où *4, .£> . . . sont des noinl)res; or 

2a 



0 (■,»,»)=; 
ô (•/»,»*) — 1)-)- 



• «a _ [(,7, + i) w + (m +1)01]» 

donc en substituant 



De là il suit 



a I 4 Aaûti [(■//» + w -f (»/ -)- i) <T>t ] . 

; « 2 - [('" + î)w + O + i)^? + [«»- ((/«+])« + (w + + 

que 



«(-.-)-»(-,» + • • ■ = „"„ - + i = E q.-ï 

Donc en vertu des équations (145) 
et par conséquent 



26. 



Ayant transformé de cette sorte la quantité ^(— -on tire 

de l'équation (146) ° 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 331 

(147) "£ % (- l)- + ^(m, u) = £(_ 1)- . ^ +"5 'i™ , 

0 0 0 0 ^ " "I 1 

en faisant 

(148) ( , m = ^ ( (-l)''.0(v»,,u); 

0 

or 

V t 1 » v+_^_+ vH b — 71 v - v 

7 2n + l 27/ + 1 """" 2« + l — 2' 

ayant zéro pour limite. Donc l'équation (147) donnera, en faisant n in- 
fini, 

n— 1 n — 1 oo 



(149) lim.J^Jv (_ l)^^,,,,)^ v(_ l)-.^. 

0 0 0 

De même, si Ton fait, pour abréger, 

(150) | ^^-'') = ^-[(„/+of^+l)^]^ 

V o 



on aura 

W— 1 M— 1 OO 

(151) lim. ^ m 2^- (»»,,«.)= 



0 0 



Ayant trouvé les deux quantités dont l'expression de (f a est composée, on 
aura en substituant 

; oo • oo / oo 

<pa = - ~ ? (- 1)" + v S (- 1)»' - — • S{- 1)"' ((>„/ - (O, 

' ( o ' 0 0 

ou bien, en remettant les valeurs de et (j m , 
(152) </>« = 

?' °° , r°° / 2« 2« \ 

w 7* (~ 1 ^ |_7'' <_ 1 ^ \ « 2 ~ f(m~+Tjcû > - (fî+h)âi \* ~ « r - [(w*+ ï)w + ô' + i) <'"P J 



Maintenant 



2a 1 , 1 



a* _ [(„, +|) ( „ ±(jt + $)Qi]* a —(m + J) « + (i" + i)<3i T «+ (>» + i) «* ± 0* + i) 
donc 

2« 2« 



«*— — O + èj 0 ']* a* — [(»»+*)«+ frt + *)<a»']* 

(2/u+_l)0» (2/i + 1) a» 

— [«+T( ? „ + j) w ] »+ + » «a» [« -(m+ è) wj 2 + Ô* +~ï) *" a" ' 

42* 



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332 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

donc l'expression de cpa prendra la forme réelle: 

(153) ( P a = 

1 OO x 

•v (— 1)'" v ( — l)«f _(->"_+ r ) a _ _ _(2ji+\)a \ 
w »" » W«-('"+iH 1, + 6<+i) s, <3» [c+(«i+})w]»+CM+i) !, «â i r 

c'est-à-dire qu'on aura 

(154) va= £{*.-* l +* a -*,+ ---+(-l)'â m ...) 

- J(«V-«V + «V-<V + •••+(- D"«V...), 



où 

1 3 



l *„ = ,, 6 + 5 _ 

(155) <. 4 

«V = 1 3 + 5 

Si' l'on commence la recherche de la limite de la fonction 

n — 1 n— 1 

f.^(-l)" + X/», /t ) par celle de 1)" ^(m,/,) au lieu de celle de 

n - 1 

f (-!)■" VK/i.), comme nous l'avons tait, -on trouvera, au lieu de la for- 
mule (153), la suivante 
(15(5) <p a = 

^•5,(-l)"f n> (-l)'«( Jl?+M* __ _ __ (2,1+1)0 \ 

c'est-à-dire 

(157) ^ = ;;;- (f(( _ 3 ,, + 6fa _ 7éj + . . . +( _ 1)/((2/< + ^ + ^ } 

- « (*o - W + 5f,' — 7 f3 '-| (_ ( _ j),. (2 „ + 1} , _|_ . . . ) ? 

où 

(158) !" (a ~ : ^ ai+ * )i *' K-)V(,7^ + p 8 7 + ^ " ' " J 

*/=-• — _ _ 1 1 

K) 2 +(,<-h)^ (^)^ +}) ^- ;• •• 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



333 



27. 

Cherchons maintenant l'expression de fa au moyen de la deuxième des 
formules (12G). En vertu de l'équation (131) le second membre prend la 
forme suivante: 

+ tZ f- <- »- [/(/»+ 2 ™ i ) +'(" - ..7 . ) ] 
(- ')* i 



+fep ) if-f-(- »-[/(/»+Tî; J f)+/(''-"ï.+f 



+ fe£ f- f »)"[/('»+T.+ 1 r I +/(" " "ï-F+7 



En y faisant /? = -— ~-j » et en remarquant qu'alors la limite des quantités 
contenues dans les deux premières lignes devient égale à zéro, on aura 



(159) 



fa = lin.. (— 1)- S m Z„ (- 1)"' . V'(» - m ., « - «) 



1 1 

n n 



+ Hm. (- 1)" ^; (- 1 y . v, (« - »», « — //), 

î i 

oîi l'on a fait, pour abréger, 

1 



V'i ( n — m i 71 — 1') = * 



2* + l 



/ ( 2#*+T~ J "T"^ i 2// + 1 

a-\-m(û — fjGi\ , /»/ « — ww + ^'j 



Maintenant on a 



Soit 



mo) -f- 

£ =-2„-+r' 



on aura 
1 



= _ lfle . y | T + 2 .,_ e =-i«î. y p - 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



l 2»+ 1 " )• 

Donc on aura, en substituant et en mettant m et ,u respectivement au lieu de 
« — î« et « — ii , 

vK/i) = -- 1 • _ 2 ».+i ^+i-_i M^+t) 

( 2w + [y" (*,/Vt) - vf - ^'r^r )] " 

On aura la valeur de en changeant seulement le signe de i En 

taisant maintenant ' ' 

0(m, ,/) = (?'« + l)w + (2ju + 

0,(m, «) = _ _ (2 -+ X ) w + 
et en cherchant ensuite la limite de la fonction 

de la même manière que précédemment, on trouvera 

^f-?<-^*K/0 = ! •f.ff (-1)-.^,,.)); 

Uant ^ (159) > * 611 ^ valeurs de ,(„,„) et 

(100) f u = 

)(jji 



et 



~ e -|^.(-])-(_^»+l)«^ (2 W + l) W -(2,«+l )t3 ,- 

o . l«--K»+i)« + (A + i)^]» + «.--[( w -+V«- . 

^ La quantité renfermée entre les crochets peut aussi se mettre sous la 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES 335 

donc on a aussi 

X 

(161) /« = 

1 .v /~ /ix- 2[o+(»«+J)H _~ , 2[«-(,«+J)H 



. v" L2" (— ir" 1 - ' â ' 1 - _ x- (._\\- 

e o fl \o mK M«+('"+]) w ] S +(/'+l) ït » s T"' V ; •[a-(,«+J)w]» + (^+J)a < î>* 

On aura de la même manière 
(162) Fa = 

1 .?|v ( _,^. (2/i + l)ô ■ W_iw« f-V + l),r, 



28. 

Venons maintenant aux formules (130). Pour trouver la valeur du se- 
cond membre, après avoir fait (•}= et supposé n infini, nous allons 
d'abord chercher la limite de l'expression suivante: 

„ r mot 4- non A-k~\ 

(163) «=/7.//„ — ' L - r 2 7 -l ' 



1 



* L ; J 



où & et Z sont deux quantités indépendantes de //. 
En prenant le logarithme, et en faisant pour abréger 

(164) V ,(m, ,,) = log ^ + V ' 

, } r mot -\- tutti 

r[—t;- + r-\ ' 

on aura 

(165) \ogt = 2 m 2,ytm,!i). 

1 1 

n 

Considérons d'abord l'expression 2p\p(rri,(i). Soit 



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336 ' RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

i «!_ 

(166) *(*»,/!) = log .--J=^?±* , 

(ma>-\- fiûii-j-l)* 

on aura 



— 0(m,,u) = log 



! y'[T ,"+i] 

" L 2n+l J r»iw + //<*>» + /)* 

^ «* 3 |~ « ï 

(mifj -f- //fiii ibj* | ^ |_ 2 n -j- 1 J 

2 f nuo + fitbi+ lî 
' L + l J 



Cela posé, je dis que le second membre de cette équation est pour toute 
valeur de m et // de la forme 

y (m, f i) — 0(m, f i) = ^ . 

Pour le démontrer, il faut distinguer deux cas, suivant que la limite de 
~2w^V~ est une °l ua11 *^^ différente de zéro, ou égale à zéro. 

a) Dans le premier cas on aura, en nommant a la limite dont il s'agit, 

o / mio -f- iitùi A-l \ « « , 



<P I Ô - 1 = /.,„ _r r .j + 79 



donc 



,2»+l j - (2«+l)»"T"(2«+l) 
X_. ' l2» + t] ==1 _ 



y si 



' [ 2 » + i] _ 1 _ I " 



On a de même 



r]« w + L /i^+l_ 1 ~ " (2 w + 1) * y 2 a ' (2y7+TY 2 

; L 2n+l J 



+ + (2 M + l)ap±^+iJ J!— (2n+l) â a a ' (2n+l) a 

j a 2 a 2 v > 



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RECHERCHES SDR. LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



337 



En substituant ces valeurs, l'expression de — prendra 

la forme: 



yj(m u u) — 0(m u u) = \og 



1 v — 1 *«_ 

(2m -f lj3 (2m -j- 1)* 

1_~-T?7" T— -3' 7 

(2«-|-D 2 (2»-f l) 3 



les quantités v\ v n t\' ayant toutes zéro pour limite. On a 



par conséquent 



1 °8l 1 -(2r»Ti) , ) == (2«i"ï) i ctc - ; 



(2n+l)» 



6) Si la limite de la quantité -y— - est égale à zéro, on aura 

^ \~~2w+ÏJ — (2w+l; 3 ' ~(2w+l) 4 



donc 



^ [ 2» + 1 ) — (2.7+ iy ~T A • (2/1 + 1)1 

1 _ _ L 2» + 1 J_ __ j _ ^ <2« + 1 

2 r +/"<><+ * i 



, . . ,,,, . i""" -|- /«ai -j *i 4 

Si maintenant raco -}- //.cD/ ne va l )as 611 augmentant indéfiniment avec 
on aura 



9 r »«w -j- a on -\- k ~\ 
'f'I ï»+l J 



(lllOP -f jllti)/' -|- /:)* 1 (2ll + 1) 



+ ; 



li 



de même 



1 — 



donc dans ce cas 



i» + î] _ . _ « 2 | t7 

- • ' " " — (««a + fi&i + /)-' 1 (2 « + 1 )-" 



moi -j- -|- Z "1 
2 m J 



/ x /w \ ! ^ (2«-j-l) :i 

tfj{m.,f() — e{m u u) = log r „ 

^ " (2m 1 1) 3 



et 6" ayant des limites finies, ou bien 



43 



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338 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

la limite de I) étant également une quantité finie. 

Si au contraire la quantité mm + ^Oft augmente indéfiniment avec 
ft, on a 



r ! ■' M a _ 

I (mo)-\- , n oi-\-k)* 



1 — 



t> |~ »« w -j- 4- & 1 , 3 



or les mi«TitîtP« * w,w + n&i4- k 

quantités — + -_ _ ? 0 nt zéro pour limite; donc la 

quantité précédente sera de la forme 

A" ayant une quantité finie pour limite. En changeant k en /, et désignant 

C ° rT08IKMlda,lte de A " Pm " Al% la Vttlour de V'K/O-0K/<) 

Mmntenant la linùte de A" est la même que celle de A; or il est clair que 
cette dermère hnnte est indépendante de k, m, a (elle est ex, effet égale au 
coefhdent de «« dans le développement de Donc on aura 

A' = M+v, 

et en changeant k en l, 

A 1 " = M + v' J 

^'oh A' — A l " = v — v' = v Donc A" A " • > 

conséquent on a 1 * ^ P° nr ]mnte > 6t 

^./o-«i-,/o= (Sîi ;- l7- . 

Donc nous avons démontré, qu'en faisant 

(lr,7) V'K/O-tfK/^.A.". , 

V " ' (2« +1)»' 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 339 

la limite de A m/U sera égale à zéro toutes les fois que mio -j- pmi augmente 
indéfiniment avec w, et qu'elle sera égale h une quantité finie dans le cas 
contraire. 



29. 

« 

Cela posé, considérons la quantité 2 fl y(ni u u). En substituant la va- 

i 

leur de il viendra: 

(168) k, = k e(m,,,) -f (2n l + 1)s -f , A,,,. 

Soit v le plus grand nombre entier contenu dans ^n, on peut taire 

n 

fi ^m, /« ==I1 A m j -J- ^ f 2 -[-- • • • -j— A m v 

1 

~\~~ A m . r + 1 ~~f~ y + 2 ' ' ' ~\~ , n ' 

Or, d'après la nature des quantités A mtftJ la somme contenue dans la pre- 
mière ligne sera égale h r.A m1 et la seconde égale h AJ (n — r), où. A m 
est une quantité finie et AJ une quantité qui a zéro pour limite, donc 

■k ft A m , fl = v A n -f (•» - r) AJ = (2n +l)B m , 

oh 

+ l 1 2w + l 



n v J I " — ' J ' 



Donc la quantité B m a zéro pour limite, r ne surpassant pas ]/n. Par 

n 

là l'expression de 2L u if>^m,u) se change en 
i ' 

n 

Pour avoir la limite de -2^ u), j'écris 

i 

n ex? oo oo oo 

-Z, 0(m, fi) = Z u 0(m,ti) - ^ «) = ^ «(w, /<) — ^ + n). 

1 1 n+1 11 

x Or on peut trouver la valeur de 2 fl -\-n) comme il suit. On a 



43* 



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KECHEKCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

l_ ?! 

_ */ 1 _ 1 

+ "2 " 4 ( [7« ( ^J,3/ + 7p ~ ^.J + (/l-f »)t3/+"/-p ) + 

De là on tire 



OU 

1/ 



L _ _L 

— - ffi/ -4- <w - - — h ^ 4 wi 

« « J L n n J 



M:) 



| „ + «"+ M *«J | „ + ™ + n ««J 
Or on sait que la limite de est éarale à f Ox.dx, donc 

et par conséquent en substituant 



or 



Os—r , , - — , , 1 -,„5 etc. 



1" nu» l. / ~ -1 - f mto < * i - • i - • 1 2 

| w - -f W/ H- ,,,„J ^ -f W / 4 ,7Yt/Z J 



donc on aura 



fox. 

J 0 



Il 1 1 [1(1 

COÎ { fmto-\-k 



1 I 

+ (oi+.vûi - fi~ +^+« r<3 * I w + — w +w J 

1 /~Jfc 1 1 Z-jfe 1 

(3/ « r 1,1(0 -m ~ • ^.i r »!« h- * _ . .n #5/ 7* r -m • 1 r » m< ^ -f - * , * »i 



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RECHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 341 

La limite de cette expression de Ox.dx est zéro pour mie valeur 

quelconque de x. De même on trouvera que la limite de / O x x.dx est 
zéro, donc 

2n 4- 1 y r -|- 3m 4 '• r / „ — 2« + l ' 
donc aussi, en faisant // 



oc 



d'où 
et 

d70) i„ ./,(,«,/,) = S„ -h 2i ;- 1 , 

ayant zéro pour limite. De là on tire 

n n n i oc \ n 

Z m Z M y/K/O^.^; *('»,/')] + f 2 „ + i • 
En prenant la limite des deux membres et remarquant que 

^ + *'i + ; • • + r » 

7 2// -f 1 ~~ 2w+l — 7 

on aura 

lim. i;, i; t = S. »K/0) - 
ii i \ i / 

En remettant les valeurs de et et passant des logarithmes 

aux nombres, on en tire 



(172) lim. //„//„ - L "+.' J = /7. 



' ' f[-..-rr] 



^ „ 2 1~ """ + '"'" + * "1 
V' L" 2» + ! J 



1 "* 



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342 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



Par une analyse toute semblable à la précédente, mais plus simple, «on. 
trouvera de même 



(173) 



(174) 



Km. //„ 
i 



1 — 



" mto -\- k 
_2« + lJ 



r 



i — 



lim. II.. 



1 — 



ȕ'~'.'J 

2 » -f I J 
moi -\- k~\ 
2" I A J 

i |_*« + «. 



00 1 

1 1 



(»«« -f- il 1 ' 



(«H -J- / ) 3 



oo 1- 



(ft toi -\-k)* 



(ttibi -\~ l)* 



30. 

Maintenant rien n ? est plus facile que de trouver les valeurs de </>«, fa, 
Fa. Considérons d'abord la première formule (130). On a 

,> V 2 <^ 2 ( mùJ ^ ^ l \- _i 

donc 



// 1 J 2 r m to -{ - fttoi a» tô . ~j „ f ( n — m -j- ^ ) J (m — f* -\ \ )tbi 1 



1- r f "f -n ff„,/"fjl- r ^ 

I m/7> mm I " .' I iii/ij J 



„ „ n..+rj = i <n ,.4-1 Ji 

( L *>'-\ i J I 



= A7. n. 



^ « r »i^ -f- n toi i 



| 2n-f-l I 

Cela posé, si l'on fait /? = 2*T-^T et ( l u on sn PP osc 11 i"fïni, il viendra, 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 343 

en faisant usage des formules (172), (173), (174), et en remarquant que la 
limite de (2n-\- l)y | g w ^_ ± j es * égale à a, 

(175) ^^a^jl-^j-^jl+^j 

oo I do 1 . — a - oc 1 — ; ~ . a 1 

s. /-/ I rr t'W T" t uct}t ) rr ( m(,t — uun) Â I 

x | v " iz " :z ' i " i . ( ' 

l [(»* — l ) oj -f- (a — f i ibi J 2 [( m — J) <tf — ( « — $)«>*]* J 

Les deux formules (130') donneront de la même manière, en faisant 
• /^ = 2 ~jTT' et remarquant que /(0)=1, jF(0) = 1, 

(176) fa = 



1 

oo / ^3 \ oo I oc 1 ■ 



rr m _ _ _ rr ) rr ^ l<w ~ »" ,,r ' / w) 

l [<»'— $>« + (,« — 4 4»<w— (,"— i>">»T 

(177) Fa = 

| , _ « 2 1 _ " 8 

" 2 1 /T ) AT |„»., + , ,«— [»•«»-(-(/* — i Xi)»]* | 

Y'l 1+ o^)'*"J x- : ïli: *i_ «■_ 

On peut aussi donner une forme réelle aux expressions précédentes 
comme il suit, 

(178) »« = «.S,(l + -S,)-7-(l-«C.) 



1 (>< -|- mot)* .j i ('< — »"")' 

ry rr u*ir> z ft* w- 

X //,„ ii^ 1 | [«+f«HÛf " 7 . [ â—{m — fuo]^ 



~+~ (// — J)*** 



(179) /.= |7.(l_ 



x //„, //„ 



1 1 



/.Jw + ijn-IH' i , I"— <"' — i""] 2 j i , <"'— 4»*"'* 

d 8 o) i,-„ = ^( 1+()i _«; )s -) 



oo oo 

x ih rr 



1 1 



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344 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Ces transformations s'opèrent aisément au moyen de la, formule 
( 1- ( 4 7+"M)*) ( 1 ^^~*0*) = ( 1+ «+«) [ l+ a-bi] ( 1 ""â+w) f 1 ~«-S 



31. 

Dans ce qui précède nous sommes parvenus à deux espèces d'expressions 
des fonctions tpa, fa, Fa] les unes donnent ces fonctions décomposées en 
fractions partielles, dont la totalité forme des séries infinies doubles, les au- 
tres donnent ces mêmes fonctions décomposées en un nombre infini de fac- 
teurs, dont chacun est à son tour composé d'une infinité de facteurs. Or 
on peut beaucoup simplifier les formules précédentes au moyen des fonctions 
exjionentielles et circulaires. C'est ce que nous allons voir par ce qui suit. 

Considérons d'abord les équations (178), (179), (180). En vertu de 
formules connues, on a 



donc 



i'Tl_- ^ l _ ccosy' VHl— ?/ -' 



C'OS c 

eus y 



En vertu de ces formules il est clair que les expressions de (fa y fa. 
Fa peuvent être mises sous la forme 



(«= « i -■ J/ /-( 1 



m- vr 



oc 

/M, 



I sni («h- mv>) • sin (« — mu) - • cos- (•//< — \)to mvj 
i | cos [«-f («/ — J ) m] ' a • cos [«— (m — i) wj • sin 2 iw (j) (« + mw) (« — mto) - &J | 



X n m ( tang[o+(»w-i)w] ?' • tang[o- cot 8 (»« -*)w^' • rt ,^~î^, ) ' 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 345 

* / . \ ttï / \ ni 9/ , N ni 

oo cos (a -f- mio) • cos (a — mio) cos 2 (m — l ) oj — 

ta = cos a — • //„. 



^ 1 cos [a -f (w — i) w] ~ - • cos [a — (m — oj] . cos 2 m w ^ 

On trouvera des expressions réelles, en substituant au lieu des fonctions 
circulaires leurs expressions en fonctions exponentielles. On a 

sin (a — * b) . sin (a -\- b) = sin 2 a — sin 2 Z>, 
cos (a -\- b) . cos (a — b) = cos 2 a — sin 2 &, 

donc 

sin (a -4- ///o/) • sin (a — vwi) ' sin-r^ 

•s ^ * ) -y 71 * f ' 



cos [« -f- (m — j-) m] ^— • cos [« — (/// — J) ^* sin 2 a 



cos 2 (m — J) cci 71 *- cos 2 (■//* — J) cti ~ 

tang [« -f (m — ^ • tang [« — ( w — 4)ai] ^ . cot 2 (/m — J)ai ^- 



. « 71% 

sin a a — 



sin 2 (m — 



sin 2 a-— 



1- 



cos 2 (m — ï)w\ 
D'après cela, et en remarquant que 

— et " J — - — 



a 2 — m *ù>*~ t " 2 a »_( m _^)^ w 2 ~~ 

il est clair qu'on aura 

1 — 



• • 



(181) y« = ^-^_/7„ 



~ sin— /ri no sin 2 ?/*w^-i 

(Do) 



71 1 i sin 2 a — i 

i- 



cos 2 (//i — i) (x) — i 



44 



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340 



KECHEltCHES SUK LES FONCTIONS ELLII'TIQUES. 



(182) fa=Tl m 



(J83) *'« = coh( & J 7 *)//. :77< 



sin 3 a — i 
! 

sin 2 (/w + i)w ^ 2 

sin 2 « ^ i 

1 _ 

cos 8 (m+|)fti î-i 



sin 3 Jti 

i * _ 

t oû COS 3 /// 7tl 

Ci A rr 



i sin- 

i — : * — 



eos 2 (m — à) & 7<r * 

En substituant au lieu des cosinus et sinus d'arcs imaginaires leurs 
• valeurs en quantités exponentielles, ces formules deviendront 



(184) y « = ||(A-"_A 



J A tô ' — A û n \ 

A 1 tô io ( 

l A A Û I 



lh a -f A 
I J^'j^ 1 I 



(185) /« = /A, 



I A i0 — A w 



OC 



(180) F« = i[A*' +/* 0 ]r/, 

i + 



+ 



J 1 A»"_A • a 



I , fo <»> f 

lA w + A a J 



oh h est le nombre 2,718281 .. . 

On peut encore transformer ces formules de la manière suivante. Si 

Ton remplace a par ai, on aura les valeurs de F (ai). En 
changeant maintenant c en 6 et 6 en c, les quantités 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 347 

œ, GJ 7 (fiai), /(m), F (ai) 
se changeront respectivement en 

cD, «i, ?V/>« 7 i^rx, ^Vx, 
donc les formules précédentes donneront 

*■*»■[?-]- 



1 + 



(187) y « = ain " J #7. 



r mù> i ma) r ~J i 



nui f # ,„ r- -, 

w i 4sin2 [^r] 

1 r l)û/r (2ra— l)cD.f"~js 

[h -|- A J 



4 sin 



i j L"lJ 

I [~ (2w-}-l)<D.T (2m-f -l) à) 7 "1 2 

(188) Fa=n t 1 J 



oo 



o 4sin 2 |^~J 

(2m-|-l ) <S -r ~| 2 



[(2w-fl)iO.T <2m-J-l)ùrr ~| 

A 2< " + A 2 " J 

r m à) 7 ma) / 1 

(189) /« = «»(-„ )/7. 4sin*T-f 



[(2m— l)iSl (2m— 1x97 "12 

h *<•' -f /i 2w J 



82. 

Considérons maintenant les formules (1G0), (ICI), (102). On a 
donc, en faisant 

y = [«±("» + iH & : 

1 f_l V « (2f+i)« = 1 

o ' . [« ± ("' + i) <"J 2 + (i" + i) 2 <;)2 ô /( (« ±<™+J><»> £ /t - <« ±<*-H>«» ~ 

44* 



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348 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



En vertu de cette formule il est aisé de voir que les expressions (153), 
(162) de (pa et Fa deviendront 

(190) (fa — 



A w -|- A /a w -)- " 



(191) ifc = 



2 7T °° 



1 



(a — (m-fj)w)4 , , — (« — (m+l)(0) 
w -{- A 



-(«+(»+ 



Les expressions précédentes de </w, T'a, peuvent être mises encore sous 
beaucoup d'autres formes; je vais rappeler les plus remarquables. D'abord 
en réunissant les termes du second membre, on trouvera 



[an «7-1 r (ht ,v w ' T "l 



(193) 



Si, pour abréger, on suppose 



| [/ t ^ + /r^][//" + ^ + /r ( " + ^] 



(194) 



A® = « et A 13 = 



ces formules, en développant le second membre, deviendront 
(195) (pa = 



1 n A 

ec (!) I 



1 

r 



- — - "- I - 

r* + + t l a + >« + * 3 + 1 + / 0 r e» + + ^ 



(196) T'a = 



2_ * / i J_ 
c <3 1 ' e 



+ r - - -f -l'-L— j L±r! 

+ + ^ + à + + - - 10 +« S! +^+^ J 

En mettant ai au lieu de a dans les formules (192), (193), en changeant 
ensuite e en « et e en «, et remarquant que les quantités 



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s 



RECHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 



349 



-fil (tl 



se changeront respectivement en 

û>, w. i<p\a), fa, 2/.sin« C ? 2 cos « - f ? 

il viendra 



( 197 ) v«=*-5-2'-(-i) 



(198) 



1* 



(à), Y à 
sin - • A w — A 



w +2 cos 2a + A « 



cos 



(2m-fl)— 7r _(2i»+l) 

A w -f 2 cos 2a + A 



En faisant pour abréger 



(199) lr M = 
et en développant, on obtiendra 

(200) y(«f-) = 



i 



i 



4 7T . / 7C 

sm « 4 . , 

« w \ J / j ç 9 +2c oB(«/r) + f# 1 1 - ç«+2cos(«/r) + ç 10 +2cos(«/r) + 



î 



(201) /(a 



4 ^ / *\J . <? 3 + ^ , g' + j 1 

COS ^ / * — 

€ f ^ J "\ 2 1) ç »+2cos(a/r)+-^ ç«+2cos(a/r)+ ^ ç 10 + 2 cos (a/r) -h 



En substituant dans les formules (190), (191) au lieu de h * et 
leurs valeurs e et r, il viendra 

1 

1 , 1 



9 oo / 1 



(203) Fa= 2 



il . w 

li.il supposant maintenant « < - , on aura 



— 1 ». — 2m— 1 



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350 



BECHJSRCIIES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



1 



ET 



,_2«i— 1 
t .2™ — 4m— a 



f r -2m-l £ 3 r -0w-3 _|__ e h r ~-\0M-f> 



— 2 m— 1 e ~3^— «m— 8 _|_ f — ftp — 10 w-6 



— é r 



1 + 6*7- 
donc 

oc oo 



2 7t 00 



^P« = i■^-2 , - (-!)"[(* -or- 

oo -1 

(f- e - , )i , 1 .(-l)-r- , - , -(e»-e- , )^.(-l)"r- e - , + • • J- 



2 7T 



Or 



Z m (_ 1)- r -*«- « = r~* — r" n -f- ?- 5 — 



0 

oc 



0 

donc 
(204) 

De la même manière on trouvera 
(205) 



—15 



1+r-* _ r*+l 

/v» — 3 /r.3 



1 + r- 6 r H + 1 



etc., 



2 7r le — €~~ l c — o « 



c <5 I y — 1 — 1 r 3 — r ~ 3 ' r 5 — 5 



) 



En mettant a t au lieu de a, et changeant ensuite e en c et c en 



se changent en 



donc 
(200) 

(207) /(«J) = 



4 7r I sin ["_ L] _ 8În _[^" ] , sin t 5 " ^ ] _ 



c " | * 3 +/» 
f <*» [«v] _ c ° 8 [ Sa i ] , c,,s [ 5 « * ] 



4 



? — 



,3_ 



Ces quatre dernières formules offrent des expressions très simples des 
fonctions (fa, fa, Fa. Par différentiation ou intégration on peut en déduire 
une foule d'autres plus ou moins remarquai des. 



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' RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 351 

33. 

Dans le cas où e = c, les formules précédentes prennent une forme plus 
simple, à cause de la relation «j = û>, qui a lieu dans ce cas. Soit pour 
plus de simplicité e = c=l. On a 

to:r n lot :i 

r = h' a = h', v = h** ' =h\ 
donc, en substituant, et faisant dans (204), (205) « = « ^ ' v i cllt 

((( i (t.t 3 ai 'A a i bu i . r i« / 

h 2 _/r * a * —ir * . a » — a 3 

v ' ( A» +A 3 A 2 -|- A 2 A 2 4 A 2 



ai a;i 3a:i 3«.r ha:t 5a i 

yi ) A* -f A »' /« « -f A~ * { A 3 +A~ 5 

3 / 

A a _A~ » A * — A" 2 A 2 --/*" 



^ « _ 2 yl / " " r -- — n " -4-' 



3 f> 

» ( <* ï ) = 4 J î 8În ( « 2 ) fi A* - Si " ( 3 « 2 ) 4- + ( 6 " 2 ) l + ^ 

' ' s ' 5 ' 

A a 2 .) = 4 r H («2) a < - 1 - °°' s ( 3 a % ) i + c ° s ( 5 « 2 ) a- 1 - • i 

Les fonctions </>, /, i* 1 sont déterminées par les é([iiations 

« r x du o) r l dx 

*=< P (a<;); yi_ii=/(«;) ; yi+v=F(«g-). 

Si dans les deux dernières formules on fait « = 0, et qu'on remarque 

ffï a °[ 1 f> sin w« ^ 

qu'alors la valeur de est égale à °\ et celle de - r vi égale 

K] 1 7C sin KJ 



SJll 

à //i, on trouvera 



w J A 2 _ A 2 , "ft^ _ !=/_'** 

2 j A ;i - 1 A 3 ' - 1 Â* " - 1 " ' j. J 0 yi _v ' 

71 3/1 5.7 

71 |âf+ï ^a-' + i + j a»» + i j U.yi-**) 



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352 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



§ vin.. 

pression algébrique de la fonethm T^/^ dans le cas ou erzcrzl. 
Applicatkni à la lemuiscate*). 

34. 

Dans Je cinquième paragraphe nous avons traité l'équation P„ = 0, d'où 
dépend la détermination des fonctions et ^(~^~)" Vette équation, 

prise dans toute sa généralité, ne paraît guère résoluble algébriquement pour 
des valeurs quelconques de e et c; mais néanmoins il y a des cas particu- 
liers, où on peut la résoudre complètement, et par suite obtenir des expres- 
sions algébriques • des quantités ^j-^j et en ^ onc ^ on ^ e e et c - 
C'est ce qui arrive toujours, si peut être exprimé rationnellement par 
<p | ^ j et des quantités connues, ce qui a lieu pour une infinité de valeurs 

de ~ • Dans tous ces cas l'équation P n = 0 peut être résolue par une seule 

et même méthode uniforme, qui est applicable à une infinité d'autres équa- 
tions de tous les degrés. J'exposerai cette méthode dans un mémoire séparé, 
et je me contenterai pour le moment à considérer le cas le plus simple, et 
qui résulte de la supposition e — c— 1 et n = 4r-\- 1. Dans ce cas ou 
aura 

a = I — — - ? ou x = wa. 

(208) JoVl-** 

De même 

(209) ' <p{ai) — t. (fa, 

ce qui se fait voir, en mettant xi au lieu de x. Cette formule donne en- 
suite 



*) La première partie de ce mémoire contenant les sept premiers paragraphes a paru dans le deuxième 
tome du Journal fur die reine und angewandto Matliematik, la seconde partie se trouve dans le troi- 
sième tome. 

Note des éditeurs. 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



353 



(210) f{ai) = Fa; F(at)=fa. 

Les deux quantités e et c étant égales entre elles, il est clair qu'il en sera 
de même des deux quantités que nous avons désignées par co et CD. En 
effet on aura 

• 2I " *• *• ./...,-„•• 



35. 

En posant dans les formules (10) /?/ au lieu de /3, on en tirera, en 
ayant égard aux équations (209) et (210), 

(212) j /(o+/J0= /«-^-;^ ; ^, 

Donc, pour trouver les fonctions </),/, i* 1 pour une valeur imaginaire 
quelconque de la variable, il suffira d'en connaître les valeurs pour des va- 
leurs réelles. 

En supposant a = md, on voit que y(ra-|-/u)<î> f(vi -f-/W)tV, 

i^( m _|_ pourront être exprimés rationnellement par les six fonctions 

suivantes : 

y(mfV), <p(jiâ), f(md)j 
fi/tf), F{m#), F(,,d), 

et par suite aussi par des fonctions rationnelles des trois fonctions (pâ } /J, 
Fâ, si ?ra et a sont des nombres entiers. En suivant ce développement, on 
voit également, et sans peine, que dans le cas où m -f - fi est un nombre im- 
pair, on aura 

(p (-/w -f- // î ) (T = y . Tj 

où ï 7 est une fonction rationnelle de (<pd)% (Jd*) 2 , (Fâ)% c'est-à-dire de (cpâ) 2 . 
Donc en faisant (pd = x, on aura 

<p(m-{-[it)â = x.y>(x*). 

45 



3 54 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

En changeant â en <)Y, </>(î se changera en <p(âi) = î.<pâ=îx, et la 
fonction r/>(M-}-/'0* 011 'V^ + Z'O^ donc 

y (»* + / f 0 c ^ — - c • ^ ( — ^ *) ; 

par conséquent on doit avoir ifj(— x*) = ifj(x*), ce qui fait voir que la fonc- 
tion Y'(./- 2 ) ne contient que des puissances de la forme x ln . Donc on aura 

(213; y(M+/")< , = 2C - 7 T , 

où T 7 est une fonction rationnelle de x\ 

Cherchons par exemple l'expression de iy>(2 -|- en ./\ On a d après 
les formules (212), en faisant a = 2<) % et fi = (t, 

„ , 9 , A y _ <K-*>) • ^ + ■/(*<>) • *W 
Or les formules (10) donnent 

c'est-à-dire, en remarquant t|iic </^ — .r, fà— \ ! \ — ic* et Fà= \ ! \ -\-x" f 
En substituant (-es valeurs et en réduisant, il viendra 



Expression ahjrhrique de q ^— - - 
30. 

On peut, comme on sait, décomposer le nombre 4r-)-l eu deux carrés. 
Donc on peut supposer 

a * __|_ f}* = 4 1' + 1 = (« + /?* ) (« — /îl ) . 

Nous chercherons d'abord la valeur de y(^~^)î car celle-ci étant trouvée, 
on en tirera facilement la valeur de 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



355 



• La somme des deux carrés a 2 et /?* étant impaire, l'un des nombres a 
et (î sera pair et l'autre impair. Donc la somme a -\- p est impaire. Donc 
en vertu de la formule (213), on aura 

(216) y(a-\-pï)d = x'' s , 

où T et S sont des fonctions entières de x' 1 = {cpây. En supposant â — 
1g premier membre de l'équation (21G) se réduit à zéro, et par con- 
séquent x = (p[^ sera une racine de l'équation 

(217) T=0. 

Donc on aura la valeur de y|~ au moyen de la résolution de cette 
équation. 

D'abord on peut trouver toutes les racines de l'équation T=0 à l'aide 
de la fonction <p de la manière suivante. Si T=Q, on doit avoir 

d'oîi l'on tire, en vertu de (27), 

(« -|- pi) <f = mm -j- ftiui = (m -\- fit) ta , 

et de là 

. m + fii 
() = j. 10 

Dans cette expression sont conséquemment contenues toutes les racines de 
l'équation 7'=0. On les trouvera en donnant à m et // toutes les valeurs 
entières depuis — oo jusqu'à -[-.*■. 

Or je dis que les valeurs de x qui sont différentes entre elles peuvent 
être représentées par la formule 

Q(t) 



(218') x = cp 



« + /** 



a 2 + / ?2_l . a 2_(_^2__l 

où p a toutes les valeurs entières depuis g jusqu a -| ^— • 

Pour le démontrer, soient X et À' deux nombres entiers qui satisfont à l'é- 
quation indéterminée 

a.l' — p.l= \ ; 

45* 



356 RECHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 

soit de plus t un nombre entier indéterminé, et faisons 

h = fil ta , 7s' = — /il' — 1fi ; 
on en déduira sans peine 

/i + ftk + ak^O, 

et si l'on fait 

ç = m-{- ak — (3k\ 
on vérifiera aisément l'équation 

De là on tire 

V ( a + £ w ) = V ( d& ~ ^ ~ fcW ) 

or d'après la relation (22) le second membre se réduit à 

<-»>-">( ï£s).- 

donc 

Maintenant l'expression de p deviendra, en y substituant les valeurs de k et 

ç = m + /4 (te 4- -f « («■ + /?«) , 
d'où l'on voit qu'on peut prendre t tel que la valeur de p, positive ou né- 

et ~ I ^ •* 

gative, soit inférieure à - - } 1 - • Donc etc. 

Toutes les racines de l'équation T 7 — 0 seront représentées par la for- 
mule (218'); or toutes ces racines sont différentes entre elles. En effet si 
l'on avait par exemple 

on aurait d'après la formule (31), (en remarquant que w = w) 

a -{-pi x ' <*-\-(ii 1 v 1 ' 7 

d'où l'on tire 

<m-f-/9w* = 0; p = (— l) w+ > / -f am — ftn. 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



357 



La première de ces équations donne n=. — fit; m = at J où t est un 
entier indéterminé. En vertu de ces relations, l'expression de y deviendrait 

*=(-i)- + V +(«'+/»•)', 

d'où Ton tire 

ce qui est impossible, car on remarquera que (>, sont tous deux inférieurs 
«* -f- ff* 

à — T • Donc les racines différentes entre elles de l'équation T=0 sont 

au nombre de — ~ ~ Il faut voir encore, si l'équation en question a 

des racines égales. En différentiant l'équation (21G) on en tirera, en remar- 
quant que d(pa = da.fa.Fa, 

(a + fit) J(a + fii) J . F (a + /?*>> - « + ( ^ ) ■ V (« + /*0* 

= ^ ^ • • ^ + y 1 -/* • 

Si maintenant T a des facteurs égaux, il faut que T et ^ soient égaux 

à zéro en même temps ; donc l'équation précédente donnera 

5./(a + /î/)J.l , (a + /îtV = 0; 

or on a </>(« = 0, donc f(a -\-fii)fi = ± 1 = F (a -\-(3i)â, et par 

conséquent 

£= 0, 

ce qui est impossible, car nous supposons, ce qui est permis, que T et S 
n'aient point de facteurs communs. Par là on voit (pie l'équation 

T = 0 

est du degré « 4 -j-/? 2 — 1 par rapport à x, et aura pour racines les quan- 
tités : 

, / w \ L / 2« \ , /«» + /?»— 1 to \ 

En faisant x* = r, on aura une équation 
(219) R — 0 

du degré — ~ = 2v } dont les racines seront 

ml 



358 «ECHERfHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 

(220) y . (2 J)f ^ (3f|) . . . 

où pour abréger on a supposé â = ——- 

« + pi 

Cola posé, „„ peut aisément résoudre l'équation 7r = 0, à l'aide de la 
méthode de M. Gaws. 

Soit * une racine primitive de + je dis qu'on peut exprimer les 
racines comme il suit: F 

(221) y,*^ f/ , 2(f , (V)) f/)i(fSJ) _ _ _ y . (f .r-,,^ 

En effet, en faisant 

(222) *" = ± + + /?*), 
«n «„ est moindre que - 2 -±^, on aura 

ou, en vertu de la formule (22), 

= ± 

et par suite 

V , (*-«>) = y»(^ < >). 
de dis maintenant que tous les nombre» 1 , «, „ „ 

entre phy T,\, it a ' " 2 ' 3 ' ' ■ • a *>-> «ont inégaux 

cntie eux. Lu effet soit par exemple a„ = a n , on aura 

deux équations (222) et (223) on tire, en éliminant a 

m 5 

a * + ( i2~ un nombre entier, 
'-en mul.;,,.™,, „ a ,. „„ tl .„, lvu , |1K o( 

suite - • 
. , °' + t~' ' °° q '" CSt ,m l»" ssil>l », ™r > «* «ne moine primitive de 

IX '^jTmu °* "' 0i '"' re '" ,e "*+"*-'• D °- l« 2- nombre» 

i, „ ?r,',': C e '' trc T C ' '---1-'- P* *» un onh-e. 
sont les mêmes que les suivans: 

h 2, 3, 4 . . . 2p — 1. 
°» voit par la fonnule ^ . 

--'culent, mais dans un ordre dïneW ^ q,W1,W * (22 ° } et (221) 



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UECUEKCUES SUli LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 359 

Maintenant on pourra résoudre l'équation li = 0 exactement de la même 
manière que l'équation (106). On trouvera (116) 

(224) <p*(è m â) = l y ( + A -f 0 — . o 2y -\- * s 0 . w " -| 

où 0 est une racine imaginaire de l'équation 6 tv — 1 = 0, et . . . 

5 SK-n A seront déterminés par les expressions 

v = [<r(â) + « . + . »,T) -| f » " - 1 . rr (*»-■ ',*)]", 

_ _ </ s ((ï) + «*. (/*(*)) -i- v s (c s rf) ^ — h «y»-D*. (/ .s( C s«--i ,)) 

4 = y»( ( >) + V »(«ï) + V »( f V)+ • • • 

qui, par le procédé p. 312, 313, 314, peuvent être exprimées raiionnellemeat 
par les coefliciens de l'équation 11 = 0, qui seront de la forme A-\-lii, où 
x4 et B sont des nombres rationnels. Donc la formule (224) donne l'expres- 
sion algébrique de toutes les racines de l'équation R — Ç), et par conséquent- 
les valeurs des fonctions 



(0 



2,„ \ f(2r—\)op\ ( 2rv> 



37. 

Ayant trouvé par ce qui précède la valeur de T | tt ^'y; J ? un en kî 1 ' 01 " 1 
celle de la fonction 



(0 \ / 09 



comme il suit. La valeur de </ donnera celle de w\ "' u . en 

changeant seulement î en — ?\ De là on tire la valeur de w\ ""'..H — ""l. 
par la formule (10), savoir 

= ) v (^) ) ■ V'-Kz.) 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

or 

i 2mato _ 2 mai» 

donc on aura la valeur de la fonction 

Maintenant pour avoir la valeur de ^(j'j'J, où n a une valeur dé- 
terminée quelconque, il suffît de déterminer m et / de la manière que 

n = 2?na — (4t'-! r l)t J 

ce qui est toujours possible, en remarquant que les deux nombres 2a et 
4»'+l sont premiers entre eux; car alors on obtiendra 

^(^)=*(^ 1 +H=(~-«)>U 1 )- 

•En posant par exemple »=1, on aura la valeur de ^(^j)- 

38. 

Le cas, où 4„+l a la forme 1+2», est le plus remarquable; car 
alors l'expression de v( 4r °^) ue contient que des racines carrées. En effet 

peut dédun-e y(fi -J) de 9 et cn extrayant ^ M J ^.^ 

Or , est une fonction rationnelle de 0 et de J^ l, et 6 est déterminée par 

L ssiT, V = . J ' ^ th ' e ' *" raci " es <»onc on trouve 

au»si y et la fonction 



Um„ai 58 a„t de cette «A. „(-~ ,), „„ allra de même ^j^-.j „ de 

là, par la formule (220) ] a valeur de ml m " \ I »«> \ 

V 0*"-+- /** = V T7, , î ' en extrayant 
des racmes carrées \ a + P I J 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



39. 

Un autre cas, ou la valeur de P ellt ^tre déterminée par des 

racines "carrées est celui où n est une puissance de 2, comme nous l'avons 
vu n° 13. Donc on connaît la fonction y>|-^J> et Ton connaît de même 

la fonction <[> ( -j^^j »i 1+2" est un nombre premier. 

Soient maintenant 1 + 2% 1+2"', 1 + 2% . . . 1 + 2V plusieurs 
nombres premiers, on connaît les fonctions 

( nuo\ I tnfo \ l m m \ I WjuOi \ 

vl»-)' v li + 2-.)' v lï+a-)' ' " " v \ï+&)' 

et par suite la fonction 

(;// . m J « . . ntft \ 

2 n "1" 1+2"' ' 1 -f- 2 rt * T'" T 2> / ^ 

/ m 10 \ 

= V [ 2»(l + 2^) (1 + 2"«) (T+ 2>) ) ' 

ou m' est un nombre entier, qui, à cause des indéterminées 
peut avoir une valeur quelconque. On peut donc établir le théorème sui- 
vant: "La valeur de la fonction peut être exprimée par des racines 

"carrées toutes les fois (pie est un nombre de la forme 2" ou un nombre 
"premier de la forme 1+2", ou même un produit de plusieurs nombres de 
"ces deux formes." 



40. 



En appliquant ce qui précède à la lem- 
niscate, on parviendra au théorème énoncé 
n° 22. 

Soit Tare AM=a, la corde AM — x et 
l'angle MAP=0, on aura 




da — 



Vl— .r 1 



46 



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362 KECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

En effet, l'équation polaire de la lemniseate est 

x = Vcos 20, 

dix ' ' 

ou 

siu20 

et 

da' = dx' + x'd6; 

donc 

\ ~ (sin26») ii |» 

"mis de l'équation a: = ^20 on tire ««2* = *', ««'2* = ** 1 _ cos * 2<9 
= 1— x* = (shi20y, donc 

= 4-,-^-) — ^ 2 



da 

et par suite 



et """^ 



Si l'on suppose « =1| ou aura a = AMB = ^ Donc la circonférence 
" Su PP— maintenant qu'il «'agisse de diviser cette circonfé- 

reuce en n parties égales, et soit l'arc AM = ™ . AMJiN — m 

n J±1)1J3iyi — — co, on aura 

Il n 7 

Donc on aura la corde, et par suite le m ~ poillt de division> gi Vm _ 
naît la fonction or cW ce qui ft ^ ^ ^ ^ ^ 

potable en nombres premiers de la forme 2 et 14-2» , 
vu dans le numéro précédent. Donc dans ce 2 + ' la ™ U ' 
^vision à l'aide de la rè,le e du T ^ C ° ,,StrUil * e leS P ° mtS 

au même, par l'intersection d\ 7 i ^ amleme ^ °» <» qui revient 
, i«u intei section de lignes droites et de cercles. 



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11ECHERCIIES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 



363 



§ ix.* 

Usage ih's fonctions (p } f, F dans la transformation (Ifs fonctions elliptiques. 

41. 

M. Legendrc a fait voir dans ses Exercices de cale, int., comment l'in- 
tégrale f ^ --■> qni, en faisant sin = se change en 
J yl — c*sin*</> 

/d.v 
, — - - > peut être transformée en d'antres intégrales de la même 
V(l — x*)(l — r 

forme, avec un module différent. Je suis parvenu à généraliser cette théorie 

par le théorème suivant: 

bi Ion désigne par « la quantité - — 2n + T — ' ou un au 
moins des deux nombres entiers m et fi est premier avec 2«-J-l, on aura 



/ 



f, * = + a[ 



où 



(227) 



y = f.x. 



1 = L 
e , e 



(1 

((jp a « — # 2 ) (r/) â 2a — .r 2 ) • • • (rp 2 na — # 2 ) 



(l-\-e2c*(f*a.x*)(l-\-e*c 2 (f*2a..T*) • . . (1 + e*c*q>*»a .a*) 







+ « 




[t 


+ 2«) 


> 


l"2 






wi 

[â 


+ 2«) 



(3î 



y a = f . (epa ,(p2a . <p3a.. . . </m«) 2 , 



f étant une indéterminée, de sorte qu'il n'existe qu'une seule relation entre 
les quantités c n e M c, 6. Les quantités f? 2 . et c 8 pourront être positives ou 
négatives. 

Par ce théorème on peut trouver une infinité de transformations diffé- 
rentes entre elles et de celles de M. Legmdre. 



42. 



Soient m et /i deux nombres entiers, et faisons pour abréger 



(228) 



_ (m -f- jw)"ctf + (m — |u) c3i 



4(3* 



364 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

où l'on suppose que l'un des deux nombres m, ,a soit premier avec 2n+l. 

En désignant par 0 une quantité quelconque, il viendra, en vertu de 
la formule (22) 

< 229 ) <p[6 + (2n-{-l)a] = < f ,0. 

En mettant 0 — va au lieu de 0, on obtiendra 

( 23 °) 9>L* + (»+l)«] = y(0-n«). 

Cela posé, considérons l'expression suivante 

(231) 9 > 1 ^^ + ^_ hf<)+ . . . +y(<J + WB)+ . . . +<p{e + 2na) . 

En mettant 0 + „ au lieu de 0, il viendra à cause de l'équation (229) 
(232 > y I (tf + «) = 9 , 1 tf, 

donc si m désigne un nombre entier quelconque, 

( 233 ) <p l {e^-m«) = <p l 0. 

U ^ (, ° ( 23 °) o" Peut écrire 1'expre.s.sion de comme 

(234) y.* = V*-|-v(*H-«) + y (tf-«) + y (tf + 2„) + y ( tf _2„) + ... 
on, en vertu de la formule 

y (fl -f ,,„) -f tf f 0 _ ,,„) = ___2y* ./(m) . 

(235) Vl * = y 0 ; 

(23G) V« = x.(l-|--_?/«-A_ , , 2f nn .F„ a \ 

43. 

Main*™, mh , m iimhm< ^ . o ^ 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 305 



Ti € -H*c 9 f/> a a..i; a )(i + éî 3 #? s r/) 3 2«..r 3 ) • • • (1 + .-r 3 ) " 

En effet il est clair que la fonction 

(238) B=(l — e Vy 9 o.a? 8 ) . . . (1 -feVy 8 ti« . **) 

sera entière et du degré 2w-f-l; mais en faisant x = <pt 1 if>x deviendra 
= ip i e, et par suite R se réduira à zéro pour cette valeur de x. De même 
en faisant x = <p(* -\-ma), oh m est entier, on aura ipx — <p x (t ou, 

en vertu de l'équation (233), 1//* = r/>,f. Donc 1 — ^ '- = (), et par consé- 
quent x = cp(e -\- ma) sera une racine de l'équation Ii = 0 J quel que soit le 
nombre entier m. Or généralement toutes les quantités 

(239) < ff , V (t -f «), y( f + 2«), . . . y(f + 2««) 
sont différentes entre elles. J3n effet si l'on avait 

<p (f -f- »»'«) = y (f -|- fi'a) , 
il s'ensuivrait en vertu de la formule (31) 

f -f m'a = (— l)* +t ' (f -f /#.'«) -f fc<» + fc'ù /, 

d'où 

/c-j-fc' = 2/c", 
= /c" -f- /, k' = k" — l, 

(„»' _ „')„ : (fc- -f /)(„ -f (fc* — /)(»/. 

De là, en substituant la valeur de a = K -, , --- » <>» tire 

7 2)/ -(- i 

_ fl ') ( m -f- /# ) = (2 M + 1) (fc* + /), 
( w ' _ ,,/) ( m - /f .) = (2i* -f 1) (fc" — /) 

et 

^-^ = (2fi+l)^ = (2n+l)^, 

équation contradictoire, parce que nous avons supposé que l'un des deux 
nombres m et fi soit premier avec 2rc-{-l, et que m' — u est toujours 
moindre que 2n-|~l. Maintenant les 2n-\-l quantités (239) étant différen- 
tes entre elles, elles sont précisément les 2n-\-l racines de l'équation R — 0. 
Donc on a 



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3f>6 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

(240) «=4(l-~)(. ■ ■ . (l--^). 

où .4 est un coefficient constant, qu'on trouvera en attribuant à x une va- 
leur particulière; par exemple en faisant x = Q, on a It = A; or l'équation 
(288) donne pour x = 0: R=\, donc .4=1, et par conséquent l'équation 
(237) a lieu. 

En multipliant cette équation par (pt et faisant ensuite £ = 0, il viendra 

(24 n W(r) — (I X V f/f< A V <,2naJ 

V ' fV) ~ J (l + * Vr/>a« . ,r-) . . . (1 -f e*v*<p*na . .r a ) ' 

ofi g est la valeur de ^ pour * = 0. En faisant, dans la formule (235), 

0 = 0, après avoir divisé par <p0, on trouve l'expression suivante de cette 
constante 

(242) //=l+2/«.7^ + 2/2«.F2«4- ■ ''• +2/na.Fna. 

En faisant dans la formule (230) 6 = net — (w/-|-l)a, on trouve 
(p (2 na — m' ri) = (p[ — (m' -\- 1) a] = — <p (in! -\- 1) a. 
Donc on peut écrire l'expression de ipx comme il suit: 

(243) y, x = gx .... . V _7 f «A X* 2 "/ _ V_ 



44. 

Maintenant faisons dans l'expression de 1 — , t = ^ - En suppo- 
sant pour abréger 

(244) ç = (l + e*c*<p*a.x^(l+e*c\*2a.x^ . . . (1 -f e 2 c V™« • * 2 ), 
on aura 

1 ~ < = I 1 " i ; I i 1 " ^ fi :« ) H 1 " ,7(^2 „) I " ' 1 1 " (f+k) î'7 ; 

or, cti faisant dans la formule (230) 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



367 



* = f + (*-*»'-!)«, 



^ ra- 

'iHfiuli 

ii'lra 



on a 



y(-J + (2»-i»')a)= V (-J _(m'+l)«) : 
donc en vertu de la formule (17), 

y(T- a )=v(-S- + a 1 



il viendra 



if ( f + (2n - m> J = y ( -i' + («' + 1) « j 
Cette équation fait voir qu'on peut écrire l'expression de 1 



ifhC 



comme il suit: 

iftx 



(245) 1 



1 2 



En mettant — a; au lieu de -j-x, on aura seinblablement 



(246) 1 



ilu- 



fi 



= (1 + C *){l + 

Donc si l'on fait 
(247) 

où & est indéterminé, et 
t 



1_| * j 2 . . . *. .. 



2 L 



y=k.fx, c l = 



(248) 



i'' = ! i+ ^«)|---| i+ ^ 



s +-) 



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3()8 RKCUERCIIKS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

on aura 

(249) l- Clif = (l-w) f J-; l+ Cl y = (l+c*)-J-. 

De la même manière, en faisant 

«=!l * L_ !.. . ji.__._f 1, 

1 «/•(,< + «)) l v(, ' + ««)) 



(250) 



ut 

(251) r,==± 



on trouvera ces deux équations: 

(252) 1 ?.e t iy = (\-eix)*l ; 1 ± e.iy-^ (1 -f ** . 
Les équations (249) et (252) donneront 

(1 - _y) = (l - r^") 1 *?; (1 +«ïy*) = (l + 
et par conséquent 

(253) ftl - «ïy»)(l -f "ï^) = ±"p .(1-^)0 + 

Maintenant l'expression de // donne dtj = dx, où sera une fonction en- 
tière de x du degré 4/*, donc 

Vïi — 1 iD (l 4 <1// s ) ± », **, ' v'(t - (1 4 ' 

Or je dis que la fonction ^ ^ se réduira à une quantité constante. En 
effet on a 

1— ^ ?/ = (!— cx)^ ; 
en différentiant, et mettant pour dy sa valeur # ^ > on aura 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



309 



«<»-<>-«)(»*£-<£) 



On voit de là que P est divisible par t. De la même manière on prouvera 
que P est divisible par les trois fonctions t n ,s, s 19 Donc si deux quelcon- 
ques des quatre fonctions £, 1 1 , s, s ï n'ont point de facteur commun, P sera 
divisible par leur produit. Or c'est ce qu'on peut voir aisément à l'aide 

P 

des expressions de ces fonctions. Donc est une fonction entière de x. 

L tt l 88 1 

Or P est du degré 4w, et chacune des fonctions /, t n s, «s*j est du degré //. 
Donc il est pimn 
par a, il viendra 



P 

Donc il est prouvé que - — - — est une quantité constante. En la désignant 



(254) ----- - - * . • : . = + a - . . - • 

V ' y(l_ ( ;2 //2 )(l + , ï/y2 ) " V(l_ (; 2, 3 .2)( 1+ ^,,2) 

Pour déterminer a il suffit d'attribuer à x une valeur particulière. Vax fai- 
sant par exemple x = 0 1 on aura 

t = t 1 = s = s 1 =l; P= 9 **L=*=k?z. 

Or en différentiant l'expression de yx, et faisant ensuite # — 0, il viendra 
ip'x = g, donc 

(255) a = kg. 

On peut donner aux expressions de ^ , //, a d'autres formes plus 
simples, et qui mettront en évidence plusieurs propriétés remarquables de ces 
quantités. 

Par la formule (240) on voit que le coefficient de x* n+1 dans la fonc- 
tion R est -r- — - N — — -r , 0 — or d'après les équations (238) et 

<pe . f/<(€ + a) . . . cp (e -f 2/ia) 7 

(243) le même coefficient sera 



( 9". .. •" . _ 

tp x e (<pa . ip2u . . . f/.-wa)* 



donc, puisque A = 1 , 



47 



370 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



En faisant dans les équations (236), (243) x=^ après avoir divisé 
par x, on obtiendra deux valeurs de — * savoir 



1 et 



donc, en les égalant, 

(250) 9 = {— l) n (ec)* n (<pa.<p2a . . . </ma)\ 

et par conséquent 

(257) ( Pi (e) = (ec)* 9 {(fa .(f>2a... (pnay<pe .<p( é -\-a). <p(e -f- 2a) . . . y (« + 2 wa) 

= 7°W + ^( € H-«) + y ) (fc + 2 «)H hy(e + 2wa). 

Cette équation exprime une propriété remarquable de la fonction (p. En y 
posant t— 1 ^ t-yi, on obtiendra 



(258) 



»( 2-) = i=^^("? )'^(|- + «) • • ; *(t + H' 

t 1 = ë ==(ec)f " J '- V (l*')" v (f t ' + °) v(î» + 2««), 
oîi l'on a fait pour abréger 

(259) fi = (pa .(f)2a ,(p3a . . . ywa. 

En remarquant que 



et 



et en faisant 

(2fiO) %V)"«T* = /; 

on tire de ces équations 

1 _ /■ 



(2G1) 





f („ 






<■> 
2 


+ 2«) 




i; 




•H 


(3 

"2 


ï+2«) 



y 9 + 



0 



Multipliant et remarquant qu'on a (18) 



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RECHERCHES SUE LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



371 



on obtiendra 



d'où 



± 



i _(-J)V 



(262) 

De môme en divisant on obtiendra 



e l e l = ± K 



i ± ' ; =(_ i)-i ( «rf v (;- + «) »+««)...*(? + «.) 

(263) ( 

) ± *=<- 



Précédemment nous avons trouvé a = kg, et £ = l)"(cc) SM J 4 , donc 
(264) « = (— 1)"/\<T*. 

Également nous avons y = k.\px, donc en vertu de 1 équation (243) 

Donc les valeurs précédentes de c x , c n a et y donneront 

du « 
(206) A 

d'où * 

(207) 



= ±- 



J V(i-«ïy s )(i + '1/y 2 ) J 



d.v 

y(i_^,-2)(f+7v)' 



45. 



Les formules (201) donnent les valeurs des quantités c, et e, , exprimées 
en c et e à l'aide de la fonction </>. Or on peut aussi les déterminer à 
l'aide d'une équation algébrique. En effet on a 



et 



47* 



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372 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



donc il est clair que les valeurs de c x et e Y pourront être exprimées en fonc- 
tions rationnelles et symétriques des quantités q>a, <p 2 a, ... (pna. Donc si 
2??-f-l est un nombre premier, on peut, en vertu de ce qu'on a vu (§ V), 
déterminer c A et e { h l'aide d'une équation algébrique du (2n -}- 2) iine degré. 
On peut encore démontrer que la même chose aura lieu dans le cas où 
2n-|-l est un nombre composé. Alors on peut même déterminer c t et e l 
à l'aide d'une équation d'un degré moindre que 2n-f-2. 

Donc on aura un certain nombre de transformations correspondantes à 
chaque valeur de 2//~|-l. 

40. 

On a supposé dans ce qui précède que e et c soient des quantités réelles 
et positives; mais ayant exprimé c t et e t en e et c par des équations algé- 
briques, il est clair que la formule (200) aura lieu également en donnant à 
e et e des valeurs réelles et imaginaires quelconques. Dans le cas oh <? 2 , 
c 2 sont réelles, on peut même se servir des expressions (201), (205). Mais 
alors œ et (o ne seront pas toujours des quantités réelles. Au reste l'une 
des quantités c i et <? 19 à cause de l'indéterminée /*, peut être prise à volonté; 
seulement il faut excepter les valeurs zéro et l'infini. 



47. 



Si l'on suppose c et c réels et 2 m — j— 1 premier, les valeurs de c x et e, { 
seront imaginaires, excepté deux d'entre elles, dont l'une répond à 

2 m m 

n = 2n + 1 



et l'autre à 



A. Supposons d'abord 



a 



2ft(di 

2n -f- 1 



2 m to 
2^+1 



Dans ce cas on aura (201) 

rnf W -L 2mcu \ ,J 10 I 9 2nUt} \ I » » 2 mai 



A = j£ 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



373 



l îuiic- 

§ Vi, 

et 



i à 

«us 
me 
ré: 



Soit /x.2m = (2n-J- l)^±a /<7 oh t est entier, et entier positif et moindre 

2n-f 1 
que - - 



? on aura 



V 1 2 + " 2„ + 1 ) = V ( 2 ± 2Ï+I +'») = (- 1)' V ( 2 ± 2 ; + ï 

Or les nombres a,, (7^, <7 3 , ... a„ seront les mêmes que les suivant} 1, 2, 

3, . . . n, mais dans un ordre différent; donc l'expression de pourra être 

' 'i 

mise sous la forme 



(268) 



1 _ f 



1 ta 



,2« + l 2 ) </) (2h + 1 2 
De même l'équation (203) donnera 



/2« — l « 
*UïT+l 2 



(209) *-±(-ir4H â 



1 (O 



2» + l 2j y U» + ï 2 ) ' " M2» + l 2 



2« — 1 



Soit maintenant c=l, o,= l, on aura, en posant + ( — l)"zz=], 



,2n+I 



2n — 1 



(209') «,=,--'■ ^ 2)( + l 2 j^ 2 , t +T 2)-'-Vl2« + l 2/j 

(270) f '< y - = + «/\ - +Const. 

(271) y = 



(- 1)7' 



(272) 
ou bien 

(273) 



-(-')v.[.( 2 ^; + ,)■^ 2^ f;I)••■'^(. J ,^; 1 )j , 



« = (-!)■■ 



/ 1 w\ / 3 w\ /2n— 1 o» \ 

Si Von suppose e moindre que l'unité ou égal à l'unité, e v sera toujours 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



moindre que e, et lorsque 2?i-|-l est un très grand nombre, e t sera extrê- 
mement petit. 



48. 

Le signe du second membre de l'équation (270) dépend de la grandeur 
de x. Il pourra être jugé aisément comme il suit. On a par ce qui pré- 
cède 

En supposant x réel, (> 2 sera toujours fini et positif, de même que Vl-{- c ï#* 
et ^l^-e*^ 2 . Donc le signe du second membre de 1 équation est le même 
que celui de la quantité 

".».J4#I; 

maintenant on il 



(:-'+■) 

• (p | ^ « -f- « | = etc., donc 



.S.S, 



1 + 



Fna 



donc, en remarquant que a est réel dans le cas que nous considérons, on 
voit que ss x sera toujours une quantité positive; or tt ï est réel, donc la 
l/T~— ^r* 

quantité y scra Positive également, et par conséquent le signe dont 

il s'agit sera le même que celui de la quantité it l . Il n'est pas difficile de 
voir qu'en se servant de la formule (248) et en mettant pour a sa valeur 
2 mio 

^ — ■ 1 » on aura 
2n + 1 



i — 



v V 2 » + 1 2 / M v V 2 " + 1 2 / 



9 /2«— 1 w\ 



quantité qui est positive depuis x = 0 jusqu'à x — ^(2™+! ST/ négative 



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RECHERCHES SUlt LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 375 

depuis x = <p^~j y) jusqu'à x = tp (" 2 ;^py -j)» positive depuis 

^(^l) J* US( l U ' à x = »(2^îï) etC ' 

Si ce est plus grand que l'unité Jfj aura toujours le même signe, savoir 
( — 1)\ Donc, dans ce cas, l'équation (270) donnera, en intégrant à partir 
de 

Si la valeur de x est moindre que l'unité, on aura 

/dy r dx « , , 

V(T^^T+^) = a J V(i^^)(f+ J^) + ° nst ' 

entre les limites x = <p | 2*"_|_ f y ) et K = ^(]^+T "if )' et 

(276) — = a f - _ . + Const. 

entre les limites a; = <p ( J ^ ) et « = <p ( «_) . 

Si par exemple on suppose x renfermé entre les limites 

-»( 2^1-2) et +^+11) 

on aura, en intégrant à partir de x = Q, 

(277) f • = «f ■ 

En faisant x = ip |^2^P"l)~^) ' ° U aum ^ = ( — ct l )ar s,uto 

J 0 y + 2(2„+i)^ '» 



d'oii . 



(278) ( _ ira = l^^ 



Cette expression de a est très commode pour le calcul. En négligeant les 
quantités de l'ordre ^ï, on obtiendra 



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370 



HECIIKKCHKS SUIi LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



(279) 



(- l)-« = (2n+l)£ 



En substituant et négligeant toujours ej, lu formule (277) donnera 



/ -, - -— - = 7n — r^îN arc. sin(?/), 

J„ y(l_. T *)(l + «».r») (2»+l)« V *"' 



(280) 



, 



11 Dans le cas où « = 7^^%» on trouvera de la même manière la 

2n -f- 1 

formule suivante 



(281) 
où 



J 0 V(i -*»)(! + ~~ " Jo V(i -^)< 



,1"" / 1 <&t\ / 3 «B»\ /2n— 1«>A~H 

L î> U+ï ^ j Uti "* ) • • • v U«+ ï j J 



["-»*(îî?,)]-r--»*(î^î)] 

i +«v(- I ::: 1 )^]...[i+^v(,:: 1 )"] 



La fonnule précédente a Heu pour toutes les valeurs de # moindres 
que l'unité. 



49. 

Pour avoir une théorie complète de la transformation des fonctions 
elliptiques, il faudrait connaître toutes les transformations possibles; or je 
suis parvenu h démontrer qu'on les obtient toutes, en combinant celle de 
M. Legcndre avec celles contenues dans la fonnule ci-dessus, même en cher- 
chant lu relation la plus générale entre, un nombre quelconque de fonctions 
elliptiques. 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



377 



Ce théorème, dont les conséquences embrassent presque toute la théorie 
des fonctions elliptiques, m'a conduit à un très grand nombre de belles pro- 
priétés de ces fonctions. 



§ x. 

Sur rûtf A/ration de Vnpuition s*' parce 

dtf dx 

— a 

Va — y*) (1 + (ty*) \ il — x*) ( i ftx 2 } 

50. 

On peut toujours, comme on sait, présenter l'intégrale complète de cette 
équation sous une forme algébrique, lorsque la quantité constante a est un 
nombre rationnel, quelle que soit d'ailleurs la valeur réelle ou imaginaire de 
/*. Mais si a n'est pas un nombre rationnel, cela n'a pas lieu. A cet égard 
je suis parvenu aux théorèmes suivants: 

Théorème I. En supposant a réel, et l'équation intégrable algébrique- 
ment, il faut nécessairement que a soit un nombre rationnel. 

Théorème IL En supposant a imaginaire, et l'équation intégrable algé- 
briquement, il faut nécessairement que a soit de la forme m±|/— l.y?i, où 
m et n sont des nombres rationnels. Dans ce cas la quantité t u n'est pas 
arbitraire; il faut qu'elle satisfasse à une équation qui a une infinité de ra- 
cines réelles et imaginaires. Chaque valeur de fi satisfait à la question. 

La démonstration de ces théorèmes fait partie d'une théorie très étendue 
des fonctions elliptiques dont je m'occupe actuellement, et qui paraîtra aus- 
sitôt qu'il me sera possible. Je me borne ici à considérer un cas particulier, 
qu'on peut tirer des formules du paragraphe précédent. 

Si dans la formule (270) on pose 

1 



i 



et si l'on remplace y par t! ! ? il viendra 

(282) ' h -i ^ - =a f-ï- 7 dx , 

V(l-r9(l + <'V) V(l -**)(! + 

où 

48 



378 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

(283) y =± } >-i. e » x \^Mz^}-- • Misïhf'] 

[ 1+ Mi^H---[ i W( i ^ T j.-i î 

e est déterminé par l'équation (269'), qui deviendra 



(284) 




Donc ; on connaît une intégrale particulière de l'équation (282) et par 
conséquent on en pourra trouver l'intégrale complète. } * 

Bans le cas que nous considérons, la valeur de a est V^TT op 

quon démontrera aisément comme il suit: ^«+1,. ce 

Eu mettant dans l'équation (282) V — ^lTT Af • 
v . , , „ , 1 l i'-^l'-l, et intégrant entre les 

limites zéro et yf^-), il viendra 

^ J« V(l + .-*) (1 _ — a 4,7-f 2 ' 

r y f I - % C ' , '" te ' Sra " t eUte ' eS ■*» j. « trouve™ <,„e 

le» hautes de y «a-on, zéro et l'„„W et par coo.séquen. 



Donc on a 



et 



d'où Ton tire 
(285) . 

(280) 



(7) = a o, 
2 ~ 1 2 

2 = " 2 ' 



« . , 

a =K2»+1. 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Donc l'équation différentielle deviendra 
(287) = \'-i.}'2n+l' . 

1/(1-^(1 +<<V) T ^ V(l-.r*)(l 



379 



51. 

Pour donner un exemple, considérons le cas où n = 1 et w = 2 . 
A. Si 7i=l, on aura 

<ty _ t/_L~4 ^ 

V(l - y 9 ) (1 + e'y») ' V(ï - .^Kr+ V»"^ ' 



y = V-i.e 



e est déterminée par l'équation 

• lz=e- 

On a 



1 M 



donc 



1 = 



/(-:-) = v^jg) 



f>2 — ^ a r^ â 



*•(:) * 

Maintenant on trouvera, en combinant ces équations et remettant pour 
a sa valeur 

donc 

eu \ V 3 



et par suite 



— j 



48* 



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380 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

e 3 — eY'3 



1 = 



d'où 1 + eV3, 

Ayant trouvé e, on aura 
Donc on aura l'équation différentielle 
qi" sera satisfaite par l'intégrale algébrique 

Si l'on pose x }/2 - p au lieu de *, et » } r 2^Vs V~ï v 
11, on obtiendra l'équation y M • r — 1 au heu 

T» sera satisfaite par 

i + y» . .*» 

a Si » = 2 , on aura l'équation différentielle 

où /(i-BlTO = ^ 5 vTi-.W^ ' 



de 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 381 



(291Ï 



= <p «f "—?-)= ^) , 



* [iô)=<r (2— 6") 



.F* 



£_( " + t) = /(f ) = / (-;- ) / (y) - l(x) » (t) ^ v)f (t) 
'"(f+y) ^)^)+M^)*(Î)>(t)/(î) ' 

f (t - t) '(t) Ht) -> (t) * (t) / (tt) / (t) ' 

y(. s f) /(£) 

En multipliant ces valeurs do — et -A"; entre elles, et remarquant 

/(¥)=-/(¥)• 

on obtiendra 

p _ ^'(.-Ht) 

où l'on a fait pour abréger 

p= /(t>/(t) 

Cela posé les équations (290, 291) donneront 

1= ,.p., ,■(;),•(£)=-?. 

donc, en substituant, 

L Yl ' r- 

1 g «~ e* 1 1 — eyb 

eYe 1 _ Vjf_ e 51 g — V 5 ' 



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382 RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

d'où 

e — y 5 

c »_l_(5-f- 2f5)*(e— 1) = 0. 
Les racines de cette équation sont 

e=l, e = 2 + > A 5_2)/2+75, e = 2 + Yï + 2} / 2 + j5. 
La dernière de ces racines, 

<> = 2 + ^> -f 2 } 7 2 + j/5 = [ +J + j/ ^ J 2 , 
répond à la question, car l'équation 

fait voir que « doit être plus grand que l'unité. Connaissant o, on trouve 
la valeur des quantités e t comme il suit. 

Nous avons 

or en faisant = « et ç»(^) = /9, on aura 

^(;)=l + -'«% ^( S ?) = l + a-/ï-, 

(1 + * V) (1 -f ff) = e s (1 ftî) (1 __ ^ ^ 
1 + «■ («* + /?•) + ««««y?» = e s C 3 (ft2 + ^ + 

'* n0US avons tro «vé plus haut, a»/9» = ."^, donc 

eï -l-K«~l)^ = c»( e +l)(«« + /î .). 



donc 



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RECHERCHES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 



383 



Donc on connaît a 2 /? 3 et a 2 -f-/? 2 , et par suite « 2 et /? 2 par la résolution 
(Tune équation du second degré. On a donc aussi la valeur de y, qui sa- 
tisfait à Téquation 

dy 



(292) 



V(i -y 2 ) [1 + (2 + V 5 + 2 } 7 2 + V 5) V] 



V(l - .<,•») [1 + (2 + y'5 + 2 >'2 + V 5)»*»] 



Si Ton pose au lieu de x, et au lieu de ?/, on obtiendra l'é- 

quation 

(293) — - = y5 



ou 



Vl — 4 V2 + y 5 >.y 2 — y 4 * Vl + 4 "^2 + y5 . a?» — .r 4 



y.5 — V io + K>y5.j? 2 + ;c 4 
7/ — ^ . 1 _ - . . 

l + yiO + 10y5..c* + V5.ar 4 



52. 

Dans les deux cas que nous venons de considérer, il n'était pas difficile 
de trouver la valeur de la quantité e, mais la valeur de n étant plus grande, 
on parviendra à des équations algébriques, qui peut-être ne seront pas ré- 
solubles algébriquement. 

Néanmoins on peut dans tous les cas exprimer la valeur de e par des 
séries, et comme leur forme est très remarquable, je vais les rapporter ici. 

En faisant dans la formule (206) a=l, on aura, en remarquant que 




oh 



En faisant de même dans la formule (204) a=^î, on aura" ip | ^ * 

1 7 V 1 7t x . . 7Z ! 

= ~ e i £ = à = cos y -r z sln 2 — ^ d° nc 



384 



c'est-à-dire 



où 



KECUEKCUES 8UK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



tu = 4.7 



4-— — 4--^ + 



r = h 



10 71 



Maintenant dans le cas que nous considérons, on a 



et par conséquent 
(295) w = 4nf2^-±l 



(à 



+ 



S;T ,< -7— 



+ 



Cette formule donne la valeur de 

.= ,>/•■ 

Ensuite on aura la valeur de e par la formule (294) qui donne, en substi- 
tuant jjour (> sa valeur 2 =A^+ l¥ ~, 

r ? 1 

4?r I A 2 V*H-i 



3,7 1 

3^ r 



(290) 

W I 

A est le nombre 2,7182818 



Addition au mémoire précédent. 

note tr,'!' 0 ™"" 6 I" " ,é, "° irc 1,récéde,lt ">"• Ies «'"«i""» elliptique,, une 
ânnl 82? T T,"" 8 * & ft ^ *«*4 le J 128, 

Zt*! " 7 * **"""** » I""»' *» ".4*e«e««; 



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RECHERCHES SDR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 385 

Soit p un nombre, impair et 0' un angle tel qu'on ait, en désignant 

_^_-tt ^, prise de 0 jusqu'à 0, par F(k J 0) J 
y 1 — £ 2 sin 2 0 

^(fc,*o = 7^(*,»o»), 

et en général 0 (m) un angle tel qu'on ait 

F{k,e M ) = yF(k 1 90 0 )] 
soit déterminé encore l'angle i/> par l'équation 

* M*o , \ t ang|(fl'-fl) tang *(•"'+•) tang ± •) fan(r / 45 » T i 01 • 
on aura 

F(k,0) = f i.F(X,<t>y 



11 faut admettre le signe supérieur si p est de la forme 4n-f-l, et le 
signe inférieur, si p est de la forme ±n—l. ip doit être pris entre -^-n et 

m+1 ?r, si 0 tombe entre 0 rm; et 0 (m+l) . Les constantes et X se détermi- 
nent de différentes manières. On a par exemple 

1 

P — 2(cosec0' — cosec 6"' + • • • + coscc + |) ' 

X = 2hu (sin 0' — sin 6"' -\ + sin ± 

Ce théorème élégant que M. Jacobi donne sans démonstration est con- 
tenu comme cas particulier dans la formule (227) du mémoire précédent, et 
au fond il est le même que celui de la formule (270). Nous allons le dé- 
montrer. 

En faisant dans l'intégrale 



/•* dx 



x = sin 0, on aura 



tt Jo > 



M 



mais 

x = <pa, 



49 



38fi RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

donc 

a = F(k,6) donne smd = (pa. 
Si 0 = 90°, on a tf=l, donc 

f =>(M0'j, 
Donc en faisant d = 0 (m \ on aura 

*'(M W )= ~- » et 8iii«« = 9 ,(-^ ;;). 
Cela posé, faisons dans les formules (209') et (270), 

a 

x = (— îy'mxO, y = siny,,. 2»+l==p, 

il viendra 

(1) /', -= + „/"__*/!_ 

J yi_/,, siu ^ J yi_ii 8i Â^-r°' 

où les quantités A, sont déterminée, par les équations 

* = & 2 " +1 (sin0'.sin0"' . . . sinflO—U)^ 

„ __ / sin »' . sm 0'^ . . . s i„ o^«-d \ * 
\ sin 0" . sin <T " .7. siiT^'O ) ' 

(2) sin tfj 

= -" + r *« » >r -/ff"- r-> , *)(«" ï «""-r B in«fl) . . . ( B m»tfC-)_ 8 i„»#) 

«n'nnST"' m0hUlro ^ 1W ' Car le ~ contre «, serait 
une. quantité imaginaire. 

= l^ot\nL" U ' Si<lér0,W ,C " S éqiWti ° ,W (249) - E " marquant que , 1 = c 

' 1+^ «, r lq_., e ' 



où 



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RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



387 



ou, en taisant a = ^ — . y et m — — 1 , 

7 Z 11 -\- X / 



t 

V 



Maintenant on a 

« = (-!)■-»#, et £) = *>•-, 

donc en substituant: 

l/l - sin (/' _ 1 /F— (— î) v smfl sinfl' — sin0 sin0"' + sm0 sin gP— » + (— 1)" sin ft ^ 
' T+^/r - " y l + (— l)"sin«'sin«'4.si»«'sin«'" — sinfl "' sin»'*—» — (— 1 j"»in» ' 

et de là 

tang (46° — |V) 

_tan R K»'-«) tan R i(«"' + ») . . . tnn R h + (- 1)"»] r 45 ._(_ 01. 

~tongK»"+»)'tangî (»"'-») tang J [#»-«-(- 1)"«J nL 

C'est précisément la formule de M. Jaeobi. 

Dans la fonnule (1), on peut toujours supposer le second membre po- 
sitif. En effet, en différentiant, on aura 

-' f yi — >fc- sin 2 <? 

En supposant 0 toujours croissant, le second membre sera toujours positif. 
Donc en déterminant la valeur tf> de sorte qu'elle soit croissante et décrois- 
sante en même temps que 0, on doit prendre le signe supérieur. On a 
donc 

r de _ — u f d ' ! '- 

ou bien 

F(k,0) = l uF(X,y). 

En remarquant que yt doit être croissant et décroissant en même temps 
que 0, et en ayant égard à la formule (2), on tirera aisément la consé- 
quence que v doit * omber entre ~Y n et ~^ 7T ' si ô tombe e " tre 
et $*+».. 49 „ 



RECHERCHES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



Quant aux quantités l et //, il est évident qu'elles ont nécessairement 
les mêmes valeurs que celles de M. Jacobt. Mais les expressions que j'ai 
données seront plus commodes pour l'application, et font voir clairement 
que X est extrêmement petit, si n est un peu grand. Au reste on peut sans 
difficulté démontrer leur identité à l'aide de la formule (257). 



XYIL 



SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION 
ffœ + (fy = if> {xfy + yfx). 



Journal fiir die reino und angewandto Mutliomatik, liernusKogeben von Crclle, Bd. 2, Merlin 1827. 

L'équation 

<pz + <py = v (xfy+yf x )i 

est satisfaite lorsque 

fy = \U et (px = ipx = \ogx- 

car cela donne 

\ogx-\-\ogy = \ogxy, 

de même lorsque 

fy = ^l — y* et <px = i//îZ = arcsin a;, 

ce qui donne 

arc sin a: arc sin ?/ = arc sin (x)f 1 — ?/ 2 -}- y |/T— ^x 5 ). 

Il serait possible qu'on pût encore satisfaire à la même équation d'autres 
manières. C'est ce que nous allons examiner. Soit pour abréger 

xfy-\-yf x = r , 

l'équation de condition devient 

(1) <pZ + <py = 1pr. 

En différeutiant cette équation par rapport à a; et à y, on aura, en faisant 
usage de la notation de Lagrange, 



390 SUIJ LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION »* + W = + ,/,). 

*'* = *'r* et V 'y = v,'r*. 
De ces équations on tire, en éliminant la fonction y/ r , 

/ , dr 

Or l'expression de r donne 

<2) + e, 

donc en substituant, 

elles, et en^l^Z léger ' ^ ind ^^ «*■ 

V'(0) = a, /(0) = «, /'(()) =< 
l'équation (3) prendra la forme 

«« — y'*(/a; + o / a;) = 0, 
d'où l'on tire, en écrivant y au lieu de 

«« — y / y(/y + «'y) = o. 

Ces deux équations donnent 

(4) ^ et V V=-^-- 

donc en intégrant, 

(5) 



<P* = aa /* *L 

(4) des fonctions 9 Cef^ et ^ < 8 > ^ 

V* et 9>y, et réduisant, on trouvera 

d ou Ion tire, en développant, ' 

~f*-fy ~ a'yfx _ ^ >/v _ a > xyf > y== ^ 



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SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION ipx + ifyzzz + y/.t?). 391 

ou bien 

(8) -/y ./'y - « V/V) -yia'fx-fx.f'x - « V'*) = 0, 

ou en divisant par xy 

Les quantités a; et y étant indépendantes entre elles, cette équation ne peut 
avoir lieu à moins qu'on n'ait 

j («72/ —fy-f'y — <*'yf'y) = l («7* —f^.f'x — a'xfx) = c<mst. 

Soit donc 

(10) ±-(a'fz-fz.fx-a'xf'x) = m; 
on aura 

(11) /'» (/* -f « ',;) -f (« - « '/*) = 0. 

Par cette équation la fonction fx est déterminée. On peut l'intégrer en 
faisant 

fx = XZ] 

car alors on a 

f x . dx — z dx -\- x dz, 
d'où l'on tire en substituant, 

(z dx-\~x dz) (xz -J- « -|- — « cZ^f = 0 , 
ce qui donne, en divisant par x, 

(z dx -f- x dz) (z-\-a')-\- (ni — a 'z) dx = 0, 

ou 

[z (z -\- a ') -\- m — a 'z\ dx -J- x dz (z -j- « ') = 0, 

ou bien 

( 2 « 4- w ) c / x -|_ ^ dz (z -f « ') == 0, 

ou en divisant par x (z 2 -\-7ïi), 

da_ _dz(z + a') 
x z 2 -\- m 

donc en intégrant, 

/'dx Ç zdz , C dz 

~® J z 2 + rn a J z * + m m 



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392 SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION fX + = ty( x fy + yfa; y 

Soit m = ~n 2 , on aura 

fr= * «. = * _ = A. log ^ , 

donc en substituant et en ajoutant une constante c, 

log c - log x = | log (z* - „») + £ }og fz^ , 
ou 2m ë * + w 

log-^ -zzzlog j^-.^ijr-^'j 



d'où 



Mais on avait = donc B = ÙL, et par suite en substitmmtj 
ou bien * * 1/* + "*/ , 



~ + f 1 



c = (fx - nx) * *» (f x _|_ nx y ~ s 
ou en élevant à la.2»°« puissance, 

(12) c *" = {fx - nx)"" (fx + nx)—'; 

x = 0 donne c = «, à cause de /(0) = «. 

génJr^iuî^ 00 ^ la<1Ue,le d ' Peml k f ° nCti0n /*■ Elle, n'est pas en 

peuvent nèÏ l ^ ^ " « ^ deUX indéterminées, qui 

Œ de i rr ag r res - L ' équation (i2 > ia ^ 

alfat à lt Z nu tOUtC " 8 " ltMtd E » effet h fonction /x 
a t a L 7r i ( ^ •* ° n VOit ^ k f ° n " e de r Vation (9) qu'elle 

ne, ente. Donc la fonction fx satisfait aussi à l'équation (6). 
De léquation (C) on tire l'équation f3) en faisant <r>* = ^„ et l'équa- 
tion (3) donne, en faisant xfj + yfx = r, f + " * 



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SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'KQUATION <f& + <p*J — + 393 

En intégrant cette équation différentielle partielle par les règles connues, on 
trouvera * 

r = F(<px + <py), 

d'où 

ipx-\-<fij = il>r, 

ou bien 

t f x-\-ipy= V (y 

ce qui est l'équation de condition donnée. 

H reste encore à trouver la fonction ift. A cet effet soit fj = () 1 on 
aura, en remarquant que y*(()) = «, 

q>x = y(ax)—<p(Q) J 

ou, en mettant J au lieu de .r, 



a 



On trouve donc, en résumant, que les formes les plus générales des 
fonctions satisfaisant à l'équation de condition 

sont les suivantes: 

(px = aa I , 



et 



i/rx = ( f (0) -f y ( 'M = «« / ''*' + y>(0), 

où yir dépend de l'équation 

a* 11 = (fx — ?>x-) M+ "' C/V+ waj)"- B '. 
Soit par exemple 

="• «' = I 7 

on aura 

a=fx — \x\ 

donc 

fx = a + < 

et par suite 

= a« y ^ p = «« log (« -f a?) -f fc, 
= </> (0) -f f/) j J ) = 2 & -f a a log « -f a a log j « -f- ~ ) , 



50 



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394 SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'KQUATION y.t? + <jW '= l K x J V + Î/J x \ 



OU 

xfjx= 2k-\-act log (a 2 -{-#). 

L'équation de condition devient donc 

k -f- aa log (a-\-x)-\-k-\- aa log (a -f-y) 

=z2k + aalog[a 2 + x(a + + 

ce qui a effectivement lieu, car les deux membres de cette équation se ré- 
duisent à 

27<;-{-aa log (a 2 ^ ?/-[-#?/). 

La fonction (px est trouvée ci-dessus sous forme d'intégrale. On peut 
aussi trouver une forme finie pour cette fonction par des logarithmes, en 
supposant la fonction fx connue. Soit 

fx-\~nx = v et fx — nx = t 1 

l'équation (12) donne 

a 2n = v n-a> t n + a^ 

donc 

t n+a ' = a* n v a '~ n , 



d'où 

2n a' — n 

Or (l'-f-*) et nx = \(y — f), donc 

= £ ( » -f- a n+v ) , 

et 

^ * Un rt' — n 

d'où Ton tire en différentiant 

dx — l 9 ' —Tf'f—r \ <* n * u v a +n dv. 

f An 2n(ct ~\- ?t) I 

On trouve de même 



a 7 ' + 



ou bien 
donc 



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SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'EQUATION (px + ffy zz lf.t(x/y -\- yfx). 395 

dx dv 
fx -\- a'x (n -\- a') v ' 

ce qui donne en intégrant, 



/dx 1 , wx 

T - — — — — -- r— , lo£ ^— ; 



oh c est une constante arbitraire. En mettant donc pour v sa valeur 
fx-\-nXj on aura 



(13) <px log (ciw: -f c/b) . 

Dans les deux cas -oo, 'et n -— 0, la fonction prend une va- 
leur particulière. Pour la trouver, il faut recourir à l'équation différen- 
tielle (11). 

Soit d'abord w = 0, l'équation (11) donne, à cause de m = — w 2 , 
fx (f x _|_. a'x) — a'fx = 0. 

Soit 

fx zx, 

on trouvora 

dx dz (z + «') a! dz 

et en intégrant 

log c' -\- log a: — — log z -f- ^ ? ou log (c'#z) — ^ > 
A- 

ou, puisque z = ? 

\og(c'fx) = j^, ou a'x=fz.log(e , fx). 

Pour x = 0, on a 0 = alogc'a, doue c'a = l et c' = ~> donc 

(14) «'^=/ a; .log(4 L )' 
où 

Cette équation détermine donc la fonction fx dans le cas où n = 0. 
L'équation (13) donne dans ce cas 

<,x = ^log(c/,) = ^log( C «) + ^log(^) ; 



50* 



? } <M) SUR LKS FONCTIONS QUI SATISFONT A I/KQUATiON </V* + ff/J = 



en vertu de (14) on a 

* l « / ./•'• 

donc 

(15) = ^ logr«-f ^ • 
De plus 

(16) V , a: == 9 ,(0)+r/)( l -)= ^loff 



/(:) 



L'équation de condition devient donc 

«« , , ftccr . i i nay 2aa , , « (.r/y -f- y/.r) 

— / (, £ ™ + - + / + / - = / "h - ) /- ! > \ ' 

a' ° 1 /./• 1 « rt ./y « ff x ^ 1J + y / x \ 

c'est-îVdire qu'on aura 

(17) «/('^^ / -)=A./y. • 

Pour examiner cette équation, nous mettrons au lieu de # et de y leurs 
valeurs -p log J et m £ log j tirées de l'équation (14), ce qui (tonne 

(18) «/[ j=/^/* = «/>, 
en faisant pour abréger 

(19) 



Il s'ensuit 



2 log « -f- log j = log (Jx.fy). 



Or en vertu de I équation (14) on a log - = ^' , donc en substituant, 



(20) 2 log a -f ~ = log (fx .fy) . 

Mais puisque fr=~ ~ - (18), on a en vertu de (19) ' \ 

donc = log (-~/-J » et par conséquent: 2 log « -f ] 0 g j 
= hg(fx.fy), ce qui a effectivement lieu comme on le voit aisément. 



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SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'hQUATlON tpx + (f t/ — it'(x f y -\ y f.v). 397 

Soit ensuite «' = oo, En mettant dans ce cas l'équation (11) sous la 
forme 

il est clair qu'on doit avoir — fx = Q J lorsque ?»• est fini. 11 faut 
donc que 

f'x.dx dx c 

' — —-7 ou fx = rx. 

fx . f/ 



Si 

on a 
Soit 

on aura 

ou 

donc 

et par suite 



w = — ]) a 
x f x — px — fx = 0 . 
fx = xz, 
x (x dz -|- z dx) — [px -j- #3) dx = 0, 
#f/z = pdx; 

z = /> log rjr; — • , 



yic = loo- ^. 

Pour trouver (px, on substituera la valeur de la fonction dans l'é- 
quation (3); on aura, à cause de f'x—jilogcx-^-p, 

donc, en divisant par /> (logr 2 #y -[- 1), 

V ( p'y — x ( P X — ^ ? 



donc 
d'oïi 



x (f/x = k et dif x = — r j 



(px = k log 

L'équation de condition donnée deviendra donc 

k \ogmx-\-k Vygmy = \ft{xpy log cy-\-ypx loger), 

ou 

k log m 2 xy = i/j ( p^// log e*xy) , 
ou, en faisant pxy ]ogc, 2 xy = r et xy = v, 



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398 SUR LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L'ÉQUATION (px -f- Cpy '= \f)(x fy -f ///.r). 



y/r = k \ogm 2 v. 




quantités variables. En effet, on peut, par des différentiations successives 
par rapport aux deux quantités variables, trouver autant d'équations qu'il est 
nécessaire pour éliminer des fonctions quelconques, de sorte qu'on parvien- 
dra à une équation qui ne contient qu'une seule de ces fonctions, et qui 
sera en général une équation différentielle d'un certain ordre. On peut donc 
en général trouver chacune de ces fonctions par une seule équation. Il 
s'ensuit qu'une telle équation n'est que très rarement possible. Car, comme 
la forme d'une fonction quelconque contenue dans l'équation de condition 
donnée, en vertu de l'équation même, doit être indépendante des formes des 
autres fonctions, il est évident qu'en général on ne peut considérer aucune 
de ces fonctions comme donnée. Ainsi par exemple l'équation ci-dessus ne 
pourrait plus être satisfaite, si la fonction fx avait eu une forme différente 
de celle qu'on vient de trouver. 



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xvni. 



NOTE SUR UN MÉMOIRE UE M. L. OLIVIER, AYANT POUR TITRE "REMAR- 
QUES SUR LES SÉRIES INFINIES ET LEUR CONVERGENCE." 



Journal fur dio reine und angowandte Mathematik, herausgogeben von Crelle, Bd. 3, Berlin 1828. 



On trouve p. 34 de ce mémoire le théorème suivant pour reconnaître 
si une série est convergente ou divergente: 

"Si l'on trouve que dans une série infinie le produit du n ihnc terme, ou 
"du n iïm * des groupes de termes qui conservent le même signe, par est 
"zéro pour w = od, on peut regarder cette seule circonstance comme une 
"marque, que la série est convergente; et réciproquement, la série ne peut 
"pas être convergente si le produit n.o n n'est pas nul pour n = oo." 

La dernière partie de ce théorème est très juste, mais la première ne 
semble pas l'être. Par exemple la série 

1 ■ 1 +_J . . . i-L.. . 

» ' A. \c\cr A • 'il lnrr <w ! 



2 log 2 * 3 log 3 ' 4 log 4 1 1 n log n 

est divergente, quoique na H = soit zéro pour n = ^. En effet les 

logarithmes hyperboliques, dont il est question, sont toujours moindres que 
leurs nombres moins 1, c'est-à-dire, qu'on a toujours log(l -\-x) < x - Si 
x > 1 cela est évident. Si x < 1 on a 

\og(l + x) = x-x>(t-1 [ x)-x'a-tx) , 

donc aussi dans ce dernier cas log (l-\-x) < x, puisque \ — ^x, £ — %x 
. . . sont tous positifs. En faisant x = -^y cela donne 



400 NOTE SUR UN MEMOIRE DE M. OLIVIER. 

lo<r ( 1 4- — ] < — ou bien log < - > 

ou 

i°g (i + «) < | + i«g » = ( i + K 4« ) n ï 

donc 

log log (1 -f w) < log log « -f log ( 1 -f ) • 

Mais puisque log(l+u-)<u-, on a log ( 1 + ) < ^ , donc, en vertu 

de l'expression précédente, 

log log (1 -f n) < log log n -f -j — • 

En faisant successivement 7/ = 2, 3, 4, . . ., on trouve 

log log 3 < log log 2 + 2 ,^ 9 ' 

log log 4 < log log 3 + 3 ^ 3 , 

log log 5 < log log 4 -f 3 ^ j , 



log log (1 4- //) < log log >/ -f m j* gw , 
donc, en prenant la somme, 

log log (1 + n) < log log 2 + 2 2 -f à ,^ 3 -f 4 * ig 4 -f • ■ • • + tt -J fe ; f# ' 

Mais log log (1 +w) = •>• ■ pow — , donc la somme de la série proposée 

1 1 L _L 1 _L . . . _J_ J 4- . . . est infiniment grande, et par 
2 log 2 1 3 log 3 ^ 4 log 4 ~ ' #* log n 1 ' 

conséquent cette série est divergente. Le théorème énoncé dans l'endroit 
cité est donc en défaut dans ce cas. 

En général on peut démontrer qu'il est impossible de trouver une fonc- 
tion r/m telle qu'une série quelconque a 0 a 1 -f- a t -|- a 3 -f- * " • + a * + " ' " ' 
dont nous supposons tous les termes positifs, soit convergente si <fii.a n est 
zéro pour 71 — > , et divergente dans le cas contraire. C'est ce qu'on peut 
faire voir à l'aide du théorème suivant: 

Si la série a 0 + «i + ^H + «« + est divergente, la suivante 



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NOTE SUR UN MÉMOIRE DE M. OLIVIER. 401 

«1_ J «2 I a a I . . I _ a » I . . . 

a o a u + rt l rt o + a i + a 2 Ttf , + a H (-",*-! 

le sera aussi. 

En effet, en remarquant que les quantités a 03 a n a 2 , ... sont positives, 
on a en vertu du théorème log (1 -\-x) < démontré ci-dessus, 

l°g K + + h ««) — l0 g K + ^1 + «a H h «n-l) 7 

c'est-à-dire 



log ( 1 H , i— ~"ï T ) < - - 



+ « n -l / «i + «2 + h <V-1 



donc, en faisant successivement 2, 3, . . . , • 

l°g K + «i) — log a 0 < - 1 , 
l°g («o + «i + a *) — log («o + < - ' 
log K + a i + + «s) — log («0 + «1 + ( h) < (lo + £ + a 



5 

'2 



lo g K H- «i H h «.) — ]o s («0 + «H h «»-.) < - 1 - t ' 1 - ' 

et en prenant la somme, 

log (ao + oH h a„) — log < + - a J_ -| |- 



" 0 + tt i a o-t a iH h«»-i 

Mais si la série a 0 -f- a, -|- a 2 4~ ' ' ' ~h a » "h " " ' est divergente, sa somme 
est infinie, et le logarithme de cette somme Test également; donc la somme 

de la série -^-f-- — ~ h • • • H 7— — . h • • • est aussi infini- 

a o a o + a i «o + «H 

ment grande, et cette série est par conséquent divergente, si la série a^-^-a^ 
-f- a t -\- • • • a n -}- • • • Test. Cela posé, supposons que r/>w soit une fonc- 
tion de n, telle que la série a 0 -|- r/ x -j- a 2 -j- • • • ~|- a M -j- • • • soit convergente 
ou divergente selon que <pn.a n est zéro ou non pour n = c^. Alors la série 

ç>(l) * <p{2) ^ y (3) ^ y(4) ^ I r 
sera divergente, et la série 

51* 



402 NOTE SUK UN MÉMOIRE DE M. OLIVJEU. 

convergente; car dans la première on a a n <pi=l et dans la seconde 
a n <pn = Q pour n = oc. Or, selon le théorème établi plus haut, la seconde 
série est nécessairement divergente en même temps que la première; donc 
une fonction yn telle qu'on Ta supposée n'existe pas. En faisant (p?i = n^ 
les deux séries en question deviendront 

i + i + i+iH I---H 

et 

2.i +3(i+T)+ï(i +T+T) + • ' • + + 1 + 1 + + ' " 

qui par conséquent sont divergentes toutes deux. 



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XIX. 



SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION 

DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



Astronomischo Nachrichtcn, herausgegeben von Schumacher, Bd. 6, Nr. 138. Altona 1828. 



Dans le n° 127 de ce journal M. Jacobi démontre un théorème très 
élégant relatif à la transformation des fonctions elliptiques. Ce théorème 
est un cas particulier d'un autre plus général, auquel je suis parvenu depuis 
longtemps sans connaître le mémoire de M. Jacobi. On en trouve la dé- 
monstration dans un mémoire inséré dans le journal de M. Crelle, et qui a 
pour titre "Recherches sur les fonctions elliptiques. ,, Mais on peut envisager 
cette théorie sous un point de vue beaucoup plus général, en se proposant 
comme un problème d'analyse indéterminée de trouver toutes les transforma- 
tions possibles d'une fonction elliptique qui peuvent s'effectuer d'une certaine 
manière. Je suis parvenu à résoudre complètement un grand nombre de 
problèmes de cette espèce. Parmi eux est le suivant, qui est d'une grande 
importance dans la théorie des fonctions elliptiques: 

"Trouver tous les cas possibles dans lesquels on pourra satisfaire à l'é- 

"quation différentielle: 

(1) S ==±a - r ^ = jL= , 

"en mettant pour y une fonction algébrique de x, rationnelle ou irra- 
tionnelle." 

Ce problème, vu la généralité de la fonction y, paraît au premier 

51* 



404 SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 



coup d'oeil bien difficile, mais on peut le ramener au cas oii Ton suppose y 
rationnelle. En effet on peut démontrer que si l'équation (1) a lieu pour 
une valeur irrationnelle de ?/, on en pourra toujours déduire une autre de 
la même forme, dans laquelle y est rationnelle, en changeant convenablement 
le coefficient a, les quantités c l7 e i1 c, e restant les mêmes. La méthode 
qui s'offre d'abord pour résoudre le problème dans le cas où y est rationnelle 
est celle des coefficiens indéterminés ; or on serait bientôt fatigué à cause de 
l'extrême complication des équations à satisfaire. Je crois donc que le pro- 
cédé suivant, qui conduit de la manière la plus simple h une solution com- 
plète, doit peut-être mériter l'attention des géomètres. 
En faisant 

V(l _ c .^ r ^(î _<T^j ' 
la quantité x sera une certaine fonction de Q\ nous la désignerons par 10. 
De même nous désignerons par ^ et ~ les valeurs de 0 qui répondent 

respectivement h x — ^ et à x= ~ , et par ,40 la fonction 

y(l — c 2 x 2 )(l — e 2 x 2 ). Cela posé, on pourra démontrer les théorèmes sui- 
vans: 

Théorème I. En désignant par 0 oX 6' deux quantités quelconques, on 
aura toujours 

(Voy. Exercices de calcul int, t. I, p. 23). 

TJiéorhtie II. On satisfait de la manière la plus générale h l'équation 

10' = lô 

en prenant 

0 J = (— 1) w+w '' 0 + mco -f vico , 

où m et m sont des nombres entiers quelconques positifs ou négatifs. On 
aura donc 

(4) X [(— 0 -f ma) + m V] = 10 . 

Ce théorème a lieu généralement, quelles que soient les quantités e et tf, 
réelles ou imaginaires. Je l'ai démontré pour le cas où e 2 est négatif et c % 
positif clans le mémoire cité plus haut (Crelles Journal fhr die reine und 




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SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 405 

angewandte Mathematik, Bd. 2, p. 114).- Les quantités <o, 10' sont toujours 
dans un rapport imaginaire. Elles jouent d'ailleurs dans la théorie des fonc- 
tions elliptiques le même rôle que le nombre n dans celle des fonctions cir- 
culaires. 

Nous allons voir comment à l'aide de ces deux théorèmes on pourra 
déterminer facilement l'expression générale de y, et les valeurs qui en résul- 
teront pour c x et e r 

Suit 

(5) y == *f,(x) 

la fonction rationnelle cherchée. Si l'on considère x comme fonction de y, 
sa valeur sera déterminée par l'équation (5), qui aura un certain nombre de 
racines. Or il existe entre ces racines des relations qui nous conduiront à 
l'expression de y(x). 

Si l'équation (5) passe le premier degré par rapport à x, désignons par 
x t une autre racine, et par 0 t la valeur correspondante de 0, de sorte que 
x t = lO x , y = y(x) = y>(x l ). 

En vertu de la formule (2), l'équation (1) deviendra, en désignant le 

radical du premier membre par 

* 

d * = + adO. 

Vu - 

En changeant x en x x , ou, ce qui revient au même, 0 en 0 X , la valeur de 



y reste la même, et par conséquent ^ reste le même, ou se change en 

y & 

du 



On aura donc 

in 



et par suite d0 t = ±d0, d'où l'on tire en intégrant 0 i =za±0, a étant une 
quantité indépendante de 0. On aura par conséquent x 1 =X(a±0). Il suffit 
de prendre 0 avec le signe -}-; car on ft, d'après la formule (4), en y fai- 
sant m = 1 , m=0j X0=X(a> — 0) et par conséquent X(a — 0)=X(co — a-f-0), 
oh en — a est une nouvelle constante. On pourra donc faire x 1 = À(^-j-ce). 
On a ainsi établi ce théorème. 

Théorème III. „Si une racine de l'équation y = xf/(x) est représentée 
„par 10, une autre racine quelconque sera de la forme 1(0 où a est 

„une quantité constante." 



400 SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 



Si Ton pouvait parvenir à trouver toutes les valeurs de a, rien ne se- 
rait plus facile que de déterminer ensuite celle de y. Or c'est ce que nous 
allons faire à l'aide du Théorème IL Les quantités 16 et 1(6 -j- a) étant 
des racines, on aura à la fois: 

y=y(A*)=v[*(*-h«)]> 

équation qui doit avoir lieu pour une valeur quelconque de 6. On en tire, 
en mettant au lieu de 6 successivement 6-\-a 1 6-\-2a, . . . 6-\-ka, 

y(X6) = il>[l(d-\-a)] = ip[X(0 + 2a)] = • . • = y [k(6 -f ha)], 

donc on aura 

h désignant un nombre entier quelconque. On voit par là que, non seule- 
ment 1(6 -}-«), mais toute quantité de la forme 1(6 -f- ha) vsera une racine 
de l'équation y7=ifj(x). Or, h pouvant avoir une infinité de valeurs différen- 
tes, il faut nécessairement que plusieurs des quantités X(6-\-ha) soient égales 
pour des valeurs différentes de fc, car l'équation y = ip(x) n'a qu'un nombre 
limité de racines. 

Soit donc 1(6 -\-ka) = X(6 -\-h'a), où nous supposons h plus grand que 
le. En mettant 6 — le a au lieu de 0, il viendra: À [#-[-(& — h')a] = k0 1 ou 
bien, en faisant h — h' = n, 

(6) X(6 + na) = X6. 

Cette équation détermine la valeur de a, car en vertu du théorème II on 
en tire 

6 + na = (— 6 + 7nœ + mco , 

ce qui donne, en remarquant que 6 est variable, ( — l)" ,+m ' =1 et na = nico 
-{-m'a/; m-\-m doit donc être un nombre pair, et alors on aura 

(7) a = — œ H cd , 

*T et ~?T P ouvant daigner des quantités rationnelles quelconques; on voit 

donc que, pour (pie la quantité A(0-{-a) puisse être racine de l'équation 
yz=z\fj{x) en même temps que il faut que la constante a ait la forme 

(8) a = t uu)-\-fi'w' 1 

oh jii et fi sont des quantités rationnelles positives ou négatives. La quan- 



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SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 407 

tité a ayant une telle valeur, l'expression X(0-\-ka) n'aura qu'un nombre 
limité de valeurs différentes, car ayant 1(8 -\-na) = 18, on aura de même 
A[0 + (w+l)«] = il(0 + a); ll0 + (n + 2)a] = l(0 + 2a) etc. 

Cela posé, si le degré de l'équation y = yj(x) surpasse le nombre des 
valeurs inégales de X(8-\-ka), soit k(8-\-a x ) une nouvelle racine, différente 
des racines X (8 -[-&«); on doit avoir de la même manière: a = fi a> — |— //-/eu' 
et ifj(X8) — ip[i.(8~\-k 1 a 1 )]. En mettant 8-\-ka au lieu de 0, il viendra, en 
remarquant que ip [l (8 -f- ko) ] = V J (M) = y > 

y = ^ll(« + fc« + * 1 « 1 )l, 

donc A(0-J-&# -f-X^a ) sera une racine quels que soient les nombres entiers 
& et fcj. Si maintenant le degré de l'équation y = tp(x) surpasse le nombre 
des valeurs inégales de l'expression 1(8 -j-ka-^-J^a^ soit X(8-\-a^) une 
nouvelle racine; on doit avoir a % = ti^u)-\- [i^io' et ip(l8) = VtH^H - ^ 6 ^)]? 
d'où l'on tire, en mettant 8 -{-ka -\-k l a l au lieu de 0, 

y = y [1(8 + fca + fc^ -f , 

et par conséquent toutes les quantités contenues dans l'expression l(8-\-ka 
-\- \ a x ~\-k % a^ seront des racines, quels que soient les nombres entiers 
&, k s . En continuant ce raisonnement jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes 
les racines de l'équation y = ip(x), on aura le théorème suivant: 

Théorème IV. Toutes les racines de l'équation y = y(x) pourront être 
représentées par les valeurs inégales de l'expression: 

À(04-fc 1 a 1 + fc 2 « 2 + fc 3 «3+ • • • 

en donnant à toutes les valeurs entières, et les quantités 

a 1 j a 2J . . . a v étant de la forme 

où /ti et sont des quantités rationnelles. 

Cela posé, désignons ces valeurs de l'expression K (8 -f- k x a x -|- h % « a 

H par + + • • • l(* + a .-i)> et foLsons 

i//(x)=^, p et q étant des fonctions entières de a: sans diviseur commun, 
on aura 

^-^ = 4(^-^)^-A((? + « 1 )][a:-A(^ + « a )] . . . [x-l(8 + a m ^)] 7 
équation qui a lieu pour une valeur quelconque de x. A est le coefficient 



408 SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 

de x m dans p — qy^ il est donc de la forme f — gy, où f et g sont des 
constantes. On aura par conséquent 

(9) p- qy = (f- 9 y)[ x -xe][x-l(0 + a 1 )] . . . 

De là on déduira une expression de y en 0, en attribuant à x une va- 
leur particulière, ou bien en comparant les coefficiens d'une même puissance 
de x dans les deux membres. Une telle expression de " y contiendra trois 
quantités constantes inconnues, et le problème se réduit maintenant à trou- 
ver tous les cas dans lesquels ces trois quantités pourront être déterminées 
de telle sorte que l'équation proposée soit satisfaite. Or nous allons voir 
tout-à-l'heure que cela sel-a toujours possible, quelles que soient les quantités 
a x , c^, . . . a v1 en déterminant convenablement deux des quantités a, e lJ c t . 
Mais avant de considérer le cas général nous allons commencer par celui 
oîi p et q sont du premier degré, car un théorème qui en résulte nous sera 
utile pour parvenir à la solution du problème général. 

Soit donc 



J g' -f 9* ' 



on en tire 



9 + 9* lJ 9+9* 

dy — p 1 , ~Â dx. 
J (9+9*)* 

Par là l'équation (1) deviendra, en substituant, 

fg' —f'g dx 



dx 

~ - 1 y (i ^^)(r^^) ' 

On trouve aisément que cette formule ne peut être satisfaite que de Tune 
des manières suivantes: 

(10) y- 
(H) , y. 



aXj 




c\ = 


c* 

~ s ' 
a 




a'' 


a 
ec 


1 

x 


c\ = 


c* 


e\ = 


e* . 



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(12) 



SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 409 

1—aVec 1 Y~c — Y~ë 

y = m — ? c x — - t — » 

1 Vc : + Vif mV— 1 

Ou peut prendre les quantités c, e, y c, avec le signe qu'on voudra. 

Cela posé, reprenons l'équation (9). En désignant par f et g f les 
coefficiens de dans p et f/, on aura 

f'-<j'y=- (f- yy) W + M* + «.) + M* + <H h *(* + «-,)], 

d'où Ton tire, en faisant pour abréger 

(13) 9 # = »« + l(# + « 1 ) + i(* + «,)H + *(» + «.-.}, 

équation qui pourra servir à déterminer la fonction ?/, excepté dans le cas 
oîi <pd se réduit à une quantité constante. 

Selon l'hypothèse, y doit être une fonction rationnelle de x, donc la 
fonction cp6 doit l'être de même. Il faut donc examiner d'abord dans quels 
cas cela pourra avoir lieu. 

Soit 1(6 + a) une quelconque des quantités 1(6 + 1(6 + a^), . . ., 
il suit de ce qui précède que ).(6-\-ha) sera de même égale à l'une d'entre 
elles. Or soit X(6 + na) = X6 1 ce qui a toujours lieu en déterminant con- 
venablement le nombre entier n, on aura, en mettant 6 — a au lieu de 0, 
l[6-\-(n — l)a\ = X(6 — a); donc 1(6 — a) sera encore contenue parmi les 
quantités dont il s'agit. Il suit de là que si X(6 — a x ) est différente de 
X(6 + a 1 ) 1 la quantité X(6 — a L ) sera égale à l'une des quantités X(0 + a i ) 
X(6 + a 3 ) 1 . . .. Cherchons donc d'abord les valeurs de « qui donneront 
X(6 — a) = X(6 + a); c'est-à-dire 1(0 + 2a) = 10. D'après l'équation (7) on 
aura 

m . m' , 

où m + m est un nombre pair. En donnant à m et m à partir de zéro 
toutes les valeurs entières telles que m-\-vi soit pair, 1(6 + a) prendra les 
valeurs suivantes: 

52 



410 SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 

M, *(* + «>), k{ô + *>'), + t + *(*+- 2 "+ï)' 

A^-j-co-f-ti/), etc., 

mais, d'après le théorème II, il est clair que les seules de ces valeurs qui 
soient différentes entre elles sont celles-ci 

X0, *(« + «,), + + ^ + 

donc, puisque 1(0 -|-«) doit être différent de Ad, *(<9-f-«) ne pourra avoir 
([lie Tune de ces trois valeurs 

*(« + ï + -ï). *(« + t+t)- 

En exceptant ces quantités, il répond donc toujours à 1(6 -f- a) un autre 
terme 1(6 — ci). De là il suit qu'on pourra écrire l'expression de cpd comme 
il suit: 

(i5) v *=w+fc.A(*+w)+fc'.A(fl+ 5 + ^:j + r.:^+ 3 2 w + 4) 

+ A(tf+« 1 ) + A(tf_« 1 ) + A(#+« J )4.A(#_« i )-| ^^( d _|_« B )_|_x(d-a B ), 

oh 7c, fc" sont égaux h zéro ou à l'unité. 

Pour avoir maintenant l'expression de cfO en x, . il faut recourir à la 
formule (3). En y faisant d'abord 6'= l *> on aura Ï.6' — * > donc ^/(#') 
— 0, et par conséquent 

or ^«^^(r^^^r^V), donc 

On aura de la même manière, en faisant 0 — -°- , 
La première fonnule donne 



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SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 411 



donc, en mettant au lien de 0, 

(17) l(0-\-œ) = -M = -x. 
En multipliant — ~J par A J 0 -|_ J , on aura 

(18) x/.-J-j.x/.+ 'U » 



d'où l'on tire, en mettant B -\- | et tf-j--^- au lieu de 0, 



(19) 



3 f/»j__^_i_y \_ 11 ii 

, / # _|_ 3w _i_ «M 1 _J 1 1 

l 2 2 | '« + ~ ee'"V 

La formule (3) donne encore, en faisant 0' = a, 

(20) »(«.+«)+»(»-«)= n^-?; 

On voit par là que l'expression de (p0 sera toujours une fonction ra- 
tionnelle de x, savoir 

(21) <p0 = (i _ jfe )a5 + *jt*: . i + - -Jf-v^— f . , 

en employant pour abréger le signe de sommation X 

Cela posé, il faut considérer plusieurs cas, selon les valeurs différentes 
de h, k\ &". 

Pr e m ie r ca s. SI k == h' = k " — 0 . 

Si les trois quantités Je, Jc\ h" , sont égales à zéro, l'expression de (p0 
deviendra 

(22) cp6 = iO + X(0-{-a l )+'à.{0 — a x ) + k(0 -f- a 2 ) -f A(0 — a â ) ~| 

+ A(^ + « fl ) + A(^-« M ) 

et 

(23) ^ = , + 2^ r _ #î ^ a -~ 2 . 

Donc la première condition, que ?/ soit mtionnelle en x, est remplie. Il faut 

52* 



412 SOLUTION OUN PROBLÈME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 

maintenant substituer son expression dans l'équation proposée et voir .si elle 
pourra être satisfaite. 

On tire d'abord de l'équation (14) 

g' + g<pe 

l + e iV = 9l±hL±(9±e±DSP?. 
~ 9' + 99* 

Cela posé, désignons par',?, «T, e, e' des valeurs de 0 qui répondent 
respectivement à jy=4-— -, w — L, „ _i_ 1 „ 1 , . 

. u ^ c, ' » c'y— +7 ° n doit 



avoir 
(24) 



9' ~ df + cj) tpfi = 0, g + Cl /' + (y + ej") ^ ' = 0, 



En vertu de ces équations les valeurs de l — <v/, l+c »: l _«» i _i_ . „ 
deviendront, en faisant pour abréger ^ ^ ^'^^ 



(25) 


9 -Yg<?Q = 


r : 






i 




yô J ' 


(20) < 






~<r*T 


! 


| >-^=-' : --'-'( 




(f S j 




i+«, y =.o.' ! /:( 




fS' j 



En substituant dans 1 V 9 • i 

u , , J ~yJ Iex P™«si«m de y>0 en a, on obtiendra un ré- 

sultat de la forme 

1 - 3%= T1 - _ 1 + A * + A*x* + • • • + A*, l + l .r*»+i 

ce q l fp 1 tÏïe t n!r^N le """^ S '^«> ^ il est clair par 

^ . . . i(r)±«„). Donc, puisque le nombre de 



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SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 413 

ces valeurs, en général toutes différentes entre elles, est 2 ?? — |— 1 , il s'en- 
suit que 

donc en substituant et faisant pour abréger, 

(27) (* = (1 — eVilVO (1 — e'cU'o.aj*) ... (1 — eVX* «„**), 
il viendra 

( 28 ) 1 --^- = 7-( 1 -^r) ( 1_ îi(j+7ô) ( 1_ ^"^=o 



*(<>'+«„)) f 1 X(d-o.j) : 



formule qui a lieu pour des valeurs quelconques de â et 0. 

A l'aide de cette formule il sera facile de trouver les cas dans lesquels 
on pourra satisfaire à l'équation proposée. On peut écrire cette équation 
comme il suit: 

(29) ycr=^i?) (~r- «775 = ;| ni ~c v) (r=^v) , 

ce qui nous fait voir que l'une des quatre fonctions 1±^#, l±e I y doit 
s'évanouir en attribuant à x une des quatre valeurs ± y » ± - - » c'est-à-dire 

à 0 une des valeurs ± » ± ~- • 

Supposons d'abord 1 — c,y = 0 pour 0 = J> l + r,y = 0 pour 0 = 
1 — ^ = 0 pour 0 = ^' 1+^ = 0 pour 0 = — ~ , on pourra 
prendre *= J, <T = - y, * = ' En substituant ces va- 

leurs dans les équations (24) et remarquant que </) j — ~J = — <p » 
V |_^-J=:_y|^-J f on en tire 

v=v.,(îH/.,(4V=HîK-*(t)- 

On satisfait à ces équations en prenant 



414 SOW„ON DCN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION et, 

(30) 9=f = 0, 4 «, = -*-, „_ * 

ou 7c est arbitraire. ^ 2 / 

La valeur de y deviendra 

et Ion aura ensuite 

Cela pose, faisons dans la formule (28) â=± £, ± _£, on obdendn| 

»'• *(,)-,;> ot d'aprt» I„ formule (10) cm aura i/<" + „) = ,/ " J 
donc I 2 1 / (2 j' 

(33) 1_J? 1 ( , I ... m 

Ht) < J i ,(-._.,) J i 1 -!^! ■■■ 



On aura des expression» analogues pour l_l_J"L 
2 ' d — ±"2- 



en faisant 



En faisant donc pour abréger 



(34) ^ ^ i* » 4 '(t-*) 



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SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 415 

on trouvera 

(35) l- c ïy« = (l- c V)-£, l-«ïy» = (l 

et de là 



(30) V(ï - c\y*)\l - e\y*) = ± ^ }\l -c*x*) (1 - a V) . 

Maintenant les deux équations (35) nous montrent que (> 2 ~^~ est uue fonc- 
tion entière de qui est divisible par les deux fonctions entières t et 
donc, puisque ces fonctions n'ont point de diviseur commun, il en résulte 

que (f*^- sera divisible par leur produit; mais le degré de la fonction 
(> 2< j~ est précisément le même que celui de la fonction tt\ savoir \n. Donc 
Q* djL 

l'expression f* se réduit à une constante. En la désignant par a, oh 
aura donc 

tt' 

(37) dy = a— 9 -dx, 

et par suite l'équation (36) donnera 

/ggx ^ + a (lv = 

* ; V(i-^)(r-^^ 2 ) " v(i- c ^)(i-^ 2 )' 

c'est-à-dire l'équation proposée. 

Pour déterminer le coefficient a faisons dans (37) x infini, on obtiendra, 
d'après les valeurs des fonctions t, V , 

< l y a _ . . 

mais d'après la formule (18) on a * 2 |4jr — a )"**(~2 ~ a \ = c*e*' > 

donc 

( 39 ) ~£ = ^«^rik ' (6'V)» ; 

or, en ditférentiant l'équation 

(40) y = l <p8 = \\ x + 2x2 - f _ .^îw ) 



410 SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 



et en faisant ensuite on aura -j~ = * . En égalant cette valeur 

à la précédente on en tire 

(41) a = (e s c a )"-|-A 4 a 1 .A 4 a a . . . l l a H . 

On pourra donner à l'expression de y une autre forme plus simple à 
quelques égards. En multipliant les deux membres de l'équation (28) par 
q>â et faisant ensuite ^ = 0, il viendra 

^vl'-^K 1 -^)---! 1 -^)' 

oh A est une quantité constante. . En attribuant à x la valeur -J-, après 
avoir divisé par x, on trouvera 

(42) A = (e*c*) n .k A a l .k A a i . . . l*a n = ak. 
L'expression de y deviendra donc 

; y — ^TU^^fl — «»c»A f o f *«):..(l— «Vi'a,^' 

Il y a encore une autre manière d'exprimer y qui est très simple. Eu 
faisant dans (28) x = ^, après avoir divisé les deux membres par x, on 
trouvera 

(44) <pâ = 

{e*c s yx*a l .i.*a, . . . X'a H .J^.J L (a l -\-&)l(a l — it) . . . À(«„ -J- â) X(a„ — îf) 
= _|_ ^ _|_ + i( j _ 0j ) _| 1_ A( j _|. _|_ A (j _ „„), 

formule qui a lieu pour une valeur quelconque de â. 

En mettant donc 6 au lieu de à et multipliant par - on aura y ea> 
primé comme il suit: 

(45) y = l („ c )» ô . M + tf) .!(„,_ 0) .. . A((z„ + 0) . A(«. - 0), 
où l'on a fait pour abréger 

( 46 ) b = X'a,.k t a,.l'a, 



l'a. 



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SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 417 



En faisant 0 = -|--^-, 0 = -J--™ , ^ es valeurs correspondantes de y 



seront — et — ? donc: 



-=(-i)-4««. c 



(47) 



A: 



l = (-l)--*--.c-. 



• «i I • 1 1 Y — «a 



^ I Y — 



A I y — «i 



Si donc les quantités c, , e n «, ?/ ont les valeurs exprimées par les 
équations (41), (43), (45), (47), l'équation (1) sera satisfaite en déterminant 
convenablement le signe du second membre. Il faut remarquer que ce signe 
n'est pas le même pour toutes les valeurs de x\ mais il sera toujours le 
même pour des valeurs de x comprises entre certaines limites. On doit 
prendre le signe -J- si a; est très petit; et alors on doit conserver le même 
signe jusqu'à une certaine limite. Dans tous les cas le signe qu'il faut 
prendre se détermine par l'équation (36). 

Le théorème de M. Jacobi est contenu comme cas particulier dans ce 
qui précède. En effet on l'obtiendra en faisant a x = 2 l » 6=1,^ = 1. 

2 n(o 



" 4« 6w 

Alors on trouvera a 2 = -^zÇTi y a *~~2n+\* 



2 1 w + 1 



/ k = b.e 



2n 



2n + l 2 
1 M 









f 2» — 1 




2 


f— - 


ï) 






-;)] 








• ••A 


\2u — 1 






1 3 - 
\2n + l 


2 j 


,2 







(48) 



y = 



2n+l 2 

[ A ( 2 « W 2 ) ' 1 ( 1 2 ) * ' ' 1 ( 2 « + 1 Y) ] 



rfy _ + a ^ 



= + a d6. 



Il faut prendre le signe supérieur si x est compris entre les limites 

53 



418 SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION otc. 

■f^n^Iï) et "^^(^^^^"1") et ^ s *£ ne inférieur si x est compris 
entre les limites i[--_ f ^-j et i|__ T J. 

En faisant dans notre fonnule générale = — ^i^î '-— , où m -J- m' est- 

° 2 n -f- 1 1 

un nombre pair et où les trois nombres m, m', 2n-}-l ne sont pas divisi- 
bles par un même facteur, on aura une formule plus générale que celle de 
M. Jacobi, savoir celle que j'ai démontrée dans les ^Recherches sur les fonc- 
tions elliptiques." On aura dans ce cas, en faisant a= — ™^*^^-i a 1 = a, 

a 2 = 2a, « 3 = 3 a, . . . a JI = ?^a, ce qui suffit pour déterminer les quantités 
c n e x , a et y. 

Dans ce qui précède nous avons démontré qu'on aura une valeur con- 
venable de la fonction ?/, en prenant, dans l'expression générale de cette 

fonction y=~ / ~^ < J^, f =:g — Ç). On peut aisément trouver toutes les 

autres solutions possibles à l'aide des formules (10), (11), (12). Soit 

et désignons par c* 2 , e 8 , les valeurs correspondantes de c et e , on doit 
avoir * 

(50) -, - - - = + « - 
V(l-o|yf)(l-,^f) - l V(l-e*.v*)(ï-c*.v*) 

mais en faisant y= le second membre sera, d'après ce qui précède, 

égal à ± -= - - , donc on doit avoir 

(51) - - - _ =± .__ , 

où 

D'après les équations (10), (11), (12) on satisfait de la manière la plus gé- 
nérale à ces équations en prenant 



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SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 419 

I a i 2 C ï« 2 9 ^?« 2 



(52) 



Ces trois formules, en y faisant y = ~ <p0 , contiendront donc toutes 

les manières possibles de satisfaire à l'équation (50). 

On peut sans mure à la généralité faire Jc=l. La première de ces 

formules est la même que celle qui résulte de y = ^- q>0: La seconde en 

A* 

résulte en mettant * — — au lieu de ?/. Les modules restent par cette 
A €lCl y 

substitution les mêmes. La troisième est en général différente des deux pre- 
mières. 

Deuxième cas. Si k est égal à zéro, et l'une ifos quantités k' y h" égale a F unité. 

Si, k étant égal à zéro, l'une des quantités k" est égale à l'unité, 
il faut nécessairement que l'autre soit égale à zéro. En effet si l'on avait 

k f = k" = 1 , les racines 1 1 6 -j- - j ? 1 1 6 -j- — - g— j donneraient celle-ci 

X 1 6 -j- ~- — tu J = -j- u))j donc ne serait pas égal à zéro 

comme nous l'avons supposé. Désignons donc par /? Tune des quantités 

w-f<f/ 3ft>-fr</ r • î a î • j 

— 2 — - 5 — 2 — ? 1 expression de (pff- deviendra 

(53) v * = M + A(* + / 9) + i(* + « i ) + A(«_« | )+ ... 

+ «.) + *(« — «.)> 

ou, en l'exprimant en fonction de 

(54) ^ = -±è T + 2 **r=^PÏ^r 

Soit comme dans le premier cas 1 — c t y = 0 pour a; = » on aura 

53* 



420 SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION oti\ 



Maintenant, de la même manière qu'on a démontré précédemment la formule 
(28), on établira la suivante: 

(5(?) . 1_ ^ = _ ^v( 1- m)( 1- à(^^ 



1(0 + 0»)} \ x 1(0-0.)}' 
oh l'on a fait pour .abréger : 

(57) y = ±ecx(l -e 2 e 2 l 2 a i .x 2 )(l — e 2 c 2 X 2 a 2 .x 2 ) . . . (1 — e 2 c 2 k 2 a n .x 2 ). 
En, faisant â=±'* 7 on aura les valeurs de 1-1 — et 1 

multipliées entre elles donneront celle de 1 — { -3^- \ • Cette valeur substi- 
tuée dans l'expression de 1 — y 2 (55) donnera 

et par conséquent, si Von fait 



on aura 



(59) *î£W! , V(î^v)7izr^v). 

Cette valeur, mise dans l'équation (29), donne 

(60) yi — eîy' = ^ li . 

* aYe*f'*—g" « «fa 

On voit donc que — ef^ doit être une fonction rationnelle de 



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SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 421 

Il n'est pas difficile de démontrer qu'on satisfera à cette condition, en sup- 
posant que 1 — e\y* s'évanouit pour x = + i.\^° ^ ^jî 011 aura al° rs 

; <r(^)-rç\ 

Les équations (24) donneront dans ce cas 



/'=■ 







tï) 





" 2 1 ' 



2 



auxquelles on satisfera en prenant 

f=g' = o, 



De là il résulte: 



(62) Ci = fc . y (J . ei= fc. v «- 



CO — fi 



1 , M 



Connaissant ainsi une solution de l'équation proposée, on aura toutes les 

autres à l'aide des formules (10), (11), (12). Le cas le plus simple est 

celui où n = 0. Alors on aura, en faisant c t = c = 1 , ft = -f- > 

2V7 



) % =( l + e) 



V(l-y*)(l-e*y*) K 1 ' V(l -**)(! -«**•) 



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422 SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION 



etc. 



Troisième cas. 6Y k = 1. 
Dans ce cas l'expression (15) de <p0 deviendra, 

9* = i« + i(« + «') + A(* + « 1 ) + A(tf-« 1 )+ • ' • +*(* + ««) + *(*-«,,)• 
Or cette quantité se réduit à zéro pour une valeur quelconque de 0, ce 
dont on pourra se convaincre aisément, en remarquant que (pO doit rester 
le même en changeant 8 en 0-f-c«. 

La fonction étant égale à zéro, si l'on désigne par \(f' — g ' y ) l e 
coeffident de s-» dans le premier membre de l'équation (9), on aura, en 
faisant pour abréger 

Fe = M + X\9 + a ) + . . . +*»(* + «._,): 

f'-g>y=-{f-gy)F0, 

d oîi l'on tire, 

( r >4) v= =f±- f -!!' 9 

Maintenant il n'est pas difficile de trouver toutes les solutions relatives 
à ce troisième cas en se servant de l'expression (64). Je ne m'arrêterai pas 
ici à développer les formules mêmes; je vais seulement faire connaître un 
théorème plus général que celui exprimé par les formules (48). 

Théorème. On aura 

>h adr 

V(l -y 2 ) (1 - e*y) ~ ± y ( l _.,*)(, = ± a M ' 



OÙ 



(05 M >=*•*-£■*£•••«—*>-:. 

,=*.i*. i (.+i) i (. + ^)... i (, + fe=Hî;j, 

n étant un nombre entier* quelconque, — = /* — ^ .' 

En supposant n impair, la formule (65) est la même que celle que nous 
avons trouvée (48). 

Si Ton fait x = sm\(p, y = sin^ ? on obtiendra 



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SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 423 
(66) % -n A( P 



V 1 — e\ sin 2 ip Vl — <?- sin 2 (f 
où Ton pourra exprimer la quantité xp comme il suit: 

(67) xp = (p -f arc tang J tang cp . j/l — e 2 l 2 ( " ) J 

-f- arc tang j tang (p . j/l — e 2 X 2 j 

. + : • • • • 

-f- arc tang | tang y . j/l — e 2 À 2 1 — — - a>j | • 

En supposant w = 2 on aura 

^/ = y -[- arc tang (tang <p . Yl — e 2 ) , 

ou bien 

tang (ip — (p) — tang <p . — c 2 . 

(Voyez Legendre Exercices t. I, p. 84). 

Si Ton suppose n très grand, on aura à peu près c 1 = 0 7 donc 



* = a L Vï-5sin> y = tlU,g î ta " 8 ' ^-V^-^i V ) j • 

C . 7t 5T , 7IT W ! 1 1 fc> T ^ 

boit <p= -, on aura xp = n ? donc ?i ^ = a ? donc — = De 

& £j £ £ Cl 7V 11 

là il résulte, en faisant n infini, 

f - _ =1?—- - - r = * r arc tang (tang y . V 1 — e*l*x)dx. 
Jo yi — tf 2 sin 2 y 7r J 0 

Nous avons vu précédemment que le nombre des valeurs inégales de 
l'expression >t(^ + fc 1 « 1 + fc 2 « 3 + • • • -f-Z^eO est toujours fini. On peut dans 
tous les cas trouver ces valeurs comme il suit. i 

Soient 

l(0-\-n l a 1 ) = M, 
X(0 -f- 7* a « s ) = À(0 -f" m i a i)y 
(68) / Â(0^^ 3 a 3 ) = ^^raj^^ra^), 



Â(d-j-72 y « >/ ) = A(e-f" W l W i+ m 2 a 2+ • " * 



424 SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 



où ftj , ftg , 7?3 , . . . n v sont les nombres entiers les plus petits possibles qui 
puissent satisfaire à des équations de cette forme, m n ra 2 , . . . , m v _ 1 étant 
des nombres entiers, qui pourront être différens dans les différentes équations. 
Cela posé, je dis qu'on aura toutes les valeurs inégales de l'expression 
1(0 -\~k l a l -\-k^a 2 -\- • • • -\-k v a y ) en attribuant à fc l7 fc 2 , . . . k y toutes les 
valeurs entières et positives respectivement moindres que ?z l7 . . . n v . 
En effet, si l'on avait 

X{ 0 + &/«, + k 2 'a 3 + h k v 'a y ) = X(6 + k l a l + k i <x i -\ \- 

sans avoir à la fois 

0 Zl/j - — A/| , 1&2 ■ k>2 , • • • ky ■ , 

en mettant 0 — — fe,o, fc M -i« w -i — — 

au lieu de 0, on en tirera 

* [0 + - &.')«.] = W + {W — fc,)«H h (fcV-x - fc-iH-,], 

où Ton a supposé que fc ro — &„/ est la première des quantités k r — k v \ 
— k V_i 7 • • • q u î so ^ différente de zéro. Or en supposant, ce qui est per- 
mis, que k m — kj soit positif, ce nombre sera en même temps moindre que 
w w , ce qui est contre l'hypothèse. Le nombre total des valeurs inégales 
de l'expression 1(0 -[-/^«î 4-&*«a ~h " * * ~\~^v a >) sera d° nc égal ^ 

car il est clair qu'on n'aura pas de valeurs nouvelles, en attribuant à k tJ 
& 8 , . . . k v des valeurs respectivement plus grandes que n 2J . . . n y . ' 
Le degré de l'équation y — qy = 0 est donc 

m — n^n^n^ . . . n y . 

Si donc ce degré doit être un nombre premier, pn doit avoir v= 1 et m = n lt 
Les racines de l'équation p — qy = 0 deviendront donc dans ce cas 

ta, + Jt(fl-f 2 et), , . . A[0-f 1)«], 

X(0 -|~ wa) = 10, et a .— -C- - , 

m et étant deux nombres entiers dont la somme est un nombre pair et 
qui n'ont pas un même diviseur commun avec ?i. 

On doit remarquer qu'à la même valeur de m répondent toujours plu- 
sieurs solutions différentes du problème général. Le nombre total de ces 
solutions est en général égal à ?>m. 



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SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 425 

On peut de ce qui précède déduire un grand nombre de théorèmes re- 
marquables sur les fonctions elliptiques. Parmi ceux-ci on doit distinguer 
les suivans. 

a. Si l'équation (1) peut être satisfaite en supposant y = xp(x) = ~- 

où le degré des fonctions entières p et q est égal à un nombre composé 
mn 1 on pourra toujours trouver des fonctions rationnelles (p et f telles 
qu'en faisant 

x 1 = (px = ~ r j on ait y=f(x^ = ^±, 



(69) 



d !h _ dx i 



le degré des fonctions entières p' et q' étant égal à l'un des facteurs m, n 7 
et le degré de p x et q t étant égal à l'autre. 

b. Quel que soit le degré de l'équation p — qy = 0, on en pourra tou- 
jours tirer la valeur de x en y à l'aide d'opérations algébriques. Voilà donc 
une classe d'équations qui sont résolubles algébriquement. Les racines au- 
ront la forme suivante: 



(70) x = fonct. ration, [y, r»*, r a n », r 3 n > . . . r, n " 

n x 7 n 2 , . . . n v étant des nombres premiers entre eux dont le produit est 
égal au degré de l'équation en question, et les i\ , r 2 , ... r v étant de la 
forme 



(71) Ç+tY(l-cly*)(l-eW), 
où f et t sont des fonctions entières de y. 

c. Il y a un cas remarquable du problème général; c'est celui où l'on 
demande toutes les solutions possibles de l'équation 

du dx 

J — a 



On aura à cet égard le théorème suivant: 



54 



42f) SOLUTION D'UN PROBLÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 



4 



Si l'équation précédente admet une solution algébrique en x et ?/, y 
étant rationnel en x ou non, la quantité constante a doit nécessairement 
avoir la forme 

oh fï et a désignent deux nombres rationnels, le dernier étant essentielle- 
ment positif. Si l'on attribue à a une telle valeur on pourra trouver une 
infinité de valeurs différentes pour e et c, qui rendent le problème possible. 
Toutes ces valeurs sont exprimables par des radicaux. 

Si donc on suppose que a soit une quantité réelle il faut qu'elle soit 
en même temps rationnelle. Dans ce cas on sait d'ailleurs qu'on pourra 
satisfaire à l'équation différentielle dont il s'agit, quelles que soient les va- 
leurs des quantités c et e. 

d. Du théorème précédent, on peut par un simple changement de va- 
riables déduire celui-ci: 



Si l'équation 



dy dx 



Viî-it*) (i - b V) Y(i - **) (i - c v) 

où b 2 =l — c 2 , admet une solution algébrique entre x et y, le coefficient 
a doit avoir la forme suivante: 

i a / et // ayant la même signification que précédemment. Si donc on veut 
que a soit réel il faut qu'il soit égal à la racine carrée d'une quantité ra- 
tionnelle. Cette condition remplie, le problème a une infinité de solutions. 
Comme cas particulier on en déduit ce théorème: 

Si en supposant cp et ?// réels et le module c moindre que l'unité, l'é- 
quation 

(72) _ = a ■ d( r - , 

a une intégrale algébrique en sin (p et sin il faut nécessairement que a 
soit égal à la racine carrée d'une quantité rationnelle et positive. 

Ainsi par exemple, si dans la formule (G5) on suppose e\=l — e 2 , 

on aura a — Vu comme nous allons voir. En faisant 0 = ~ dans l'ex- 
1 zn 



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SOLUTION D'UN PROBLEME GENERAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION otc. 427 



pression de on trouvera, en vertu de la valeur de /c, y=^j 

donc 

f 1 d V _ f X (ï*) < l * _aco 

( } Je V(i-^ a )(i -7;^j ~~ a J 0 V(i-7 2 )(i -*V) — 2»i f 

en remarquant qu'on doit, - dans le second membre de l'équation (65), pren- 
dre le signe supérieur depuis x = 0 jusqu'à # = Cela posé, en re- 

marquant que À 0 -f- — = À > — ^ - 0 h il est clair qu on aura 

,= ».„.!£_,).,(£-.).. .1(4^-.); 

en multipliant cette valeur par celle que donne la formule (05), on aura, 
en faisant usage de la formule 

Ha + 0).l{a — 6) = Y^îi- X* ë = 1 -1*1»^ ' 
qu'on obtiendra à l'aide du théorème 1: 

y î = k-x t ~ -— — - • • • - , („_!)«, ' 
1 — e*A a — .i ,s 1 — e A 2 a? z 

En faisant maintenant x=p}/— T, y = zV— ï, on aura, en supposant p 
réel, pour toutes les valeurs de cette quantité, 

r <h — a f P dp . 

mais si l'on fait j> = £, ou aura de même z = £, donc 

r* & _ '—gÇ 

J 0 V(f+*»)(i + «;«») Jo yci+^Ki + 'V) 

Le premier membre de cette équation est la même chose que et le se- 
cond la même chose que a f ■= ^== => ce qui est facile à prou- 
ver, donc 

ô4* 



428 SOLUTION D'UN PROBLEME GÉNÉRAL CONCERNANT LA TRANSFORMATION etc. 

co C 1 dy 

Y ~ a Jo W^K^'li*) ' 

Cette équation combinée avec (73) donne 



c'est-à-dire 



(o aco 
Y a 2n ' 



a = yû. 



Christiania le 27 mai 1828. 



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XX. 



ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT. 



Astronomische Nachrichten, herausgegebcn von Schumacher, Bd. 7, n" 147. Altona 1829. 



Dans le numéro 138 de ce journal j'ai fait voir comment on pourra 
trouver toutes les transformations possibles, réelles ou imaginaires, d'une 
fonction elliptique proposée. Les modules c, 0, c lf e t pourront être des 
quantités quelconques. Le cas le plus remarquable est celui où Ton sup- 
pose les modules réels. Dans ce cas le problème général pourra se résoudre 
par une méthode particulière, entièrement différente de celle que nous avons 
donnée dans le mémoire cité. Puisque cette nouvelle méthode est remar- 
quable par sa grande simplicité je vais l'indiquer ici en peu de mots. 

Le problème général que nous allons complètement résoudre est le 
suivant : 

^Trouver tous les cas possibles où l'on pourra satisfaire à l'équation 
„différentielle : 

x dy dx 

( } VTT^V) (ï -c\y *j = a Y(l-x*y(f-c*x*) 

„par une équation algébrique entre les variables x et y, en supposant 
„les modules c et c x moindres que l'unité et le coefficient a réel ou 
„imaginaire." 

En désignant par X0 la fonction inverse de celle-ci: 

dx 



V(l— *»)(! — e»*«) 



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4;î0 ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT. 

de sorte que x = X6, on aura, en vertu de la formule (4) du numéro 138, 

/ [(— iy +M '0 -f- mu> -f m'io'] = 10, 
où les (quantités constantes w, «/ sont déterminées par les formules 

(2) " = r ^ 

W 2 ./o V(l-.* 2 )(l-c 2 .r*) 



J. 

fr/ /* c clx 

2 ~~J o v(i <) (H^ 5 ) 



Dans le cas que nous considérons, la quantité w est réelle, mais w' est ima- 
ginaire. On aura en effet 

i 

c'est-à-dire : 

^ w , j f c tl*_ 

2 '2 ^ V 'J, y(a:*—l)(l—c*x*y 

où il est clair que le coefficient de ]/— 1 est une quantité réelle. En fai- # 
sant # = - • 1 - ? où i = yï — c% on trouve 

Vi — /'V 

"2" = 2" + r - 1 • y ' 

où 

Le théorème II du numéro 138 donnera donc celui-ci: 

„On .satisfera de la manière la plus générale à l'équation 

W = W 

„en prenant 

où ?» et m' sont des nombres entiers quelconques, et tu et û> deux 
"quantités réelles données par les formules (2) et (3)." 
Cela posé, soit 
( 5 ) /(?» x ) = 0 

l'équation algébrique entre y et x qui doit satisfaire à l'équation différentielle 



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ADDITION AU MEMOIRE PRÉCÉDENT. J31 

ro fô < (1). Si Ton fait x = X0 et y = X l 0\ où 0 et 0' «ont deux nouvelles va- 

riables, et l x la fonction elliptique qui répond au module c 17 de sorte que 

(6) - f J = dO' pour y = 10' 
l'équation (1) deviendra 

dO' = ± adO, 

d'où Ton tire en intégrant: 0' = t±aO, où e est une constante. On a 
donc 

ou bien, en mettant -[-a pour ±a 1 

(7) 2/ = ;.,^ + ^). 

L'équation (5) entre x et ?/ donnera donc celle-ci 

(8) /[Al ( f + a 0), ^] = 0 

qui ne contient que la seule variable 0, et qui aura lieu quelle que soit la 
valeur de cette quantité. 

lai- Il ne serait pas difficile à l'aide de la formule (8) de trouver la fonc- 

tion f(y,x); mais pour notre objet il suffit de connaître le coefficient a et 
une certaine relation entre les fonctions complètes. Voici comment on y 
parviendra. En mettant 0-\-2vico au lieu de 0, et en remarquant qu'en 
vertu de l'équation (4) 

X(0-^2mœ) = l0 1 
on obtiendra cette autre équation 

(9) f[k 1 {e-\-2maio-\- aO), Â0] = O. 

On aura de même, en mettant 0 -f- mwi pour 0 , où i = Y— 1 , 

(10) f[x x ( ê + viami -f aO), X0] = 0. 

Dans ces deux équations m pourra être un nombre entier quelconque. 
En faisant x = l0 on voit donc que l'équation algébrique 

/(.y, *) = o 

est satisfaite en mettant pour y une quantité quelconque de l'une des deux 
formes : 

k (f -|- 2 maiu -\- a0) , À A (e -f- macDi ~(- a0) ; 
mais m peut avoir une infinité de valeurs, tandis que l'équation dont il 



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432 ADDITION AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT. 

s'agit n'a qu'un nombre limité de racines; il faut donc qu'on puisse trouver 
deux nombres entiers h et k' tels que 

(11) X t (ê -f- 2Jc'aœ -f- aff) = -f- 2&ao> -f- a0), 
et deux autres ^ et y 7 tels que 

(12) A x (f -f- v'a®i-\-aO) = X x (e -f- vam-\- ad). 

En vertu de la formule (4) ces deux équations donneront respectivement 

I2k'aio = 2kau) -\-2mo) x -f- m'm i f— ï , 
v'cUOt = vami -f- 2/ia^ -f - /^«^ V — 1 > 



(13) 



ofi w 1 et w 1 désignent les valeurs de w et w qui répondent, au module c 1? 
c'est-à-dire qu'on a 



(14) 



Cela posé, les équations (13) donneront, en y mettant v pour h' — h et v' 
pour y 7 — 

m (o. . m' G>. zr 

a — L _l 1. v_ i 

y w 1 2 y 0) r 7 

( 15 ) 



d'où, en comparant les parties réelles et imaginaires, 

t xt V y w — V <3 7 2v ai ~ v' Q 

Ces deux équations donneront celles-ci: 



qj* 1 mm' y' 3 wj 1 m'^u' 

( 17 ) la» ~~4 ~JTii r aj~~4~7^ 



Maintenant --- â - est une fonction continue de c, donc les équations (17) ne 

sauraient avoir lieu que pour des valeurs particulières des modules c et c r 
Si donc on suppose c indéterminé il faut que l'une des équations 

(18) m ' — = 0, 



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ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT. 



433 



(19) m = t i' = 0 

ait lieu. Les équations (15) et (16) se réduiront dans le premier cas à 

m io t jti' (o l 



co l _ Vfl 10 
v'm (d 




— , „ i 

10 V & 



V- l ----- 



2ii m, 

V OJ 



Mais' si la valeur du module c est telle que la première des équations (17) 
ait lieu, on doit avoir en même temps 

(22) " * «ï-ij/r^, 

V ' û) 2 v * 2 f mu 

et alors a est donné par l'une des équations (15). 

Quant aux nombres m, m', //, //, y, y' il faut les prendre tels que co, 
cu n «J, m x soient, selon leur nature, des quantités positives. Si donc on sup- 
pose, ce qui est permis, v et v' positifs, il faut que m et /// soient de 
même signe et m et /ti de signe contraire. On pourra d'ailleurs sans di- 
minuer la généralité supposer ra', m et fi' positifs et t u négatif. 

De ce qu'on vient de voir on déduit immédiatement ce théorème: 
Théorème L Pour que l'équation (1) ait une intégrale algébrique en x 
et y, il faut nécessairement que les modules c t et c soient liés entre eux de 

telle sorte que l'une des deux quantités et ^ soit dans un rapport ra- 
ttonnel avec — : c'est-à-dire qu'on doit avoir l'une des équations 



où fc et fc' sont des nombres rationnels. Si la première de ces équations a 
lieu, mais non la seconde, on aura en même temps 

(24) « = 



00 



434 



ADDITION AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT. 



où â est un nombre rationnel. Si la seconde équation a lieu mais non la 
première, on aura en même temps 

(25) a = â%Y^l. 

Enfin si les deux équations (23) ont lieu eu même temps, les modules c et 
c x seront tous deux déterminés, savoir respectivement par les équations 

(20) & =fkk ; , ~ 1 ~ = ]/ k ', 

et alors le coefficient a doit avoir la forme 

(27) fl=z ^±j'Ayii 

v 7 LO 1 CO r 7 

où â et â' sont des nombres rationnels. 

Les conditions indiquées dans ce théorème doivent donc nécessairement 
être remplies pour que l'équation (1) ait une intégrale algébrique. Il reste 
encore le point le plus important, savoir de déterminer si ces conditions 
sont suffisantes. Or c'est ce que nous allons faire voir à l'aide de la for- 
mule (65) du numéro 138. Cette formule peut facilement être démontrée 
en faisant effectivement la substitution de y; mais il existe une autre dé- 
monstration, tirée de considérations entièrement différentes et que nous allons 
donner ici, en nous servant d'une formule démontrée dans les „l{eclierche$ 
sur les fondions elliptiques." Il s'agit de la formule (185) de ce mémoire 
(Crelles Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd. 2, p. 176), 
savoir 



1 — - v 5. 

\ r m + i r — m— | 

(28) fa = 77» 



Q-Q- 1 ' 2 



' \r m +i -f- r-m-i j 
oh. 

(29) = r = e a '\ 

les quantités m et œ étant données par les équations 

o/ r 1 (Le 

^ {)) * ~j» >'(i-.f-)(i-f ( ^)' 

i 

é' _ f '~ d.c 
2 ~Jo V'(l - e*«*) 



On a de plus 



2 )(i + 0 



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ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT. 435 



(si) /«=yi- 

où x est lié à a par l'équation 



x* 



(32) . • a =lw^ 



dx 



Si l'on fait e = — =4 — = ^- , x = Vl — y*, on trouvera 

da = — b ?:/ 



d'où • 
maintenant l'équation . x = yi — y* donne y = ^1 — x 1 =/a, donc 

A=»(t-t)' 

d'où, en mettant ft-^ — ha à la place de a, 
(33) ia=/(&^-èa). 

Cela posé, si Ton pose dans la formule (28) b^ — ba au lieu de a, 
on trouvera, après quelques réductions faciles, 

où 

(35) t = e » , r = <? * 

et une quantité indépendante de a. Si l'on fait pour abréger 
(35') J=£! = v ,( aJ ), 

on aura donc 

(36) ia=A.^(«-|)-^(® + «)-ï '^( w -«)-| ^( 2w +«)|-V( 2w -«)-|"- 
Si Ton fait maintenant successivement 

55* 



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43fi ADDITION AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT. 

a = 6, 0+°'-, $ + ...0 + — W, 

on aura les valeurs de  J <9 -f - ) • • • + ^T^ w ) ' f l uî nmlti P liée * s 
ensemble donneront sur le champ * 

m, ,..,(, + ^.,(. + ^)...,(.+ n ^-) 

où l'on a fait pour abréger 

or si Ton pose dans la formule (36) le module c t au lieu de ^ et si l'on 
désigne les valeurs correspondantes de 

respectivement par 
il viendra 

/// = A x . y> a ^ . */'K + «) ^ • y («ii — «) ~ • • • • 

A* 

Le second membre de la formule (37) est donc la même chose que < 
~ A~** 1 ('r 1 et ^ >al COIls ^l uent <m aura ^ a f°nnule suivante: 

w M « »)=£■■ M'+t) •*(•+£) • • • »('+=?H- 

cette équation a donc toujours lieu si le module e t est tel que 

to. 1 CJ 

(40) i = TÏ' 

quel que soit d'ailleurs le nombre entier rc. 

Si Ton fait lQ = x, k x ^- ô^ = ij, on aura l'équation 

M 1 ï - ^ — = — --_-= = w. a# , 

^ > V(l— yOC 1 — c ï^) **)(! — 

qui par conséquent est satisfaite par l'expression algébrique 



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ADDITION AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT. 



437 



(42) y= -%.X6.l[0 + ^) . . . ^ + ^0,). 

La valeur de y est toujours une fonction algébrique de x. En effet, si n 
est un nombre impair, on a 



(43) y=4ï-* 



— ? 

2 



g)-* 9 *'(-"? j t) — 

l-cKX'tf).**'" i- c n^^).: 
et si n est un nombre pair 

Considérons maintenant les trois cas de notre problème général. 

Premier cas. Si a est réel. 
Dans ce cas on doit avoir, comme nous lavons vu, a ==d —-==--—» 
où // et ^ sont des nombres entiers; l'équation proposée deviendra 

(45) dy - = ~ l dx • 

v ; V(l_y»)(l-c;y«j- * V(l_^)(l-,^) 

On doit avoir de* plus =fc = w et n étant entiers. Si Ton 

fait x = A(^cD0) et y = l l (/iiO l 0) J 8 étant une nouvelle variable, l'équation 

(45) sera satisfaite, car les deux membres se réduiront à fiw^O. Pour avoir 
une intégrale en x et y il faut donc éliminer 0 des deux équations 

(46) x = l(vmO)] y = k l (u m i e )' 

Nous allons voir que le résultat de l'élimination sera une équation algébrique 
en x et y. 

Soit c un nouveau module et désignons par 

l'6, «/, w\ A' 

les valeurs correspondantes de 

lOj (Oj «>, A. 

ii/i 1 Cel 

Cela posé, si l'on suppose le module c tel que -^ r = — — » on aura 
en vertu de la formule (39), en mettant [ivOm au lieu de 6 



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438 



ADDITION AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT. 



1 

À* 


X{iuf) . 1 








1 

A™ 






...1.1 





(47) X'i fl rm'q = £l{pvM).l[ptM+^ . . . l 5- 

et/ 1 eu ■((>! m w . g/ 1 to. 
maintenant, ayant — = et — 1 - = > on en tire —,- = : 

' J & n oj Cô x n Gj Cj m (o x 1 

donc la même formule donnera 

(48) k'0'ya'e) = -.^ 1,0^0) ^(^ê^j . . . à 1 (^+ w - 1 (Wi ). 

En égalant entre elles ces deux expressions de k'^uvw'O) et faisant pour 
abréger 

(49) r®0 = â, fiiv^^â^ 
il viendra 



(50) 



Le premier membre de cette équation est une fonction algébrique de 
k( t uâ) et le second une fonction algébrique de ^(fc^); mais k(jiâ) est à son 
tour une fonction algébrique de ld = x, et Xi(vâ x ) une fonction algébrique 
de  1 â 1 =y. Donc enfin les deux membres de l'équation (50) sont respecti- 
vement des fonctions algébriques de x et cle y. Donc cette équation exprime 
l'intégrale cherchée en x et y de l'équation différentielle (4o). Pour en avoir 
l'intégrale complète il suffit d'ajouter à â ou à â t une quantité constante 
arbitraire. Quant aux quantités A et A x on doit remarquer qu'on a 

Pour donner un exemple, supposons qu'on démande une intégrale algébrique 
de l'équation, 

dy c3 1 d.v 

7(1-?) (l-cly*) ~ * V(1-.^)(T-^^) ' 

dans le cas où ~ 1 - = f ^ • On aura alors fi = y=l } m — 2, n=&. L'é- 
quation (50) deviendra donc 



9 



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ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT. 



439 



c'est-à-dire : 

3 



Second cas. Si aV — 1 est réel. 
Dans ce cas on doit avoir, d'après l'équation (25), a= ~ ^/ V — 1 ? 

et y étant entiers. On doit avoir de même — 1 - = - w -— - L'équation- pro- 
posée (1) deviendra 

(52) y w T/Z_i. . ^ = < b 

Pour réduire ce cas au précédent, il suffît de faire # = ^ _ 2 > z étant 
une nouvelle variable : on aura alors — — = V — 1 . -p-r- <l ~ _ z , 

' V(i— «*^*) V(i-~*)(i-^~ B ) 

è étant égal à |/l — c 2 , et par suite l'équation (52) deviendra 

f/y fi 0 1 dz 

dont l'intégrale algébrique est exprimé par la formule (50) en y faisant 
z = kâ= _.- et mettant ô> au lieu de oi. 

y*»— i 

Supposons par exemple qu'il s'agisse de trouver une intégrale algébrique 
de l'équation 

dy & t y-- ^ d,v 

y(ï = y*)(l - c\y*) ~~ " ' ~~ V(ï~-**)(1 ' 

dans le cas oii ^ = 2.^. Ayant fi = v = 1 et ?/i = 2 , w = 1 , l'équation 
(50) deviendra 

ou, en remettant les valeurs de Àtî et 

? yi^=7* _ yz ■* 

y Yi — c\y* <*i î'x* — i' 



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440 



ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT. 



Troisième ans. Si — rz Vick' , — — \f ~, • 
to 7 f k 

Dans ce cas on doit avoir, en vertu du théorème I, a = — -J- -^r — V — 1 * 

7 7 V <3 1 y' Ce/ f 7 

/iij V) u\ v' étant des nombres entiers. L'équation proposée deviendra donc 

(53) ,,! ' -_, -, = i " ^ -f- ",' & f- il- dx ■ , 

et cette équation sera toujours intégrable algébriquement. En effet comme 
on a 

? = et £ = 

A:' et & étant des nombres rationnels, on pourra, en vertu de ce que nous 
venons de voir dans les deux premiers cas, satisfaire algébriquement aux 
équations 

dz fj ô) A dx 

y(i_^)(l_ c f^) *~" v a V(l — — cV*)' 

(fo /i' <3 X y- j d,v 

Y(l - **) (f— e\ v*) ~ V to * ~~ y(l (1 ~ c*x*) ' 

Par là l'équation (53) deviendra 

dy dz , dv 

y'{\-y*) (1 -c\y*) ~ V(l - z') (f- <^>) + V (1 - r") (Î -^r*) ' 

on y satisfera, comme on sait, en prenant 

En substituant les valeurs de v et 2 en on aura une intégrale de l'é- 
quation, algébrique en x et y. 

Nous avons ainsi démontré que les conditions nécessaires exposées dans 
le théorème I sont en même temps suffisantes. 

D'après ce qui a été exposé dans le premier cas, on a immédiatement 
ce théorème: 

Pour que deux fonctions elliptiques réelles F(c\ 0'), F(c, 6) puissent 
être réduites l'une à l'autre, il est nécessaire et il suffit qu'on ait entre les 
fonctions complètes F x (c), F l (b), F l (c'), F\b') cette relation: 



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ADDITION AU MEMOIRE PRECEDENT. 441 

(55) n . F\c') . F\b) = m . F\V) . F l (c), 

où m et n sont des nombres entiers. Si cette condition est remplie, 'on 
pourra établir une relation algébrique entre sin#' et sin# telle que 

(56) F(c',0')=kÇ^F(c,e), 

où h est un nombre rationnel. On pourra ajouter que dans le cas où fc=l, 
6' est lié à 0 par l'équation: 



(57) 



arc tang (a,' tang $') -]--.- -(- arctang (^' WI __ 1 tang 0') 
= 0 -|- arc tang (« 1 tang 0) -|- • • • -}- arc tang (a n _ x tang 0) , 



(58) 



où a,, a 2 . . . a/, a/ . . . sont des quantités constantes données par les for- 
mules 

j s = yi-i"8iii»^, 

après avoir déterminé 6^ et 6 fl ' de telle sorte que 

i f(c, o u ) = 2/< ( C ) = /"-.- d ° - „ 



(59) 

«M 



En prenant n=l on aura la formule (67) du numéro 138. 

Il y a un cas du problème général qui mérite d'être remarqué; c'est 
celui où Ton suppose les deux modules égaux entre eux, en d'autres termes, 
où l'on demande tous les cas dans lesquels il sera possible d'intégrer algé- 
briquement l'équation différentielle 

(60) - - <hj =a 



V (1 - y*) (1 - < V) V(l - **) (1 - *'**) 

On a dans ce cas co' = a), w' = (B 1 et par conséquent les équations (15) 
deviendront 

m . m' (o ,/ ^ fi' 2/i to -i/— -, 

et de là 

m fil' m' (o 2f.i to 

v v' ' 2 v to ~ v' to 

56 



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442 



ADDITION AU MÉMOIRE PRÉCÈDENT. 



Si Ton veut que a soit réel, on a a = — > m f = /i = 0 ; dans ce cas on 

n'aura aucune condition pour la valeur de c, qui peut être quelconque, mais 
on voit que a doit être un nombre rationnel. Si au contraire on admet des 

valeurs imaginaires de a, le module c doit être tel que = — — r-— ; 

on tire de là 

vj 1 \f m v' 

En vertu de cette expression la valeur de a deviendra 

V V f jilV T 

Soit -° = lie , on aura 

fc, â, â' pouvant désigner des nombres rationnels quelconques. On voit que 
pour que l'équation (00) soit intégrable algébriquement en supposant a ima- 
ginaire, il est nécessaire et il suffit que l'on ait 

k est essentiellement positif. 

On pourra exprimer le module c en produits infinis comme il suit: 

t - 1 — e ~* V* 1—e ~ 3 T V*" 1 — e~ h T 



\+ e -ri\k l+e-SxVk iJ^e-bnïk 

I* tf — 



On tire cette expression de la formule (34), en y faisant a= ™ et remar- 



quant que ^ et J.= ^ . On aura en même temps le module b 

par cette formule 

, 1 , 1-, ji 1-, >'* 1 '* 

r* = — -— --»*- • -- — 6 t • • • 

Il suit encore de ce qui précède que si le module c a la valeur ci-dessus, 
l'équation 

_ fc'yj, ^ 



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ADDITION AU MEMOIRE PRÉCÉDENT. 



443 



sera toujours intégrable algébriquement, quels que soient les nombres ration- 
nels k et Jc\ pourvu que Je soit positif.. 

Il y a encore beaucoup de choses à dire sur la transformation des 
fonctions elliptiques. On trouvera des développemens ultérieurs sur cette 
matière, ainsi que sur la théorie des fonctions elliptiques en général, dans 
un mémoire qui va paraître dans le Journal de M. Crelle. 



Christiania le 25 septembre 1828. 



56* 



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G 



XXI. 



REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES D'UNE CERTAINE 
SORTE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. 

Journal fur dio roine und nngawnmlte Matlioinatik, henuisgegoben von Crdle, Bd. 3, Berlin 1828. 

1. 

Si ipx désigne la fonction elliptique la plus générale, c'est-à-dire si 

/r dx 
,/,•• 

où r est une fonction rationnelle quelconque de et 11 une fonction entière 
de la même variable, qui ne passe pas le quatrième degré, cette fonction a, 
comme on sait, la propriété très remarquable, que la somme d'un nombre 
quelconque de ces fonctions peut être exprimée par une seule fonction de la 
même forme, en y ajoutant une certaine expression algébrique et logarith- 
mique. 

11 semble que dans la théorie des fonctions trancendantes les géomètres 
se sont bornés aux fonctions de cette forme. Cependant il existe encore 
pour une classe très étendue d'autres fonctions une propriété analogue à 
celle des fonctions elliptiques. 

Je veux jjarler des fonctions qui peuvent être regardées comme intégra- 
les de différentielles algébriques quelconques. Si l'on ne peut pas exprimer 
la somme d'un nombre quelconque de fonctions données par une seule fonc- 
tion de la même espèce, comme dans le cas des fonctions elliptiques, au 
moins on pourra exprimer dans tous les cas une pareille somme par la 
somme d'un nombre déterminé d'autres fonctions de la même nature que 



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IV si 



Il ilf i;i 

^jirirfi- 

■ w i 

rkr 
Mit 1 - 
ao 



KEMRRQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GÉNÉRALES etc. 445 

les premières, en y ajoutant une certaine expression algébrique et logarith- 
mique*). Nous démontrerons cette propriété dans l'un des cahiers suivans 
de ce journal. Pour le moment je vais considérer un cas particulier, qui 
embrasse les fonctions elliptiques, savoir celui des fonctions contenues dans 
la formule 



/i\ C rdx 

(i) *" = Jtïï 



R étant une fonction rationnelle et entière quelconque, et r une fonction 
rationnelle. 

2. 

' Nous allons d'abord établir le théorème suivant: 

Théorème I. Soit <px une fonction entière de x, décomposée dune ma- 
nière quelconque en deux facteurs entiers <p t x et <p^x, de sorte que <px = 
q> x.<p x. Soit fx une autre fonction entière quelconque, et 



(2) fx=f- f ^ (Lv / 
K } * J (*-a)V 9 



.r 



i Vcp.i 

où a est une quantité constante quelconque. Désignons par a 0 , a x , a t . . . 
c oj c u c *i - - • d es quantités quelconques 7 dont Vune au moins soit variable. 
Cela posé) si Von fait 

(3) | («o + «i^H h ci n x n y< Pi x — (c 0 -f c,x -1 \- c m x m y<p,x 

' . in f 'I = A(x — x l )(x — x,) (x — x 3 )...(x — x) , 

iMi;!'iv 



où A ne dépend pas de x, je dis quon aura 
(4) ê 1 yx l + e^x, -f- f 3 yjxs -| |- ^iipx fl 

— _ f" loo- K + a i ft H h^«")Vy/a + (<\,+<?,«H f-^« B, )Vff 2 «_|_ r _^^ 

iqa & (a Q + a 1 a-\ h <«.«") Vif, «—(«. + *i « H 1- c M a«) Yff, « 

où C est une quantité constante, et r le coefficient de »- dam le développe- 
ment de la fonction 

./* . i 0O .-K + *V. - r + + c i * + * / * +^*") Vg»^ 
(œ — a)Y(fx ' ° 8 (a, + a, .*+.■-.+ a.*") V</\ * — ~0o + <V r H 1" ^*") V ( f *' v 

suivant les puissances descendantes de x. Les quantités f 17 f 2 , . . . sont 



r lit *) J'ai présenté un mémoire sur cos fonctions k l'académie royale des sciences de 

Paris vers la fin do l'année 1826. 



ii ne 



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446 REMARQUES SLR QUELQUES PROPRIETES GENERALES etc. 

égales h -j- 1 ou h — 1 , et leurs valeurs dépendent de celles des quantités 
#1) x 2 , • • • r s<n ' 

Désignons le premier membre de l'équation (3) par Fx, et faisons pour 
abréger 

J Ôx—a 0 -{- a x x -f- a 2 x* + • • • + a n x n 1 
I 0 % x = c 0 -{- c x x-\- c t x* -\ \-c m x m , 

nous aurons 

( (> ) Fx = {0x) 2 <p x x — (e i x) i (f t x. 

Cela posé, soit x Tune quelconque des quantités x xi x 2J . . . x^, on aura l'é- 
quation 

' (7) #rr=0. 
De là, en différentiant, on tire 

(8) F'x.dx-\-âFx = 0, 

en désignant par la dérivée de Fx par rapport à x, et par âFx la 

différentielle de la même fonction par rapport aux quantités a 0 , a n a 2 , ... 

c ii c n • • • 0 r ? en remarquant que y^a; et (/^a; sont indépendans de 
ces dernières variables, l'équation (6) donnera 

(9) âFx = 20x. cp x x . <Wx — 20 1 x.(f 2 x. 00^, 
donc en vertu de (8) 

(10) F'x.dx = 2O 1 x.<p 2 x.dd i x — 20x.<p l x.<Wx. 
Maintenant, ayant Fx = Q = (0x)*<p i x — (0 l x) 2 (p 2 x 1 on en tire 

(11) Ox } r cp i x — f 0 i x \ f (p 2 x , 
oîi t = ± 1 - De là il vient 

6x .iç> x x=^tO x x \ / (p l x.cp 2 x = ê0 l x } r (px , 

6 x x.(f % x = eOx ^ip^x.cp^x = eOx } r <px, 
donc l'expression de F'x.dx pourra être mise sous la forme 

(12) F'x.dx = 2e(0x.dO 1 x — 0 1 x.ddx) f(px. * 

fx 1 1 

Cela donne, en multipliant par e y -_- ^,7^ » 

/.r.rf,î? 2fx (Sx .de^ — Ô^v. ôBx) 

( 13 ) f (*-a)Vçî ~ " ô^- ~°W'* 



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REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES etc. 447 

En faisant pour abréger 

(14') l(x) = 2fx (0.x . (Je.x — 0 x x . âOx), 

il viendra 

(\A\ fx.dx Ix 

Xx étant une fonction e?iiîère par rapport à x. 
Désignons par 2Tx la quantité 

rx 1 + rx Ë + 1% H 

et remarquons que l'équation (14) subsiste encore, en mettant Tune quelcon- 
que des quantités x LJ x 2 , . . . x^ au lieu de cette équation donnera 

(15) 2 e - f *: d * : = v *« = 

Cela posé, on poun-a chasser sans difficulté les quantités x x , ay, . . . x^ du 
second membre. 

En effet, quelle que soit la fonction entière lx, on peut supposer 

(16) kx = (x — a) l t x-\-ka^ 

Lx étant une fonction entière de x, savoir — ~ En substituant cette 

1 7 x — a 

valeur dans (15), il viendra 

Maintenant on aura, d'après une formule connue, 



( 17 ) S '(x — a)F'x~ Fa' 

en remarquant que Ton a 

Fa = A(a — x { ) (a — x t ) ...(« — ; 

donc 

Il reste à trouver 2 Or cela peut se faire à l'aide de la formule (17). 

h x k 

En -effet, en développant x ^ es puissances descendantes de a, il 

viendra 



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448 REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES etc. 

( 19 ) Fa = a ~ >V + a* ~ ^a^^F'x + 

doii Ion voit que 2 ^ est égal au coefficient de ^ "dans le dévelop- 

1 j A 

peinent de y ^ , ou bien à celui de ^ dans le développement de De 

là on voit aisément que -Sy^-> oh X x x est une fonction quelconque entière 

de x, sera égal au coefficient de * dans le développement de la fonction 

Aj.f ii- 1 

selon les puissances ascendantes de - . Si pour abréger on désigne 

ce coefficient relatif à une fonction quelconque r, développable de cette ma- 
nière., par ///-, on aura 

(20) v^ =y7 ^. 

Or la formule (16), en divisant par (x — a)Fx, donne 

— a) .t» / ,2? 

en remarquant que /7 -^-_5 6 st toujours égal à zéro. Donc l'expression 
(10') de deviendra 

(22) «fc^-^+zr 

i'a 1 (x — a)Fx 

. Maintenant on a (14') 

lx = 2/* .{Ox.âe.x— e x x . M*) , 
donc, en mettant a au lieu de x, 

la = 2fa . (0a . (JO.a — 0 t a . ÔOa). 

En substituant ces expressions dans la valeur de cî^, et mettant pour Fa 
sa valeur (Oay^a — (0j«)*y 8 a, on obtiendra 

On trouvera aisément l'intégrale de cette expression ; car, en remarquant que 
/«, tp t a, jx, x — a, (piX, (p 2 x sont des quantités constantes, on aura, 

en vertu de la formule 



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REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GENERALES etc. 449 

r pdq — qdp 1_ , pYm + q Vn . 

J p* m — q*n 2 V wn pVw — jVn" 

(23) « = (7 - -4L log »ÎL}S«±A? :>S 

+ /7 ^ log ^ ^^ + ^i^V qy^ . 

(x — ci) y'cpx to OxY (p x x — 0 1 x V <jp 2 &• 

Or l'équation (15) donne 

T f.r . </.r 

— * / = v > 

J (x—a)ycpx 

donc en faisant 

(24) V0*0 = f f *' d % 

J (x — ci)yyx 

et désignant par f n f 2 ) • • • ^ des quantités de la forme ± 1 , on aura la 
formule 

«i V^i + f *V' x 2 + f s H • + V^V 

(25) { Ycpa G eaV^a — e^V^a 

i /7 loo- ^> ^ + ^i^V7V g ? 

* Qc—ct)Ypx ° Oxy'^x — B v x\ (p 2 x 

qui s'accorde parfaitement avec la formule (4). 

Les valeurs de f 1? * 2 , . . . f /4 ne sont pas arbitraires; elles dépendent 
de la grandeur de x x , x % , . . . x^, et celle-ci est déterminée par l'équation 

Ox Ycp^x = eô 1 x^(p 2 x^ 

équivalente aux équations 

(26) 0x x } f cp 1 x i = Y(p 2 x 1 ; 0 x 2 y tp x x 2 = e 2 0 1 x 2 }^ 2 .? 2 ; . . . 

D'ailleurs les quantités f M f 2 , . . . conserveront les mêmes valeurs pour 
toutes les valeurs de x n x 21 . . . comprises entre certaines limites. Il 
en sera de même de la constante C. 



La démonstration précédente suppose toutes les quantités 
différentes entre elles, car dans le cas contraire. F ' x serait égal à zéro pour 

57 



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450 REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GENERALES etc. 

un certain nombre de valeurs de x, et alors le second membre de la l'or- 
mule (14) se présenterait sous la forme {}. Néanmoins il est évident que 
la formule (25) subsistera encore dans le cas où plusieurs des quantités x i1 
x 2 j . . . sont égales entre elles. 

En faisant x 2 = x 1 , on aura (26) 

Ox, ^(f ix, = t&Xi y<p^x ï = ^e.x, j^/vr, , 

et cela donne, en supposant que ô^.cp^x et Ox.ip^c n'aient pas de diviseur 
commun, 

f 2 = e x . 

En vertu de cette remarque on aura le théorème suivant: 
Tliéorème IL Si Von fait 

(27) {Ôx)\ l x — (Ô l ay<p 2 x = A(x — x l ) m >(x — x 2 ) m > . . . {x — *„)>, 

les fonctions entières Qx.<p x x et O^.^x ri ayant pas de diviseur commun, 
on aura 

1e l m l yx 1 + t 2 m 2 ipx 2 + f 3 vi 3 ipx 3 + - . . -f- t^m^x^ 
77 fa L _ i qo . ^Vi?,+^i^_% œ m 

(œ — a) V (fx )D 0.rYcp l œ — <Pr x 

4. 

Si Ton suppose fx divisible par x — a, on aura fa = Q, donc en 
mettant (x — a)fx au lieu de fx, il viendra: 

Tliéorhne III. Z^,s c/joscs etotf supposées les mêmes que dans le TJié- 
orhne II, M " 

= / t ' 

J y y* 

fx étant une fonction entière quelconque, on aura 

(29) ël n h xpx, + e 2 m 2 ipx 2 -| t^yx* 

= C + 77 fi ' - log — * r V ^ . 



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'if la fur- 
wlent ont 



•ne en 



REMARQUES SUU QUELQUES PROPRIETES GENERALES etc. 451 



Si dans la formule (28) on suppose le degré de la fonction entière 
f{x) moindre que la moitié de celui de (px, il est clair que la partie du 
second membre affectée du signe /7, s'évanouira. Donc on aura ce théorème : 

Théorème IV. Si le degré de la fonction entière (fx)* est moindre que 
celui de <px, et si Von fait 



/fx . dx 
— : 
(as — a) y yx 



on aura 

(30) ^ra^Xj -f- f 2 m 2 i//^ 2 -f ' ' ' + WV'^ 

n fa , Bai Vfta + ^a V ff 2 ct 
= C 7^ • log - - ' 1 - • 

'XWIt'.Oli, 6. 

En faisant fa=l dans le théorème précédent et ditférentiant /c — 1 
fois de suite, on aura le théorème suivant: 

W.« ' Théorème V. 5» Po» /o?'< 

1 !/,« 

'F 



^ X J (> — «)*V<jpx' 



on aura 

_ / 1_ ^^+9^^ 

— 1 . 2 ... (A — lj'rfo*- 1 \Vf/«* ° 0aV(f i a — 0 l a\ / (f 2 aJ 

7. 

Si dans le théorème III on suppose le degré de (fx) 3 moindre que ce- 
lui de <px diminué de deux unités, le second membre se réduit à une con- 
stante. Cela donne aisément le théorème qui suit: 
• Théorème VI. Si l'on désigne par ipx la fonction 
\ô 0 -Mi* + \-dfX*yix ^ 

oà y' = — 1 sî ^ ^ impair, et v' = ^ 2 si v est pair, on aura 

toujours 



P 



57* 



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452 REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES etc. 

(31) + . . . + e M m^ X/t = constante. 

savoir 



O^voit^ue ✓ a la même valeur pour r = 2m-l et pour y = 2 m , 



8. 

Soit maintenant 



r étant une fonction rationnelle quelconque de rr • i „ 

de r, on pourra toujours faire * Q ^ qU6 S01t la forme 

A» étant des fonctions entières PpI* ^ -i 

V« venu cta tlléortlnes m „ v> „„ aura "tT„iv,m " ' " *" 

(33) fx= et e^Y^^e^y-- 

on aura toujours 

,,w + w +■■■■+ w*„ = c+ ff ^ log xx 

\ î <**«*-' / / _ . 

/ J 10^(0 1 \ 



9. 



certain nombre des quantités'^' C " * ' ' 8u W osom maintenant qu'un 
comme des variables indénendwl' * ' S ° ient données et regardées 

Alors il faut d é te 1TOine r f ] 5 * *» ^ *, «■ quantités, 

membre de r éq , mtion (g) ^ ' • • de manière que le premier 



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REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GÉNÉRALES etc. 453 

(x — x 1 )(x — x 2 ) . . . (x — Xp). 
Cela- ce fera à l'aide des équations (26). Les fi' premières équations, 

êx x Y^x, = a, . 0 x x x y<ptx x , 

/ Qx * = . ^1^2 y (p**2 , 

(35) 



Ox^, V 9>!<v = v • *i V y V^V 

donneront ,0/ des quantités a 0 , a x , . . . c 0 , c x , . . . exprimées en fonction 
rationnelle des autres et de a? 1? x 2 , . . . a;^, , y (px l , y<£# 2 , . . . y <pay . 

Le nombre des indéterminées a 0 , a x , . . . a n , c 0 , Cj , . . . c m est égal à 
m-\-n-\-2' donc, comme il est aisé de le voir par la forme des équations 

(35) , on pourra faire [i' = m-\~n-\- 1. Cela posé, en substituant les valeurs 
de a 0 , a n . . . c 0 , c n . . . dans les fonctions ^x, . . . , la fonction en- 
tière (Oxy<p x x — (^i^) 2 ^s a? deviendra divisible par 

{x — x,){x — x 2 ) . . . (x — xj. 

En désignant le quotient par i2, on aura 

(36) B = A(x — x fA . +i ){x — x ft .+ 2 ) . . . (x — x M ). 

Donc les — fi' quantités x^ +2 , . . . x^, seront les racines d'une 

équation, 72=0, du degré u — fi\ dont tous les coefficiens sont exprimés 
rationnellement par les quantités x ir x 2 , x B1 . . . , y<p#i 7 y^a? • • • 



Faisons 



*i = «a = *s = • ' • = *>, = 1 7 
= +2 = • • • =V — — 
a; /li+1 = a^ L / , ^ i+2 = a; 2 , . . . x fl , = x /AiJ 



| v^i + VEiH h^, — VV — V^' 

| = t; — xpy x — V+2 V#2 — V+3 V ? 

où est une expression algébrique et logarithmique. Les quantités x t , x 2 . 



(37) 



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454 REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES etc. 

• • • x,', ■ . . a;,/ sont des quantités variables quelconques et « « 

...y r seront déterminables à l'aide d'une équation du degré v'. 

Maintenant nous verrons qu'on pourra toujours rendre v' indépendant 
du nombre des fonctions données. En effet, cherchons la plus petite 

valeur de v. En supposant indéterminées toutes les quantités a 0 , «„ . . c 0 
c M il est clair que ;t sera égal à l'un des deux nombres 2n + * et 

2w-J- y „ ^ et r 2 représentant les degrés des fonctions <p lX , <p îX . Soit par 
exemple • * 

on doit avoir en même temps 

> — ou > 2m -{- ?/ 2? 

d'où, en ajoutant, on tire 

^=ou>m-f-w-f- ^-t^ . 



or 



donc 



v ' = — = ,u — m — n— 1, 

y'=ou>îi+ 1, -l 
2 ' 

ou bien, en désignant le degré de par y, 

On voit par là que la plus petite valeur de v' est ou * _ 1? gelon 

que „ est impair ou pair. Donc cette valeur est indépendante' du nombre 
. W i-W*2 des fonctions données; elle est mwi^^nt i„ i i 

total des coefficiens â â , j P ^ qU6 le n ° mbl * e 

n^„ J ' " " ' • • danS le S1Xlème tl^orème. On aura 

maintenant ce théorème: 

Tliéorlme VIII. Soit — f rdx r 

yz—j- , ou r est um f onct{on rat i onm Ue 

lotTTf *' 61 Um f ° nCtion * *S« 2,-1 0M 2,, * 

«« ^ ' A t?. ""^ on P° urra toujours irouver, 

les ,ue 16 eqmb0U *™«** V, *, • • - ^ d 

(39) | ^ + ^ V-/ - y< (/ , V 



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REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GÉNÉRALES etc. 455 

v étant algébrique et logarithmique, et f j , t 2J . . . égaux h -\- 1 o& 

à — 1. 

On peut ajouter que les fonctions y Xl y 2 , . . . restent les mêmes, 
quelle que soit la forme de la fonction rationnelle r, et que la fonction z; 
ne change pas de valeur en ajoutant à r une fonction entière quelconque 
du degré v — 2. 

10. 

Les équations (35) qui déterminent les quantités a 0 , a x , . . . e 0J e x , . . . 
deviendront 

(40) ^sV^ï^a = VtfV^ 7 0x/Y<Pi x * =— OiX^ipzXs, 

{ ox, t Yw* t = e i x *lfv* x * t > ôx^y tp.x^ = — o^Y <p* x v! • 

Pour déterminer f M * 2 , . . . f y _ n on aura les équations: 

fy*} f <Pi!h =— 



(41) 



Les fonctions y 17 y 21 . . . y v „ x sont les racines de l'équation 

1 j Gf — — ^)ï.""Cy — ^. — V) (y—*/) ... 0 — ' 

Le degré de la fonction Oy est n^-^^^p^— ~— 1 > et celui de 6,y est 
m = n -j- v t — y. 

11. 

La formule (89) a lieu si plusieurs des quantités a? n x t ^ . . . . . . 

sont égales entre elles, mais dans ce cas les équations (40) ne suffisent plus 
pour déterminer les quantités a 0 , a x , . . . r 0 , c x , . . . ; car si par exemple 
^ = #3= . . . les h premières des équations (40) deviendront iden- 

tiques. Pour avoir les équations nécessaires dans ce cas, posons pour abréger 



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456 REMARQUES SUR QUELQUES PROPRIETES GÉNÉRALES ete. 

Ox . ^if x X — 6 X X . \(p 2 x = Ix. 

Xx 

L'expression ( - ^ doit avoir une valeur finie en faisant x = x x . On eu 

déduit, d'après les principes du calcul différentiel, les k équations 

(43) ^ = 0, r^ = o, r^ = o, . . . x^ Xl = o, 

et ce sont elles qu'il faut substituer à la place des équations 

Xx x = 0, Xx 2 = 0, . . . Xx k =0, 
dans le cas où x l = x 2 = • • • =x k . 



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XXII. 

SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFÉRENTES QU'ON PEUT 
FAIRE SUBIR A UNE FONCTION ELLIPTIQUE PAR LA SUBSTITUTION 
D'UNE FONCTION RATIONNELLE DONT LE DEGRÉ EST UN NOMBRE 

PREMIER DONNÉ. 



Journal fur die reine und angcwandte Mathcmatik, herausgegcbcn von Crtllt, Bd. 3, Berlin 1828. 

Soit pour abréger 

(1) ^ f = (l— s f )(l — cV), J'* = (l — y 2 )(l — c' 2 y 2 ) 
et supposons qu'on satisfasse à l'équation différentielle 

/«\ du dx 

(2) -J- = a -j' 

en y substituant pour y une fonction rationnelle de x de la forme 

/«n _ -■1o + ^+^- 4W h+1 
K > )J — Bo + Ihx+ h Bw**** 1 ' 

oîi 2n-\-l est un nombre premier, et où l'un au moins des coefficiens A tn + t 
et i? 2 „ +1 est différent de zéro. En supposant, ce qui est permis, la fraction 

précédente réduite à sa plus simple expression, nous dirons que -j T se trans- 
forme en a~ par la substitution d'une fonction du degré 2w-f-l. 

Il s'agit maintenant de trouver toutes les valeurs différentes de y qui ré- 
pondent à la même valeur de 2n-\- 1. Si l'on fait 



(i) i = J. -J et T =J, - 



1 

ix 

58 



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458 SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFERENTES etc. 



et qu'on désigne par XO une fonction de 0, telle que 



dO = ~ pour x = 10 , 



et en outre 

4(0) = 0, 

il suit immédiatement de ce que j'ai dit sur le problème général de ltf trans- 
formation des fonctions elliptiques dans le n° 138 du journal d'astronomie 
de M. Schumacher*), qu'on satisfera de la manière la plus générale à l'équa- 
tion ~jr — ^ l j~ d ans le cas où B 2n+1 = 0, en prenant 

y — a (l — c n*a . *«) [1 — e*l*(2à) . *»J ... [1 — cU 2 (na) . se») ' 



(5) < c ' = c in+i 



\ï + a).X (f + 2«)...,(j + n«)] 4 , 



a = —7— [Xa.l(2a) . . . A(?za)] 2 , 
où a est une quantité de la forme 

( 6 ) . a= 2»+l ' 

et m' étant deux entiers. Maintenant, ayant trouvé cette solution, il suit 
encore de la formule (51) du mémoire cité que toutes les autres valeurs de 

y seront de la forme > y étant donné par (5) , f\ f, g, g' étant 

des quantités constantes qui doivent satisfaire à l'équation 

m ' ( ' ( > +/eH ( * ») ( i 

= (1 — z 2 )(l-c'V). 

Cette équation donne vingt-quatre systèmes de valeurs différentes. On trouve 
ainsi qu'à chaque valeur de a répondent 24 valeurs de y et douze valeurs 
du module c. Mais comme les valeurs de y sont deux à deux égales, mais 
de signes contraires, nous n'en compterons que douze. Par la même raison 
nous réduirons le nombre des valeurs de c à six. Cela posé, si Ton fait 
pour abréger: 



# ) Mémoire XIX do cetto édition. 



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•SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFÉRENTES etc. 459 



p = as[l — ^)... ; w== (i_ c U 2 a.a; 2 )...[l — c'A^wa)**]; 



€ = C n + i 



(8) 

on trouvera aisément ces valeurs correspondantes des trois quantités c', a, ?/: 





I. 


II. 


m. 


IV. 


V. 


VI. 


C'z= 




1 


(fer- 




(l + .i) ' 


( 1 _ C *J ' 


a = 










±-£(l + e «)»,-, 


T A (!_„•).,•, 


y = 


l ô p 
) e v 
j 1 » 


€ V 
V 


1 + e v + dp 
1 — e v + dp 1 


1 — e v + âp 
1 -(- e v + dp' 


1 + e/ v + dpi 
1 — e* v + Ôpi 


1 — £i P+<fyu 

1 -)- ei v + df;u ' 



(oh i = f— 1). 

On voit qu'à chaque valeur de c' correspondent deux valeurs différen- 
tes de la fonction y. Maintenant si Ton attribue aux nombres m et m' des 
valeurs entières quelconques, on aura toutes les solutions possibles de notre 
problème. Or parmi ces solutions il n'y aura qu'un nombre fini qui soient 
différentes entre elles. Cherchons d'abord les solutions différentes qui répon- 
dent au premier cas, savoir c' = e* et y = ~-™« Pour les trouver, soit 

a' une valeur de a et désignons les valeurs correspondantes de ?/, p, v i ^» 
e par ?/', p\ v\ â\ s'. Cela posé, il est évident que si y' doit être égal à 
± y, on doit avoir 

à 9 . à 
p = Pj v =v, — = ±~. 

Or en vertu de l'équation (8) on ne pourra avoir p' =p, à moins que les 
quantités A 2 a, >t 2 (2a), . . . k\na) ne soient, quoique dans un ordre différent, 
égales à celles-ci: 

ÀV, l*(2a'), . . • X\na'). 

Soit donc 

l*a' = 

où fi est moindre que n. On en tire Xa' = ± l(jtia), d'où, en vertu du thé- 
orème II du n° 138 du journal d'astronomie, 

58* 



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460 



SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFÉRENTES etc. 



a' = Jcœ -j- h'œ' ± ( ua, 
où & et 7s' désignent des nombres entiers quelconques. Cela donne 

et puisque l[0 -\-(2n-\- \)a\ = lO, et que 2n-\-l est un nombre premier, 
il s'ensuit que 

p'—p, v' = v, â / = â 1 e' = e. 

Donc les solutions qui répondent à « et a' sont précisément égales en- 
tre elles. 

Soit d'abord m' = 0 en sorte que a = — . Si Ton fait k' = 0, et 

1 2 n -f- 1 7 

qu'on détermine les nombres h et u de manière à satisfaire à l'équation 

, , fitn 1 

on aura 



2^ + 1 

7/.?0> 



On voit par là que la solution qui répond à a= est ^ a ,n ^ me c l ue 

celle qui répond à a = 2?7^T' ^ ue ^ ^ Ue so *' m ' 

Supposons maintenant m' différent de zéro, on aura 

/ 7 17//, n H U0 + Wt'fdù/ 

1 ~~ 2n + 1 

Si l'on détermine les deux nombres entiers ft et &' par l'équation 



et h par celle-ci: 



/y , m'y 1_ 

=*= 2«+l — 2n+l ' 



X 2w+l — 2n + l ' 



où v est . positif et moindre que 2w-j-l, on aura 

z a/ 
a — 2n+l 

On voit par là, que pour obtenir toutes les valeurs différentes de v et p, 
il suffit de donner à a les valeurs: 

/ia\ <*> w' wjfw û/ + 2m co'-\-2mo 

K > 2u+l' 2»+l' 271 + 1' 2^+T' ' ' * ^+7" 



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SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFÉRENTES etc. 



461 



premier, 

îlloî t'D- 

=fi,et 
tion 



ni' (ii: 



Or toutes les solutions ainsi obtenues seront effectivement différentes entre 
elles; car si Ton attiibue à ce et à a 7 deux valeurs différentes de la série 
(10), il est clair qu'on ne pourra satisfaire à l'équation 

a = ko) k'œ' ± fia , 

qui exprime une condition nécessaire de l'identité des deux solutions qui 
répondent à a et à a'. 

Donc le nombre des solutions différentes qui répondent à y = ~ - • — est 

2?i-\-2. Maintenant si l'on attribue à a toutes les valeurs (10), les formu- 
les (9) donneront 12(2n-|-2) solutions, et il est évident que toutes les 
12(2ft-|-2) valeurs correspondantes de y seront nécessairement différentes 
entre elles. Cependant il ne répond à ces 24(v*-}-l) solutions que \2(n-\-\) 
valeurs du module. Il faut observer que la conclusion précédente n'a pas 
lieu pour le cas particulier oïx n = 0. En effet, dans ce cas y n'aura que 
douze valeurs différentes, car les deux valeurs a = oi, a = io\ auxquelles 
dans ce cas se réduisent les quantités (10), donneront pour y une même 
valeur, savoir y = x. Il faut remarquer également que le module c ne doit 

pas avoir les valeurs zéro ou un. Dans ces cas la fonction J ^ n'est plus 

une fonction elliptique, mais circulaire ou logarithmique. 

On pourra mettre les huit dernières valeurs de y (9) sous une autre 
forme qui est à quelques égards plus élégante. Eu effet on pourra démon- 
trer qu'on a 

v — âp = (l — x.fc)(l — 2k l x]Tc-j-c.x 2 )(l-^ 2k,x]Tc ex 2 ) . . . 
( , ...(l-2k u xfc+cz*) 7 
v-d P y-ï = (l- x y^c){l-2k i ' xY^c-cx 2 )(l-2k 2 'x]/^c-cx 2 )... 

. . . (i-2fc n ^y^- C x 2 ). 

En changeant le signe de on aura des expressions semblables pour 
v + âp et v -f- âp . Les quantités Jc n k„ 7c 3 , . . . K sont données 
par la formule 



JQia) 



On a pareillement 

h ' — ^0") 

~ l + <?.À f (/#a) 

4(0) désignant la quantité 



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462 



SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFERENTES etc. 



■^=±f(l-rt)(l-?4 

Donc Je numérateur et le dénominateur « de la fraction (3), qui exprime 
la valeur de y, se trouvent décomposés en facteurs dans tous les cas. 

Dans le cas où le module c est moindre que l'unité, les équations (9), 
nous font voir que généralement les modules des transformées sont imagi- 
naires, excepté ceux qui répondent à 

co . co' — co 

2w+l zn-\-l 

et en même temps à l'une des solutions I, II, III, IV. Il n'y a donc que 
huit modules réels. Si l'on ne désire que ceux qui sont moindres que l'unité, 
on n'en aura que quatre. Cependant il pourra arriver, c ayant des valeurs 
particulières, qu'un plus grand nombre des modules transformés soient réels. 
Je ferai voir dans une autre occasion, comment on pourra trouver toutes 
ces valeurs particulières. Pour le moment je ferai connaître une manière 
d'exprimer toutes les valeurs du module c à l'aide de produits infinis. 

Si c est moindre que l'unité, co sera une quantité réelle, co' au contraire 
sera imaginaire; car on a 

i i 

c'est-à-dire que, si l'on fait 



r 1 àx 



ou 



i = fl — c\ 



on aura 

co f = co~{~œ } f — l , 

G) étant une quantité réelle comme co. Cela posé, les 2n-\-2 valeurs de a 
deviendront : 

co (Oi -f - co coi -f- (2n -)- Vjco 

2n + 1 ' 2n+T' " " ' 2/r+l 

A la place de ces valeurs on pourra aussi mettre celles-ci: 

co coi coi-\~2co coi-\-4:CO coi-\-Amo 

2n+ï ' 2n+l' ' ' 2n+T ' 

où t=y— î . 



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GoogI 



SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFERENTES etc. 463 

En faisant c=l, e=j (formule 189 t. II, p. 177*), et mettant en- 
suite bœ et b® au lieu de io et ôJ, et enfin a=*&|-g- — tfji on trouvera 
nations 5 lO=fa, et la formule donnera après quelques réductions faciles, 

(12) »s = a n - s[n (Z e { m 1 1 - — - — J — 



cas. 



"M iuiiiT]*. 



O'iitrair? 



Vc f!£ ' U / [l-2 ? .COB(^»)+ î J ][l-2 g s C08^^+ î 6 ] 



0 

- 7f 



OÙ 2 = 6' W . 

W Pour calculer la valeur de 6 d'après l'équation (8), il suffit de chercher 

les valeurs de + A (y+' 2a )> . . . i{ + ncc ) au mo y en de la 



pit j I mure, 
vakn 
ht rJrk 

vr lJ !Ite> bord a = rt ^ on trouvera aisément 

2/1+1 

' manière 



foi-mule précédente, et de les multiplier ensuite entre elles. Si l'on fait d'a- 



4 _____ / J _|_ ^2(-2n+l) J _|_ ^4(2n + l) 
( 13 ) 6 = 2. ]/ 5 2n + 1 . ["J^^n+r 'X^l^a^n+I) 

De même si l'on fait 



tôi + 2/<w 

a : — 



2n + l 

et si l'on pose pour abréger 

* 2/r . ,# — - . 2/r 

*i = co B - 2fi - + - 1 -+y-1.8in FMTl - 

on parviendra à cette formule: 



(14) 



4 

€ = 2 . K<Jf.g ïrn 



Donc on voit que pour avoir toutes les valeurs de f, il suffit de substituer 
dans l'expression 



(15) 2 h ( 1+ îM+-« 4 ■ • • i + i ~- • • • ) 



1 

au lieu de q, les 2n + 2 valeurs 3 2 " +1 , q** hq™' 1 , d{q* n+1 \ • • • «Tf Ï*" + S 
x 7 J?, . . . étant les racines de l'équation J* n+1 = l. Deux seulement 



*) Voyez p. 347 do cette édition. 



464 



SUR LK NOMBRE DES TRATSFORMATIONS DIFFERENTES etc. 



des valeurs de s sont réelles, savoir celles qui répondent à la substitution 
i 

de q 2 "* 1 et c'est-à-dire à 

10 Coi 

a = -j- rT et a = - — - - . 
An -f- 1 2n-\- 1 

Il suit encore des formules précédentes que toutes les 2n-\-2 valeurs 
de s sont nécessairement différentes entre elles, excepté peut-être pour cer- 
taines valeurs particulières du module c. Ayant trouvé les valeurs de é, on 
aura celles du module c à l'aide des équations (9). Il est à remarquer que 
l'expression (15) est précisément la valeur de comme on peut le voir 

10 Ô ' 

en faisant 6 = ™ • Dans le cas où Ton suppose y de la forme - • ~ ' k 

module c/ sera égal h ê 2 d'après les formules (9), donc Yc' = e. Par con- 
séquent dans ce cas le module c se changera successivement dans toutes les 
valeurs du module c', si l'on remplace dans la formule 

(16) ^^.(M^...)', 

2n-fl 2n-fl 2n+l^ 2n+l 

q par q*+\ fq, âjq, d\fq, . . . d?}[q. 

Ce théorème s'accorde parfaitement avec le théorème énoncé par M. 
Jacobi dans le tome III. p. 193 de ce* journal. Seulement à l'endroit cité 
la fonction de qui exprime la valeur de Yc, est présentée sous une autre 
forme. Donc on trouverait immédiatement le théorème de ce géomètre, si 
l'on pouvait parvenir à démontrer l'identité des deux fonctions 

1 9 25 

On pourra encore démontrer qu'on aura les 2« — j— 2 valeurs de c', en 
mettant dans la formule 

2n-}-l l'M-f-1 2n+l 2n +I 

les quantités r**\ \' r , â^r, d\\r, . . . d?fr, au lieu de r, la lettre r 



désignant la quantité e ffl . Cette quantité est liée à q par l'équation 

1 



1 * • 1 °g(-r) = * 8 - 



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SUR LE NOMBRE DES TRANSFORMATIONS DIFFERENTES etc. 465 

tltUD ^ Four avoir la valeur du coefficient a il faut connaître celle de â (8). 

Or on pourra la déduire aisément de la formule (12), en y faisant 0 = a, 
2a, . . . na. On trouve de cette manière que les valeurs de 8 qui répondent 
respectivement à 

, } ' io Côi f)l-\-2co (Di-\-4?uo 

V;i '-* a= 2n+l ' ~2n+l ' " ' ' ~~2«+f ' 

e pour eer- 

Jr> f j e f sont égales à celles que prend l'expression 

'Ht le voir v/ w ri \l — <?1 — î 3 

^ /» . 2n-fl 2n+l 2n-fl 2n+l 

f r' • en y substituant au lieu de q les valeurs ç 2n+1 , ? ^ïVî? • • • <TVï- 

l'ar coq- 
élites 



par ï 
iroit cité 
me aurre 
'icrre, si 



en 



rre r 



59 



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XXIII. 



THEOREME GENERAL SUR LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIP- 
TIQUES DE LA SECONDE ET DE LA TROISIÈME ESPÈCE. 

Journal fur die reine und angewandte Matheraatik, herausgegeben von CreUe, Bd. 3, Berlin 1828. 

Si une intégrale algébrique /(y 7 sc) = 0 satisfait à l'équation 
on aura toujours 

où -4, B, n sont des quantités données, A', B\ m, h des quantités constantes, 
fonctions des premières, et p une certaine fonction algébrique de y et x. Il 
est très remarquable que les paramètres m et n sont liés entre eux par la 
même équation que y et x, savoir f(m J n) = 0. Dans le cas où n est in- 
fini, le premier membre deviendra seulement une fonction de la seconde 
espèce, et dans ce cas on pourra démontrer que 

où v est une fonction algébrique des variables x et y. 

Au reste il est aisé de démontrer la formule (a). Il n'y a qu'à diffé- 
rentiel- l'équation 

a f = / .. _ * __ 

J V (1 - *») (1 - J V(l - y») (1 - c- V») 

par rapport au module c. Je me réserve de donner dans un autre mémoire 
des développement plus étendus sur le théorème ci-dessus. 



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XXIV. 



NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES. 



Journal fur die reino und angewandto Mathematik, herausgegebcn von CrcUr, Bd. 4, Berlin 1829. 



Dans le second tome de ce journal j'ai donné plusieurs formules pour 
le développement des fonctions </>«, fa, Fa, dans le cas où les modules e 
et c sont réels. Il sera facile d'en déduire des formules analogues pour le 
cas où e 2 est une quantité négative, comme nous allons voir. 

Soit pour plus de simplicité c=l. Cela posé, si Ton fait 



(1) J«=/(ï-i.J, oi, h = vi --, 

on trouvera aisément, par la définition de la fonction /, qu'on a 

_ Ç dx 

(2) "^Jo V(T-.^(l-^.r 2 )' 
en faisant 

e 

x = la et c = — — • 

Donc le module c est plus petit que l'unité, et comme on a b = ]/l — c 2 , b 
sera son complément. 



On trouvera aussi 



(3) 




dx 



J 0 VI — c»8in»« 



dx =J> f* M 



59* 



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468 NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES. 

Si Ton fait 
on aura encore 

et en*faisant 

(C) 



2 J 0 yi_,* 8in V 2 J o yr_- A »7i= 



on a, en vertu de (3) 
(7\ ta' (o 

KJ a' = â' <*> = bw', G)=bG}'. 

Considérons maintenant d'abord la formule (185) p. 176*), oui donne 
la valeur de /«. Pour en déduire celle de la fonction la, * 12 de 

2ZJ ~ Ùa " ^ PkCe ^ " FaiSOHS d ° nC a=Z ï- bd > et P~Pour 
(8) 



alors la formule (185) donne sur le champ 

i8 = A.ïï ( 1 ^ 2 " +1 ) 2 _n_(^ M - e - 1 7-»+i)2 
(8') ^ = (L+'l(i+i- 3 )-.. 

(1 — r)(ï_,.3)-- 
Or on a 7 



et 1 ' ' 

(i + ,- +r + ( , r . _ ^ r . +1)1 = (1 + ^ 2 rim) (i + ^ 

par conséquent l'expression de M deviendra, en développant, 

*) P. 346 de cette édition. 



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en v 



NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES. 469 

J) ï + g a (1 + Q*r*) (l + Q-*r*) (l + çV) (1 + ê^r*)ï.: ' 

(U\ l'A— A" (1 + g 8 r) (1 + g" 2 r) (1 + g 2 '' 3 ) (1 + (T 2 r 3 ) ■ ■ ■ 

où .4', J." sont donnés par les formules 



(13) yi": 



(l+r«)(l+r*)(l+r«)... 
(l+r)"(l4-"r»)(l+r*)...' 



On pourra trouver pour 4, A', ^1" d'autres expressions beaucoup plus sim- 
ples et qui donneront des formules très remarquables. 

r,,U '' ,,,,rrf Si Ton fait, dans la formule (9), 0 = ^r--\-~t^ on aura 

>nfîit ifc 1 * 

M=f[°i) = rt^ = ±, et ^ = 6^ T = -r f 



. 2 / * c 

donc en substituant, 

1 —jf L ( 1 + r 1 + 7 ' 3 1 + ^ 5 

<; \ 1 — r 1 — r 3 1 — r 5 

c'est-à-dire, en vertu de la formule (8'), 

= A* 

c 

d'où 



En faisant, dans l'expression de ^ = ^ — | — ^ h on a 



M = -<p[ 2 ) = - e =-i— - -. et p = -r, 



donc 



.■.{ = *A'.-yr(^.-î^...f 
d'où Ton tire, en vertu de l'équation (12), 



2V»- 



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4 70 X "TK M U OLKLOLES FOKMLXES ELLIPTIQUES 

Kiifin «i l'on fait .la.,* la formule (11; 0= ~, on trouvera 
'lotir: 

f-t par huitc* 

ii- = ^ . 

Km comparant ces valeurs ,de A', A" à celles données plus haut, ou en 
déduira, ces formules: 

(M) l/r,= l ~' r î — r * 1 — rr ' 

' ' 1 +r 1" + ,.»' 

(lo) .V l+r» 1+r* l +r « 

f '<• ' ' ' ' 1 — r ' 1 _ r » ' 1 _ r 7, • * • ' 

r r ' 1 + 1 _|_ r » • 1 _p,.f, * * • ' 

,lo,,t <«* une suite des deux autres. 

Si dans l'expression de on fait 0 = 0, après avoir divisé les deux 

l-,' = *£+..., 
et qu'on remanie que * = i, pour tf = 0? on M ^ 

(17) |/ C< 1/«'^(1-^)(1-^)(1 -,«)... 

r ,r (1 + r*)(i + + ;.«). 

De là on tire, en substituant la valeur de \c\ 
(1 H) lA'' _ (1 + r) (1 - ,.*) (1 + ,,.) (1 _ ,., } 

= (1 + r)« (1 -f r .)« (1 + ,, r . . . x (i _ r2) (1 _ f4) (1 _ rfi) 
-[(1 + 00+ r") (1 + r») . . . ]" . (1 + r) (i + ^ (1 + ,.*) . . . 

,,u «o à™ formules (1(5 14 ls \ :i „ , , , 
produits infinis Clle de trouv er l'expression des 



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(19) 



NOTE SUK QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES. 471 

(l+r)(l + r")(l + r«)..., (1 - r) (1 - r s ) (1 - r») . . . . 

En effet, si Ton fait pour abréger 

j P = (l+r)(l + r')(l+r»)..., 

( P'=(l+r*)(l+<)(l + ,•«).••, 
et qu'on ait égard à la fonnule 

ir^jçï—sxï - r .) - = (i + 0 (i + O (! + O • • • = p- ^ 

les fonnules (14, 16) donneront sur le champ 
d'où Ton tire 

24 6 24_ 

On connait donc les produits P et P 7 . En les multipliant entre eux, il 
viendra 

12 

(21) (1 + r) (1 + r") (1 + r 3 ) (1 + r') . ..=•,- ^ - • 

V2e.Vr 

De même la formule (18) donne, en substituant les valeurs de P, P', 
\/~=P\P'.{l — r) (1— r*)(l — r s ) 

et de là: 

(22) (! - -H) (1 -,•>)...= -Vï- 

V2.Vr 

formule due à M. Jarobi (Tome III. p. 193, oîi ce géomètre en présente 
plusieurs autres très remarquables et très élégantes). 

Des fonnules démontrées précédemment on peut aisément en tirer un 
grand nombre d'autres. En voici quelques unes des plus remarquables. 

Si Ton fait pour abréger 

io' 

(23) q = e ""»'", 
on aura 



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472 



NOTE SUK QUELQUES .FORMULES ELLIPTIQUES. 



(24) i ( _ x j = ■ M q . s.n z . _ 2 ___-- - -, . ^ . . . 

f25 x r /«' r )_2l/ 7 '.i / ,/ cos* i+^^-i±i 1 .L+ 2 ^ os2 ^ 8 ... 
^ A l .r"-') — e '2- COSa; -l-2 î co 8 2* + î» 1 - 2q* cos 2x + g « 

v } \ 7t j f 1 — 2qcos2x-\-q 2 1 — 2 q* vos 2 x -\- q b 

Ces formules ont été déduites respectivement des formules (11, 10,. 9), en 
changeant c en />, et en faisant ensuite 

i î '• 

En comparant ces valeurs à celles que M. Jacobi a données pour les 
mêmes fonctions à l'endroit cité, on parviendra à des résultats remarquables. 
Ainsi, en faisant dans la formule (3) de M. Jacobi, k = c, on aura 

(1 + 2^ cos2.r + 2q* cos 4a? + 2q 9 cos 6.r-j 
1 — 2q ço$2x-\-2q A eos4# — 2q i] cos 6.c + • • • 
_ (1 + 2q cos 2.r + 7 2 ) (1 + 2q z cos 2.r-f ? 6 ) (1 + 2? 5 eos2»r + g 10 ) . . . 
. ~~" (1 — 2q cos 2 *~+ î 2 ) (î — 2j 3 " cos + î 6 ) (ï^- 2 2 5 ^os 2 t r+~ 2 10 ) • . . 

formule qui doit avoir lieu pour des valeurs quelconques réelles de x et 3, 
en supposant q moindre que l'unité. 

En prenant les logarithmes des valeurs de X j x j etc., on trouvera après 
quelques réductions faciles: 

(28) log A ( £ * ) = log 2 - \ log c - 1 J « + log sin x 

+ 2 ( cos 2* . r £ + 1 cos 4x . r ?* -, + 1 cos 6* . j + •••)> 

(29) log /' ( ™- x ) = log 2 -f | log 6 — 1 log c — l ^ n -f log cos x 

+ 2(cos2x. 1 £ :2 + i co S 4x. ï |- î ,+ i cosC»x. ï ^ ? +---)' 

(30) log r ( £ x ) = | log 6 + 4 ( cos 2* . x £7^ + 1 ^ Caj > . + . . . j . 
En faisant x = 0, on trouvera: 

(S1) Mf)= 8 -(ri?+*- l -^+*- i ^--+-) I 



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NOTE SUR QUELQUES FOXÎMULES ELLIPTIQUES. 473 

(32) log(- -) = i.4« — 21og2 + 4f r 4 1 . <?ï . _2! . . .) 

En posant dans les formules (206) et (207) t. II, p. 180*): a = l — -£, on 
trouvera les expressions suivantes: 

(33) i(-^-*) = ^- Vq.(*nx. ^- + «118*^ J^ + sinô*. j^-f. • •) , 

(34) *' ( v * ) = • Vî • ( c " s x ■ ïi~ q + «» 3 * ' i + ,i + «» 5 * • i +y +•••)■ 

Ces formules sont peut-être les plus simples qu'on puisse trouver pour ex- 
primer les fonctions elliptiques en quantités connues. 

Voici encore deux autres formules qu'on déduira des équations (204) 



et (205) t. II, p. 179*), en y faisant a= ^ — wx: 

(35) V(.%) = |=. (^-î- 1 .^-+ , - ï ^ 

(3 «) r W = */• (r+_^_^^ + ^*.^_ . . • 

r désignant la même chose que précédemment. 

Il est à remarquer que les quantités r et q sont liées entre elles par 
l'équation : 

(37) log r . log q = ti *. 

A l'aide des expressions des modules c et h données plus haut, on 
pourra trouver une relation générale entre les modules de deux fonctions 
elliptiques qui sont réductibles l'une à l'autre. En effet on pourra démon- 
trer, comme je l'ai fait dans un des derniers numéros des „Astronomische 
Nachrickten"**), que si deux fonctions elliptiques réelles 

(38) ,. M) =£ yi= .^ nV F«,*)=l w J^,y 



*.) P. 350 de cotte édition. 
**) Mémoire XX do cette édition. 

60 



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NOTE SUK QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES. 

dont les modules c et c sont moindres que l'unité, sont réductibles Tune à 
l'autre à l'aide d'une relation algébrique entre sin0 et sin#', on peut trou- 
ver deux nombres entiers m et tels que l'équation 

^ ' n 'Jo Yl — c'sm'éjo Yl^^m^e 

Il JT 

n de r* de 



soit satisfaite; b ' est le complément de c', savoir 6' = |/l — c' 2 . 

Si cette condition est remplie, on pourra toujours déterminer sin#' al- 
gébriquement en sin# de sorte que 

(40) F(c',O')=za.F(c,0), 
oh a est un coefficient constant. 

Cela posé, désignons par oj", cS", r\ q les valeurs de ai', a)', r, q qui 
répondent au module c', on aura en vertu de la formule (14) 

v G — (î+oa + Ô (ï+^ 5 )...' 

r' étant égal à & a ' . Mais l'équation (39) donne 

i.o" Il LO' 



n 10 



donc 

r 

c'est-à-dire que 

Donc on a ce théorème: 

Une fonction elliptique réelle étant proposée, si son module c est donné 
par la formule: 

r (l+r)(l + r 3 )(l + r 5 )... 

on aura le module de toute autre fonction elliptique réelle, réductible à la 

n 

première, en mettant au lieu de r la puissance r w , où et m sont deux 
nombres entiers et positifs quelconques; autrement dit, on aura, en désignant 
par c le module de la nouvelle fonction, 



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NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES. 



475 



(l + r «) (l + r 8 ») (l + r 5ffl ) . . 
En faisant 

(43) Vi=f5.V S .^--^-^ 
on aura encore la formule suivante: 



(44) ^ =ra -.(f s )T..l± 1 2.1±^.i+Ll.... 

1 + ?* 1 + 2 w 1 + g n 

Dans le cas particulier où le module r est } r |, on a = donc 

r = e~ l = q. 

De là il suit que le module c de toute fonction elliptique réelle, qui est ré- 
ductible à la fonction / , - — > est donné par la formule : 

(45) \ c — ' " 1 + e-'w* 



27 4.7 G.r 



= M • C * 3 .7 5 7 



1 + e r* 1 + « /' 1 + e f* 

où it est un nombre rationnel quelconque. 

D'ailleurs, dans ce cas e pourra toujours être exprimé en termes finis 
à l'aide de radicaux. 

Si Ton suppose b' = c, on a c' = b, œ" = m\ û>" = a>'; mais 

Oj" W, fe/ <o' 

d" m w — et/ 

donc 

.11 . 



De là nous concluons: 

Si deux fonctions elliptiques réelles dont les modules sont complémens 
l'un de l'autre, sont réductibles entre elles, le module sera donné par la 
formule : 

60* 



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476 NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES. 

et son complément b par celle-ci: 

(47) n= l -~±Ii.\ri± T * 1-<L^ 

1+e l + e V" 1+e 

où ,u est un nombre rationnel quelconque. 
Nous ajouterons qu'on a en même temps 

oh k est un autre nombre rationnel. Cela donne immédiatement le théorème 
s in \ ai 1 1 • 

Si l'équation différentielle 
(49) d, J L_ d.r 

est intég-rable algébriquement, il faut nécessairement que le coefficient a soit 

lt lt m T»t e ^ * l>o*W en supposant que 

os quanta, 4 J3, G', « so.cnt réelles- et .si a est de cette fonne, on pourra 
trouver une mfimté de valeurs convenables pour A, B, G. 

cnAonT tern,i r r °" S ?* ™»*V»* la démonstration d'une fonnule 
cuncu.se, quon t.re de la première des équations (20), savoir de la fonnule 

(l + r)(l + r»)(l-fr 8 )... = f2 
En y changeant , en A, A se changera en c, et r en ? , donc: 

+ + ? «) . . . = f 2. . 
En comparant ces formules, on voit que l'équation 

M l ■ (1 + r)(l + O (1 + r').. . . = „>_ (1 + 4 ) (1 +2 .) (1 + jn . . . , 

a lieu toutes les fois que les quantités , et q sont moindres que l'unité et 
bées entre elles par l'équation 1 

logr.logq = n\ 



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'"''Ht I- fin:. 



NOTE SUR QUELQUES FORMULES ELLIPTIQUES. 477 

Il existe un grand nombre de relations semblables entre q et r, par 
exemple la suivante : 

4 4 

jAog~-(* + r + r* + r- + . . .) = j/ log J r . Q - + q + q* + </ + . • .), 

qui est due à M. Cauchy (Exercices de mathématiques). On pourra la dé- 
duire de la formule 

donnée par M. Jacohi, en y changeant c en b. 



'•"'flirirïir n 

•nue, un 



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XXV. 



MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS RÉSOLUBLES 

ALGÉBRIQUEMENT. 

JournAl fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von Crelle, Bd. 4, Berlin 1829. 



Quoique la résolution algébrique des équations ne soit pas possible en 
général, il y a néanmoins des équations particulières de tous les degrés qui 
admettent une telle résolution. Telles sont par exemple les équations de 
la forme x n — 1 = 0. La résolution de ces équations est fondée sur certai- 
nes relations qui existent entre les racines. J'ai cherché à généraliser cette 
méthode en supposant que deux racines d'une équation donnée soient telle- 
ment liées entre elles, qu'on puisse exprimer rationnellement Tune par l'autre, 
et je suis parvenu à ce résultat, qu'une telle équation peut toujours être ré- 
solue à l'aide d'un ceitain nombre d'équations moins élevées. Il y a même 
des cas où l'on peut résoudre algébriquement l'équation donnée elle-même. 
Cela arrive par exemple toutes les fois que, l'équation donnée étant irréduc- 
tible, son degré est un nombre premier. La même chose a encore lieu si 
toutes les racines d'une équation peuvent être exprimées par 

x, Qx, 0 2 x, 0 3 x, . . . 6 n - l x, où 6 n x = x, 

6x étant une fonction rationnelle de x, et 6 2 x, 6 3 x, . . . des fonctions de la 
même forme que 6x, prise deux fois, trois fois, etc. 

L'équation ~- — ^ =0, où n est un nombre premier, est dans ce cas; 

car en désignant par a une racine primitive pour le module on peut, 
comme on sait, exprimer les n — 1 racines par 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 



479 



X, x a , X , x a , . . . X , ou x" = x, 
c'est-à-dire, en faisant x a = 8x, par 

x, 0x, 0 2 x, 0 3 x, . . . 0"- 2 x, où O n - l x = x. 

La même propriété appartient à une certaine classe d'équations à la- 
quelle je suis parvenu par la théorie des fonctions elliptiques. 
En général j'ai démontré le théorème suivant: 

„Si les racines d'une équation d'un degré quelconque sont liées entre 
elles de telle sorte, que ioutes ces racines puissent être exprimées rationnel- 
lement au moyen de Tune d'elles, que nous désignerons par x; si de plus, 
en désignant par 0x, 0 A x deux autres racines quelconques, on a 

00 l x = 0 i 6x, 

l'équation dont il s'agit sera toujours résoluble algébriquement. De même, 
si l'on suppose l'équation irréductible, et son degré exprimé par 

où «j, a 2 , ... a M sont des nombres premiers différent, on pourra ramener 
la résolution de cette équation à celle de v x équations du degré a Xj de r a 
équations du degré a 2 , de v 3 équations du degré a s etc." 

Après avoir exposé cette théorie en général, je l'appliquerai aux fonc- 
tions circulaires et elliptiques. f 

§ 1. 

Nous allons d'abord considérer le cas où l'on suppose que deux racines 
d'une équation irréductible*) soient liées tellement entre elles, que l'une puisse 
être exprimée rationnellement par Vautre. 

Soit 

(1) (fx^O 

• une équation du degré //, et x' et x A les deux racines qui sont liées entre- 
elles par l'équation 

*) Une équation (fxzzO, dont les coefticiens sont des fonctions rationnelles d'un 
certain nombre de quantités connues «, />, c, . . . s'appelle irréductible, lorsqu'il est im- 
possible d'exprimer aucune de ses racines par une équation moins élevée, dont les coef- 
ficiens soient également des fonctions rationnelles de a, h y c . . . . 



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480 



MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 



(2) x' = 0x l7 

où Ox désigne une fonction rationnelle de x et de quantités connues. La 
quantité x étant racine de l'équation, on aura cp(x') = 0 1 et en vertu de l'é- 
quation (2) 

(3) <p(dx 1 ) = 0. 

Je dis maintenant que cette équation aura encore lieu, si au lieu de x x 
on met une autre racine quelconque de l'équation proposée. On a effective- 
ment le théorème suivant*). 

Théorème T. „Si une des racines d'une équation irréductible (px = 0 
satisfait à une autre équation fx = 0 1 où fx désigne une fonction ration- 
nelle de x et des quantités connues qu'on suppose contenues dans (px\ cette 
dernière équation sera encore satisfaite en mettant au lieu de x une racine 
quelconque de l'équation cpx = 0. u 

Or le premier membre de l'équation (3) est une fonction rationnelle de 
x, donc on aura 

(4) (p(0x) = O, si (f>x = 0, 

c'est-à-dire que si x est une racine de l'équation (px=0 1 la quantité 6x 
le sera également. 

Maintenant, d'après ce qui précède, 0x Y est racine de l'équation <fx = §, 
donc OOXi le sera aussi; 600x ll etc. le seront également, en répétant l'opé- 
ration désignée par 0 un nombre quelconque de fois. 



*) Ce théorème se démontre aisément comme il suit: 

Quelle que soit la fonction rationnelle fx, on peut toujours faire fxz=.— , où M et 

N sont des fonctions entières de x, qui n'ont pas de facteur commun; mais une 
fonction entière de x peut toujours être mise sous la forme P-\-Q.cfx, où P et Q 
sont des fonctions entières, telles que le degré de P soit moindre que celui de la 

fonction <px. En faisant donc 3i — P-\- Q.epx, on aura fx — -^^^—' Cela posé, soit 

Xi la racine de (pxzzO qui satisfait en même temps a /jmO; x x sera également une 
racine de l'équation P= 0. Or si P n'est pas zéro pour une -valeur quelconque 
de x, cette équation donnera x x comme racine d'une équation d'un degré moindre 
que celui de yxzzQ, ce qui est contre l'hypothèse; donc P—Q et par suite 

fx=z(px~i d'où l'on voit que fx sera égal k zéro en même temps que (px c. q. f. d. 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 



481 



Soit pour abréger 

eox^o'Xi] BB t x x = B s x x - oo*x l = o 4 x i etc., 

on aura une série de quantités, 

(5) sc n 8x x , 6*x l , 0 3 #i, 0 A x xl . . ., 

qui toutes seront des racines de l'équation cpx = 0. La série (5) aura une 
infinité de ternies; mais l'équation q>x = 0 n'ayant qu'un nombre fini de ra- 
cines différentes, il faut que plusieurs quantités de la série (5) soient égales 
entre elles. 

Supposons donc 

e m x x — e t,i+n x xi 

ou bien 

(6) B n (6 m x l ) — B m x l = Q, 
en remarquant que B u +*x l = B*B m x l . 

Le premier membre de l'équation (fi) est une fonction rationnelle de 
6 m x l \ or cette quantité est une racine de l'équation (f>x = Q, donc en vertu 
du théorème énoncé plus haut, on pourra mettre x x au lieu de 6 m x 1 . Cela 
donne 

(7) 6'>x x = x l , 

où l'on peut supposer que n ait la plus petite valeur possible, de sorte que 
toutes les quantités 

(8) x XJ Bx„ B*x x , . . . 6*- 1 x ï 
soient différentes entre elles. 

L'équation (7) donnera 

d k 6"x x = B k x x , ou B H+k x x = B k x x . 

Cotte formule fait voir qu'à partir du ternie 6 H ~ l x x , les termes de la 
suite (8) se reproduiront dans le même ordre. Les n quantités (8) seront 
donc les £eules de la série (5) qui soient différentes entre elles. 

Cela posé, si fi>n, soit x^ une autre racine de l'équation proposée, 
qui n'est pas contenue dans la suite (8), il suit du théorème 1 que toutes 
les quantités 

(9) x„ 6x 2 , B 2 x 2J . . . B n - l x„ . . . 

seront également des racines de l'équation proposée. Or je dis que cette 

61 



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482 



MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS en- 



suite ne contiendra que n quantités différentes entre elles et des quantités 
(8). En effet, ayant 6 n x l — x Y = 0, on aura en vertu du théorème 1, 
0 n x t = x t , et par suite 

0*+ k x t = e k x 2 . 

Donc les seules quantités de la série (9) qui puissent être différentes entre 
elles, seront les n premières 

(10) x 2j 0x 2J 0 2 x,, . . . 0 n - l x É . 

Or celles-ci seront nécessairement différentes entre elles et des quantités (8). 
En effet, si Ton ^vait 

0 m x% =■ B % x t , 

où m et v sont moindres que w, il en résulterait 0 m x = 0 l 'x 1 , ce qui est 
impossible, car toutes les quantités (8) sont différentes entre elles. Si au 
contraire on avait 

il en résulterait 

0 u - m 0 v x x = e*-"0"j-t = $*-*+"-x t = 0"x 2 = x 2 , 

donc 

•^2 •— — 0 X^ , 

c'est-à-dire que la racine x 2 serait contenue dans la série (8), ce qui est 
contre l'hypothèse. 

Le nombre des racines contenues dans (8) et (10) est 2 m, donc // sera 
ou égal à 2??, ou plus grand que ce nombre. 

Soit dans le dernier cas x 3 une racine différente des racines (8) et (10), 
on aura une nouvelle série de racines 

X s , 0x$ , 0 •£ ' 3 , ... 0 ;t* 3 , . . . , 

et l'on démontrera, précisément de la même manière, que les n premières de 
ces racines sont différentes entre elles et des racines (8) et (10). 

En continuant ce procédé jusqu'à ce (pie toutes les racines de l'équation 
(fX — 0 soient épuisées, on verra que les u racines de cette équation seront 
partagées en plusieurs groupes, composés de u ternies; donc a sera divisible 
par », et en nommant m le nombre des groupes, on aura 

(11) t u = ui.n. 

Les racines elles-mêmes seront 



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MÉMOIRE SUU UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 483 
f X^ 7 Qx^ , $ j • • • 0 j 

1 '^ïj 0x t j ô~x tJ . . . 6 n ~ l x*>i 
(12) / 0.t 3 , 0 2 a- 3 , . . . tf-'ar,, 



l ? 5 0 X„ n . . . 6 X m . 

Si 7/1=1, on aura /*=/*, et les u racines de l'équation <y># = 0 seront ex- 
primées par 

(13) a?,, dx,, e t x l , . . . e^-'x,. 

Dans ce cas l'équation (px = 0 est résoluble algébriquement, comme on le 
verra dans la suite. Mais la même chose n'aura pas toujours lieu lorsque 
m est pins grand que l'unité. On pourra seulement réduire la résolution de 
l'équation (px=zQ à celle d'une équation du n ih *' degré, dont les coefficiens 
dépendront d'une équation du m nme degré; c'est ce que nous allons démontrer 
dans le paragraphe suivant. 

§ 2. 

Considérons un quelconque des groupes (12), par exemple le premier, 
et faisons 

j (x-x^x-ex^x-e**,) . . . (x-0-*x t ) 

\ = z' + A l 'x'- 1 + A l "x"-'-\ (-^',"-"x-l-^ ( I " ) = 0; 

les racines do cette équation seront 

et les coefficiens A x \ A x " , . . . A { ? } seront des fonctions rationnelles et symé- 
triques de ces quantités. Nous allons voir qu'on peut faire dépendre la 
détermination de ces coefficiens de la résolution d'une seule équation du 
degré vu 

Pour le montrer, considérons en général une fonction quelconque ration- 
nelle et symétrique de ^ n Ox^ 0 2 x n . . . 0 n ~ l x t1 et soit 

(15) !h=f(x n 0x n 0*x n . . . 6- l x x ) 

cette fonction. 

En mettant au lieu de x A successivement x+, .r 3 , . . . x mJ la fonction y x 

(Jl* 



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484 MEMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 

prendra m valeurs différentes, que nous désignerons par y n ;/ 3 , . . . y m . Cela 
posé, si Ton forme une équation du degré m: 

(i«) r + Ay"" 1 -fW" 2 H = °> 

dont les racines soient t/ 15 */ 3 , . . - y„, je dis que les coefficiens de cette 
équation pourront être exprimés rationnellement par les quantités connues, 
qu'on suppose contenues dans l'équation proposée. 

Les quantités 6x n 0 3 x n . . . 6 n " 1 x l étant des fonctions rationnelles de 
a\ , lit fonction y l le sera également. Soit 

Vi = Fx i > 
(17) / nous aurons aussi 

y* = Fxz, i/ 3 = I<X, . . . y m =Fx m . 

En mettant dans l'équation (15) successivement 0a\^ 0 2 x n 0 3 x iJ . . . 
0 u ~ l x x au lieu de x , et en remarquant que 0"x =x l9 0 n+î x l = 6x l , 
0"+*x = 6 2 x l etc., il est clair que la fonction y ne change pas de valeur; 
on aura donc 

y i =Fx i = F(0x i ) = F(O*x 1 )= - • • =F(O n - l x l ). 

De même 

]h = Fx 2 = F(6x,) = F(0 2 x 2 )= . . • =F(«- 



y. = i<X, = F(0x m ) = F(0^„) = • • • = 

En élevant chaque membre de ces équations h la r" w puissance 4 , on 
en tire 

//; - J- • [(*'*.)- + (W*,)' +.••• + (Fe-^y ] , 



(18) 



!j:= l-[(F^Y + (F0x m y+ ■ ■ ■ +{Fê-*x m )']. 
En ajoutant ces dernières équations, on aura la valeur de 

y\ + yl + yl-\ Yv v m 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS otc. 



485 



exprimée en fonction rationnelle et symétrique, de toutes les racines de l'équa- 
tion if x = 0 , "savoir : 

> connue. Le second membre de cette équation peut être exprimé rationnellement 

par les coefficiens de cpx et dx y c'est-à-dire par des quantités connues. Donc 
-mu-IL Jr en faisant 

(20) >-r=yl-\-y*+!/*+ ■ ■ ■ 

on aura la valeur de r„, pour une valeur quelconque entière de ^. Or, 
connaissant ^ , r 3 , ... ?•„ , on en pourra tirer rationnellement la valeur de 
toute fonction symétrique des quantités ^ , y 2 , . . . y,,, . On pourra donc 
trouver de cette manière tous les coefficiens de l'équation (16), et par eon- 
séquent déterminer toute fonction rationnelle et symétrique de x x , 0.^, Ô 2 ^, 
r ... 0 H " l x l à l'aide d'une équation du m degré. Donc on aura de cette 

' i ~ 1 manière les coefficiens de l'équation (14), dont la résolution donnera ensuite 

la valeur de x A etc. 

On voit par là qu'on peut ramener la résolution de l'équation (px = Q, 
qui est du degré t u = m.n, à celle (\'un certain nombre d'équations du degré 
m et n. Il suffit même, comme nous allons voir, de résoudre une seule 
équation du degré m, et m équations du degré n. 

Soit l'un quelconque des coefficiens A{ , A Y " , . . . Af } - faisons 

(21) *r=V ï • V*l + Vt • + y S • V'*3 H h . V ; ' r m • 

Puisque y\yx x est une fonction symétrique des quantités x^, 0x t , . . . 6 n A x^ , 
on aura, en remarquant que 0";^ = .^, fl' 1 * 1 .^ = 0x v etc. 

ifl^x^iFx.y.^ =\Fexy .ye*^ • - - =(Fo»-\ry.f0^ i x l , 

donc: 

yIV*.= î -[W^ + ^J'^H + (F*- 1 *,)"^- 1 *,]. 

On aura de semblables expressions pour y y 2 ipx 2J yl%px zi . . . y v m tyx m , en 

mettant x 2 , x 3 , . . . a* w à la place de x v . En substituant ces valeurs, on 

voit que t v deviendra une fonction rationnelle et symétrique de toutes les 
racines de l'équation cpx = 0. En effet, on aura 

(22) t r = .\-2{Fxyyz- 



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480 



MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS ct<*. 



Donc on peut exprimer rationnellement par des quantités connues. 

Cela jjosé, en faisant r=0, 1, 2, 3, . . . 7/i — 1, la formule (21) don- 
nera 

'/'•'',+ V", H h V- = '«m 

. 7 /iV ; ^+ y t y* t H h //*v- r « = 'n 

.yîv- r , + H h yiv*- = / a > 



.vr 1 ^, + >/r>^H Vvi I v /;r -='— i- 

On tirera aisément de ces équations, linéaires par rapport i\ i/'.^ , y.r s , . . . 
ips- ml les valeurs de ces quantités en fonction rationnelle de ?/, , // 3 , . . 
fin effet, en faisant 

on aura 

/9 4 \ , kilo + 'i^x + *2^2 + h + '--1 

1 ' * « 74 + y/ l/A + yi fi y ; + . . . + R^fi-* + //r l ' 

Les quantités 7? 0 , 7? 17 . . . li m _ t sont des fonctions rationnelles de y t , 
Jhi V ai • • • //m? ma î- s (>n P eut ' es exprimer par y l seul. En effet, en multi- 
pliant l'équation (23) par y — y xi on aura 

ty-yù(y—ih) • . • {y-y,n)=y m +ihy m ~ i +ihy w ~ 2 H Vpsj+ï 1 * 

= y r " + (lt m ^ - y,) -y - 1 + (74 .a - //, K H > 

d'où l'on tirera, en comparant les puissances égales de ?/: 

#.-3 = .Vi +7'* = y î + Pi Ih + 7>* ' 
(25) { Ji„, 4 = »/, tf„.. 3 =0? 4-7'iyî -f /VA +/>:« , 



/<, =yr , +/v/r 2 +/^rN h/»-.- 

fin substituant ces valeurs, l'expression de i/^ deviendra une fonction ra- 
tionnelle de y x et de quantités connues, et l'on voit qu'il est toujours possible; 
de trouver yx^ de cette manière, k condition que le dénominateur 

y^.-j-y^H h*- ■*//r , +.yr 1 



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MEMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS ete. 487 

ne sera pas zéro. Or on peut donner à la fonction y x une infinité de for- 
mes qui rendront impossible cette équation. Par exemple en faisant 

(26) y x = (a — x x ) (a — **,)(« — - ■ • (a — O^'x,), 

où a est une indéterminée, le dénominateur dont il s'agit ne peut pas s'é- 
vanouir. En effet ce dénominateur étant la même chose que 

Qfi — y*) (yi — Z/s) • • • (ifi — >J m ), 
on aurait, dans le cas où il était nul, 

yx=U*i 

c'est-à-dire 

(a — x t ) (a — dx,) ...(« — 0 H " l x^ = (a — x k ) (« — 0x k ) ...(« — fl"- 1 ^), 

ce qui est impossible, car toutes les racines x x , Ox^ 0 2 x l7 . . . 0 n ^~ 1 x l sont 
différentes de celles-ci: x k , 0x kl 0*x k , . . . 0 H ~ 1 x k . 

Les coefficiens À x \ A x \ . . . A\ n) peuvent donc s'exprimer rationnelle- 
ment par une même fonction y x , dont la détermination dépend d'une équa- 
tion du degré vi. 

Les racines de l'équation (14) sont 

Xy , 6 Xy , 0" Xy . . , 0 " 1 X*j . 

En remplaçant dans les coefficiens A t \ A t " etc. //, par y t , // 3 , . . . //,„, 
on obtiendra /m — 1 autres équations, dont les racines seront respectivement: 

%X, ^ i 0 X*} , • • • 0 J~ «> , 
•«•„ • • • 



Tfiéorhiie II. L'équation proposée = 0 peut donc être décomposée 
en //a équations du degré ?/, dont les coefficiens sont respectivement des 
fonctions rationnelles d'une même racine d'une seule équation du degré m. 

Cette dernière équation n'est pas généralement résoluble algébriquement 
quand elle passe le quatrième degré, mais l'équation (14) et les autres sem- 
blables le sont toujours, en supposant connus les coefficiens JL,', A/' etc., 
comme nous le verrons dans le paragraphe suivant. 



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488 MÉMOIRE SUIt UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 

§3. 

Dans le paragraphe précédent nous avons considéré le cas où m est 
plus grand que l'unité. Maintenant nous allons nous occuper du cas où 
m-1. Dans ce cas on aura /,=n, et les racines de l'équation <p Z = 0 
seront T 

Je dis. que toute équation dont les racines peuvent être exprimées de cette 
manière est résoluble algébriquement. 

Soit a une racine quelconque de l'équation a"- 1 = 0, et faisons 
(28) y x = ( x _J_ aGx _|_ a * 0 * x _|_ a s 63x _j ^_ aJt -i eit - ix y^ 

H>x .sera une fonction rationnelle de *. Or cette fonction peut s'exprimer 
rat.onnellement par les coefneiens de < P x et 8x. 'En mettant B'x au lieu 
de # 7 on aura 

maintenant on a 

6"x = x, 6>' +1 x=0x, . . . 8"* m - 1 x = 0— 1 x 
donc ' 

yO m x = 

(a*-* x + a>~»9x+ • • . + a^6^x + ê-x + «e*»x+ • . . + « ê ^ x y. 
Or «« = 1, donc 

<t>O»x = [a»->»(x + a0x + a*e*x-\ (_ a^ô'^x)]" 

= «""<-<»> -f- «0* -| 1_ a"-^^ 1 *)» , 

donc, p„i S q„e «'«><-<> =J) on Vuit que 

vp0'\c = qx. 

Eu faisant »* = (), J o j , 

, , , o, . . . u— i, et en ajoutant ensuite, on trouvera 

iCL d °" = 0 f T ti0n mi0nnel,e 6t 8 ««e de toutes les racines de 
par des quantités ^unuC °" ^ 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 489 

Soit ipx = v, on tire de l'équation (28) 

v _ 

(30) y v =x-{-a$x + a 2 0 2 x -| f- a^O^x. 

Gela posé, désignons les 4 u racines de l'équation 

«"—1 = 0 

par 

(31) 1, « n a 3 , . . . 
et les valeurs correspondantes de v par 

(32) Woi ^, t> 3 , • • • V m 

l'équation (30) donnera, en mettant à la place de « successivement 1 , a x , 

f o, = a; -f Ox -f- -| 1- 

y?;, = .t;-f- o^j; -|- -| ^a'^O^x, 

\v 2 =x-\- ajx -\- at$*x -j + a^O^'x, 



i^=x + a^6x + «J_ I 0 ï iK -J \-a*z\0^x. 

En ajoutant ces équations on aura 

(34) ,• = JL [- a + + y „, + f ^ + . . . + j/< Vl ] , 

où l'on a remplacé j/^, qui est une quantité constante, par — ^4. 

On connaît par là la racine x. Généralement on trouve la racine 0?x 
en multipliant la première des équations (33) par 1, la seconde par la 
troisième par aj m etc., et en ajoutant; il viendra alors 

(35) 0»x = j [- A + ar m . fa + «r".f*H h«,7-, -VCi]- 

En donnant à m les valeurs 0, 1, 2, ... a — 1, on aura la valeur de tou- 
tes les racines de l'équation. 

L'expression précédente des racines contient généralement /i — 1 radi- 

eaux différais de la forme ']/ v. Elle aura donc valeurs, tandis que la 

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490 MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PÀKT1CULIÈKK D'ÉQUATIONS etc. 

racine de l'équation <px = 0 n'en a que ( u Mais on peut donner à ^expres- 
sion des racines une autre forme, qui n'est pas sujette à cette difficulté. 

En effet, lorsque la valeur de y», est fixée, celle des autres radicaux le 
sera également, comme nous allons le voir. 

Quel que soit le nombre - ,u, premier ou non, on peut toujours trouver 
une racine « de l'équation a"— 1 = 0, telle que les racines 

«X, « 2 , «3 7 • • • a f-i 

puissent être représentées par 

(36) «, «% «'» • • • a "~ 1 ' 

Cela posé, on aura 

= x + a k . ex + H h « </,_1) * • 



(37) 

d'où l'on tire 
(38) 



x(4fifo+«"« ! H h 0"- 1 ^)" -4 - 



Le second membre de cette équation est une fonction rationnelle de x, qui 
ne changera pas de valeur en mettant au lieu de x une autre racine quel- 
conque 0"'x, comme on le verra aisément, en faisant cette substitution et 
en ayant égard à l'équation 0"* r x = 6' r x. En désignant donc la fonction 
dont il s'agit par i/'.c, on aura 

fv k . ("j/v, Y'- k = if>x = ipôx = yÔ*x ==...= t/^'- 1 *, 

d'où 

(39) ')/v k . ( y*, )*-* = | (^ + y/to + + — h V^'*)- 

Le .second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symé- 
trique des racines, donc on peut l'exprimer en quantités connues. En le 
désignant par a k , on aura 

(40) = 

d'où 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 



491 



(41) - = -*-()'«,, 

A l'aide de cette formule l'expression de la racine x deviendra 

(42) x=\ (-A+fc+^ifcy+v^ky 

Cette expression de x n'a que // valeurs différentes, qu'on obtiendra en met- 
tant au lieu de ^v x les // valeurs: 

La méthode que nous avons suivie précédemment pour résoudre l'équa- 
tion (px = 0 est au fond la même que celle dont s'est servi M. Gaass dans 
ses „Disquisitiones arithmeticae" art. 359 et suiv. pour résoudre une certaine 
classe d'équations, auxquelles il était parvenu dans ses recherches sur l'équa- 
tion x n — 1 = 0. Ces équations ont la même propriété que notre équation 
(px = 0] savoir que toutes ses racines peuvent être représentées par 

x, 0x, 0*x, . . . O^x, 

Ox étant une fonction rationnelle. 

En vertu de ce qui précède nous pourrons énoncer le théorème suivant: 

Théorème III. Si les racines d'une équation algébrique peuvent être 
représentées par 

x, Ox, 0*x, . . . 0 fl - y x, 

où 0 fl x = x, et oîi Ox désigne une fonction rationnelle de x et de quantités 
connues, cette équation sera toujours résoluble algébriquement. 

On en tire le suivant, comme corollaire: 

Théorème IV. Si deux racines d'une équation irréductible, dont le de- 
gré est un nombre premier, sont tellement liées entre elles, qu'on puisse ex- 
primer l'une rationnellement par l'autre, cette équation sera résoluble algé- 
briquement. 

En effet cela suit immédiatement de l'équation (11) 

u - = m . n ; 

car on doit avoir m=\, si ji est un nombre premier ; et par conséquent 
les racines s'expriment par x, Ox, 0 2 x, . . . 0 fl l x. 

02* 



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492 MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS cf. 

Dans le cas oîi toutes les quantités connues de <px et dx sont réelles, 
les racines de l'équation <px = 0 jouiront d'une propriété remarquable, que 

nous allons démontrer. 

Par ce qui précède on voit que a„_, peut être exprimée rationnellement 
par les coefnciens de cpx et 6x, et par a. Donc si ces coefficiens sont réels, 
«,,_! doit avoir la forme 

oîl |CTï n'entre qu'à cause de la quantité a, qui en général est imaginaire, 
et qui généralement peut avoir la valeur 

« = cos \- X— 1 • sin — • 

En changeant donc dans a le signe de V~ 1 et désignant par «/„_, la 
valeur correspondante de on aura 

Or d'après la formule (40), il est évident que = donc i = 0 et 

(43) o,,_i = o. 

Donc a toujours une valeur réelle. On démontrera de la même 

manière que 

v 1 = *-f(Zy^ï et = « — d ^— ï , 

où ^ et rZ sont réels. 
Donc 



De là on tire 

(44) » 1=<î +y— r.y«^— «s . 

et par suite j'a" — c a = J; d'oîi l'on voit ([lie } r a"^c â a toujours une va- 
leur réelle. 

Cela posé, on peut faire 

(45) c, = (\(,y'cosd, } , a" — e 1 = (V(>y sm<)\ 

oîi (> est une quantité positive. 
On en tire 

,*- H y„,_7:*)* = (y e )s.«, 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 



493 



c'est-à-dire : 

(46) m a" = ^ ; 

par conséquent (> sera égal à la valeur numérique de a. On voit en outre 
que a est toujours positif, si t u est un nombre impair. 
Connaissant (> et iï, on aura 

v t = (V ë )* . (cos cT -f V— 1 • (V ) 

et par suite 

En substituant cette valeur de \i\ dans l'expression de x (42), elle 
prendra la forme: 

(47) * = - |_A + V e .(cos ^ |_|^_i. gl „.Jr_ ) 

H- (/+.? J — 1 ) ( cos • ft + V— 1 • nn v - ) 
+ (JP + 0 |CTÎ ) y p . ( cos 8 <* + *™> + V^l . sin 8 -<*- ± m 2wi ^> ) 
+ V- M (eos^ + 2 ""> -f \>--l . sin 4 ^^)) 

oîi p, ^4, F, G etc., sont des fonctions rationnelles de cos sin 

et des coefficiens de (px et éto\ On aura toutes les racines, en donnant à 

m les valeurs 0, 1, 2, 3, ... // — 1. 

L'expression précédente de x fournit ce résultat: 
Théorème V. Pour résoudre l'équation <px = 0 1 il suffit: 

1) de diviser la circonférence entière du cercle en u parties égales, 

2) de diviser un angle <?, qu'on peut construire ensuite, en u parties 
égales, 

3) d'extraire la racine carrée d'une seule quantité p. 

Ce théorème n'est que l'extension d'un théorème semblable, que M. 
Gauss donne sans démonstration dans l'ouvrage cité plus haut, art. 3(50. 

Il est encore h remarquer que les racines de l'équation (fx = 0 sont 



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494 



MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 



ou toutes réelles ou toutes imaginaires. En effet si une racine x est réelle, 
les autres le sont également, comme le font voir les expressions 

6x, 0 2 x, . . . Ot'-'x, 

qui ne contiennent que des quantités réelles. Si au contraire x est imagi- 
naire, les autres racines le sont aussi, car si par exemple 6 m x était réelle, 
0fM-m^Qm x ^ = 0fi x = x ^ ] e sera jt également, contre l'hypothèse. Dans le pre- 
mier cas a sera positif et dans le second négatif. Si // est un nombre im- 
pair, toutes les racines seront réelles. 

La méthode que nous avons donnée dans ce paragraphe, pour résoudre 
l'équation <px = 0, est applicable dans tous les cas, le nombre p étant 
premier ou non; mais si // est un nombre composé, il existe encore une 
autre méthode qui donne lieu h quelques simplifications et que nous allons 
exposer en peu de mots. 

Soit ju=m.n 7 les racines 

x, ftr, $ 2 x, . . . 0" \t 
pourront être groupées de la manière suivante: 

x, 0 m x J 0 2m x, . . . 0 {n - l)m x, 
6x, 6 n + l x, 0 2n,+1 x, . . . 0 ( *- 1)w+1 .t, 
0 2 x, 0 M,+2 #, 6 2m+2 x, . . . 0 ( "- i)m+2 x, 



0 m ; l x, 0 2m ~ x x, 0 3w ~ , .r, . . . 6 mn - l x. 
En faisant pour abréger: 

(48) 0 r» x = dx ^ 

(49) x = x n 6x = x 21 6 2 x=zx 3 , . . . e ni l x = x m . 
on peut écrire les racines comme il suit: 

1') x„ 0 t x n Q\x x , . . . e\~ l x x , 
2') x 2 , 6 x x„ 0\x„ . . . Or 1 **, 



(50) 



^Donc en vertu de ce qu'on a vu (§ 2) on peut décomposer l'équation 
(fx = (), qui est du degré m.n, en m équations du degré w, dont les coef- 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 495 

ficiens dépendront d'une équation du degré m. Les racines de ces m équa- 
tions seront respectivement les racines 1', 2', . . . m\ 

Si n est un nombre composé m l n ll on peut décomposer de la même 
manière chacune des équations du degré n en m t équations du degré n x , 
dont les coefficiens dépendront d'une équation du degré m t . Si n x est encore 
un nombre composé, on peut continuer la décomposition de la même manière. 

Théorème VL En général, si l'on suppose 
(5 1) t u = m x . ?n 2 . m 3 . . . m n , 

la résolution de l'équation proposée €px — 0 sera ramenée à celle de n équa- 
tions des degrés 

m n m 2 , ra 3 , . . . m n . 

Il suffit même de connaître une seule racine de chacune de ces équa- 
tions, car si Ton connaît une racine de l'équation proposée, on aura toutes 
les autres racines, exprimées en fonctions rationnelles de celle-ci. 

La méthode précédente est au fond la même que celle donnée par M. 
Gauss pour la réduction de l'équation à deux termes, x^ — 1 = 0. 

Pour faire voir plus clairement la décomposition précédente de l'équa- 
tion (px = 0 en d'autres de degrés moins élevés, supposons par exemple 
ju = 30 = 5.3.2. 

Dans ce cas les racines seront 

x, 6x, 0*x, . . . 0"x. 

Nous formerons d'abord une équation du 6 remc degré, dont les racines 
seront ; 

x, 0 h x, e l0 x, d Vo x, 6**x, 0*x. 

Soit R= 0 cette équation, on peut déterminer ses coefficiens, rationnellement, 
par une même quantité qui sera racine d'une équation du cinquième de- 
gré: P=0. 

Le degré de l'équation li = 0 étant lui-même un nombre composé, nous 
formerons une équation du S iime degré: B 1 = 0, dont les racines seront 

x, O^x, 0*°x, 

et dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles de y, et d'une même 
quantité 2, qui est racine d'une équation du second degré P 1 = 0 1 dans la- 
quelle les coefficiens sont exprimés rationnellement par y. 



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496 MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 

Voici le tableau des opérations: 

x 3 + f(y, z) . x* +£(9, z) . x +f t (y, z) = o, 
z*+fy-z+f i y = "i 

On peut aussi commencer par une équation du 2- degré en x, ou 
bien par une équation du 5""" degré. 

Reprenons l'équation générale <px = Q. En supposant f i = m.v, on 

peut faire 

(52) x«+fy-x''- l +f 1 y.x'-*+ ■ • • =0, 
où y est déterminé par une équation du m iimc degré: 

(53) ir + A.y"- 1 -] =0, 

dont tous les coefficiens sont exprimé* rationnellement en quantités connues. 
Cela posé, soient 

!fl = }/<! . ï/i* . vt 3 . . . ni» 
et 
i u = m i n 11 l u = m i n i ; . . . ,» = "i, u ", u , 

plusieurs manières de décomposer le nombre ,(6 en deux facteurs, on pourra 
décomposer l'équation proposée ^ = 0 en deux autres des w manières sui- 
vantes: mn-l)*,, 

F 1 (x,y i ) = 0, dont les racines seront x, Ô m 'x, 0 îm 'x, . . . 6 "■ 'x 

(1) et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une quantité y n ra- 
cine d'une équation /,#i = 0, du degré w,. 

Jf î (^ î ) = 0, dont les racines seront .r, O^x, 0*""x, . . . $«>- lym <x 

(2) J et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une même quantité 
' g t1 racine d'une équation ^ = 0, du degré m,. 



■P' w (^,y.») = 0, dont les racines seront x, B'^x, 0*" M x, . . . 
et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une même quantité 
y„, racine d'une équation f M y w = 0, du degré m l0 . 



Supposons maintenant que m t , «t*, . . . //*,„ pris deux à deux, soient 
premiers entre eux, je dis qu'on pourra exprimer la valeur de x rationnelle- 



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MÉMÔIKE SUK UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 



497 



meut par les quantités y x , y t , y z , . . . y i0 . En effet, si m ï , m, , . . . m t - 
sont premiers entre eux, il est clair qu'il n'y a qu'une seule racine qui 
satisfasse à la fois à toutes les équations 

(55) F 1 (x,y 1 ) = 0, F,(?,y,) = 0, . . . F„(x,y u ) = 0; 

savoir la racine x. Donc, suivant un théorème connu, on peut exprimer x 
rationnellement par les coefiieiens de ces équations et conséquemment par 
les quantités y n y 2 , . . . y„. 

La résolution de l'équation proposée est donc ramenée à celle de to 
équations: f i y i =:0] f i y 2 = 0' J . . . f (O y to = 0 J qui sont respectivement des 
degrés: m n w 2 , . . . ra w , et dont les coefticiens sont des fonctions ration- 
nelles des coefficiens de <px et Ox. 

Si Ton veut que les équations 

(56) 7^ = 0, f 3 y> = Q, . . .f„y, 0 = 0 

soient les moins élevées possibles, il faut choisir m 2l . . . m OJ tels, que 
ces nombres soient des puissances de nombres premiers. Par exemple si 
l'équation proposée cpx = 0 est du degré 

(57) ,u = tï.tï . . . C'% 

où ë Xj f 2 , , . , e l0 sont des nombres premiers différens, on aura 

(58) Wi = £Ï', m 2 = ^, . . . m (0 = *y. 

L'équation proposée étant résoluble algébriquement, les équations (56) 
le seront aussi; car les racines de ces équations sont des fonctions ration- 
nelles de x. On peut aisément les résoudre de la manière suivante. 

La quantité y est une fonction rationnelle et symétrique des racines de 
l'équation (52), c'est-à-dire de 

(59) x, 0 m x, 0 2m x, . . . 0 (n - 1)m x. 
Soit 

(60) y = Fx=f(x J 0»'x, 0 tm x, . . . 0 (n - l > m x), 
les racines de l'équation (53) seront 

(61) Fx; F($x)] F(0 2 x); . . . F(0 m - l x); 

or je dis que l'on peut exprimer ces racines de la manière suivante: 

(62) y, Xy, X t y^ . . . i-iy, 

63 



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498 MEMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 

où hj est une fonction rationnelle de y et de quantités connues. 
On aura 

(63) F ^ = f^ 0x ^ e(e m x), 0(0*"*), . . . o(o<- l > m x)], 

donc F(6x) sera, ainsi que Fx, une fonction rationnelle et symétrique des 
racines x, 0% . . . d in - i)m x, donc on peut, par le procédé trouvé (24) ex- 
primer F(0x) rationnellement par Fx. Soit donc 

F0x = XFx = ly, 

on aura, en remplaçant (en vertu du théorème 1) x par 0^, 0 2 x, . . . 0*- 1 *:, 

F0*x = XFOx = k 2 y, 
F0*x = à^0 2 z = À 3 ?/, 



F6 m - l x = XF0 m -*x — X m - l y, 

c. q. f. d. 

Maintenant les racines de l'équation (53) pouvant être représentées par 

y, hj, Xhj, . . . À'" -1 ?/, 

on peut résoudre algébriquement cette équation de la même manière que 
l'équation (px = 0. (Voyez le théorème III). 

Si m est une puissance d'un nombre premier, m = è y , on peut encore dé- 
terminer y à l'aide de v équations du degré f. (Voyez le théorème VI). 

Si dans le théorème VI on suppose que a soit itne puissance de 2, on - 
aura, comme corollaire, le théorème suivant: 

Théorème VII. Si les racines d'une équation du degré 2 IU peuvent être 
représentées par 

x-, Sx, 0*x, . . . $**-*x, oii e**x = x, 

cette équation pourra être résolue à l'aide de l'extraction de to racines 
carrées. 

Ce théorème, appliqué à l'équation - == 0, où 1-|-2 W est un 

noijibre premier, donne le théorème de M. Gauss pour le cercle. 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 



§ 4. 

Des éqîiatiùns dont toutes les racines peuvent être exprimées rationnellement par 

l'une d'entre elles. 

Nous avons vu précédemment (théorème III) qu'une équation d'un degré 
quelconque, dont les racines peuvent être exprimées par 

x, ex, o*x, . . . e^~ i x 

est toujours résoluble algébriquement. Dans ce cas toutes les racines sont 
exprimées rationnellement par Tune d'entre elles; mais une équation dont 
les racines ont cette propriété, n'est pas toujours résoluble algébriquement; 
néanmoins, hors le cas considéré précédemment, t il y a encore un autre, dans 
lequel cela a lieu. On aura le théorème suivant: 

• Théorème VIII. Soit /# = 0 une équation algébrique quelconque dont 
toutes les racines peuvent être exprimées rationnellement par l'une d'entre 
elles, que nous désignerons par x. Soient Ox et 6 x x deux autres racines 
quelconques, l'équation proposée séra résoluble algébriquement, si l'on a 

ee i x=0 i 0x. 

La démonstration de ce théorème peut être réduite sur le champ à la 
théorie exposée § 2, comme nous allons le voir. 

Si l'on connaît la racine on en aura en même temps toutes les au- 
tres; il suffit donc de chercher la valeur de x. 

Si l'équation 

(64) X x = 0 
n'est pas irréductible, soit 

(65) (px = 0 

l'équation la moins élevée à laquelle puisse satisfaire la racine x, les coef- 
ficiens de cette équation ne contenant que des quantités connues. Alors les 
racines de l'équation cpx = 0 se trouveront parmi celles de l'équation ^x = 0 
(voyez le premier théorème), et par conséquent elles pourront s'exprimer ra- 
tionnellement par l'une d'entre elles. 

Cela posé, soit Ox une racine différente de #; en vertu de ce qu'on a 
vu dans le premier paragraphe, les racines de l'équation (px = 0 pourront 
être exprimées comme il suit: 

G3* 



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500 



MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 



x, Ox, 6*x, . . . 6 n - l x, 
ou^ , 0 x^ j 0 *x>\ , • • • 0 x^ , 



et en formant l'équation 

(66) x n + A' x n ~ l -f A"x n ~ 2 + A'"x n - 3 -1 ^ A (M_1) « -f 4 (w > = 0, 

dont les racines sont x, Ox, 0 2 x, . . . 0 n ~ l x, les coefficiens A 7 , A", . . . A (w) 
pourront être exprimés rationnellement par une même quantité y, qui sera 
racine d'une équation irréductible*): 

(67) y- 4- y-» -f pa y-^ -| ^ ^ y + ^ = 0, 

dont les coefficiens sont des quantités connues (voyez § 2). 

La détermination de x peut s'effectuer à l'aide des deux équations (66) 
et (67). La première de ces équations est résoluble algébriquement, en sup- 
posant connus les coefficiens, c'est-à-dire la quantité y (voyez le théorème 
III). Quant à l'équation en y, nous allons démontrer que ses racines ont 
la même propriété que celles de l'équation proposée (px = 0, savoir d'être 
exprimables rationnellement par l'une d'entre elles. 

La quantité y est (voy. 15) une certaine fonction rationnelle et symé- 
trique des racines x, Ox, 0*x, . . . 0 n ~ l x. En faisant 

y=f{x, Ox, 0*x, . . . 0 n - l x), 
\ les autres racines de l'équation (67) seront 
(68) { yi=ftxn 0*1, 0**1, . . . O n ' l Xi), 



y n -i=f{x m -u 0x n _ x , 0*x m _ x , . . 0 n ^x m ^). 



*) On démontrera aisément que cette équation ne pourra être réductible. Soit 
RzzO l'équation irréductible en y, et v son degré. En éliminant y, on aura une équa- 
tion en x du degré nv\ donc nv^fÀ. Mais on a 

ju =z m . n } 

donc 

ce qui est impossible, car v est moindre que m. 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D ÉQUATIONS etc. 501 

Maintenant, dans le cas que nous considérons, x l , ... x m _ t sont des fonc- 
tions rationnelles de la racine x. Faisons par conséquent 

les racines de l'équation (07) auront la forme: 

^=7(0^, oo t x, e^e.x, . . . o n - l o t x). 

D'après l'hypothèse les fonctions 6 et 0 X ont la propriété que 

06 \x = 0 x 0x, 

équation qui, en vertu du théorème I, aura lieu en substituant à la place 
de x une autre racine quelconque de l'équation (px = 0. On en tire succes- 
sivement 

6*0 x x = eo x Ox = O^x, 

o^e.x = ee^x = o^x, 
e n 1 e,x = ooj^x = o,o n - l x. 

L'expression de y 1 deviendra par là 

y,— f(o lXl o x 6x, e x e 2 x, . . . o^-'x), 

et Ton voit que y XJ comme y, est une fonction rationnelle et symétrique des 
racines 

x, Ox, 0*x, . . . e n -'x. 

Donc (§ 2) on peut exprimer y x rationnellement par y et des quantités con- 
nues. Le même raisonnement s'applique à toute autre racine de l'équa- 
tion (67). 

Soient maintenant Xy, k x y deux racines quelconques, je dis qu'on aura 
En effet, ayant par exemple 

xy=f(ê lX , ee.x, . . . e n -'e x x), 

si 

y=f(x, 0x, . . . 0 n ~'x), 
on aura, en mettant Q % x au lieu de x, 

ly t =f{e x e t x, dd&x, . . . O^O&x), 

où 



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502 



MÉMOIUE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D EQUATIONS etc. 



yi =f(0*x, 00 t x, . . . 0*- 1 0 i x) = l 1 y; 

donc 

n x y=f(o x o t x, 00i0*x, . . . e n ' x e x e t x) 

et également 

X l ly=f(0 2 0 l x, 86 2 0 x x, . . . O^d^O.x), 
donc, puisque 0 x 0^x = 6 t 6 x x^ 

Xl x y = k x Xy. 

Les racines de l'équation (67) auront donc précisément la même pro- 
priété que celles de l'équation (f x = Q. 

Cela posé, on peut appliquer à l'équation (G 7) le même procédé qu'à 
l'équation (px = Q- c'est-à-dire que la détermination de y peut s'effectuer à 
l'aide de deux équations, dont l'une sera résoluble algébriquement et l'autre 
aura la propriété de l'équation (px = 0. Donc le même procédé peut encore 
être appliqué à cette dernière équation. En continuant, il est clair que la 
détermination de x pourra s'effectuer à l'aide d'un certain nombre d'équations, 
qui seront toutes résolubles algébriquement. Donc enfin l'équation </)# — 0 
sera résoluble à l'aide d'opérations algébriques, en supposant connues les 
quantités qui avec x composent les fonctions 

(px, Ox, 0 x x y 0 2 x, . . . 0 m _ x x. 

Il est clair que le degré de chacune des équations auxquelles se réduit 
la détermination de x, sera un facteur du nombre // qui marque le degré 
de l'équation </)£ = 0; et: 

Tliêorhne IX. Si l'on désigne les degrés de ces équations respective- 
ment par 

n i , n t , . . . n M , 

on aura 

p=n.n x .n 2 , . . . n t0 . 

En rapprochant ce qui précède de ce qui a été exposé (§ 3), on aura 
le théorème suivant: 

Thêorhne X. En supposant le degré fi de l'équation yx — O décomposé 
comme il suit: 

(69) ,i ==*;•. . . . 

où , e a , f 3 , . . . f a sont des nombres premiers, la détermination de x pourra 
s'effectuer à l'aide de la résolution de v x équations du degré f t , de v % équa- 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 



tions du degré « s , etc., et toutes ces équations seront résolubles algébrique- 
ment. 

Dans le cas où jn = 2 y , on peut trouver la valeur de a; à l'aide de 
l'extraction de v racines carrées. 

§ 5. 

Application aux fonction* circulaires. 

En désignant par a la quantité - - ? on sait qu'on peut trouver une 
équation algébrique du degré /i dont les racines seront les a quantités 

cos a, cos2«, cos 3 a, ... cos /ta, 
et dont les coefficiens seront des nombres rationnels. Cette équation sera 

(70) ^«_ i/t ^ + lV ^rf.^ =0 . 

Nous allons voir que cette équation a la même propriété que l'équation 
XX = 0, considérée dans le paragraphe précédent. 

Soit cosa = x, on aura d'après une formule connue, quel que soit a, 

(71) cos ma = 0(cos a), 

où 0 désigue une fonction entière. Donc cos ma, qui exprime une racine 
quelconque de l'équation (70), sera une fonction rationnelle de la racine x. 
Soit 0 x x une autre racine, je dis qu'on aura 

00 1 x = 0 l 0x. 

En effet, soit é^a; — coswi'a, la formule (71) donnera, en mettant m'a au 
lieu de a, 

cos (inm'a) = 0 (cos m'a) = 00 x x. 

De la même manière on aura 

cos (iri via) = ^(cos nui) = 0 1 0x, 

donc 

00 1 x =■ 0 1 Ox . 

Donc, suivant ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent, 

x ou cos a = cos - 
pourra être déterminé algébriquement. Cela est connu. 



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504 



MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 



6 ** (eus a) = 0 (cos m"- 1 a) = cos m* a . 
Les racines (74) deviendront donc 
(75) cos a, cos ma, cos7?i 2 a, cos?*i 3 a, . . . eosm^a, . . . 



= 0. 



Supposons maintenant que fi soit un nombre premier 2 w-f- 1, les raci- 
nes de l'équation (70) seront 

2sr 4/r 4ri7t rt 
COS w- - — 5 cos — — r , . . . cos ^ — r î COS 2 Jï . 

La dernière racine cos 2 a est égale à l'unité; donc l'équation (70) est divi- 
sible par x — 1 . Les autres racines seront toujous égales entre elles par 

couples, car on a cos J^rV = cos ^^+J^ 7/t )— T , donc on peut trouver une 

équation dont les racines seront, 

/7 9\ 2;r 4tt 2n/r 

\ u ) cos ~97~_Lrr' cos o — rr' ■ ■ • C()S «— tt' 

Cette équation sera 

(73) s» + 1 .r»" 1 — | ( W — l)x n ~ 2 — £ (n — 2)x*~ 3 

(,_2)(n-3) feziS)(»-4) 
116 12 Tïl Y. 2 — 

Cela posé, soit 

27r 

COS - — p =: x = cos a, 

2n+l 5 

on aura d'après ce qui précède 

2 W7C « 

cos o i ~r — 0# — cas w«. 
2w -f- 1 

L'équation (73) sera donc satisfaite par les racines 

(74) x, Qx, 0*.r, 0*x, . . . 
On a, quelle que soit la valeur de a, 

0 (cos a) = cos ma. 

De là on tire successivement: 

6 2 (cos a) = 0 (cos m a) = cos m* a , 
0 8 (cos a) = 0 (cos m 2 a) = cos m 3 a , 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 505 

Cela posé, si m est une racine primitive pour le module 2rc-f-l (voyez 
Gauss Disquis. arithm. art. 57), je dis que toutes les racines 

(76) cos a, cosraa, cos7# 2 a, . . . cos m*-* 1 a 

seront différentes entre elles. En effet si Ton avait 

cos m* a = cos m v a, 

oh fi et v sont moindres que on en tirerait 

m fX a = ±m y a-\-2kn, 

où k est entier. Cela donne, en remettant pour a sa valeur «—4-5-* 

* ln-\- 1 

m*z=±w , '-|-fc(2w-fl), 

donc 

et par conséquent m 2{fA ~ v) — 1 serait divisible par 2n-{-l, ce qui est impos- 
sible, car 2(u — v) est moindre que 2n 7 et nous avons supposé que m est 
une racine primitive. 
On aura encore 

cos = cosa, 

car w* n — 1 ou (in n — l)(ra n -|-l) est divisible par 2n-\-l 7 donc 

m* — — l-fjfe(2»+l), 

et par suite 

cosm w « = cos ( — a-\-k.2ji) = cosa. 

Par là on voit que les n racines de Féquation (73) pourront s'exprimer 
par (76); c'est-à-dire par: 

x, 0x, Ô 2 x, 0\r, . . . O^x, où 0 n x = x. 

Donc, en vertu du théorème III, cette équation sera résoluble algébrique- 
ment. 

En faisant n = m 1 .m 2 . . . m t0 , on peut diviser la circonférence entière 
du cercle en 2n-\-l parties égales, à l'aide de io équations des degrés m xi 
7u 21 m zi . . . m^. Si les nombres m n . . . m l0 sont premiers entre eux, 
les coefficiens de ces équations seront des nombres rationnels. 

En supposant n = 2 u) J on aura le théorème connu sur les polygones 
réguliers qui peuvent être construits géométriquement. 

En vertu da théorème V on voit que pour diviser la circonférence en- 
tière du cercle en 2n-\-l parties égales, il suffit 



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G 



506 MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS etc. 

1) de diviser la circonférence entière du cercle en 2?i parties égales, 

2) de diviser un arc, qu'on peut construire ensuite, en 2n parties 
égales, 

3) et d'extraire la racine carrée d'une seule quantité (f. 

M. G anus a énoncé ce théorème dans ses Disquis., et il ajoute que 
la quantité dont il faut Extraire la racine, sera égale à 2n-\-l. C'est ce 
qu'on peut démontrer aisément comme il suit. 

On a vu (40, 38, 46) que y est la valeur numérique de la quantité 

(x + aÔx -f a 2 0 2 x -j f- a n ~ x 0 n ~ l x) (x+ a 11 ' 1 0x-\-a n ' 2 d 2 x -| 1- aO n - l x), 

oii a = cos^ C -|-y — l.sin^- En substituant pour x, 0x, . . . leurs va- 
leurs cosa, cos ma, cos ra*a, ... on aura 

+ p = (cosa-}- a cos ma -\- a* cos m 2 a • • • -|^- a n__1 cos m n ~ l a) 
X (cosa -\- a n ~ l ç,osma -\- a n ~ 2 cos m 2 a-\- • • • -j-«cosm n_1 a). * 

En développant et en mettant ± p sous la forme 

±ç = t 0 + t 1 a + t 2 a 2 -\ \- t n ^ a»" 1 , 

on trouvera facilement 

^^cosa.cosra^a^cosma.cosra^a-j- • • • -j-cosm ,, ~ 1_/M a.eos7M ,,-1 a 
-j- cos m'^a. cos a -(- cos m w_A * +1 a. cos ma-\- • • • -(-cosm^a.cosm^a. 

Maintenant on a 

cos m v a . cos m^ v a = | cos (m^'a -j- m v a) -\- £ cos {m^ v a — m y a) , 

donc 

tp = | [cos (m u -f- 1) « + cos (m* -f- l)ma -|- •••-}- cos + IJm^a] 
-f- £ [cos (//^ — l)a -|- cos (ra /4 — l)ma -j- • • • -f- cos (m-" — l)m n_1 a]. 

Si Ton fait (ra-" -J- l)a = a', (m* — l)a = a", on aura 

t^ = \ [cos a' -f 0(cos a') + 0 2 (cos a) -| f- (cos a')] 

-f ^[cosa ,/ + ^(cosa // )-f-d 2 (cosa ,, )-| f- tf^cos a")]. 

Cela posé, il y a deux cas, savoir: /t est différent de zéro ou non. 

Dans le premier cas il est clair que cosa' et cosa" sont des racines 
de l'équation (73), donc eosa'^ô^, casa" = 0 ê x. En substituant, il vien- 
dra, en remarquant que 0 n x = x: 



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MÉMOIRE SUR UNE CLASSE PARTICULIERE D'ÉQUATIONS etc. 507 

i /j = ±(O*x-\-0< Ul x+ [~d"- 1 x-\-x-\-ûx-\ \-B 8 - l x) 

+ $(0 e x + O t+1 x+ • ■■ • + $— l x + x + Bx-\ VQ'-'x), 

donc 

• t^ — x + ex + d^x^ \-6«- l x, 

c'est-à-dire que est égal à la somme des racines; par suite, en vertu de 
l'équation (73), 

Dans le cas où u = 0, la valeur de deviendra: 

f 0 = -^(cos2a-|-cos27?za-|- • • • -f-cos 2m n ~ 1 a) -\-\n ; 
or cos2a est une racine de l'équation (73), donc en faisant 

on aura 

cos2a-j-cos27fttt-}-- • • • -j-cos2ra n-1 a 

= 0*x + 6 5 + l x^ \-0 n - x x + x-\-0x-\ \-0*-*x= — ±, 

par conséquent 

U = \n — \. 

En vertu de ces valeurs de t 0 et t , la valeur de ± (j deviendra : 

mais a -\- a* -\- a 3 -{- • • • -f-a" _1 = — 1, donc 

±Q = \ n + \i , 
et puisque (> est essentiellement positif, 

2»4- 1 
9= ~4- • 

Cette valeur de (j donne 

donc la racine carrée qu'il faut extraire est celle du nombre 2w-f-l, comme 
le dit M. Gauss*). 

Christiania, le 29 mars 1828. 

*) Dans le cas où n est un nombre impair, on peut même se dispenser de l'ex- 
traction de cette racine carrée. 

(54* 



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XXVI. 

THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Journal fur die reine und anffewandte Mathematik, heraiisgegeben von Crelle, Bd. 4, Berlin v 1829. 



La formule donnée par M. Jacolri dans le tome III p. 80 de ce journal 
peut être établie facilement à l'aide d'un théorème que nous allons démontrer 
dans ce qui suit. 

En faisant (f0 = Xj on aura, en vertu de ce qu'on a vu dans le § III 
du mémoire n° 12 tome II de ce journal*) 

(1) (p(2n-\-l)0 = IÏ, 

où R est une fonction rationnelle de x, le numérateur étant du degré (2??-{-l)* 
et le dénominateur du degré (2^-J-l) 2 — 1. L'équation (1) est donc du 
degré (2?i-\-l) 2 et ses racines peuvent être exprimées par la formule: 

(2) x = V[ e + ~~2,T+h )' 

en donnant à m et a toutes, les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2n. 
Soit pour abréger 

( 3 ) 2,7+T = a ' 2» + T = ^ 
l'expression des racines sera 

(4) x = <p {6 -\- ma -]- fift) . 

*) Mémoire XVI do cette édition. 



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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 509 

Cela posé, nous allons démontrer le théorème suivant: 

Théorème I. Soit xfsO une fonction entière quelconque des quantités 
(p(0 ~j- ma -f-/«/î) qui reste la même en changeant 0 en 0~\-a et en 0 -{-/?. 
Soit v 1% plus grand exposant de la quantité t[0 dans la fonction on 
aura toujours 

(5) y0=p + q.f(2?i+l)O.F(2n+l)O, 

p et q étant deux fonctions entières de </>(2n-f- 1)0, la première du degré 
v et la seconde du degré v — 2. 

Démonstration. En vertu de la formule (10) tome II p. 105*) on a 
y {6 + ma + ;,/?) = 'l* ■/<"*"-+ f ) • ^ t "'V' ^.t" ^^'^ > 

d'où il suit qu'on pourra exprimer ïf'0 rationnellement en (pô vt /O.FO. 
Or le carré de fO.FQ est rationnel en yô, car 

(f0.F6y = (l-c*<p*O)(l+e*<p*6), 

donc on pourra faire en sorte que l'expression de \p6 ne contienne la quan- 
tité fO . FO qu'à la première puissance. On pourra donc faire 

(7) xf,0 = ^,0) -f y^0) -/^ • 

oh ifi^pO) et ip s ((f>0) sont des fonctions rationnelles de <f>0. 

Si l'on met to — 0 à la place de 0, on aura, en remarquant que 
(p(w — 0) = ( P 6, fUo — 0)=—/e, F(io — 0) = F0: 

(8) f(u}—V) = ip l (<pd) — i[> i (ipd).f0.F6. 
Des équations (7) et (8) on tire 

(9) tf , i ( (p o) = ±.[ tl ,0 + y( (l ,-0)], 

(10) ih((p0).fO.FO = $.[ipO—t/>(u> — ê)]. 

Considérons d'abord la fonction i/',(<p#). En y mettant 9-\-ce au lieu 
de 0, il viendra 

Vib^+«)]=i-[V'(^+«)+V'(«'-«-^)]; 

or ou a tp(0 -\-a) = if>6, et par conséquent aussi, en mettant w — a — 6 au 
lieu de 0 r 

*) P. 2G8 do cette édition. 



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510 



THÉORÈMES SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 



y(œ — 0) = \p(co — a — 6)\ 

donc 

V. [</>(* -f «)] = i [v« + v(» - *)], 

c'est-à-dire 

On aura de la même manière 

Vi[v(' + /*)] = Vi(v*)- 
La première de ces équations donne, en mettant successivement #-}-<*, 
0-\-2a, ... au lieu de 0, 

(11) Vifo(* + «*«)] = Vi(9>tf), 

oh m est un nombre entier quelconque. De même la seconde équation donne 

Vi[y(«+/*/5)] = Vi(y«)i 

d'où, en mettant d-\-ma au lieu de 0 7 et en ayant égard à l'équation (11) 
on tire 

(12) MvV+mb+pP)] = Vi(y*)- 

Donc la fonction ip x ((p0) reste la même, en y. substituant au lieu de <p>0 une 
autre racine quelconque de l'équation (1). En attribuant à m et ^toutes 
les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2n et en ajoutant, la formule (12) 
donne 

1 2n 2n 

(13) ( 2 n+i)» ' f- f„yiW+««+wS)]- 

Le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symé- 
trique des racines de l'équation (1), donc on pourra l'exprimer rationnelle- 
ment par les coefficiens de cette équation, c'est-à-dire par (f(2n-\~l)0. Soit 
donc 

yj 1 (<p0)=p, 

la quantité p sera une fonction rationnelle de cp(2n -\- 1)0. Or je dis que 

p sera toujours entier. En effet soit <p(2n-\- 1)0 = y et p = ^ r ., où p' et 

q' sont des fonctions entières de y sans diviseur commun. Soit y = <p.(2n-\-l)d 
une l'acine de l'équation q' = Q: la quantité p = ^[xf/0 -\-y.f(co — 0)] sera in- 
finie en faisant 0 = â 7 donc on aura \pd-\-xpiio — <?) = ^-; maintenant il est 
évident par la forme de la fonction \p0, que cette équation ne peut subsister 
à moins qu'une quantité de la forme 

(f (fi -f- wa -J- fift) ou cp (u) — cT — | — ma -J- ftfi) 



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THÉORÈMES SUK LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 511 

n'ait une valeur infinie. Soit donc <p ( â -j- ma -f- pfi) — on aura en vertu 
de Téquation (30) tome II p. 113*) 

à = (m' \)œ -f- (n' -f- — — 

oîi m' et v! sont des nombres entiers; or cette valeur de â donne 

(p(%n+l)â = (p [(2n + l)m' + n — 2m]œ + [(2n+ l)n' + — 2[t]m + ~ + ® i 

c'est-à-dire (26 p. 111*): 

Mais cela est impossible, car une racine quelconque de Téquation q =0 
doit être finie. On trouvera également que (p(u) — â -f- w*a -f- v ft) — l- donne 
<p(2n-\- \)d — La quantité p est donc une fonction entière de (p(2n-\- 1)0. 

Considérons maintenant l'équation (10). En divisant les deux membres 
par /(2rc-J-l)0.2>X2»+l)0, on aura 

V* (fffyjy • _ x ipe— \jj(io — 6) 

En vertu de ce qu'on a vu (45) tome II p. 117*), on aura f(2n-\-l)0=f0. 
F(2n-\~\)0 = F$ .v, u et v étant des fonctions rationnelles de <pB\ donc le 
second membre de Téquation précédente sera une fonction rationnelle de cpô. 
En la désignant par x(<p#), on aura 

— i »*-»(*» -z3_ 

W) — t • f(2n + 1)0 .~F(2n + 1)6 ' 
En mettant tf-(-a au lieu de 0, il viendra 

V(0 + «) = V0, y[u>-(0 + a)] = ip(u>-d), 
/(2n-fl)(tf-fa) = /[(2«4-l)^-f 2w(u + 2»«)t]— /(2«+l)tf, 
F(2» + 1) (0 -f et) = J F[(2n-f- 1)0 -f- 2 ma» -f- 2/tcBi] =f(2» -f- 1)0, 
donc on aura 

x[<p(6 + a)] = X (<pO). 
De la même manière on trouvera 

On en déduit, comme plus haut pour la fonction xfaiipO), que %((pd) peut 
être exprimé par une fonction entière de (p(2?i-\- 1)0. Soit donc 



# ) Les formules citées se trouvent p. 275 — 281 de cette édition. 



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512 



THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



X (ipO) = q i 

on aura 

V*(vO) -f° -F0 = q .f(2n + 1)0 . F(2n + 1)0, 

et enfin 

(14) ipO=2 jJ \-2 -f( 2n + 1)0 . 1^(2 w -j- 1)0, 
où j> et (/ sont des fonctions entières de <p(2ft-}~ 1)0. 

Pour trouver les degrés de ces fonctions, soit ((p0) y .%0 le ternie de i//0, 
dans lequel (p$ est élevé à la plus haute puissance, on aura, en supposant 
(pO infini, 

î//0 = A.(<pO) v , 
A étant une constante. De même on aura 

ip(io — 6) = A'.(<f0y, 

et par suite : 

mais pour (pO infini, on a (p{2u-\- 1)0-— B.cpO, B étant une constante. 11 
suit de là que p sera du degré y par rapport à y (2?i~j- 1)0. On démon- 
trera de la même manière que la fonction q sera du degré v — 2, tout au 
plus. 

Notre théorème est donc démontré. 

Dans le cas oh la quantité (pO ne monte qu'à la première puissance 
dans i//0, on a r=l; par conséquent q sera du degré — 1, c'est-à-dire 
q — 0. Donc on a dans ce cas 

(15) ipO=zA-\-B. (p(2n-\-l)0, 

où et B sont des quantités constantes, qu'on déterminera facilement en 
faisant 0 = 0 et — 

Soit par exemple 10 le produit d'un nombre quelconque des racines de 
l'équation (1), et faisons 

2n in 

»f>e = Z m 2 ll n{0 + + 

0 0 

il est clair qu'on aura if> (0) = </>(0 -[-«)=: i/>(0 -[- /:>), en remarquant que 
* [* + (2*+ 1)« + /^] = nifi + pfl) 

et 

77 [0 -f- (2 u -f 1 ) {t -f w«] = n (8 -f w«) . 

Donc 



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THÉOKEMES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 513 

(16) 2 m ma+pP) = A + B. <p(2n +1)0. 

0 0 

II faut remarquer que Tune des quantités A et B est toujours égale ît zéro. 
On a A = 0 si le nombre des facteurs de jjQ est un nombre impair, et 
B = 0 si ce nombre est pair. Dans ce dernier cas la quantité \pQ est in- 
dépendante de la valeur de 0; par conséquent, en faisant 0 = 0, on a 

2n 2n Un 8» 

(17) 2 n 2„ .i (0 -f ma + fU 3) = S m 2„ n (ma + u(i) . 

0 0 0 0 

Si Ton fait par exemple 

n 6 = cpO . cp (0 -f ka -f k'fi) , 

on a 



(18) 



2n 2/ï 



0 0 



= 2 m 2 fl <p (ma + ,„/?) . cp [(m + £)« + (,«. -f , 



où A; et sont des nombres entiers quelconques, moindres que 2 /z — j— 1 . 
Cependant on ne peut pas supposer à la fois & = (), /c / = 0. Car alors 
7i$ — ((pOy* et par suite v = 2, tandis qu'on doit avoir 

v=l. 

De la même manière que nous avons démontré le théorème précédent 
on pourra encore établir les deux suivans: 

Théorème II. Soit \p0 une fonction quelconque entière des quantités de 
la forme f(0 -\-?na -j- /'/?), telle que 

«^ = ^(0 + «) = + /?), 

on aura 

</,0 =jp + 2.y(2n-f 1)0.^(27*+ 1)0, 

oit ^ et 2 sont des fonctions entières de /(2n-\- l)0j la première du degré 
v et la seconde du degré v — 2 , tout au plus, en désignant par v le plus 
grand exposant de /$ dans ipô. 

Théorème III. Soit ipd une fonction quelconque entière des quantités 
de la forme F(0 -\- ma-\- telle que 

^) = y>(0 + «) = «K*+/?), 

on aura 

'/^=l> + ^<K2"+l)0./(2rc-hl)0, 

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514 THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

oh p et q sont des fonctions entières de F(2n 1)0, la première du degré 
v et la seconde du degré v — 2, tout au plus, en désignant par v le plus 
grand exposant de F 6 dans if/8. 

En vertu du premier théorème on voit' sans difficulté que la valeur de 

^("2w"^t)' ex P r " u ^ e eu fonction de (p0, sera 

' / \ 1 *n'-+An 2n+l _________ 

où ^ m et sont deux fonctions entières de cpO, la première impaire et du 
degré 2w-(-l, la seconde paire et du degré 2?^ — 2. D'ailleurs ces fonc- 
tions sont déterminées par l'équation 

pi - ql (JOY • (Fi)' = (<p*6- a_)*+s 
où a m est une constante. 

Christiania le 27 août 1828. 



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xxvn. 



DÉMONSTRATION D'UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE D'UNE CERTAINE 
CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. 



Journal flir die reine und angcwandto Mathematik, herausgegeben von Creîle, Bd. 4, Berlin 1829. 



Tftéorème. Soit y une fonction de x qui satisfait à une équation quel- 
conque irréductible de la forme 

(1) 0 =p 0 + Pl rj + PiU 3 -1 h +2/", 

oîi 2ht Pu Pu • • • Pn-i sout des fonctions entières de la variable x. Soit 
de même 

(2) 0=q 0 + q l!f + q,y' + • • • +q n ^y-\ 

une équation semblable, q 01 q tJ q 2J . . . étant également des fonctions 
entières de x, et supposons variables les coefficiens des diverses puissances 
de x dans ces fonctions. Nous désignerons ces coefficiens par rz, a\ a" ... 
En vertu des deux équations (1) et (2) x sera une fonction de a, a', a", . . . 
et on en déterminera les valeurs en éliminant la quantité y. Désignons par 

(3) ç = 0 

le résultat de l'élimination, de sorte que y ne contiendra que les variables 
a, a', a", . . . Soit fi le degré de cette équation par rapport à x, et 
désignons par 

(4) x 1 , x 2 , x 3 , . . . 

65* 



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j 

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516 DÉMONSTRATION D'UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 

ses /li racines, qui seront autant de fonctions de a, a\ a", . . . Cela posé, 
si l'on fait 

(5) yx = jf{x,ij)dx, 

où f(x 9 y) désigne une fonction rationnelle quelconque de x et de y, je dis 
que la fonction transcendante yjx jouira de la propriété générale exprimée 
par l'équation suivante: 

(6) V^i + V^H {-yx^u + k^ogv^ + kjogvs-lr • \-k n \ogv n , 

u 7 v x \ v 2 , . . . v n étant des fonctions rationnelles de a, a', a", . . ., et 
k 21 . . . k n des constantes. 

Démonstration. Pour établir ce théorème il suffit d'exprimer la diffé- 
rentielle du premier membre de l'équation (6) en fonction de a, a\ a", . . . ; 
car il se réduira par là à une différentielle rationnelle, comme on va voir. 
D'abord les deux équations (1) et (2) donneront y en fonction rationnelle de 
x, a, a', a", . . . De même l'équation (3) (f = 0 donnera pour dx une ex- 
pression de la forme 

dx = a.da-\-a .da f -{-a" ,da" -\- • • •? 

oh a, a', a", . . . sont des fonctions rationnelles de x, a 1 a\ a", . . . De 
là il suit qu'on pourra mettre la différentielle f{x,y)dx sous la forme 

y) dx = <px.da-\~ (p t x . da f cp 2 x . da" -|- • • • ? 

où (px, (p x x, . . . sont des fonctions rationnelles de a, a', . . En 

intégrant, il viendra 

tpx = ^{ipx.da-^-cp^x.da' -\- • • •) 

et de là on tire, en remarquant que cette équation aura lieu en mettant 
pour x les /j. valeurs de cette quantité, 

(7) v^i + V^ H hv*> 

= /[(<Fâ + <F^ + • ' • +<P>)^-h OiZi + V>i^ H h^O^'H 3- 

Dans cette équation les coefficiens des différentielles da, da\ . . . sont des 
fonctions rationnelles de a 7 a\ a", . . . et de x xi x 2J . . . a? , mais en outre 
ils sont symétriques par rapport à x ly x 2J . . . donc, en vertu d'un thé- 
orème connu, on pourra exprimer ces fonctions rationnellement par a, a\ 
a", . . . et par les coefficiens de l'équation (>=:0; mais ceux-ci sont eux- 



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DÉMONSTRATION D'UNE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE etc. 



517 



mêmes des fonctions rationnelles des variables a, a\ a", . . . , donc enfin 
les coefficiens de da, da\ da'', ... de l'équation (7) le seront également. 
Donc, en intégrant, on aura une équation de la tonne (6). 

Je me réserve de développer dans une autre occasion les nombreuses 
applications de ce théorème, qui jetteront du jour sur la nature des fonctions 
transcendantes dont il s'agit. 

Christiania le 6 janvier 1829. 



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XXYIII. 



PRECIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, horausgegeben von Crelle, Bd. 4, Berlin 1829. 



Introduction. 

La théorie des fonctions elliptiques, créée par M. Legcndre, forme une 
partie des plus intéressantes de l'analyse. Ayant cherché de mon côté à 
donner de nouveaux développemens à cette théorie, je suis, si je ne me 
trompe, parvenu à plusieurs résultats qui me paraissent mériter quelque at- 
tention. J'ai cherché surtout à donner de la généralité à mes recherches, 
en me proposant des problèmes d'une vaste étendue. Si je n'ai pas été 
assez heureux pour les résoudre complètement, au moins j'ai donné des 
moyens pour y parvenir. L'ensemble de mes recherches sur ce sujet formera 
un ouvrage de quelque étendue, mais que les circonstances ne m'ont pas 
encore permis de publier. C'est pourquoi je vais donner ici un précis de 
la méthode que j'ai suivie, avec les résultats généraux auxquelles elle m'a 
conduit. Ce mémoire sera divisé en deux parties. 

Dans la -première je considère les fonctions elliptiques comme intégrales 
indéfinies, sans rien y ajouter sur la nature des quantités réelles ou imagi- 
naires qui les composent. Je me servirai des notations suivantes: 

z/ & c)=± y (i — x *)(i^iw), 

. . N Ç dx 

v ' / J J(*,<0 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 519 



de sorte que 

to(*r,c), (O 0 (x,c), fT{x,c,a) 

remplacent respectivement les fonctions de première, de seconde et de troi- 
sième espèce. 

Cela posé, je me suis proposé ce problème général: ^Trouver tous les 
cas possibles dans lesquels on peut satisfaire à une équation de la forme: 

«i (0(x x , c,) -f a 2 u>(x 2 , c 2 ) -] f- « n S)^ , c n ) 

+ «/ O + â\>«, V) H H*' ">oK', O 

+ «//T(a:/,c 1 %a 1 ) + «//r(^ci%a 1 )4. • • • + </7(VW>^ 

= M 4- ili log ^ + A 2 log v 2 -| f- 4 y log v v , 



(a) 



où 



sont des quantités constantes, x xi x 21 . '. . x n ] a?/, a*/, . . . # 2 ", . . . 

des variables liées entre elles par des équations algébriques, et w, v n t?„ . . . v v 
des fonctions algébriques de ces variables." 

J'établis d'abord les propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, 
ou ce qui concerne leur sommation, en employant une méthode particulière, 
qui est applicable avec la même facilité à une infinité d'autres transcendan- 
tes plus compliquées. En m'appuyant sur ces propriétés fondamentales, 
je considère ensuite l'équation dans toute sa généralité, et je fais le premier 
pas en démontrant un théorème général sur la forme qu'on pourra donner à 
l'intégrale d'une fonction algébrique quelconque, en supposant cette intégrale 
exprimable par des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques, théo- 
rème qui est d'un grand usage dans tout le calcul intégral, à cause de sa 
grande généralité. 

J'en déduis, comme corollaire, le théorème suivant: 

„Si v °ù r est une fonction rationnelle quelconque de x, est 

exprimable par des fonctions algébriques et logarithmiques et par des fonc- 
tions elliptiques ip, tp 1 , tp 21 . . . , on pourra toujours supposer 

/rdx 

• • • + A îog-^t^H + A t log ï+fLéM + . . . 



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520 



PKÉCIS D UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



où toutes les quantités ^, </ n . . . ç/, . . . ?/, ^ , y t , . . . sont des 
fonctions rationnelles de #"*). 

De ce théorème je tire ensuite celui-ci: 

„Si une équation quelconque de la forme (a) a lieu, et qu'on désigne 
par c l'un quelconque des modules qui y entrent, parmi les autres modules 
il y en aura au moins un, c', tel qu'on puisse satisfaire à l'équation diffé- 
rentielle: 

dy dx 

en mettant pour y une fonction rationnelle de et vice versa." 

Ces théorèmes sont très importans dans la théorie des fonctions ellipti- 
ques. Ils ramènent la solution du problème général à la détermination de 
la solution la plus générale de l'équation 

dy dx 

ou à la transformation des fonctions de première espèce. Je donne la solu- 
tion complète de ce problème, et j'en déduis ensuite la transformation géné- 
rale des fonctions de première espèce. Je fais voir que les modules doivent 
nécessairement être liés entre eux par une équation algébrique. On peut se 
contenter de considérer le cas où le dégré de la fonction y est un nombre 
premier, y compris l'unité. Si ce degré est désigné par //, c' pourra avoir 
6(/x— j— 1) valeurs différentes, excepté pour ji = 1, où ce nombre se réduit à 6. 

La seconde partie traite des fonctions à modules réels et moindres que 
l'unité. Au lieu des fonctions o>(#, c), <7> 0 (#,c), /7(x, c, a) j'en introduis trois 
autres, savoir d'abord la fonction 1(0), déterminée par l'équation 

nie ilr 

6== L jfcry 

C'est la fonction inverse de la première espèce. En mettant x = l6 dans 
les expressions de «J 0 (;r,c), 77(a-, elles deviendront de la forme: 

(7> 0 (#, c) = f . dd ; 

de 

*) Ce théorème a également lieu, si J(x y c) est la racine carrée d'une fonction 
entière d'un degré quelconque. 



/7(.r,c, a) 



■ 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



521 



Sous cette forme, les fonctions elliptiques offrent des propriétés très remar- 
quables, et sont beaucoup plus faciles à traiter. C'est surtout la fonction X0 
qui mérite une attention particulière. Cette fonction a été l'objet d'un mé- 
moire qui est inséré dans les tomes II et 111 de ce journal*), où j'en ai 
démontré le premier quelques-unes des propriétés fondamentales. On en trou- 
vera davantage dans ce mémoire. Je vais indiquer rapidement quelques-uns 
des résultats auxquels je suis parvenu: 

1. La fonction X0 jouit de la propriété remarquable d'être périodique 
de deux manières différentes, savoir non seulement pour des valeurs réelles 
de la variable, mais encore pour des valeurs imaginaires. En effet si Ton 
fait pour abréger 

Q Ç l âx io _____ f 1 dx 
2 =J 0 Jfc7) 9 2 -J 0 Jfcb) ' 

où b= \\ — c s et y — 1 = tj on aura 

X(0-\-2w) = X0- i.(0-\-œi) = X0. 

2. La fonction XÛ devient égale à zéro et à l'infini, pour une infinité 
de valeurs réelles et imaginaires de 0 

(c) X (m(S -f- moi) = 0 , X [wcD -f - (n -f- cm ] = $■ , 

où m et n sont des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. De 
même on a 

XO' = XO, 

si 

0' = (— l) w 0 + wa, + ww *ï 
cette relation est nécessaire. 

3. La propriété fondamentale de XO est exprimée par l'équation 

X{6' -f 0) .1(0' — 6) = Yzz7n*e7ï*6' ' 
où 0' et 0 sont des variables quelconques, réelles ou imaginaires. 

4. La fonction XO pourra se développer en facteurs et en fractions de 
beaucoup de manières; par exemple si l'on fait pour abréger 

*) Mémoire XVI de cette édition. 

66 



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522 



PKECIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



Oïl a 



* W — y- r 9. • 81 " W [x _ 2q cos (2fcc) + 2 *] [1 — 2j» cos (2«w) + ? «J ... 

("2 ] Vc (! +/>e- , -' ff ) (1 + pe*&) (1 + (1 +p^S)T7. ' 

On pourra exprimer d'une manière analogue les fonctions, de seconde et de 
troisième espèce. Les deux formules précédentes sont au fond les mêmes 
que les formules (c). 

5. Une des propriétés les plus fécondes de la fonction ld est la sui- 
vante: [On a fait pour abréger: J0 = ±}f(l — X*ff) (1 — c*k*0)]. 
.,Si l'équation 

{M) u + a n _ l (xe) M + . . . + a^ey + a 0 = [b 0 X6 + b^XO) 3 + . . . + b n _,(xey- 9 ] je 

est satisfaite, en mettant pour 6 2n quantités 0 n 0 ty . . . 0 2n , telles que 
X*^, . . . X 8 ô 2a soient différentes entre elles, on aura toujours 

»(». + ». H h »,.) =o, 

- ,.(#„, = + m + ;+... + *,._,) = r9 - ; 

les eoefHciens « 0 , a l9 . . . , i 0 , . . . pourront être quelconques, et il est 
facile de voir qu'on pourra les déterminer de sorte que 0 t , 0 S7 . . . 0 tn _ x 
soient donnés." 

Voici une autre propriété plus générale: 
„Si Ton fait 

p* — q\l — x 2 )(l — c*x*) = A(x — M x )(x — X6 2 ) . . . {x — lOJ, 

où p et q sont des fonctions entières quelconques de V indéterminée x 7 ou 
pourra toujours prendre les quantités 0 17 0 2 , . . . 0 telles que l'expression 

+ + + ■ ■ ■ + 
soit égale à zéro ou à l'infini." 
Ainsi par exemple, si 

(d) P* - q*(l - x*) (1 - c'a;*) = A\x* - VO)», 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 523 

Tune des fonctions p et q étant paire et l'autre impaire, on aura 

1) si p est pair: 

A(^u0) = O, si u est pair et 
k (f i 0) = -J- , si t u est impair ; 

2) si p est impair : 

X(uO) = Q y si /te est impair et 
l(fxO) = ^, si fx est pair. 
De là il suit encore que, si l'équation (d) a lieu, on aura toujours 

oh m et n sont entiers et moindres que fi. 

6. Il existe entre les quantités ' X | 1 et I e » racines {2u-\-\) ihê " 

de l'unité des relations bien remarquables, savoir si l'on fait pour abréger 

* 2/r , ^ . 2/r 

â = cos 2iH=T + V- 1 • ^TjTî » 
on {iura, quels que soient les nombres entiers m et /t: 



■ 0==A U>+ï) + 1 ~ïF+ir 'M ^+ï"J + 'M 2^+1 J 

D'ailleurs toutes les quantités ^(^7^7^) sont ^ es racines d'une même équa- 
tion du degré (2// -j— 1) 2 7 dont les coefficiens sont des fonctions rationnel- 
les de c 2 . 



7. Si la fonction 

dx 
J(x } c) ' 

dont le module c est réel et moindre que l'unité, peut être transformée dans 
une autre 



J 



) ' 66* 



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524 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

dont le module c est réel ou imaginaire, en mettant pour y une fonction 
algébrique quelconque de x, il faut nécessairement que le module e' soit 
déterminé par Tune des deux équations 

où <7 1 = <2 ;1 , ^. étant rationnel; ou, ce qui revient au même, 

2i — e ? 
/i et fi/ étant des nombres rationnels quelconques. 

8. La théorie de la transformation devient très facile à l'aide des pro- 
priétés les plus simples de la fonction 10. Pour en donner un exemple, 
soit proposé le problème: satisfaire de la manière la plus générale à l'équa- 
tion 

dy dx 

en supposant c et c moindres que l'unité et y fonction rationnelle, réelle ou 
imaginaire, de x. 

Soit x — 16, y = ï'0\ en désignant par l' la fonction qui répond au 
module c. L'équation différentielle se changera dans ce cas en dO' =.tdO, 
<l'où 

0' = eO + a,, 
a étant une constante. Cela posé, soit 

on aura 

En mettant 0-|-2û7, 0^-œî au lieu de 0, 10 ne change pas de valeur et 
par conséquent on doit avoir 

l' (s0 2ew -f a) = X\e0 -f- a), 
0 -J- £an ' -|_ a ) = x'^e -f- a). 

Donc, si l'on désigne par ©' et a/ les valeurs de û; et ai qui répondent au 
module c\ on aura, en vei-tu de l'équation (2) : 



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PKÉC1S D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 525 

f cm = 2m' G}' n cu'i, 



ce qui donne 

donc 

ou bien 



e—m. - + î = n 2 w — ^ 



G { 2 G to vj 



G' , co' n co' _ , G' 

m - = ??. , - ■ - - = — 2m - - 
tf> w 2 G io 



G' n' G n io 

io' m (o 4;w' G 



Maintenant, si c est indéterminé, cette équation ne pourra subsister à moins 
qu'on n'ait ou n = 0, m' = 0, ou n' — 0, w = 0. Dans le premier cas € 
est réel et égal à 

. c<#' 

m - - == n ? 
tf> ce; 

et dans le second cas 6 est imaginaire et égal h 

n o/ . , G' . 

-v t = — 2ra ?. 

2G 10 

Supposons f réel. Alors on aura ce théorème: 

„Ni deux fonctions réelles peuvent être transformées l'une dans l'autre, 
il faut qu'on ait entre les fonctions complètes a), co, a)\ a/ cette relation : 

G' _ n' G 
o/ m io ' 

oîi n' et m sont des nombres entiers." 

Ou pourra démontrer que si cette condition est remplie, on pourra ef- 
fectivement satisfaire à l'équation 

Rien n'est plus simple que de trouver l'expression de ?/. Il suffit pour cela 
de chercher les racines des deux équations (px = 0, fx=éO. 

Désignons par lâ et Xd' deux racines quelconques appartenant respec- 
tivement à ces deux équations, on aura, pour déterminer et â\ ces deux 
équations : 

ce qui donne 



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526 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 

c'est-à-dire : 

â = - -°- + - û> 4- ~ w i ; <T ' = - - + -*- «J + (fc' -f |) " t , 

fc et k' étant des nombres entiers. Pour déterminer a, il suffit de remar- 
quer que 18 ne change pas de valeur en mettant CD — 0 au lieu de 0. On 
aura donc 

À'(*® — *fl + a) ==!' + 

ce qui donne 

a = |[(2/t + 1 — m)cô'-f- //'a/ z). 

Dans le cas où m est impair, on pourra toujours faire a = Ô. 

Connaissant les valeurs de â et d', on aura immédiatement les racines 
des deux équations (px = 0, fx = 0, et par suite l'expression des fonctions 
(fx et fx en pi*oduits de facteurs. Les formules les plus simples répondent 
aux cas de m = 1 ou n = 1 , et elles sont les seules nécessaires, comme il 

est aisé de le voir par l'équation -^- = — -— . On pourra aussi se servir 
47 1 10 m ai . r 

des expressions de la fonction XO en produits infinis rapportées plus haut. 

Je l'ai fait voir dans un mémoire qui a été envoyé à M. Schumacher pour 

être inséré dans son journal*). 

9. Le cas oh un module c peut être transformé en son complément 
yi — c* = fc, mérite une attention particulière. En vertu de l'équation 

Gf n (ô , 

~ = — — » on aura alors 

C0~ V n Ct J(y, b) —V mn J(. r , c) 

Le module c sera déterminé par une équation algébrique, qui paraît être ré- 
soluble par des radicaux; au moins cela aura lieu si ™ est un carré par- 
fait. Dans tous les cas il est facile d'exprimer c par des produits infinis. 

En effet, si — = 1/ m , on a 
7 io f n 



*j Mémoire XX tle cctto t'dition. 



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PKÉC1S DUNE -THÉORIE' DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



527 




Si deux modules c et c peuvent être transformés l'un dans l'autre, ils au- 
ront entre eux une relation algébrique. Il ne paraît pas possible en général 
d'en tirer la valeur de en c à laide de radicaux*), mais il est remar- 
quable, que cela est toujours possible si c peut être transformé en son com- 
plément, par exemple si c* = ^. 

Les équations modulaires jouissent d'ailleurs de la propriété remarquable, 
que toutes leurs racines peuvent être exprimées rationnellement par deux 
d'entre elles. De même on pourra exprimer toutes les racines par Tune 
d'elles à l'aide de radicaux. 

10. On pourra développer la fonction 10 de la manière suivante: 

K 1 + + //'0<H ' 

où le numérateur et le dénominateur sont des séries toujours convergentes. 
En faisant 

fO=lJ r b'0*-\-b"0«^ 

ces deux fonctions auront la propriété exprimée par les deux équations 



*) Dans le cas par exemple oit y est de la forme : 

l'équation entre c et c est du sixième degré. Or je suis parvenu à démontrer rigou- 
reusement, que si une équation du sixième degré est résoluble a l'aide de radicaux, 
il doit arriver l'un de deux, ou cette équation sera décomposable en deux autres du 
troisième degré, dont les coeffieiens dépendent d'une équation du second degré, ou elle 
sera décomposable en trois équations du second degré, dont les coeffieiens sont déter- 
minés par une équation du troisième degré. L'équation entre c' et c ne paraît guère 
être décomposable de cette manière. 



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528 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

v (0' + o).<f{e'-o)= (c P e jey - w jey, 
f{6' + 6) ./{$' -e)= (je jey - c\ 9 e . < P ey, 

où 6' et 0 sont deux variables indépendantes. Ainsi par exemple si l'on 
fait 0' = 6, on a 

/(2») = (/*)* -<>■(»•)*. 

Ces fonctions jouissent de beaucoup de propriétés remarquables. 

11. Les formules présentées dans ce qui précède ont lieu avec quel- 
ques restrictions, si le module c est quelconque, réel ou imaginaire. 



PREMIÈRE PARTIE. 
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN GENERAL. 

CHAPITRE I. 

l J ro}>riétés générales des fonctions elliptiques. 

Les fonctions elliptiques jouissent comme on sait de cette propriété re- 
marquable, que la somme d'un nombre quelconque de fonctions peut être 
exprimée par une seule fonction de la même espèce, en y ajoutant une cer- 
taine expression algébrique et logarithmique. La découverte de cette propriété 
est due, si je ne me trompe, à M. Legendre. La démonstration que cet il- 
lustre géomètre en a donnée, est fondée sur l'intégration algébrique de l'équa- 
tion différentielle 

dy d.r 
V« + + VU 2 + W + ^ ~ y'a + ïv + yx* + Ôx* + eJ ' 

L'objet de ce chapitre sera de démontrer cette propriété des fonctions ellipti- 
ques, mais en nous appuyant sur des considérations différentes de celles de 
M. Legendre. 

§ i- 

Démonstration d'un tliéorème fondametital. 
Nous allons commencer par établir un théorème général qui servira de 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 529 

fondement de tout ce qui va être exposé dans ce mémoire, et qui en même 
temps exprime une propriété très remarquable des fonctions elliptiques. 

Théorème I. Soient fx et <px deux fonctions quelconques entières de 
a*, Tune paire, 1 autre impaire, et dont les coefficiens soient supposés variab- 
les. Cela posé, si l'on décompose la fonction entière paire 

(fxy-(<fxy(j.xy 

en facteurs de la forme x 2 — de sorte qu'on ait 

(1) (fxy - (cpxy (jxy = a (* 2 - x\) (** - **) - *ï) . . . (* a - 

où est indépendant de l'indéterminée je dis qu'on aura 

(2) ^ + 77^ + 77^+ • • • +n^ = C-- 22a \ogy a -^ Ja , 
a désignant le paramètre de la fonction Hx, de sorte que 

La quantité C est la constante d'intégration. 

Démomtraliov. Supposons d'abord que tous les coefficiens des diverses 
puissances de x dans les fonctions fx et cpx soient les variables indépendan- 
tes. Alors toutes les quantités x„ a?,-, . . . x, t seront évidemment inégales 
et fonctions de ces variables. En désignant par x l'une quelconque d'entre 
elles, l'équation (1) donnera 

(4) ( /xy-(<pxy(Jxy=o, 

-d'où- 

(5) fx-\-<px.Jx = Q. 
Cela posé, taisons pour abréger 

et désignons par y'x la dérivée de cette fonction par rapport à x seul. De 
même désignons par la caractéristique â la dinérentiation qui se rapporte 
aux seules variables indépendantes. Alors on tire de l'équation (4) en ditfé- 
rentiant 

ip'x .dx-i r 2fx.âfx — 2( P x. â<fx . (Jx) s = 0 ; 

mais en vertu de l'équation (5) on a 

' 07 



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530 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

fx = — (fX . Jx, 
<px(Jx)* = — fx.Jx, 

donc, en substituant, 

ifj'x .dx — 2 Jx((px .dfx~r~ fx.d tpx) = 0. 

De là on tire, en divisant par |l — 

dx 2 {(fx . dfx — fx . ô (pu-) 



et en intégrant 



„ /* 2 (<fx .dfx — fx . ô(f.v) 

J l 1 -^)^ 



En faisant maintenant x = x xi x 2 , . . . a^, en ajoutant les résultats et en 
faisant pour abréger 

2 (<p# . dfx — fx . âtpx) = Ox, 

on obtiendra 

(6) rix. + nx^ 1-/7^ 

Maintenant 0# étant une fonction entière de x dont le degré est évidemment 
inférieur à celui de la fonction \px, le second membre, d'après un théorème 
connu sur la décomposition des fonctions fractionnaires, se réduit à 

a Ha 

ou, en substituant la valeur de 0a et celle de ipa, à 



/(fa . d fa — fa .ô (fa 



Cette intégrale se trouvera facilement; en effet, Ja étant constant, on aura 
en intégrant d'après les règles connues, 

,. t a , fa-\- (ta. Ja 

G — loff ~ — - ~ r ' 

2 Ja n ja — (fa . Ja 

C étant la constante d'intégration. Cette fonction mise à la place du se- 
cond membre de l'équation (6), donne précisément la formule (2) qu'il s'agis- 
sait de démontrer. 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 531 

La propriété de la fonction /7(a;), exprimée par la formule (2), est 
d'autant plus remarquable, qu'elle aura lieu en supposant la fonction Jx 
racine carrée d'une fonction quelconque entière et paire de x. En effet la 
démonstration précédente est fondée sur cette seule propriété de la fonction 
Jx. On a ainsi une propriété générale d'une classe très étendue de fonc- 
tions transcendantes*). 

La formule (2) étant démontrée pour le cas où les quantités X^ , X2 y 
. . . Xp sont inégales, il est évident qu'elle aura encore lieu en établissant 
entre les variables indépendantes des relations quelconques qui pourront ren- 
dre égales plusieurs des quantités x 11 x 2J . . . x^. 

Il faut observer que les signes des radicaux dx x , /fx 21 . . . 4x fl ne 
sont pas arbitraires. Ils doivent être pris tels qu'ils satisfassent aux équa- 
tions 

(7) fx^cpx^. 4x^ = 0, fx 2 ~\~(px 2 .Jx 2 = 0, . . .fx u + 9^.^ = 0, 

qu'on tire de l'équation (5), en mettant pour x les valeurs x n x 2 , . . . x^. 

La formule (2) exprime une propriété de la fonction de la troisième 
espèce FT(x). Or rien n'est plus facile que d'en déduire des propriétés sem- 
blables des fonctions: 

/dx C 
et <û Q x= J - 

D'abord si l'on fait a infini, on a ITx = (Dx] mais il est clair que la partie 
logarithmique de la formule (2) s'évanouira dans ce cas; le second membre 
se réduira donc à une constante, et par conséquent on aura 

(9) mx t -f- &x 2 -f- • • • -\- wx^=C. 

De même si Ton développe les deux membres de l'équation (2) suivant les 
puissances ascendantes de ~? on aura, en comparant les coefficiens de 

~4- dans les deux membres, 

(10) œ Q x t + w 0 x 2 -f- - • • -\-m 0 x„ = C — p, 

011 p est une fonction algébrique des variables, savoir le coefficient de 
dans le développement de la fonction 



x*dx 
dx 



*) Voyez sur ce sujet un mémoire inséré dans le tome III, p. 313, de ce journal. 
On trouve un théorème beaucoup plus général t IV, p. 200. 

07* 



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532 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

a i fa + mi . Ja 

— 1<)0" _ 

2 ia ° /a — y a . Ja 

suivant les puissances ascendantes de ~ • 

En vertu des formules (2, 9, 10) il est clair, qu'en désignant par xpx 
une fonction quelconque de la forme: 



| 1 1 i ** 1 i ** 1 1 i * 4 f ._/.r 



(H) 



on aura 



2 ^/«j ° /a 4 — ç ^q 2 .7a, & /a,. — y ,7fl,. * 

On voit que cette équation a lieu quelle que soit la constante A. 

§2. 

Projiriêtâ fondamentale des fonctions elliptiques, tirée des formules précédentes. 

Dans ce qui précède les quantités x t , x», x s , . . . x fl sont regardées 
comme fonctions des coefficiens variables dans fx et <px. Supposons main- 
tenant qu'on détermine ces coefficiens de manière qu'un certain nombre des 
quantités x x , x 2 , . . . x fl prennent des valeurs données mais variables. Soient 



X\ m Xa 



L/j ? • • • * m 

des variables indépendantes. Alors les coefficiens dans fx, tpx deviendront 
des fonctions de ces quantités. En les substituant dans l'équation 

le premier membre sera divisible par le produit 

'.•(*«-*•)(*»-*•) • • • (x--a£), 

et le quotient, égalé à zéro, donnera une équation du degré // — m par rap- 
port à x 2 ^ dont les racines seront les fi — m quantités 

qui par suite sont des fonctions algébriques de x tJ x % , . . . x„. 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



533 



Le cas le plus simple et le plus important est celui oîi le nombre // — m 
a la moindre valeur possible. Pour avoir ce minimum, il faut donner aux 
fonctions fx et <px la forme la plus générale pour laquelle le degré de l'é- 
quation (fx) 2 — ((px) 2 (Jx)* = Q est égal à 2//. 

Il est facile de voir que le * plus grand nombre de coefficiens qu'il soit 
possible à introduire dans fx et tpx, est \u. Mais, puisqu'on vertu de la 
forme des équations (7) on peut supposer un de ces coefficiens égal à l'unité, 
sans diminuer la généralité, on n'aura réellement que a — 1 indéterminées. 
On pourra donc faire m = a — 1 , en sorte que toutes les quantités x x , x 2 , 
. . . x^ y excepté une seule, seront des variables indépendantes. Par là on 
aura immédiatement la propriété fondamentale des fonctions elliptiques dont 
il a été question au commencement du chapitre. 

Il y a deux cas différons à considérer, savoir u pair ou impair. 

Premier cas, si u est pair et égal à 2n. 

A. Si la fonction fx est paire et tpx impaire, il est clair que fx doit 
être du degré 2?2, et cpx du degré 2n — 3. Faisons donc 

j fx = a 0 -f a x x % -f a 2 x" H h «n-i* M + 

(12) ( <p X = {b 0 -f b x x* -f b 2 x* H h K-^)x 

et 

(13) {fxy-(<px)\l-x*){l-c*x*) = {x*-x 

où nous avons mis y au lieu de # 2n , qui sera une fonction des variables x x , 
x 21 ... x 2n _ x . Les coefficiens a 0 , a xi a 2 , . . . a n _ x , /> 0 , i n . . . b n _ 2 sont 
déterminés en fonction de x x , x 2J . . . à l'aide des // — 1 équations (7), 
savoir : 

(13') fx x + cpx x . Jx x = 0, fx 2 + cpx 2 . Jx 2 = 0, . . . fx 2n ._ x + cpx 2n _ x . /Ix 2n _ x = 0. 

Ces équations, étant linéaires par rapport aux inconnues, donneront celles-ci 
en fonction rationnelle des quantités 

X x , X 2 , . . . X 2n _ x , yâ X x , dx 2 , . . . //X 2n _ x . 

Il est clair qu'on pourra donner aux radicaux /lx x , //# 2 , . . . /lx 2n _ x des 
signes arbitraires. 

Pour avoir la valeur de ?/, faisons dans l'équation (13) x = 0. Cela 
donne 

al = x x x 2 * • • x 2n _ x .y , 

d'où l'on tire 



(15) 



534 PKÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

__ «o . 

(14) y X i . X t ■ ■ ■ #2»-l 

La quantité y est donc une fonction rationnelle des variables x> x„ . . . 
et des radicaux correspondant Si maintenant y a cette valeur et si Ion 
fait de plus 

Jx in = — Jy, 

les foi-mules (2, 9, 10) donneront 

Wx, -f- mx t + • • • + ffiz 2n -i = m J + C ' 

a , fa + (pa.Ja . „ 
77^ + 77*, + h Jïaw-i = /J # - 2 l0g Ja^a^ ' 

Quant aux fonctions «y, ffltf, 77,,, il faut bien observer que le signe du 
radical Jy n'est pas toujours le même. Il est dans tous les cas déterminé 
par la dernière des équations (7) qui, en mettant pour s* et Jx in leurs va- 
leurs y et —4 y, deviendra 

fy — <py- J y.= °- 

On en tire 

(16) ^=w' 

ee qui fait voir que le radical Jy, comme y, est une fonction rationnelle 

des quantités x, , x t , . . . ^#15 J x i • • • . 

La fonction y a la propriété d'être zéro en même temps que les vari- 
ables x t , x,, . . . En effet si l'on fait 

x l = x i = • • • =x în _i = 0, 
l'équation (1?») ne pourra subsister à moins que tous les coeffieiens a 0 , 

«„_,, h, h, • • • ^-2 ne soient é S aux à zéro ' donC Cettô ëf l uatl °" 86 
réduit à 

x'^x^ix'-y 2 ), 

donc on aura y = 0. 

On pourrait donner le signe contraire au second membre de l'équation 
(14). Celui que nous avons choisi est tel que le radical Jy se réduit à 
+ 1, en supposant x, = x 2 = x s = • • • = x in _, = 0, et en même temps 
ix 1 = ix s = • • • = Jx in _ l — -\-l. Pour démontrer cela, supposons x t , x t , 
• ■ • ^ï»_i infiniment petits; on aura alors 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 535 

Xy <-/ * * ' .4 U'^ n _ j 1 ? 

et par conséquent les équations (13') font voir que # n x 2 , . . . satisfont 
à Téquation 

(17) + o^ iaî "— 4- &„_,*'-» + • • • + ^ + «o = o. 

Cette équation étant du degré 2#, doit avoir encore une racine. En la dé- 
signant par z 1 on aura 

a 0 = z . x ! . x$ . . . x tn ._i , 
donc en vertu de l'équation (14), 

z — — y- 

L'équation est donc satisfaite en faisant x= — y. Or cela donne 

^ B +<W- ï + • • • +«iy 2 H-«, = (io + i 1 /+ • • •.+ W'- 1 )^ 

donc en vertu de Téquation (16): 

(18) ^= + 1. 

On pourra encore remarquer que y se réduit pour des valeurs infiniment 
petites de # n x % , . . . x 2 , l _ 1 à ^ -{- or a — |— • • • — |— x 2n _ A . On le voit par l'é- 
quation (17), qui, n'ayant pas de second tenue, dounera la somme des raci- 
nes égale à zéro, c'est-à-dire 

^ + #H h^»-i— y=o> 

donc 

(19) y — x x + Xi H h^n-i- 

i?. Si est impair et pair, doit être du degré 2n — 1 et <px 
du degré 2n — 2. Donc on aura dans ce cas 2n — 1 coefficiens indétermi- 
nés, et on parviendra à des formules semblables aux formules (15); mais la 
fonction y aura une valeur différente. 11 sera facile de démontrer qu'elle 

sera égale à > la valeur de y étant déterminée par l'équation (14). 

Second cas, si u est un nombre impair et égal h 2w-f-l. 
A. Si fx est impair et (px pair, on aura 

( fz = (a, + a l x* + a t x*+ • • • + ^3»— + *•>, 
( } ( tfx = b 0 + M* + b t x* H h 

(21) (/^-(^'(l-ï'Kl-c^^^-^^-^ . . . (*»-*L)(a:«-y«). 



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536 PRÉCIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Les eoefficiens a 0 , « n . . . a n __ x , b 01 fc l7 . . . 6 n _! sont détenniués par les 2n 
équations linéaires 

(22) fx x -\-(px\. Jx x = 0, fxz-^-yXz.Jx^O, . . . fx 2n -\-(fx 2n .Jx in = Q. 
La fonction y le sera par l'équation 

(23) 2,= A 

qu'on obtiendra, en faisant dans (21) £c = 0. Enfin le radical Jy est déter- 
miné par 

Cela posé on aura 

/ (S^ -f tDx 2 \- (Sx in = wy -f C, 

(25) < ro o*i + "^s + ' • • + "'o**» = «>o?/ — + G , 

( /7, 1 + /7,,+ . . . + n x ^n,j-^ g f±^ + c. 

Les fonctions y et //?/ sont, comme dans le cas précédent, des fonctions ra- 
tionnelles des variables x x , x%, . . . se Sfl et des radicaux ^-r,, //* 2 , . . . ^x 2n , 
et on démontrera de la même manière, qu'on aura pour des valeurs infini- 
ment petites de x n a* 2 , . . . x U} 

(26) 0 = ^-1-^-1-.. . . ^-x 2in .-/y = +l, 

si l'on suppose en même temps que les radicaux ./xj , <:/# 2 , . . . Jx 2n se 
réduisent à -\- 1 ; donc y s'évanouira simultanément avec les variables. 

Les formules (25) pourront d'ailleurs être déduites sur le champ de 

celles du premier cas, en y faisant •/• 2n __ 1 = 0, et changeant ensuite n en 

B. Si jx est pair et cpx impair, on parviendra à des formules sembla- 
bles. La valeur qui en résultera pour la fonction //, sera égale à — ? où y 

est détenniné par la formule (23). 

On voit par les formules (15, 25), qu'on pourra toujours exprimer la 
somme d'un nombre donné de fonctions par une seule fonction de la même 
espèce, en y ajoutant, pour les fonctions de la première espèce, une constante, 
pour celles de la seconde espèce une certaine fonction algébrique, et pour 
celles de la troisième espèce une fonction logarithmique. 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



537 



En remarquant qu'une intégrale quelconque de la forme 

/Sx . dœ , 

peut être réduite aux fonctions fôx et & 0 x et à un certain nombre de fonc- 
tions de la troisième espèce, en y ajoutant une expression algébrique et lo- 
garithmique, il est clair qu'en faisant 

faœ.div 

on aura la relation 

(27) yai + v^+yaH =w+ v + G i 

oh. v est exprimable par des fonctions algébriques et logarithmiques. 

En vertu des formules (15, 25) il est clair que la fonction v ne change 
pas de valeur, si Ton ajoute à la fonction rationnelle Ox une quantité con- 
stante quelconque, de sorte qu'on peut supposer également 

Je dis maintenant que la fonction xfj est la seule qui puisse satisfaire à l'é- 
quation (27). En effet si l'on différence cette équation par rapport à l'une 
des variables indépendantes x x , x 2 , . . . , par exemple à x 1 , on aura 




Cela posé, si l'on suppose toutes les quantités * 3 , # 4 , . . . y égales à des 
constantes déterminées, on aura, en mettant x pour # n et en faisant 

/ à dv du 

V!t= A > t^=r- 

y 'x . dx = A qdx -J- pdx 1 

d'où Ton tire 

xpx— f (Aq-\-p)dx. 

La fonction ipx ne pourra donc contenir qu'une seule constante indéterminée 
A, et par conséquent 

ipx= J (A + 0x)-jl 

est son expression générale. 

Les propriétés exprimées par les formules de ce paragraphe appartien- 

68 



I 



538 PKKCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

nent donc aux seules fonctions elliptiques. C'est pourquoi je les ai nommées 

fondamentales. 

Dans les formules que nous avons données, y a une valeur unique, 
niais on pourra satisfaire aux mêmes formules, en mettant pour y une ex- 
pression algébrique contenant une constante arbitraire. En eifet, pour avoir 
une telle expression, il suffit de supposer une des variables z t , x zi . . . 
égale à une constante arbitraire, et la valeur de y qu'on obtiendra ainsi, sera 
la plus générale possible, comme on sait par la théorie de l'intégration des 
équations différentielles du premier ordre, dont l'intégrale complète ne con- 
tient qu'une seule constante arbitraire. 

A laide des formules (15, 25) on pourra exprimer la somme d'un nom- 
bre quelconque de fonctions par une seule fonction. ' Il est facile d'en tirer 
les formules suivantes: 

/ ® Xl + J œx, + . . . »*. = 0 + my, 
■ (28) 1 ^ + a»o^H h '«o*» = ® 0 y — p + C, 

oîi . . . //„, \u désignent des nombres entiers quelconques, et oii y 

est une fonction algébrique des variables x' 17 x zi ... # n , de même que les 
4 coefficiens de fa et ^a. Pour avoir ces formules, il suffit de supposer dans 
(13) et (21) un certain nombre des quantités x 1 , . . . y égales entre 
elles. 

Pour déterminer ?/, fx, (f x, on aura cette équation 

(29) (/*)•- M» (l-^U - 

= {x* — X?)"' (x 3 — xi)"' . . . (z s — X 2 »)"" (x 8 — /)", 

(pli doit avoir Heu pour une valeur quelconque de x. 



§ 3. 

Application au cas ini deux fonctions sont données. 

Pour réduire deux fonctions à une seule, il suffit de supposer, dans 
les formules (25), n=\. On aura alors 

fx = a 0 x-\-x\ (px = b 0 , 



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PttÉCIS DUNE THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 539 

et pour déterminer les deux constantes « 0 et 0 „ aura les deux équations 

# . a 0 ^4-xï + J 0 ^ 1 = o, ^+«5 + ^ = 0, 
qm donnent 

^J^-^j,.^ ""-^TZ,— re- 
connaissant A., on aura la valeur de y par la formule (23), savoir pour 



donc 
(30) 



ou bien, en multipliant haut et bas par a^-f , 

(31) »— ^.+3^*1 

Si l'on exprime a 0 et A. en a-,, y, on anra ces CXFessions très simples . 

(32) ho = x ^ y ^ a 0 = $( c *xlxïf~x* — xî-y*). 
L'expression de a 0 se tire de l'équation 

(a 0 x + x>)*-bl(l- x *) (l _ c * x >) = (a5 . _ xi) (aj , xï) {xi _ ^ 
en égalant entre eux les coefficient de x* dans les deux membres. 

Les fonctions a 0 et y étant déterminées comme on vient de le voir les 
formules (25) donneront, en faisant n = 1 , ' 

ÎSJar, -j- ûiXi = my -\- C, 

J 2 Ja ** a 0 « + « s — .T y .T s yJa > °' 

Quant à la valeur du radical elle est donnée par l'équation (24) 
c est-à-dire 

Pour réduire la différence de deux fonctions à une seule, il suffit de chan- 



08* 



PKÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 

ger le signe de x^ dans les formules précédentes. La valeur de y deviendra 
alors 

(35) y — *i J J r *—J*é£i — < — < . 

1 — c*x \ x l J x% + x t Jx x ' 

Si dans les formules (33) on fait x t égal à une constante arbitraire, on 
aura la relation qui doit avoir lieu entre les variables de deux fonctions 
pour qu'elles soient réductibles l'une à l'autre. En faisant a^ = e, x x = x, 
on aura 

/ofn x Je, -\- e ,dx , ,_. 

W y=- i _J_. et mx = myJ r G. 

En différentiant, il viendra 

(37) d y_ —d?L.. 

Jy ./x 

L'intégrale complète de cette équation est donc exprimée par l'équation algé- 
brique (36), e étant la constante arbitraire. Parmi les intégrales particuliè- 
res on doit remarquer les suivantes: 

1) y = x, qui répond à e = 0, Jy = 4x, 

2) y = ±-~, qui répond à « = Jy = ^jéjL, 

3) y = j/^~ ~, qui répond à e = 1, J» = (£ir:Df , 

s 1 — ç 2 .r 2 

^ " (1 .?'-)/? 

§ 4. 

ApplicMimi au en* oh tonte* le* fondions donnée* sont épates 
Si l'on fait dans les formules (15, 25). 

Xi = x, = x,= . . . = ar , = J Xs = /l x , = . . . = ^ 
on aura celles-ci: 

( «ûJx = my -\- C, 

(38) { fim 0 x = a) 0 y— p + c, 
ti.nx=n y -«\ 0 „f a ±<ï* L Ja 

2Ja « /„_ ^ j,- -h C, 



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PRÉCIS D UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 541 

OÙ 

(39) ( fz y _ {(pz y (1 __ gi) (1 _ ^ = (g| _ ^ )fi ^ _ ^ 

z étant indéterminé. ' 
La fonction y est détenninée par les équations (14, 23)- 

<40) »=-J.,= i- 

m^t-V-^V'^T 1 ' In S8Con<le " "= 2 "- L - 

(1<S , qm doivent déterminer les eoeffleiem «.,«„«,, J * 

se Uniront dan S k e«» q „e nons «nddfan. a .me i'„,e, ' «avo'ir " ' " 

mais d'après les principes du calcul différentiel, cette équation doit encore 
avoir heu en la différentiant par rapport h x seul un nombre quelconque de 
fois moindre que On aura donc en tout équations linéaires entre les 
f* inconnues; on en tire, leurs valeurs en fonction rationnelle de la variable 
x et du radical Jx Connaissant «„ a,,..., f >0 , , ^ . . aum 
ensuite la valeur de par l'équation 

On pourrait ainsi déterminer toutes les quantités nécessaires, mais pour mieux 
approfondir les propriétés de la fonction y, nous allons traiter le problème 
d une autre manière, qui conduira successivement aux valeurs de y qui ré- 
pondent aux valeurs 1, 2, 3, etc. de f i. 

Désignons par x f , la valeur de y qui répond à On aura 

û>x M = C-\- /uîOx, 

donc 

= C -f mx„ -f , 

mais si l'on fait 

^ i 

on aura, en vertu des équations (31, 33) 
donc 

( 41 ) . a>x ft+a z=C-\-my. 

La valeur la plus générale de x„ +m , qui satisfera à cette équation est 



542 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

( > — i — c*e*y* ' 

oîi e est une constante. Pour la déterminer, soit x infiniment petit ; on aura 
alors 

x m — mx, x fl = ux, x M+m = (m-{- l u)x, Jx m = 4x^=1; 

donc 

L'équation (41') donnera donc 

(m fi)x — (m -f- p)x /te-\-e, 
donc <? = 0, Je=l et par suite x mJtll =y, c'est-à-dire que 

On aura de la même manière 

La première de ces formules servira à trouver a^ +wl , lorsqu'on connaît x m et 
x^\ on pourra donc former successivement les fonctions 

en remarquant que = /fx 1 = Jx. 

Si l'on fait ?tt = 1 , on trouvera 
(aa\ 1 2a /A J.v 

En remarquant que 

# 0 = 0 , cTj = x , 

cette formule fait voir que x fl est une fonction rationnelle de x, si ,u est 
un nombre impair, et que x^ est de la forme p/lx, oîi j> est rationnel, si ft 

est un nombre pair. Dans le premier cas — £ est rationnel, et dans le se- 

cond Ax^ le sera. On voit également que x^ s'évanouira en même temps 
que dX) si t u est un nombre pair. Les quantités 

z/^ + l ^2 fi À 

sont donc des fonctions rationnelles de ce. 

Si Ton multiplie entre elles les deux formules (42, 43), il viendra 



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P1ŒCIS D UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



543 



(440 



équation qui paraît être la -relation la plus simple qu'on puisse établir entre 
les fonctions x^. En y faisant m — fi — 1, on aura 

De même si dans la formule (42) on fait m = ^, on aura 



(46) 



x, 



2x u Jœ t 



fi -"«7* 



^~ 1— C% 



Ces deux formules paraissent être les plus commodes pour calculer successi- 
vement les fonctions x 2J x 3y x 4J . . . 

Pour trouver les expressions les plus simples de x^ Ll supposons 

(47) = — ' ^ = >' 

ou q sont des fonctions entières de x sans diviseur commun. En met- 
tant ces valeurs dans l'équation (46), on aura 

Or il est évident que la fraction du second membre est réduite à sa plus 
simple expression; donc on aura séparément 

(48) iV = 2^^ t r M , q Vl = qt — c*PÏ- 

En faisant les mêmes substitutions dans l'équation (45) 7 on obtiendra 

(49) ^iPJëtI — _ ^Ir 1 ~ll^-_L_ . 

Or je dis que la fraction du second membre est nécessairement réduite à sa 
plus simple expression. En effet si Ton avait pour une même valeur de x 

on aurait encore 
«Mais on a en général 

donc aussi 



544 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

ou bien 



1(1 - (1 - e-sJLO = 0 = xl_,(l - 4) (1 
ce qui est impossible, car il fallait 

Cela posé, l'équation (49) donnera 

(50) = ~ (i> J — gJpJLi), = îiïîLi — cYvPl-i • 

Si donc on détermine successivement les fonctions 

22? #n 4s> <Zo • • • 

par les équations (48, 50), — sera toujours réduit à sa plus simple ex- 
pression. 

On pourra faire p 1 = x^ q 1 z=zl. D'après la forme des expressions 
(48, 50) il est clair que 

1) est une fonction entière et impaire de x du degré (2 ( a — l) 2 , 

2) p^—p'/Jx, où p f est une fonction entière et impaire du degré 

' Vf)* -s, ~ ~ 

3) est une fonction entière et paire du degré fi* — 1 ou fi*, selon 
que fi est impair ou pair. 

Les fonctions x tll _ x et x ift auront donc la forme suivante: 

(ol) a^-i— î-j-'^jj-»-)- Jj^-j [- Aù fl _ ir ._ 1 xVi>-w->- ' - 

_ *J^(/i„ +Jh? ±^_± B^xM-J) 
x îfl — 1 + Blx f + B\x* -\ (- Bi^xPi* 

On aura par exemple 

Il est facile de voir que les coefficiens A 0 , A 2 , . . . A\, A\, . . ■ An 
B. n . . . B\, B\, . . . seront des fonctions entières de c*. On a toujours 

A 0 = 2fi— 1, B 0 = 2fi et 4i = ^J = 0. 

La fonction est, comme on le voit, irrationnelle; or on peut facile- 
ment trouver une fonction rationnelle y qui satisfasse à l'équation 

d y _ 9 „ llv 

— & Ci ~ y — 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



545 



Une telle fonction est la suivante 



(54) y = |/l=.*. == ^îfe_ l 

car on a, en vertu de la relation (37), 

Jy Jx^ ' 

et y est rationnel, puisque les fonctions Jx^ et le sont. On se con- 
vaincra aisément que cette fonction y aura la forme 

Pour a — 1 > on aura 

Nous verrons dans la suite comment on pourra décomposer les fonctions x^ 
et y en facteurs et en fractions partielles. 

Nous montrerons de même que les équations précédentes sont toujours 
résolubles algébriquement par rapport à x, de sorte qu'on peut exprimer x 
en Xp à l'aide de radicaux. 



CHAPITRE IL 

Sur la relation la plus générale possible entre un nombre quelconque de 

fonctions elliptiques. 

Après avoir établi dans le chapitre précédent les propriétés fondamenta- 
les des fonctions elliptiques, nous allons maintenant en faire l'application au 
problème général que nous nous sommes proposé. Nous ferons voir qu'on 
pourra en ramener la solution à celle de quelques autres problèmes plus 
simples. 

§ i- 

Sur la forme qu'on pourra donner à l'intégrale d'une différentielle quelconque algébrique, en 
supposant cette intégrale exprimable par dss fonctions algébi'iques, logaritlimiqtœs 

et elliptiques. 

Soient x t , x 2 , x 3 , . . . des variables en nombre quelconque, liées 
entre elles par des équations algébriques dont le nombre est moindre que 

69 



! 
I 

54fi PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

celui dos variables. Soient y n y^, . . . y fl des fonctions algébriques queleon- , 
ques de ces variables et supposons que la différentielle 

Hidxi + #A + • • • J riU dx ^ 

soit complète et que son intégrale soit exprimable à laide de fonctions algé- 
briques, logarithmiques et elliptiques, de sorte que Von ait 

( 57 ) / M^+z/^H h#A) 

= U + A l °ë V t + A 2 l °g V 2 H h A v lo fif *V 

+ «1 • M + « 2 « VA H b««- Vn'«7 

-4 , A t , . . . ^4 r , a 1? « 2 , . . . « n étant des quantités constantes, w, 0 , 
. . . v r1 t lJ f 2 , . . . t n des fonctions algébriques des variables a^, .t 2 , . . . 
et i/^, i/^2 7 V ; 3? • • • V» c * es fonctions elliptiques quelconques des trois espèces 
avec des modules et des paramètres quelconques. Désignons respectivement 
par c x , c a , . . . c n les modules de ces fonctions, et faisons pour abréger 

(58) ± y(T - x*)Çi - -cix*) = J m x, 
de sorte qu'on ait en général 

(59) • iff m x = 

6' étant une fonction rationnelle de x* de l'une des trois tonnes 

1, -£ x . ' 

selon que ip m x est une fonction de la première, de la seconde ou de la troi- 
sième espèce. Nous pourrons même supposer que 6' soit une fonction ration- 
nelle quelconque de x. 

On pourra regarder un certain nombre des quantités x t , . •. . x fl 
comme des variables indépendantes. Soient celles-ci les m premières: 

(60) x Y1 x 2 , jl* 3 , ... x m m 1 
alors toutes les quantités 

(61) + ^ + n ^5 'l7 '*7 ' ' ■ f n\ ^17 ^7 « ■ • <V î !fl 7 ^7 • • • 

seront des fonctions algébriques de x' n .r 2 , . . . x m . 

Cela posé, imaginons une fonction algébrique 0 telle qu'on puisse ex- 
primer toutes les fonctions 

(62) «, 0 1? ^, j,(g, ^ a (g, ^ n (0 




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PKÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



54? 



rationnellement en 

(63) 0, x x , x 2 , x 31 . . .x MJ y 19 y â , y 31 . . . 

Il existe nue infinité de fonctions 6 qui jouissent de cette propriété. Une 
telle fonction sera par exemple la somme de toutes les fonctions (62), multi- 
pliées chacune par un coefficient indéterminé et constant. C'est ce qui est 
facile à démontrer par la théorie des équations algébriques. La quantité 0, 
étant une fonction algébrique des variables x x , x t , . . . , pourra donc satis- 
faire à une équation algébrique, dans laquelle tous les coefficiens sont des 
fonctions rationnelles de x x , x 2 , . . . . Or au lieu de supposer ces coefficiens 
rationnels en x t , x 2 , . . . , nous les supposerons rationnels en 

(64) x x , # 2 , # 3 , . . . x^ , yn y<n y$i • • • ; 

car cette supposition permise simplifiera beaucoup le raisonnement. Soit 
donc 

(65) V = 0 

l'équation en 0; désignons son degré par â et supposons, ce qui est permis, 
qu'il soit impossible que la fonction 6 puisse être racine d'une autre équation 
de la même forme, mais dont le degré soit moindre que â. 

Imaginons maintenant qu'on différence l'équation (57) par rapport aux 
variables indépendantes x XJ . . . x m . Il est facile de voir que la diffé- 
rentielle qu'on trouve sera de la forme 

(66) p x dx x ~\-p 2 dx 2 -| . -\-2 J m dx m = 0, 

oh p x , P21 • • • pm seront des fonctions rationnelles des quantités 

x x , x 2 , . . . x m , # w+1 , . . . x fn y x , y 2 , . . . y^, u 1 v Xj v 2J v 31 . . . v v , 

Donc en introduisant la fonction 0, j> n p 2 , . . p m deviendront des fonctions 
rationnelles de 

(67) û, a?,, a^, . . . x fl , y t , y 2 , . . . .y,,. 
Cela posé, l'équation (66) donnera séparément 

(68) Pl = 0, p t = Q, lh = 0, . . . p n = 0, 

et il est clair que si ces équations sont satisfaites, l'équation proposée (57) 
le sera également. Maintenant les équations (68) sont autant d'équations en 
0 de la même forme que T=0, ou pourront aisément être réduites à cette 

69* 



548 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

forme; mais, d'après l'hypothèse, V—Q est une équation irréductible en 0, 
donc il suit d'un théorème connu, que toutes les équations (68) seront encore- 
satisfaites, en mettant pour 6 une quelconque des racines de l'équation V=0. 
Donc l'équation (57) aura lieu quelle que soit la valeur de 0, pourvu qu'elle 
satisfasse à l'équation V=0. 
Désignons par 

(69) tf n 0 2 , . . . Os 

les racines de l'équation F=0, et par 

(70) «', u", . . . u<*; »„', . . . ttf; C, C • • • t$ 

les valeurs correspondantes des fonctions w, Alors l'équation (57) 

donnera, en substituant tlans le second membre d'abord les expressions des 
quantités w, v xi v 2 , . . . f n f 2 ? • • • ? ^2(^2)? • • . en fonction, rationnelle 

de 0, 2^, # 2 , . . • ®pj Un y*i • • • et ensuite au lieu de 0 successivement 
les valeurs 0 M 0*, . 0,?, l'équation (57) donnera, dis-je, â équations 
semblables qui, ajoutées ensemble, conduiront à celle-ci: 

(71) ? +^(^1;/+ log<+ • . . + log • - • +4,(log V + log v/ + • • • + logi> ( ; !) ) 

Le second membre de cette équation pourra être réduit à une forme beau- 
coup plus simple. Considérons d'abord la partie algébrique 

# (72) u' + u"-] \-u^=U. 

Cette fonction est exprimée rationnellement en 

. . . ^ 2/n 2/27 • y M , #2, • • • fa, 

mais elle est en même temps symétrique par rapport h 0 t , 0 2 , . . . 6^ 7 donc 
en vertu d'un théorème connu sur les fonctions symétriques et rationnelles; 
on pourra exprimer la fonction U rationnellement en fonction de 

(73) x x , # 2 , . ... x^ n y x , y 2 , . . . y^ 

et des coefficients de l'équation F=0; mais ceux-ci sont eux-mêmes des 
fonctions rationnelles des quantités (73), donc la fonction U le sera égale- 
ment. 

Soit maintenant 

(74) log r. = logi>.' + logt».' H \-\ogvt\ 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 549 



on aura 

V —v ' v " . . . v {d) 



m 7 



(75) 



donc la fonction T ^ est aussi une fonction rationnelle des quantités (73, 69) 
et symétrique par rapport à ô,, /),,... ^; donc on démontrera de la même 
manière que V m pourra s'exprimer rationnellement par les quantités (73) 
seules. 

Il reste à considérer la partie elliptique de l'équation (71): or d'après 
les formules du chapitre précédent, on pourra toujours faire 

! hv-'î? 

I = V* T m + p -f B t log q x + B 2 log q 2 -\ \- B v log q v 

oh toutes les quantités 

(76) T m , J m {T m ), 2h q t1 ? 2 , • • • 2„ 

sont des fonctions rationnelles des fonctions 

or celles-ci sont des fonctions rationnelles des quantités (69, 73), et il. est 
clair qu'elles seront symétriques par rapport à 0 X , 0 2 , . . . 0^ , donc enfin 
on pourra exprimer les fonctions (76) rationnellement par les quantités x l , 

x s 1 • • • X fx î i y% i • • • • 

En vertu de ce que nous venons de voir, on pourra donc mettre le se- 
cond membre de l'équation (71) sous la forme: 

r -f A' log ( / -f- A" log p" -f- f- A (k > log p<*> 

-f a x . % T x + a, . % T 2 + . • . + a n . y n T n . 

Nous sommes ainsi parvenus à ce théorème général: 

Théorhnc 11. Si une intégrale quelconque de la forme 

/ (j/A x i+!/* dx *-\ \-y* dx ài 

oh r/ i , y 2 , . . . sont des fonctions algébriques de x x , x 2 , . . . x fl , ces der- 
niers étant liés entre eux par un nombre quelconque d'équations algébriques, 
peut être exprimée par des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques 
de sorte qu'on ait 

f(!Ji + !h dx * H + c7 *>) = u + A lo S v i + A lo S v *+ h A v log v v 



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550 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

où A , A 2 , . . . «j, <x 2 , . . . sont des constantes, m, v x , # 2 , . . . ^, J 2 , . . . 
des fonctions algébriques de ^ , x 2 , . . . , et \p l , t/' 3 , . . . des fonctions ellip- 
tiques quelconques, alors je dis qu'on pourra toujours exprimer la même in- 
tégrale de la manière suivante: 

*f • • • +y, l dx lt ) = r + A'] 0 gQ , + A'\W + • • • 

+ log <,<*> -f «, . -f «, . y 2 0 2 H h «„ . y„0. , 

fi étant un nombre entier; a , a s , . . . «„ les mômes que dans l'équation 
donnée; J.', 4", ... des constantes, et 

des fonctions rationnelles des quantités 

x if X 2t • • • x v ? 2/i ? 2/a ? • • • • 

Ce théorème est non seulement d'une grande importance pour la solu- 
tion de notre problème général, niais il est encore le fondement de tout ce 
qui concerne l'application des fonctions algébriques, logarithmiques et ellipti- 
ques h la théorie de l'intégration des formules différentielles algébriques. J'en 
ai déduit un grand nombre de résultats nouveaux et généraux que je sou- 
mettrai au jugement des géomètres dans une autre occasion. 

Comme corollaire de ce théorème on doit remarquer le suivant: 

Théorème III. Si une intégrale de la forme 

fb/i dx x+y* dx *-\ h y A) 

peut être exprimée par une fonction algébrique et logarithmique de la forme 

u + A t log i\ + A 2 log v 2 -| \-A r log v v , 

on pourra toujours supposer que v lJ v 2 , . . . i\, soient des fonctions ra- 
tionnelles de . . . x flJ y l9 ?/ 2 , . . . y^. Si donc on a l'intégrale f ydx, 
où y est liée à x par une équation algébrique quelconque, on pourra suppo- 
ser que v 7 # 2 etc. soient des fonctions rationnelles de // et x*). 

*) J'ai fondé sur ce théorème une nouvelle théorie de l'intégration des formules 
différentielles algébriques, mais que les circonstances ne m'ont pas permis de publier 
jusqu'à présent. Cette théorie dépasse de beaucoup les résultats connus, elle a pour 
but d'opérer toutes les rêdivctiom possiUes des intégrales des formules algébriques, k l'aide 
des fonctions algébriques et logarithmiques. On parviendra ainsi k réduire au plus 
petit nombre possible les intégrales nécessaires pour représenter sous forme finie toutes 
les intégrales qui appartiennent a une même classe. 



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IMtÉClS D'UNE TllÉOttlE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



551 



§ 2. 

Application du théorème du paragraphe précédent à la relation générale entre des Jonctions 

algébriques, logarithmiques et elliptiques. 

Du, théorème général démontré dans le paragraphe précédent on peut 
déduire immédiatement plusieurs propositions importantes, relatives à la théorie 
des fonctions elliptiques. 

Soit 

(77) «vv^i+v/^H hsvv^^^+AH^+^^^^H M>g<v> 

une relation quelconque entre les fonctions elliptiques 

V'i^u l l\ x ^ • • * Mo 
dont les modules sont respectivement c L , c a , . . . e ;/ . Si pour abréger on 
fait ± Y(ï 7^x*)(l — ~c^x t ) — <'L*< i le premier membre sera la même chose 
que 

oii /• , /- 2 , . . . seront respectivement des fonctions • rationnelles de x l9 x 2l 
. . . x /t . Donc en vertu du théorème III on pourra énoncer le suivant: 

lliêorhne IV. Si l'équation (77) a lieu en supposant que w, *> 1? v 2J 
. . . v v soient des fonctions algébriques des quantités x^ x 2 , . . . on pouiTa 
toujours, sans diminuer la généralité, supposer que u, v iJ v s , . . . v v soient 
exprimées rationnellement en x l , r 2 , . . . # it , ^^'^ ^^2' • * • 

En écrivant l'équation générale (77) de cette manière: 

(78) /7 a i / 'î^o.^ f ^ / '^ / *^_L . . . ^ ^x^y ) 

= u-\-A i log ^ -|- ^ l ( >g ^ + • • ' + 1() 8' *V — r Wi — • • • — S ? 

on aura, en vertu du théorème II, le suivant: 

Théorème V. Si l'équation (77) a lieu, on en pourra toujours tirer une 
autre de la forme: 

(79) âa l y> 1 x l -\-âa t xp t Xt-\- • • • +^^^ + ^+1^+1^1+ ' * ' + <V«/V0/<-* 

= r + 4 / logp / + 2l /# log^4 [-A^log^, 

J étant un nombre entier et les quantités 



552 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

des fonctions rationnelles de 

x n x t , . . . x mJ J x x^ 4 2 x 2l . . . J m x m . 

On aura encore comme corollaire: 

lliêorhm VI. Si une relation quelconque entre les fonctions elliptiques 
ip x , • • . ipu x ,i des tro ^ s espèces a la forme exprimée par l'équation 

(77), on en tirera une autre de la forme: 

(80) âa m . y m z = — a, . %0 X — « 2 . VA «m-i • 

-f r + A' log <>' + 4 " log P " -1 h A<*> log 

â étant un nombre entier et toutes les quantités 

des fonctions rationnelles de la variable x et du radical correspondant J„x. 
Toutes ces fonctions pourront donc se mettre sous la forme: 

• 1 jJ r q.J m x, 

où [j et q sont des fonctions rationnelles de x seul. 

Voilà le théorème qui nous conduira, comme nous le verrons plus bas, 
à la solution de notre problème. 

Hi Ton suppose que toutes les variables x l ,• x 2 , . . . x fl soient égales 
entre elles et à a;, et en outre que les fonctions i/^, i// 2 , . . . y> aient le 
même module, que nous désignerons par c, alors le premier membre de Té- 

/V (IgV 
> où r est une fonction ration- 
nelle de x*; donc en vertu du théorème III on pourra énoncer le suivant: 

Thêorhm VII. Si entre les fonctions (Dx, c7} 0 #, 77^, fl^Xj . . . i/^x, 
où /7 A , 77 2 , . . . désignent des fonctions de la troisième espèce, avec des 
paramètres quelconques, mais avec le même module c que les deux fonctions 
de la première et de la seconde espèce Gjx et w Q x, on a une relation quel- 
conque de la tonne: 

(81) ) C ^ + ft 0^+«lfi r i^+«2^H \~ a Jf^ 

\ = u-{- A, log v x + 4 2 log v, -\ log v y , 

on pourra toujours supposer que les quantités 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



553 



soient de la forme jP-f~2^#, où p et </ sont des fonctions rationnelles de 
x seul. 

Ce théorème est aussi d'une grande importance dans la théorie des 
fonctions elliptiques. Nous en développerons dans le chapitre IV les consé- 
quences les plus importantes pour notre objet. 

§ 3. 

Réduction du jrroblème général. 

Reprenons la formule du théorème VI. En la ditférentiant, le résultat 
sera de la forme 

P+QJ m x = 0, ' 

oii P et < k ) sont des fonctions rationnelles de x\ donc on doit avoir séparé- 
ment P=0, Q = 0, et par suite P — Q.J m x = 0, donc la formule (80) 
aura encore lieu en changeant le signe du radical J m x. Or en faisant ce 
changement et en désignant par 0/, 8 3 ' etc. les valeurs correspondante** 
de 0 l5 0 2 , . . . , on aura 

— âa m y m x = — ZaxpO' + v f , 

oh pour abréger nous avons mis le signe de sommation -2*, v' étant la partie 
algébrique et logarithmique. En retranchant cette équation de l'équation 
(80), on obtiendra 

(82) 2 âa m f m x = 2a (ip6' — yd)-\-v — v'. 

Cela posé, désignons par c le module de la fonction \p et par /Ix la fonc- 
tion ±\f(l — 05*) (1 — c 2 .*;*); alors on aura, d'après ce qu'on a vu dans le, 
chapitre I (35) 

\f)0' — ipO = xpi) — v", 

en faisant 

_ W J6—6J0' 

& ' ~ ' 1—<:*6*H'*'* 

v" étant une expression algébrique et logarithmique. 
Soient maintenant 

0=p-\-q / m x, J0 = r-\- {f J m x, 

oh />, y, r, y sont des fonctions rationnelles de x. En changeant le signe 
du radical J m x, on aura les valeurs de 6' et J0\ savoir 

70 



554 PUÉtlS OUNE THÉ0K1E DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

0' =p — qJ m x, J0' = r — (fJ m z. 

En substituant ces valeurs dans l'expression de ?/, il est clair que cette fonc- 
tion prendra la forme 

(83) y = tJ m x, 

où t est rationnel en En vertu de la formule (34) on voit de même 
que Jy sera rationnel en x. % 
Si Ton fait maintenant 

z — v Je + eJ y 

où e est constant, on aura encore 

xpy = yz -f z/", 

donc 

i/>0' — i/>0 = + • 

Or je dis qu'on pourra faire en sorte que z soit une fonction rationnelle de 
x. En effet il suffit pour cela d'attribuer à la constante e une valeur qui 
annule Je. 

Soit par exemple e = 1 , on aura 

mais, comme nous venons de le voir, y 2 et Jy sont des fonctions rationnel- 
les de donc 2 le sera de même. 

La formule (82) prendra donc la forme suivante: 

(85) 2âa m y m x = 2a.ipz-\-V, 

où V est une fonction algébrique et logarithmique, qui en vertu du théo- 
rème II pourra se mettre sous la forme 

toutes les quantités u, ey, r ï? . . . étant de la forme J>-\-q J m x. 

En développant le second membre de l'équation (85), on aura aussi la 
formule 

| 2âa m . i^tf = Wl . ^z, + «, . i/^ 2 H (- . ^ W _ 1 2 M „ 1 

1 + a« + i •' V'»+a 2 «+i + ' ' ' + . W*> + ^ 

où en vertu des deux équations (84, 83) toutes les quantités 

? ^1 Z 1 J* Z 2 • ~A~ 3 Ju z u 

_/ m *r ^/ Ml ^ J m x J x 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



555 



sont des fonctions rationnelles de la variable x. Cette formule est donc une 
suite nécessaire de la formule générale (77). Il faut faire attention que â 
est un nombre entier et que les coefficiens a x , a 2 , . . . sont précisément 
les mêmes dans les deux formules. C'est une remarque essentielle. 

A l'aide de la formule (86) on pourra maintenant réduire la formule 
générale (77) h une autre plus simple. En effet, en éliminant la fonction 
tp m x entre ces deux équations, on trouvera une équation de la même forme 
que la proposée, mais qui contiendra un nombre moindre de fonctions ellip- 
tiques. Faisons m = u et mettons x M pour x dans la formule (80). On 
aura 

2 da^ . = «! . Vi Si + «» • V« *H h <*r-i • VV-i Vi + V - 

En éliminant la fonctiou tp^x^ entre les deux équations il viendra 

(87) a x {2ây x x x — VA) H h Vi( 2(J ^-iVi ~ = r '- 

Mais 2cî étant un nombre entier, on pourra, en vertu de ce que nous avons 
vu dans le chapitre précédent, trouver des fonctions algébriques x s \ . . . 
telles que 

2 ^ — ^ = V* + ^ 
etc. 

donc la formule (87) donnera celle-ci 

j ) = w' + 4/ log t>/ + A,' log H h V log 

Cette équation est précisément de la même forme que l'équation proposée; 
seulement elle ne contient plus la fonction ift ft . On pourra la traiter de la 
même manière et en chasser une autre fonction, par exemple */V-i- 
continuant ainsi, on parviendra enfin à une équation qui ne contiendra que 
des fonctions algébriques et logarithmiques, et qui n'e n'aura pas de difficulté. 
On voit donc que le problème général pourra être réduit à celui-ci: 
Satisfaire de la manière la jrius générale h V équation 

(89) î V'*=/Wiyi+A-¥'»yH h/W-y. 

\ + u + A lo g + A log w t H ^A v log ?v , 

oh t//, . . . i/>„ désignent des fonctions elliptiques des trois espèces, 

en supposant que 

70* 



IX. 



i 



556 ' PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

.oient des fondions rationnelles de x; et que J x y„ • • • *.y. ™«* * 

la forme p.ix, ok p est rationnel en a, et ou ,lx désigne le radical <pn 
figure dans la fonction yx. 

Soient ] 
A,y x =p,Ax, J îyi =p^x, . . . Jny.=P.J~ 

Supposons que ces équations soient satisfaites, et soit 

0x, 0 x x, ...B n x étant toujours des fonctions rationnelles suivant la nature 

des fonctions y», Vu • • • V«> on aura 

fe„y m dy m dx . 

VJJ m =J — • d j- ■ J X ' 

or a m y m <h, m est uue fonction rationnelle de x, donc l'intégrale du second 

membre pourra être réduite à la forme 

y Jm y a = r + Amx + A 0 ® o x + A'n(x,a')+A"n(x 1 a")+ • • • - 

oh r est une expression algébrique et logarithmique. En transformant toutes 
les fonctions xpx, M , • • • de. cette manière, l'équation (89) prendra 

cette fonne 

( amx + «„ûj 0 z -h «i «0 + «t ^ O H 1" a " /7(œ ' ^ 

( 90 ) | =«4-^iog Vl + 4 4 iog V H 

En vertu de ce que nous venons de voir il est clair que la solution du 
problème (89) pourra être réduite à celle des problèmes suivans: 

Problème A. Trouver tous les cas possibles où l'on peut satisfaire à 
l'équation 

(91) (1 -y s )(l -c'Y) =2^(1 -*")(! ~ cV )' 
en supposant y et p fonctions rationnelles de l'indéterminée x, c et c' étant 
des constantes. 

Problème B. L'équation (91) étant satisfaite, réduire les trois fonctions 
0(y»c')> ®o(yjc')> n (l/, c 'i a ) 

à la fonue 

î- + Aôîx-|-A 0 (D 0 a; + 4'/7(x,a')-|-4"/7(a;,a") 4- • • • 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



557 



où r est une expression algébrique et logarithmique. 

Problème C. Trouver la relation la plus générale entre les fonctions 
qui ont le même module et la même variable, c'est-à-dire: trouver les con- 
ditions nécessaires et suffisantes pour qu'on puisse exprimer une fonction de 
la forme 

aïïx -f- «o^o^ -f - a i H ( x i a i) ~b a i H( x i a ï) -f- • • • ' 

par des fonctions algébriques et des logarithmes. 

La solution complète de ces trois problèmes sera l'objet principal de 
nos recherches ultérieures. Nous allons commencer par le dernier qui est 
le plus simple. 

CHAPITRE III. 

Détermination de la relation la plus générale possible entre un nombre quelconque de fonctions 
elliptiques de la mhne variable et du même module; ou solution du problème, C. 

Soit comme précédemment 

Wx, iï 0 x les fonctions des deux premières espèces et TTa^ f7a 2J . . . 17a ft 
des fonctions de la troisième espèce, ayant pour paramètres a 19 ctj, ... ce,,, 
de sorte que 




Cela posé, il s'agit de satisfaire de la manière la plus générale à l'équation 

(92) j / 5ffl * + Aœ 0 * + A^ + A /T «tH hfinITa H 

\ =u-\~A i \ogv 1 -l r Ashgv 2 -\ \-A r hgv v . 

En vertu du théorème VI on peut supposer que v t1 v 2 , . . . v ¥ soient de 
la forme p-\-<l<4x, où p et q sont rationnels en x. 

Nous supposons, ce qui est permis, qu'il soit impossible de trouver une 
relation semblable, qui ne contienne pas toutes les fonctions ITa l9 /7cc 2 , 
. . . /7a n . Nous supposons encore qu'aucun des paramètres « n a 2 , . . . a n 

ne soit égal à ±1 ou à ± ~ ; car dans ce cas on pourrait, comme on sait, 

réduire la fonction correspondante de la troisième espèce aux fonctions (Dx 
et (D Q x. 



558 



PKÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



Cela posé, désignons le premier membre de l'équation (92) par xpx et 
le second par u S A log v. On aura 

(93) \px = u-\-S A log y. 

Il est clair que cette équation aura encore lieu si le radical /lx change 
de signe. Donc en désignant par ri et v' les valeurs correspondantes de ?/ 
et v, on aura 

— xpx = u' -\- S A log v'. 

Cela donne 

2rpx = u — u' -\- S A log • 



Mettons ici — x au lieu de -\-x, on pourra supposer que Jx reste invari- 
able; la fonction ipx changera de signe, et par conséquent on aura, en dé- 
signant par u", ri", v", v"' les valeurs correspondante* de u, ri, v, v' : 

— 2ipx = ri' — ri" + S A log ~ • 

De là on tire 

ipx = ± (u — ri — u" + u'") + iSA log ~ 

Soit 

v =p + qx + (// -f- q'x) /Ix, 
Pi <2S P'i ?' étant des fonctions paires, on aura 

v' = p-\-qx — (p'-\-q'x)4x, 
v" =p — qx-\- (p' — q'x) Jx, 
v'" =p — qx — (p f — q'x) Ix, 

donc 

v v"' =1 >* — q'x" - (p'* — q'*x*) (,lx) 2 -f 2x(pq' — qp') 4x, 
v' v" = p* - q* x * _ (j/* _ q >* x *) ( /x y _ 2x ( pq > _ qi/) . /Xi 

par conséquent on aura 

v v'" fx + cp .î? . Jx 

/* et étant des fonctions entières, dont Tune est paire et l'autre impaire. 
Nous les supposerons, ce qui est permis, sans diviseur commun. 

U partie algébrique \(u — ri + ri" — ri') est évidemment de la forme 
rJX) oh r est une fonction impaire de x. En écrivant A au lieu de \ A, 
I expression de y x prendra la forme suivante: 



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g 



PKÉC1S DUNE THEOKIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 559 

(04) y,z = rJx + SAh g £^ J £. 

Quant aux coefticiens A n A 21 . . . A y , nous pourrons supposer qu'il soit im- 
possible d'avoir entre eux une relation de cette forme 

(95) m l A 1 -\-m 2 A 2 -\- • • • -|- m^^O, 

où mu ra 2 , . . . m v sont des nombres entiers. En effet, si cette équation 
avait lieu, on aurait 

2 A log v = ~\ A, log i-i- + A, log - + • • • + A r _, log ^ , 

c'est-à-dire : 

S A log » = AS log y/ -f 4,' log v./ -| f- 4',.-! log , 

équation dont le second membre contient un nombre moindre de logarithmes 
que le premier. On pourra répéter cette réduction jusqu'à ce qu'une équa- 
tion telle que (95) soit impossible. Cela posé, il faut prendre la différen- 
tielle des deux membres et comparer entre elles les fonctions algébriques qui 
en résultent. 

Considérons d'abord la partie logarithmique du second membre de la 
formule (94). Soit pour abréger 

on aura, eu différentiant, un résultat de la forme 

où v est une fonction paire et entière de x : savoir 

(98) v = 2(fx . tp'x — V x ./'*) (. /x) 2 — 2 fx . tpx . [(1 + c*)x — 2c 2 x 3 ]. 
En faisant 

(99) ex=(fxy-(<pxy(.jxy, 

on pourra aussi mettre r sous cette forme: 

(100) . v<fx = 2f'x.0x—fx.6'x J 

équation facile à vérifier. 

Cela posé, décomposons la fonction entière Ox en facteurs de la forme 
{x* — a 2 )'", et faisons en conséquence: 

(101) (f x y — ( (px y(./x) 2 = (x' — a*) m *(x* — aï)""- . . . {x 2 — a^ = 0x. 



560 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Maintenant Ration (100) - ^ £ *~ 

aura nécessairement le facteur (x — « J » 

_'L pourra être décomposée de la manière suivante: 

(102) (te='+ ^-«^«î-*'^ 

/?'/?' 0 ' des constantes. D'abord je dis 
nîi f pst la partie entière, p x , Pa ? • • • r» ,. . • i„ 

^eMst mîe constante. ' En effet l'expression (98) de . M* voir eue e 
Igré de cette fonction ne pourra jamais surpasser celui de 6, Pom trou 
J les coefnciens /V, . . ., appelons ? l'un quelconque d entte eux, 
correspondant au facteur (z 2 -aT de 0x. On aura 

£*). pour x = a, 



mais si l'on fait 



A» = B (a" -*")», 
on aura en vei-tu de l'équation (100) 

donc en faisant x = a 

3'=z2tna--- 

Or on a {fa)* - (<pa) 2 {J a)* = 0 , donc 

fa -\- <pa . -i« = 0, 

et par suite 

= — 2maJa, 

On a donc 

„ 7 2m.a.Ja. 2 »«,(«,-/«, 2/»^^, 

( 103 ) = fc - "S» - "~ "iî - * r ^ - ** 

En multipliant par £ on aura la valeur de dç. La formule (94) donnera 
donc, en différentiant, K 

P + /V- + «| — • « 2 «» — A' 2 

/ 2m 1 '« 1 './<_2_<o 2 'J< \ 

-\-A,^ ^2^.2 a'*-.** I 

-\- etc. 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



561 



En substituant pour r une fonction rationnelle quelconque de x, on voit 
sans peine qu'il sera impossible de satisfaire à cette équation, h moins que 
/• ne soit égal à zéro. En se rappelant que nous avons supposé qu'il soit 
impossible de . trouver une relation entre un nombre moindre des fonctions 
ria iJ /7« a , . . . fJa n1 et en ayant égard à l'impossibilité d'une équation 
de la forme (95), on se convaincra aisément que tous les coefficiens A , 
. . . A v doivent être nuls excepté un seul. Soit donc 



A Ï = A 6 = • • • = A V = 0 et A x =l, 



on aura 



' i ' 0 ' «f — .r 2 r «| — ^ 2 1 1 a 2 n — x 2 



, 2m x a x Ja x 2m 2 a t Ja i 2 m^n ft Ja^ 



donc 



fi = k x , ft Q = 0, a x = a x , a t = a t , . . . 
Cela posé, la formule générale (94) prendra la forme 

(104) fi.ax--*--ina l i~ /7 «- = lo »>i-_>.-j* + c ' 

où les paramètres « n ce a , . . . «„ doivent satisfaire à l'équation 

(105) (fxY— (<px)\l — x 2 ) (1 — cV) = (x* — a*) m *{x* — <V" a . . . (x* — a*) w \ 

l'une des fonctions /x, cpx étant paire et l'autre impaire. 

Telle est donc la relation la plus générale entre des fonctions rappor- 
tées au même module et à la même variable. Il est remarquable que la 
fonction de la seconde espèce n'entre point dans cette relation. Quant à la 
quantité constante ji qui multiplie, la fonction de la première espèce CDx, 
elle pourra dans certaines circonstances se réduire à zéro. 

L'équation (105) qui donne les relations nécessaires entre les paramè- 
tres « n a 2J . . . a n est précisément de la même forme que celle que nous 
avons considéré dans le chapitre L En regardant a tJ « 2 , . . . a n comme 
des variables, elle donnera en vertu du théorème I, 

, U a x + m, fia,-] \- m n U «. = G - & log - _ ^ Ja , 

m^ûia^ -J- w 4 (5a 2 -(-••• -f- '«„«)«» = C, 

71 



(106) 



nu 



I*ÉC» U-C« T1IÉOU1E DES FONCTIONS EIXIFTIQt'ES. 

/,/«_ 

„ satisfont donc 'à l'équation différentielle 
Les paramètre* « 15 «-»••• v» 

«yto, , «yi«» j |_ = (). 

(107) j Ui -T J« 2 "1" ^ 

Pimr avoir toutes les fonctions de la troisième espèce qui soient rédueti- 
Mes 'Slent à la prenne espèce, il faut faire n= 1. Lu posant «,_«, 

= ° ,,a . « 

(108) «« = 2»7J« t<KC 2»«-/« ° /•«• - 'F - ^ 

Pour détenniner le paramètre «, on aura dans ce cas l'équation 

(109) • • </*)' - M* a - **) (i - < v ) = <*' - aâ) '"' 

,e oui fait dépendre a d'une équation qui est généralement du degré *» . 
Le cas le plus simple est celui où m = 2. On aura dans ce cas 



donc 



1 / a . 1 



donc « pourra avoir les deux valeurs ^ , y ^ • I- valeurs correspon- 
dantes de a sont 1 - \, 1 + !• ' 0,1 aura ahlsi - 

oh l'on pourra changer le .signe de c. 

Si m = 3, on aura dans le cas oh fx est impair, 

f J r = x i -\-ax, (px = b, 

donc av 

+ _ - x 3 ) (i - c^ 4 ) = - «Y- 

De l?i on tire 

«» = &, « 9 + «« + /^« = 0, 2«-cV = -3«», «» + (l + c , )6 , = 3« 4 » 
donc en éliminant a et 6 on trouvera 



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Googte^ 



PKÉCIS U'USE THÉORIE OES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5,53 
^« = i(l~BV). 

Si donc a est une racine de cette équation, on aura 

(HO) rt 
cm cJiapitie J, et qui est telle qu'on ait 

et en même temps 

x m = 0 pour # = 0. 
On pourra encore remarquer que si l'on désigne par a une racine de ,„ = (), 

^ raCine d ° ré( l Uation *~ = h Vonr prouver que « satisfait à" l'une' 
des équations (110), il suffit de remarquer qu'on a (39): 

(1 n \ p' - q'W=V - «•)-(*• - «y, 

où « désigne la même fonction de «, que * m de *. En multipliant les 
deux équations (109, 111) membre à membre, il viendra 

(ni') [pfx ± q<px{jxyy- ( p(fX ± q / x y(j x y = ^ _ tt ^ x » _ ff 

Or on tire des mêmes équations 

P'W - <l\w)\-'*Y = - «0 m • * , 

# étant une fonction entière. De là il suit que l'une des deux fonctions 

pfx-\- q( px(Jx)\ 1 jfx — q<px(J X y 

sera divisible par (»»_«»)«; donc en divisant l'équation (111') par (.r 3 — a 3 ) 3 ™ 
on jaura un résultat de la forme ' 

où l'une, des fonctions r et p sera paire et l'autre impaire. On doit donc 
avoir d'abord p = 0, et ensuite = d'où «. = 0, ou «„- f ] U _ 

ciproquement, si lune de ces équations a lieu, il est clair par la forme de 

71* 



I 



564 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 

l'équation (111) qu'on pourra satisfaire à l'équation (109). 11 est à remar- 
quer que dans le cas que nous considérons, ft ne pourra jamais être zéro. 
Donc il n'existe pas de fonction de la troisième espèce, exprimable par des 
fonctions algébriques et logarithmiques. 

Le cas particulier le plus remarquable de la formule générale (104) 
est celui oh n = S et m 1 = m a = ra s =l. Dans ce cas, en faisant a 3 = a, 
//a 3 = — z/a, on aura 

(112) Ja > + ^ TIa 2 = Ja - Tla + (3 . mx - * hg £ +J? ' J * , 
oh 

Ifx — x 3 -\-ax, (px = b, 
de sorte que 
(x* + ax)* — b 2 (l — x 2 )(l — r*x 2 ) = (x 2 — a*)(x* — a») (x 2 — «*), 
d'oîi l'on tire, comme dans le paragraphe 3 du chapitre I, 

(114) { a = |(^V«ï«* — a* — «? — «*), 

Va a 2 + a 

= — ; P = — c, aa t a*. 

Les deux paramètres a 2 sont donc arbitraires. 

Comme cas particulier on doit remarquer celui oh u t est infini. On 
aura dans ce cas 

1 



•a = ± 



On pourra donc réduire l'une h l'autre deux fonctions, dont les paramètres 

sont respectivement a, ^ • La formule correspondante pour effectuer cette 
réduction est: 

(115) tla+nl 1 ) = *z + i *hg' J ° + °J' 

Pour trouver toutes les fonctions réductibles l'une i\ l'autre, il suffit de faire 
dans la formule (104), n = 2. Cela donne 



(116) 



m 



i a 2 1 & ./.r — <p- . 



où les paramètres et « 2 «ont liés entre eux par l'équation 



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mar- 

/aTO. 

114; 



I" 4 

fî<* 



PRÉCIS D'CNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5(}5 

O") C^) , -M^l-^(l- c -^ ==(as .__ aî) - l(a; ,_ Œ;) . 1 
ce qui donnera une seule équation entre «, et 

CHAPITRE IV. 

^ l '*1«a*ion (l-^)(l-«'V) = ^(l_. râ )(i_ cSA . â)> 

Considérons maintenant le problème (4), .savoir de satisfaire de la ma 
mère la plus générale à l'équation 

(H8) (1 - f) (1 _ c V) = r . (1 _ ^ (1 _ c V)> 

Jf et r étant des fonctions rationnelles de a, La méthode qui s'offre d'abord 
pour résoudre ce problème est celle des coefficiens indéterminés, mai eUe 
méthode ne paraît guère applicable si le degré de la fonction est n p! 

autre qui conduit assez simplement à la solution de ce problème, qui est 
ce me semble, le plus important dans la théorie des fonctions elliptiques. ' 

§ 1. 

IlMuctUm du problème à celui (le mtUfaire à l' Aqmdkn, : 



dp dx 



f Nous allons voir d'abord que si l'équation (118) a lieu, on doit avoir 
nécessairement 

1 du 

r = - - , 

ou f est constant. 

. ^ H est facile de voir que les deux facteurs 1 1 _ r 'y ne penvcnt 

s évanouir en même temps, car cela donnerait r'»=l, m *i* ce cas est ex- 
clu. On doit donc avoir séparément 

(119 ) f l~y 2 = r\<>, l-«'y = r lV , 

r, et r 8 étant des fonctions rationnelles dont le produit est éo-al à r On 
aura également ° 

Or, en différentiant les deux équations (119), ou en tirera 

(120) I ~ 2 y (h >> = r ' ('■• + 2 e d >\ ) , 

\ —2c' i !jdy = r»(r i d ( ,'-\-2 ( ,'dr i ), 



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t 



566 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Mais il est clair que y ne pourra avoir aucun facteur commun, ni avec 

ni avec r 2 , donc il faut que le numérateur de la fraction rationnelle ^ soit 

divisible par i\ et par r 2 ; mais ces deux fonctions ne pourront s'évanouir 
en même temps, donc on doit avoir 

(121) ~^ = r x r t v — rv, 

v étant une fonction rationnelle de x, qui ne devient pas infinie en attri- 
buant h x line valeur qui donne r = 0. Soit y = ? > où p et q sont deux 
fonctions entières de x sans diviseur commun, on aura évidemment 



e 

r = — 

(122) / donc 



q 2 dy - = 6v = là p— rfy . 
* dx ~ dx 

Cela fait voir que v est une fonction entière. Or je dis que v se réduira 
à une constante. Désignons par m et n les degrés des fonctions p et r/, et 
par fx et v ceux de 6 et v. Cela posé, il y a trois cas à considérer : 

1) Si m > 7i. Dans ce cas l'équation • 

(123) iq*- p 2 ) (q* - r?*p 2 ) = — «*) (1 — <>*x*) 

fait voir qu'on doit avoir 

4?^ = 2 4 a-(-4; 



mais comme on a 

il s'ensuit que 
donc 

ou, puisque 2m — // = 2, 
donc 



0 v = 9 d P—J y J^, 
dx 



u ~\- v = m -\-v — 1 , 
v < 2m — i/ — 1 , 



v — 0, 



et ]>ar conséquent r constant. 

2) Si n > m. On aura de la même manière 



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m. 



PKKCIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5fi7 

4 " = 2«-f4,' 2u- fl = 2, 
"<2« — — 1, „ = {)? 

donc aussi dans ce cas « sera égal à une constante. 

fonction/' U = m ' DmiS 06 fl PeUt mW 1 ,le W de l'une de. 

•soit moindre que » = «. Soit donc par exemple 

q-p = <p, 

où le degré de que J10 us désignerons par ,„_/,, „e pourra surpasser 
On aura en vertu de l'équation (123) 

d'où 4*-* = 2/4 + 4, 

maintenant si l'on substitue la valeur de q=p-\-ip, on aura 
donc 

.'*+.»'=//* + *« — *! — 1 =2/ /4 ifc- j 

si *><), et ■ 

/» + #' = /« m — fc _ 2 = 2 M — k — 2, 
si & = (). Dans le premier cas on a 

y=2m^-fi — k— 1 = 1— -!& = (), 

et dans le second 

^ = 2 — « — 2 = 0. 
Le degré de la fonction entière v est donc dans tous les cas é»al à zéro 
«* par conséquent « se réduit à une constante. Eu la désignant par e, on 



et 

aura 



(124) tr = 'kl . 

dx 

Cela posé, l'équation 

(i -JT)(i -« 'V) = (^)*.-(i-0(i -..^ 

donnera celle-ci: 



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I 

I 



568 PRÉCIS D'UNE THÉOK1E DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

v w ; y^-^cr-^v) V(i—* a xi— 

le problème est ainsi ramené à celui de satisfaire de la manière la plus 
générale à cette équation en supposant y rationnel en x. En intégrant, on 
aura 

(126) cD (y, c') = ë. CD(x, c) -f- C. 

En comparant ce résultat à ce que nous avons démontré dans le chapitre II, 
on aura ce théorème: 

lltêorème VIII. „Si Ton a une relation quelconque entre un nombre 
quelconque de fonctions elliptiques, et qu'on désigne par c le module de 
Tune d'elles prise à volonté, parmi les autres fonctions on en trouvera au 
moins une, de module c', et telle qu'on ait entre les fondions de la première 
espèce, correspondantes respectivement aux modules c' et c, cette relation 
très simple 

®(y,c') = ê.<B(tf ? c) + C, 

où y est une fonction rationnelle de x et t une quantité constante. 44 

Ce théorème est de la plus grande importance dans la théorie des fonc- 
tions elliptiques. * 

Il s'agit maintenant de trouver toutes les valeurs de y et des modules 
r/ et c* propres à satisfaire à l'équation (125). Si la fonction y contient des 
puissances de x supérieures à la première, elle jouira d'une certaine propriété, 
qui conduira à son expression générale, en supposant connue la solution 
complète dans le cas où y ne contient x qu'à la première puissance. C'est 
pourquoi nous donnerons d'abord la solution pour ce cas. 



§ 2. 

Solution <in iH'oltth/ie ila/at le t'<w oit t/ — f(J L { " ix . 

1 J «' + (*'* 

En substituant cette valeur de y dans l'équation 

<V - z/ 2 ) (i - *'V) = (i - (i - * V) ( £ ) 



rien n'est plus facile, que de trouver toutes les solutions possibles. Je vais 
seulement les transcrire: 

1. c' = ± c , y = ±x, y = ±*-, « = ±1, 



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1 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 569 

IL c' = ± 1 > y — ±cx, y = ± \ > é = ±c, 

v - c = ± ( ! + Y-c ) '» = ± i -y- c ' i v- ' é = ± ^~ 1 (1 + f ~ c } "' 

Ou voit que le module c a six valeurs différentes. La fonction y en aura 
douze, car à chaque valeur de c répondent deux valeurs différentes de y. 
Ces formules nous seront utiles pour la solution du problème général. 



§ 3. 

Propriété générale île la fonction rationnelle y, qui mttixfait à une tqnation de la forme: 

dy dx 

J'y — E Jx" 

Soit pour abréger 

V(l - y*){\ - c'Y) = J'y et V(l - .<-■') (1 - c»*') = Jx, 
l'équation (125), à laquelle il s'agit de satisfaire, prendra la forme 

où est supposé fonction rationnelle de x\ Soit 
(128) .y=y* 

la fonction cherchée. Si, en réduisant \px k sa plus simple expression, la 
variable x y entre élevée jusqu'à la u""' puissance inclusivement, nous dirons 
pour abréger que ifx est une fonction rationnelle de x du degré ja. Sa 
forme générale sera donc 

_ ,i„ -f J,* + ^* + • • • + A..<-" > 
— + + H [- 'V ' 

le numérateur n'ayant pas de diviseur commun avec le dénominateur, et les 
deux coefficient* A fl et n'étant pas nuls à la fois. 

72 



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I 



57() PKÉC1S D'UNE TIlÉOiilE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Cela posé, si l'on considère x comme fonction de y, l'équation y = <px 
donnera pour x, a valeurs, qui seront nécessairement inégales,- en supposant 
' y arbitraire. Il est évident que toutes ces valeurs de x satisferont également 
à l'équation différentielle 

dy dx 
J 7 y =t j7c' 

En désignant donc par x et x' deux d'entre elles, on aura en même temps 

dy dx' 
J'y =t Jx'* 

Donc, en égalant ces deux valeurs de j, ? on aura 

dx' d# 

Une telle relation aura donc toujours lieu entre deux racines quelconques de 
l'équation 

y = ipx. 

Il est facile d'en tirer une équation algébrique entre x' et x. En effet l'in- 
tégrale complète de cette équation est en vertu de l'équation (36) 

e étant une constante. Maintenant et x étant tous deux racines de l'équa- 
tion y — ifjx, on aura 

y = ipx, y = *px\ 

donc 

(131) ipx' = \}>x, 

et puisque // est variable, cette équation doit nécessairement avoir lieu pour 
une valeur quelconque de x. On aura donc immédiatemeiit ce théorème: 

Théorème IX. „Pour qu'une fonction rationnelle y de du degré u, 
sse satisfaire à une équation différentielle de la forme 



puisse 



dij (Z.e 

J'y" 8 7 



il faut que cette fonction ^/ reste invariable, en mettant pour x*, // valeurs 
différentes de la forme 



x Je -f- e.Jx 
1 — c^e^x 2 

e étant constant." 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 



571 



Ce théorème nous conduira, comme on va voir, de la manière la plus 
simple à l'expression générale de y. Il s'agit seulement de déterminer les 
valeurs convenables de la constante e; car celles-ci étant trouvées, rien n'est 
plus facile que de déterminer ensuite toutes les autres conditions nécessaires. 
Occupons-nous d'abord de la recherche de cette constante. 

§ 4. 

Détermination ds toute* les racines de l'équation y — ift.r. 
Faisons pour abréger 

nous aurons d'après ce que nous venons de voir (131), 

(133) y>(fcr) = v*, 

où le signe du radical 1x est évidemment arbitraire. Je* remarque mainte- 
nant que cette équation, ayant lieu pour une valeur quelconque de sub- 
sistera encore en mettant 6x pour x. On aura donc 

y[0(0x)] = y>(0z) = tpx. 
En mettant de nouveau 6x au lieu de x et ainsi de suite, on aura 
y — \px = if>(0x) = ifi8\r)=:y>(6 3 x)= • . • z= tp(O n x) = etc., 
oîi l'on a fait pour abréger 

0 2 x = 06x, e^x^OO^x, . . . etc. 0 n x = 6O n l x. 
De là il suit que toutes les quantités de la série 

(134) x, Ox, 6*x, . . . 0V, . . . 

seront des racines de l'équation y = if>x. Maintenant cette équation n'ayant 
qu'un nombre limité de racines, savoir //, il faut nécessairement que plu- 
sieurs des quantités de la série (134) soient égales entre elles. Il s'agit de 
savoir si cela serait possible. Pour cela il faut d'abord avoir l'expression 
générale de 0 n x en fonction de x et e. Regardons pour le moment e comme 
variable indépendante. Alors on aura en vertu de l'équation (132), 

1 — c*e*(6*- l .v)* ' 
J(6\r) — J(0—iï) + Je ' v ^ 



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5?2 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

? t tr,^ :r^"i î^ ( v4 

^ .'"./(ko, m J»». 4- deux *,«*■» con^ntive, - 
aura sur le champ 

CC» ,,»é, .létevnùnon, d'qri. le rtgi. *. pavap-apl.e 4 du cha P i« I 
une fonction rationnelle e n de e, telle que 



on aura 



Mais si Ton fait 



on a 



donc 



de n de 



d(0».r) daf ^ 

J(F n .r) ~~~ '/I? * 



Cette dernière équation donne la suivante 

où a' est une constante, 

Poui 
et // e n = 

sera 



où tf' est une constante. ^ 

Pour déterminer cette constante, taisons « = 0; un aura alors - 
et Je n =L Donc la valeur de z' deviendra: = et par suite celle de 



Mais ayant 0z = z, on aura encore 6 n x = x, donc 



.r + e'Jx 



Cette équation devant avoir lieu pour une valeur quelconque de x, ne 
pourra subsister à moins qu'on n'ait séparément e' = 0, Je' — 1 ; 10,1(1 0 



aura 

e n x = x', 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 573 

c'est-à-dire 

(135) B'x=*4'^M"- 

Telle sera l'expression de 0 n x pour une valeur quelconque du nombre entier 
n. Comme on le voit, elle a la forme que doit avoir une racine quelconque 
de l'équation y = \px. 

Cela posé, soient 0 m x et $ m+1i x deux quantités de la série (134), égales 
entre elles; il en existera toujours d'après la remarque faite plus haut. On 
aura donc 

mais 0 m '* n x est évidemment la même chose que 0 n (0 m x) y donc en mettant x 
pour 6 m x, il viendra 

(136) O n x = x. 

Une telle équation doit donc toujours avoir lieu, quel que soit x. Si elle a 
lieu effectivement, il est clair que la série (134) ne contiendra que n termes 
différens, car, passé 6 n ~ l Xj les termes se reproduiront dans le même ordre, 
puisqu'on a 6 n + l x=6x 1 8 n + 2 x = $ 2 x etc. Si l'on suppose, ce qui est per- 
mis, que ?^, dans l'équation 0 n x = x, a la plus petite valeur possible pour 
la valeur donnée de ^, il est clair également que les n quantités 

(137) x, 6x, 0*x, . . . 6 n ~ l x 

seront nécessairement différentes entre elles. Car si l'-on avait par exemple 

o m x = e^^x, 

il en résulterait 0^x = x^ ce qui est contre l'hypothèse, attendu que u est 
moindre que n. 

Il s'agit donc de satisfaire à l'équation 

6 n x = x. 

En y substituant l'expression de 0 n #, donnée par la formule (135), il viendra 

X ~ ï—c*ê'iœ*~ m 

Or il est impossible de satisfaire à cette équation pour une valeiu- quelcon- 
que de se, à moins qu'on n'ait séparément les deux équations: 

(138) «» = 0, Je„=l; 

et réciproquement, si ces équations sont satisfaites, l'équation O n x = x le sera 
également. Or je dis qu'il sera toujours possible de satisfaire à ces deux 
équations à la fois. 



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Guu^ le 



574 PRÉCIS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Je n 

D'abord si n est impair, les deux quantités e n et — - seront des fonc- 
tions rationnelles* de connue nous l'avons vu chapitre I § 4. Si donc on 
désigne par e une racine quelconque de l'équation 

(139) e n = 0, 

il suffit, pour satisfaire à l'équation Je n =l, de déterminer le radical Je 
de telle sorte que 



(140) Je = ,— , 



Je 
Je n 



après avoir mis le second membre de cette expression sous la forme d'une 
fonction rationnelle en e; C'est ce qu'on voit en remarquant que si e n = 0, 
la quantité Je n = ±^(l — — c 2 e*) ne pourra avoir que l'une des deux 
valeurs «j- 1, — 1. 

Si au contraire n est un nombre pair, on a vu que Je n sera une fonc- 
tion rationnelle de de même que . 4 • En désignant cette dernière 
par f w , on doit avoir, en vertu des équations (138), 
(141) e„ = 1. 

Or je dis que si e est une racine quelconque de cette équation, on * aura à 
la fois e„ = 0, Je n =l. En effet ayant 



je* yr 



on en tire en carrant, 



" = 1. 



et cela donne 

= 0 



car c* est différent de l'unité. Or ayant e n — 0 et f M = 1 , on aura évidem- 
ment Jp. n =\* donc etc. 

On pourra donc satisfaire à la fois aux deux équations 

et l'on aura toujours ?z 2 valeurs différentes et convenables de c, car en vertu 
des formules (51, 55) les équations e n = Q, e n — 1 seront du degré n 2 en r\ 
11 s'agit maintenant de choisir les valeurs de e qui rendent toutes les 
n quantités ir, ds, . . . 0 n ~ l x différentes entre elles, car cela est une seconde 
condition à laquelle doit satisfaire e. 



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PRÉCIS D'UNE TIIEOKIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



575 



Or pour cela il suffit de rejeter toutes les valeurs de e qui pourraient 
donner Q t x = x, où u est moindre que //,. On pourra toujours supposer a 
facteur de n. En effet soit k le plus grand commun diviseur de u et /?, 
on pourra trouver deux nombres entiers t u et n tels que 

Or l'équation 6 fi x = x donne 

O u >x = x, 

donc 

mais en vertu de 0 H x — x, on a encore 
donc enfin 

0 k x = x] 

donc, si 0> l x = x, on aura encore 8 k x = x, où k est diviseur de n. Donc 
il suffit de rejeter toutes les valeurs de e qui pourraient satisfaire en même 
temps à ces deux équations 

e ft = 0, J^ — 1, 

, où a est un facteur de «; et il faut nécessairement les rejeter toutes, car si 

l'on a 0* t x = x, on a nécessairement $ H x = x. 

Ainsi on déterminera aisément une équation en dont toutes les raci- 
nes donneront des valeurs convenables de cette constante. Si n est un nom- 
bre premier impair, on a a = 1 ; donc la seule racine qu'il faut rejeter de 
celles de l'équation e u — 0, est celle-ci 

e = 0. 

On aura donc /r — 1 valeurs convenables de e. Car l'équation e n = 0 est 
du degré n 2 . 

Il y a une remarque essentielle à faire sur les quantités 

Xj 0x^ d'x^ . . . 6 n *X) 
c'est qu'on aura toujours en même temps 

* (142) &*x=^+-*:-{*, e+-x=*-?*--'; J s. 

En effet, on a (43) 

mais c n = 0, z/e n = 1 , donc 



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576 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



On aura également (42) 

1 u v m f n — m 

donc à cause de e n _ m = — e mJ on aura 

Je n __ n = Je m . 

En substituant ces valeurs de e n __ m , Je n _ m dans 1 équation 

on aura précisément la seconde des équations (142). 

Si Von multiplie entre elles les valeurs de 6 m x et 0 M -"V, le produit 
sera rationnel, et Ton trouvera 

(143) 0 m x . 0 n ~ m a; = . 
On aura de même 

(144) «"* + «~* = ï*-^V 
Ces formules nous seront utiles dans la suite. 

D'après ce qui précède, les n quantités 

x, 6x, 0 2 x, . . . o n - l x 

sont différentes entre elles, et racines de l'équation y = tpx. Le degré a de 
cette équation est donc égal à s'il ne suidasse pas ce nombre. Nous 
verrons plus bas qu'il suffira de considérer le cas oh u = n. On pourra 
même supposer n premier. 



§ 5. 

J h'termination de toutes les valeurs de y qui pourront répondre aux mânes valeurs des racines, 

lorsqu'on en connaît une seule. 

Pour simplifier la solution du problème général, voyons d'abord si plu- 
sieurs valeurs différentes de la fonction y et du module c pourront répondre 
aux mêmes racines de l'équation y=ipx. Rien n'est plus facile que de dé- 
terminer toutes les valeurs de y et cf. En effet, soit if'z= P -, oh p et q 
sont des fonctions entières de z sans diviseur commun. En désignant par 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 577 

toutes les racines de l'équation 

i/ = xfjx, 

on aura 

v -qy = (a~by){z-x){z-x'){z-x") . . . (z 

où a et b sont des constantes. Soit maintenant y' une autre valeur de y 
qui répond aux mêmes valeurs de x, as', se" ... , on aura, en désignant par 
y et les valeurs correspondantes des fonctions y et 

2/ - 2'/ = («' - *Y) -*)(«- x') (z - x") . . . (z - 

donc 

En attribuant à 2 une valeur constante, il est clair que cette équation don- 
nera pour y' une expression de la forme 

<"«> 

où a, /?, /?' sont des constantes. En désignant maintenant par c" le 
module qui' répond à y\ on aura en même temps 

dy' , dx dy </»r 

V(l (i —c^y'*) ~ * ' J'y~* ' 

donc 

(146) - =-*.- 

En substituant l'expression de ?/' en ?/, on aura les équations nécessaires 
pour déterminer y', c", t\ Ce problème est précisément le même que celui 
du paragraphe 2. On voit donc qu'une seule solution de l'équation 

dy dx 
Jy Jx 

en donnera sur le champ cinq autres, qui seront en général différentes entre 
elles. La fonction y aura toujours deux valeurs correspondantes au même 

module c\ savoir ?/ et } • 
7 J c'y 



73. 



0 

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I 



578 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



§ «• 

SoliUiou complète du problème dam le cas où [i n n. 

Supposons maintenant que l'équation y = ipx n'ait d'autres racines que 
celles-ci : 

dx, 0 2 #, . . . 0*- l x, 

ce qui arrive toujours lorsque t a est un nombre premier, comme nous le 
verrons plus bas. On aura alors, si p et q signifient la même chose qu'au 
paragraphe précédent, 

(147) p — qy — {a — by) {z — x)(z — 6x) (z — 6*x) ... (2 — d n ~ l x). 

En attribuant à z une valeur particulière, on aura une expression de y dans 
laquelle tout est déterminé, excepté trois quantités constantes. Nous allons 
voir qu'on pourra toujours les déterminer de sorte que l'équation différentielle 
proposée soit satisfaite. Pour cela considérons deux cas selon que n est un 
nombre impair ou non. 

Cas 1. Si n est un nombre impair. Faisons dans ce cas n = 2u-\- 1. 
Alors l'équation (147) donne, en attribuant à z la valeur particulière zéro, 

a' — b'y=z — (a — by)x.0x.0 2 x . . . d^x, 

d'oii 

/ 1 j o\ <*' + a • * • . 6 2 w . . . 6^ l ,c 

^ ' ' iJ ~~~ V + b~c. 67c. ¥1^77. 6^\c ' 

En remarquant maintenant qu'en vertu de l'équation (143) 

6 m X.0*"+ l - m X: — 



l-c*eW 

il est clair que l'expression précédente de y sera une fonction rationnelle de 
x du degré 2 ( a-{-l; donc, puisque cette fonction reste invariable, en met- 
tant pour x les 2 u -\- 1 valeurs 

x, Ox, 6*x . . . 6* u x, 

ce qui est évident à cause de d* fÀ + 1 x = x 1 on conclura que l'équation (147) 
a lieu en mettant pour y cette fonction et pour p et q les valeurs corre- 
spondantes en z. Cette équation pourra s'écrire comme il suit: 

(149) p — qy = (a — by) (z — x) {z — Sx) {z — 0*"x) {z — 0*x) (z — e^' l x) . . . 

. . . (z — 6»z)(z — 0^ l x). 



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PBKCÏS D'UNE THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 579 

Cela posé, faisons 

*=1, -1, 1 — 

c c, 

et désignons les valeurs coiTespondantes de y par 

«, r, £ 

Comme on a pour ees valeurs dp <r j~ n -i > 

é,u«,i„„ 8 (1 42) <„, p, ragr :;r e t q ;/* =0, " ,cm,ut en ™* *■ 

X ^^^^ 

d'où voit que les facteurs du seeond membre "de l'équation (149) seront 
égaux deux à deux, en faisant abstraction du premier facteur 9 -J On * 

(150) )l'-# = («~^)(] +2 ). (> - 
j V ~ W = (a — hy) (1 — cz). p" 2 , 
( — qâ = (a — M) (1 -f cz). p"", 

ou > C C", p'" «eront des fonctions entières de z du degré u. Mais puis- 
qu on doit avoir ' 1 

(151) (?*-^W-*V) = ^l-z 8 )(l- C V), 

les équations précédentes font voir que les quatre constantes «, /? v J tloi . 
vent être les mêmes que celles-ci: 

et si cette condition a lieu, les quatre équations (150) en donneront évidem- 
ment une de la forme (151), et par suite on aura 

(152) % _ . 

en vertu de ce qu'on a vu dans le paragraphe 1 de ce chapitre. 

Comme il suffit de connaître une seule valeur de y, nous pourrons faire 
par exemple 

(153) tt==h ^=-1, y = .l_ f â= _l. 

Cela posé, il nous reste à satisfaire à ces équations. Or si l'on fait 
pour un moment 

73* 



580 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

(154) (px = x.dx.O x . . . V *x — (1 _72^ 2 - )(1 - ,2^2)7 
l'expression de ?/ deviendra 

( 155 ) . ? ' = ^+t:^' 

d'oh l'on déduira, en remarquant que (p( — x)=. — <px, et faisant x=l, 
11 

«' + 05.(1) «^^(1) + ' 

a -r+A V (î)' ^-//-^(î)' '- //+A<r ^y 

donc en vertu des équations (153), on aura 

a' — b' + {a — b)<p(ï) = 0, a' + b' — (a-{-b)<p(l) = 0, 

Il est impossible de satisfaire à ces équations à moins que l'une des 
quantités a\ b f ne soit zéro. Faisons donc a' = 0, on aura en même temps 
b = Q. Donc deux des équations précédentes donneront 



l = <p(l) = c\y( v), 

d'où l'on tire la valeur de r/, savoir 

«■(■') 

La valeur de y deviendra 

Quant aux valeurs de (p (1) et de </> | * j > on aura en vertu de l'expression de (px, 

m _ e* 1—jî 1 — e% 

^ > — 1 — "e*** 1 — c*ri * ' * 1 - e *Â ' 



donc 



et 



... M _ _1_ 1 -cV \-«*e\ 1 - e« e » 
V 1 „ | — c 2,,+ i l _ g f - 1 _ ^ ! 



c' = c"<- [<,(!)]', = 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 581 

Pour avoir enfin la valeur du coefficient «, il .suffit de faire x = 0, après 
avoir différentié l'expression de y. On aura 

mais comme on a 

il en résulte, en faisant x = Q, 

du 

donc on pourra faire 

2 2 8 2 + * 

y c 

D'après ce qui précède on pourra maintenant énoncer le théorème suivant: 

Théorème X. „Soit e une racine quelconque de l'équation ^ + j = 0 7 
mais qui ne puisse être racine d'une autre équation de la même forme 
^m+i = 0, oh 2ra-f-l est diviseur de 2/i-J-l. Cela posé, si l'on détermine 
la fonction y, le module c\ et le coefficient f, d'après les formules 

_ J œ(e* — *r 2 ) (e* — œ*) {e\ — .r 2 ) . . . (*» — .r 2 ) 
_ / . . (1 - **) (1 - ; 1) (1- «!) • • , (1 - f » 



* ~ ' * (1 (1 - <«*'1) (ï - <- 2 **) • • • (ï - e*,*) ) > 



(156) { _ 

* — y*' 



on aura toujours 

_ , f _ : 

y(i — y 2 ) (i — c' v 2 ) y(i - .r 2 ) ("1 — ^ 2 .r 2 ) ' 

en déterminant convenablement le signe du second membre." 

Connaissant ainsi un système de valeurs de ?/, c', é, on en aura cinq 
autres, d'après ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent, à l'aide des 
formules du paragraphe 2. À chaque valeur de e répondent donc six sy- 
stèmes de valeurs de y, c\ s. On aura même douze valeurs de y, car à 
chaque valeur de e! répondent deux valeurs différentes de cette fonction. 
Nous reviendrons plus bas à la question du nombre total des solutions qui 
répondent à la même valeur de u. 

Pour donner un exemple des formules ci-dessus, soit u = l. Puisque 



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582 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 



dans ce cas 2/t-|-l=3 est un nombre premier, on pourra, en vertu de ce 
qu'on a vu plus haut, prendre pour e une racine quelconque de l'équation 
e s = 0j excepté la racine zéro. Cette équation est, en vertu de la formule 
(53), qui donne l'expression de # 3 , du huitième degré, savoir: 

0 = 3 — 4(1+ c f )e* + 6c V — c V. 

La quantité e étant une racine quelconque de cette équation, on aura 

du , dœ 



V(l - y*) (1 — c' 2 // 2 ) V(l — .r 2 ) (1 — c 2 * 2 ) 

3 [ 1-e 2 \* l/c f cV* .r(e 2 — * 2 ) 

Puisque f? 2 est déterminé en c par une équation du quatrième degré, le mo- 
dule c! pourra l'être également. Cette équation est 

( c '_ r )* = 4]/cc'(l — Vcc' y. 

L'expression générale de ?/, donnée plus haut (156), est sous forme de pro- 
duit. Rien n'est plus facile que de décomposer cette fraction en fractions 
partielles. En effet, puisque les racines de l'équation 

0 = r ^;z( 2 2 — r>*)(z 2 — e*) . . . (z«- e ^!/(l-^W) . . . (1 — r^;z 2 ) 

sont les 2 — |— 1 quantités suivantes 

.x, Qx, 0 2 x . . . e^x, 

la somme de ces quantités sera égale au coefficient de z 2 ^, divisé par celui 
de z 2,1+1 et pris avec le signe — , donc 

, + fa + + ...+,.,, = (- «r££t 

donc, en vertu de l'équation 

1 — <-V*.r 2 

on aura l'expression suivante de ?/: 

(157 x ?/ _L 1 ?<^-f 1 2Je *" T 1 1 2^.* \ Y~c (-l)H-i 

1 } ^-r+i-ow+T^ 2 ^ 2 + • ■ • +r-^) ^y c , eV-.-r 

CVw II. S? 7? est un nombre pair. Faisons n = 2u. Puisqu'on a 



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de ce 
iati»»!i 



Y' 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 583 

on aura, en faisant m = t u, 

1 — ti* X ^ ,2 a ( 2~ ' 

»io ou iu.nm. Cela donne heu » eo„ s idérer séparément ee s deux cas: 
-4. Si fy = -J, on aura 

En substituant au lieu de on aura 

6" +m x = ± - L_ . 
Lob racines de l'équation^ = ^ deviendront donc 

± c 1 -, 0*, . . . fl^i^ fl^". . . pr-t^ 

par conséquent on aura 

(1 58) 2>-M = (a - by) ( 3 -,)| 2 ; L ) ( a ^) ( 2 _ _ > _ 

. . . (s — — 0" + ^). 

En désignant par «' et b> les coefficiens de dans les deux fonc- 

tions entières p et q, ou aura 

«'-b' y =-{a-hj)\ [ x±y + 8x + 6*><->x+ . . . + + ^«3) 

M - <-••«• ^ i - < w + 1 - ^ + • • • + r--«».jûr*' ) • 

L'expression qu'on en tire pour // sera évidemment une fonction rationnelle 
de x du degré 2//, et puisqu'elle reste invariable en mettant pour * les 2« 
quantités*) 

Ox, 6*x, . . . 

l'équation (158) aura lieu en mettant pour y cette valeur et pour u et a 
les valeurs correspondantes en z. 

Nous allons voir qu'on aura une valeur convenable de y en faisant 

a = b' = 0. 



.*) On a 



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584 

Cela donne 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



* ± T» + î^i". + • • • 1 - o» e* _ t «» 



expression qui est évidemment de la fonne 

(159) y = A T+^ i ~+w i +--- + W*' t 

Pour déterminer la valeur de A, remarquons que si l'on fait x=l, y 
doit avoir une des valeurs: ± 1, ± y- Soit par exemple j, = l, pour *=1, 
on aura 

(160) 4 # . 
Cela posé, faisons dans l'équation (158) x=l. En remarquant que « = 0, 
on aura 

q — p = (l — > 
p étant une fonction entière de 3, car pour a?=l on aura 

En changeant le signe de z dans l'équation précédente, on aura, en remar- 
quant que q est une fonction paire et p une fonction impaire, 

q+p = (l + z)(l±cz)(?'*. 

Cela donne 

,/._^=(i-z*)(i-cV)(^y. 

Maintenant, puisqu'on doit avoir 

(161) ( 2 > -p*) (q* - « V) = (1 - O 0 - cV ) rï ' 

cela fait voir que la fonction g » - c V doit être un carré partait. Or on 
pourra toujours détenniner c' de manière que cette condition soit remplie. 
Faisons dans l'équation (158) 



1 

x = -, 



on aura 



donc 



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PKÉC1S D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. " 585 

Si donc on désigne par a la valeur de y qui répond à *=__!_, les 
Wsuies de l'équation a = yj X , c'est-à-dire de V± ° 

p — aq = 0, 

i> 2 — «y = <», 

où < est une fonction entière de z. En faisant donc 



✓ =-!-, 



l'équation (161) aura lieu, et par suite on aura 

j^ = e- Jg , ou >- = „, 
c'est-à-dire, en changeant z en a; 

(tir 

Pour déterminer le coefficient . on aura d'abord, en vertu de ta der- 
nière équation, 

e= cï' P° ur x =°- ■ 
Mais l'expression de y donnera 

donc 

_ 1 

L'e numérateur de la fraction qui exprime la valeur de y est décomposé 
en facteurs; savoir si l'on fait y = K, on a 

p ' = W) X{1 ~ C * eîXÎ) (1 ~ c ' e W • • • ( ] ~ c *<-iX*)- 

On pourra facilement décomposer de la même manière le dénominateur a' 
comme on va le voir. ' 

En divisant les membres de la formule (147) par y, il viendra à cause 
de az=zO: 

74 



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586 PRÉCIS D'UNE THÉORIE I>ES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

IL _ q = - b(z - x) (z - 6x) (z - 0*x) . . . (z - 6*»->x). 
Cela posé, soit â une valeur de x, qui rende y infini, c'est-à-dire une d<* 
racines de l'équation q' = 0. On aura 

q = b(z- â) (z - 6â) {z - 6*â) ...(z- O^â). 
11 .suffit donc de connaître une valeur de â. Or une telle valeur est ^ 
En effet, puisquon doit avoir = et remarquant que 

1 : , • 

y 1, (tx + 6*x + • • • + a-"- 1 

on aura 

r = x + 0x + O*x--\ ) r 0^x=O. 

Soit pour une valeur quelconque de x 

Pm = e m x + e^- m x -j- e^ m x -f o z »- m x, 

on aura évidemment, en remarquant que d^x = x, 

2>o+i^i + ftH 1-iv-i^ 41 '- 

Or je dis que si Ton fait 

a = - 

V + c 

on aura 

/>m — 0, 

pour une valeur quelconque de m. En effet on a d'abord 

donc en mettant 0> L x au lieu de x, et remarquant que^ 0' t x = ±—i 

4- 9 Ip 

y X — ^(1 -e*.v-*) 

En faisant maintenant 

1 

x — i 

on aura 

0m x jLo**-»z= - 2Je °- . = — (e^'x + d^x), 
^ V(+<0(i±*«i) 

et par suite 

/>. = o. 



JQigilized by 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 587 

On pourra donc faire 

,>= 

Y + c 

En remarquant que q'=l pour a; = 0, on aura, en mettant dans l'expres- 
sion de </, x au lieu de z, 

?'=fi-:I)(i-']fi-.:i.i...li ' * 



à I \ Odj \ ~ o*â j ' ' * \ ~ 0*"- r Ô 
D'après ce qui précède on pourra énoncer ce théorème: • 

Tïiéorhne XI. „Soit e une racine quelconque de l'équation = £ , mais 
qui ne satisfait pas en même temps à deux équations de la forme <;„ = (), 
^«'«=1, <>« m est facteur de 2 a. Cela posé, si l'on détermine les trois 
quantités //, c', e par les formules 

- e, y -<-,,■ ~ i _ „*,*.,.» "T ! _ ,» -1 rj_ jrï • 

(162) / ± l * « +ï- C ^+l-^ i +--- + l_^J' 
on aura toujours 

V(l — — c' Vj _ V(l — x*) (1 — C 5 »*?*)' 

Le cas le plus simple de cette formule est celui où // = !. On aura 



alors 



* = ±c{ 1 ± 1 ±e. 



( m ( ^ -■=(!*-), ± :.,,- < 

d » - =(1+,) , - - . 

Après avoir déterminé par le théorème précédent un système de valeurs 
pour ?/, c\ on aura cinq autres solutions à l'aide des formules du deuxième 
paragraphe de ce chapitre. 

B. Si e M = 0^ le radical Je fl ne pourra avoir que Tune des deux va- 
leurs -f- 1 ou 9 — 1; mais il faut ici prendre ^e^ = — 1, car si Ton avait 
en même temps ^ = 0, Je fl =l, il en résulterait 0 fi x = r, ce qui n'est pas. 
Mais comme on a 

74* 



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588 



PRECIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



cela donne 



1 — ' 



0"x = — x, 
et en mettant 6 n x au lien de x, 

^.tt^xrjz*' seront dans ce - -» * *«. 

K„ f,u.,a„t ' CO " Se,, " C, " »" scra ™ «>«*•» F-» * * 



on aura * 



xpz = 



(164) !>-« = <«-%)<,• _<«,,.][,._ ^ 

îm" TonTu!; 0 ' q "'°" d0:SiS " e ,C " Val0 " K — P™da„ tes de „ «« 
a ' — b 'y = ±(a~by)( x .dx.0*x . . . 0*-^)* 

^ *L*^LTT «™ 'TT rati0 "" eIle dtt < b ^ a— 

' ' a < 6 de telle sorte que l'équation 

<&r 

soit .satisfaite, en attribuant au module c' et an , « • 

convenables. J 0 vais eomid,W i -, ««efficient f des valeurs 

On aura alors ^ h «» ,e P'<" «impie, où ,, = 1. 

et par suite -*'* = (- « + 



• 7 ~~ 7/ 



En mettant cette valeur dans l'équation 

on trouvera facilement une solution, savoir 
(165) v^i+ff 2 y l-c 

Connaissa t ' • =TT7 ' ^^J^ . 

t en **** ^ ^ par les for . 

P-iiagiaphe, de sorte que l'équation 



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PKÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 539 

dy dœ 
J'y € Jx 

pourra être satisfaite des six manières suivantes: 
(166) e'^ 1 *", l±y^-^ c±Y^-ï 



§ 7. 

^ * V ™ hne * M « - * * <V< ? * fa , MW 

nomlire premin\ 

\ iCrîr^r ,me fonctio " - ta ™ ,b — ** 

dy dx 

Comme on l'a vu dans le paragraphe 3, l'équation 

y = yx 

aura toujours n racines de la forme 

( 167 ) x, ftr, ê'x, . . . 6»->x, où B n x = x 

sïrle qu^ ddSign0m *' nOUVene ™ ine > d ^e„te de celles-ci, de 
On a ■' ^ = V* = y. 

donc aussi 

H suit de là qne les n quantités 

(168) . < * V, . . . 0«-V, 

qui sont différentes entee elles, seront racines de l'équation dont il s'agit Or 
toutes C e 8 „ racines sont differentes des ^ « 

avait ê*x' = ê» x , il en résulterait ' ' 1 °" 

c'est-à-dire ' 

x' = ô'- m+ "x, 

ce qui est contre l'hypothèse. Le degré ,„ de l'équation y = y, x est donc 



590 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUE8. 



égal à 2n, ou plus grand que ce nombre. Dansv le dernier cas, si Ton dé- 
signe par x" une racine différente des 2n racines précédentes, on aura en 
même temps celles-ci: 

x% 6x", 6*x" . . . 0 n - x x", 

qui seront différentes entre elles et des racines (167, 168). Donc fi sera 
égal à 3 n ou plus grand que ce nombre. En continuant jusqu'à ce qu'on 
ait épuisé toutes les racines, on voit que // doit être un multiple de w, et 
si Ton fait en conséquence 

fi = m.n, 

les fi racines se distribueront en m groupes de n termes chacun, savoir 

/ x, ex, e*x . . . e n X x, 

) x\ 0x\ 6 2 x' . . . 6 n l x\ 

(169) 

(Jela posé, soit 



Xl'Z rrz P 
<l 



2> et q étant des fonctions entières de z, sans diviseur commun. On aura 
(170) j> — t iy = (r, — fnj) (z — x) (z — Sx) (z — 0 2 x) . . . (z — $ - 1 x) 

X{z — x')(z — 0x')(z — 0*x') . . . (z — 



X (z — a:«— »>) (z — 6x (n - i> ) (z — V— 1 ») • ■ ■ {z — 0'-*x f — l) ), 

et d'après ce qui a été exposé dans le paragraphe précédent, on pourra 
trouver une fonction rationnelle, ?/, = telle que les racines de l'équation 

soient les n quantités 

*, Ox, 6*x, . . . 0 n ~'x, 
et que y x satisfasse à une équation différentielle de la forme 



(171) 
Faisons 



V(l'-VÎ) (1 ' V(l - •>•*) (1 ~<>*.r*) 



V 



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PKÉC1S DUNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 591 

p' et q' étant des fonctions entières du degré n- on aura 
(172) !>' ~<l'y, = {a' ~b' yi ){z- x){z _ ex) . . _ {z ^ e ^x), 
a' et b' étant des constantes. 

En mettant au lieu de x successivement les m valeurs 



x > x", . . . x o~i) 



^^^^^^ - - — 

(173) P —M=£=£9i.£=<t* r'~n'y m 

^» y»» • • • y» 

sont les valeurs de la fonction y u qui répondent aux valeurs 
de x. 

Cela posé, attribuons à x deux valeurs particulières a, fi, telles que 

^« = 0, V/ Î = èi 

en désignant par 

«i. • • • «„, A, /?„ . . . ft m 
les valeurs de y, , !h , . . . 1Jmj respectivement oorrespondantes aux valeurs « 
et ft de l'équation (173) donnera 

(174) j P = A '(P'-^'){p'-^q'). ..(p'-a.f), 

oh A' et A" sont .deux constantes. En divisant p par q, on voit que 
S eva fonction rationnelle de £ = fts. En mettant x au lieu de 2 , 



on aura 



loue 



7' /»' 



(175) „ = j C'A " " «i ) Uft ~ «*) C'A - «,) . . . ( Jh - „ m ) 

A A , 

^4/' étant constant. 

On voit donc que y pourra être exprimé par une fonction rationnelle 
de y, du degré m. 



592 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



En combinant maintenant l'équation (171) avec celle-ci: 

dy dx 
J'y—'l^' 

qui doit avoir lieu, on aura 

/ijm _ _ d y _j ~ iyi ^_ • 

donc la fonction ?/, rationnelle en y x et du degré m, doit satisfaire à cette 
équation, lléciproquement, si cette équation a lieu, l'équation 

dy dx 
J'J = e jx~ 

subsistera également, car la fonction y x est déterminée en x de manière à 
satisfaire à la formule (171). Ainsi le problème général est réduit à satis- 
faire de la manière la plus générale à l'.équation (176). Or ce problème 
est précisément le même que celui que nous traitons; seulement le degré de 
la fonction y en y l sera m, tandis que y, comme fonction de est du 
degré m.n, qui est plus grand que m. On pourra donc appliquer à l'équa- 
tion (176) le même procédé, qu'à l'équation ^ T y = *l]x' 6t ^ 6St ^ v ^ ent 
qu'on parviendra ainsi à l'expression générale de ?/, car les degrés des fonc- 
tions successives vont toujours en décroissant. 

Supposons maintenant qtfe le degré ( u de la fonction y en x soit un 
nombre premier. Puisque /i = m.n, on a nécessairement m = l, u = n. 
Par suite 

On connaît l'expression de y x en x par les formules dji paragraphe précé- 
dent. En substituant l'expression de y en y x dans l'équation (176), on dé- 
terminera à l'aide des formules du paragraphe 2 toutes les solutions pos- 
sibles. 

En vertu de ce qui précède on pourra donc énoncer le théorème suivant: 

.Théorème XII. Soit y une fonction rationnelle de x d'un degré quel- 
conque //, qui satisfait à l'équation différentielle 

<'/ dx 

V(i-//*xr-e'y) ~ * y(T-;^)(î-cv)' 

on pourra toujours décomposer a en deux facteurs n et m, dont l'un n est 
un nombre premier, tels qu'on ait 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE ORS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



593 

d H\ . d.v 



et 



y ( i-^ )( i_ t , V) £i y ( T_^ )(1 _ cî ^' 

2/ étant une fonction rationnelle de y, du deoré m et « .m, f 

nelle de a: du deoré n ' ^ ° fonctl °» «tion- 

C ) = J/(T- **) (H- êV) 

on pourra faire 

^='-^&=^^- ) = • • ■ =^=.^-. 

y, étant une fonction rationnelle de x du degré «, 



V» - - 

#3 ~ - - _ „ 

y* - - «g. 



ir un ^ ~ " ~ ~ " - - y v 



En vertu de ce théorème la solution du problème général est ramenée 
au cas où le degré de la fonction y est un nombre premier. On au^ou 
tes les solutmns qui répondent à ce cas par les formules du paragraphe pré- 
cèdent et ainsi le problème que nous nous sommes propoJau \olJZ 
ment de ce chapitre pourra être regardé comme résolu. 



§ 8- 

Sur la forme de la fouetùm y. 
Désignons par x, x' x" . . . x<^ les racines de l'équation 

y = yx. 

Si l'on fait fz = - p -, p et q étant des fonctions entières de z, on aura 
(177) p — qy =( a - by) {z -x){z- x') {z - x") ...(«_ x^), 

75 



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694 PRÉCIS D'UNE THEOWE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

a rt S étant des constantes. Cela posé, soi. « une racine de l'équation 
y = 0, on aura en faisant x = ct, 

(1.78) P = <z - a) (z - «') (* -«")••• ( z - « ! " -1> )- 

Soit de même , une racine de l'équation „ = * Cela donnera en faisant 

X = P après avoir divisé les deux membres de 1 équation (177) par y, 

(179) q =b{z-(i){z- m {z-n- ■ (* - 

Ces valeurs de p et q donneront, en mettant x au lieu de z, 

.(..•-«)(.--«')^-^ ( "r 1) ), 
• (i 80) y = A t^-ftÇc-ï'j. . . {x - 

où A est un coefficient constant, qu'on détermine en remarquant que si lion 
fait x = 1 , ?/ doit avoir une des valeurs ± 1 , ± -, • 

Mais il y a deux cas à considérer séparément: savoir, il pourra arriver 
oue l'une des deux quantités a et b soit égale à zéro, et dans ce cas lune 
des racines des équations y = 0, y = h <*» » lllle ou inhiue - 

Cas premier, si 6 = 0. On aura 

(181) p — qy = a{z — x) (z — x')...{z — x*-% 

et p sera du degré et fl seulement du degré 1. En égalant le coef- 
ficient de z"" 1 dans les deux membres, on aura 

(182) a '_6'y = --a(x + ^ + x"+-.-+^- 1 'y, 
a' et b' étant des constantes. Maintenant si 



, xJe-\-eJx 

x — T — eV.r» 



est une racine de y = ipx, la quantité 



le sera également; donc si ces deux quantités sont différentes entre elles 
pour toutes les valeurs de c, ,a sera un nombre impair, et eu faisan 
j u. = 2«-J-l, on aura 

(183) a' - b'y =z - a + -^j -,- + H h 1 _ c'e^' ) 

1 

Maintenant si l'on fait x = ±l, ±— , on doit avoir y = ± 1, y — ± V ' 



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liltlull 



ilNlM 



I lui! 



rriver 



Klllt 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 595 

d'où il est facile de conclure que a' sera éo-«l .\ ^ n 

fonction impaire de x, et de la forme § ' ^ 9 m nne 

(184) ,y=iJl-L T lA„ , , , 2^„ i 

Cela fait voir que 

<I = ( 1 ~ c *^) • • • (1 — c s e„V). 
Pour avoir il suffit dc mn , dang (lgl) ^ ^ ^. ^ 

donc on aura 

. (185) • y = « *(?ï-.f^L-i: 'i 2 )^!^ 2 ) 

Telle est donc la forme de la fonction y dans le cas où le degré de son 
numérateur est impair et plus grand que celui du dénominateur, 
hi pour quelque valeur de e les deux quantités 

x -^l «Je — e/Jx 

étaient égales, on aurait 

« = 0, ou « = 

Soit d'abord e = h on aura x' = ±±, et par «rite le second membre de 
l'équation (182) serait une fonction impaire de *, dont le degré serait un 
nombre pair. On trouve que cela donne «' = 0; donc en faisant f , = 2n, 

(186) y = A[x± 1 :+ 2 - r/ '> i I 2**n-i \ 

et par suite y sera exprimé en produit de facteurs comme il suit: 

(187) „ = _ <l-à\x î )(l-Shr*)..Jl-ôlx*) 

Si au contraire e = 0, on aura en même temps 



x' — — x. 



Donc dans ce cas y sera une fonction paire de x. Mais alors le degré du 
numérateur doit être le même que celui du dénominateur, comme il est fa- 
cile de s'en convaincre; par conséquent l'expression (187) appartient à y 
toutes les fois que le degré du numérateur est un nombre pair et en même 
temps plus grand que celui du dénominateur. 



Ci' 



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596 



PKÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



Cas second, si a = 0. On aura alors 

P - qy = hy{z - x) (z-x')...(z- 

En raisonnant comme ci-dessus on trouvera aisément que dans le cas 
où fi est un nombre impair, y sera une fonction impaire de x de la forme 

(188) y — a- à .(el—œ*)(el — x*)...(ei — œ*) 

Si ,1/ est pair, y sera une fonction impaire de x de la forme 

\ ifiy ' y —° (i — ô\ *») ... (i — ^ *»> 



§ 9. 

/te /a fonction #2 ;i+ i- 
Nous avons vu (chapitre I paragraphe 4) que l'équation différentielle 

peut être satisfaite, en 'mettant pour y une fonction impaire de x du degré 
(2^-|~l) 2 qui s'évanouit avec x. En la désignant comme nous l'avons fait 
à l'endroit cité par x 2 ^ +l1 et faisant pour abréger (2//-f-l) 2 — l = 2w, cette 
fonction, en vertu de ce que nous venons de voir dans le paragraphe précé- 
dent, doit avoir la forme suivante: 

et on aura en même temps 

(191) av + ! = A j x -f -i^ — f -j- -j |_ _ _ ^ _ J . 

Pour déterminer les coefficient a et -4, faisons x = ±. On trouvera alors 

Ac 2n e{eî . . . el = a. 
Si l'on fait x infiniment petit, la première formule donne 

mais l'équation différentielle donne dans ce cas 
par suite 



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Googl 



cas 
mit' 



fait 
■rte 



PEÉCXS D'UNE THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 597 

««Îe;...e; = 2u4-1. 

do e „„'fr S! l 'T MtX ï nm "™ 1» -„„de ex pressi „„ ,,c T 

,„„ = A,, „, MS ,,„,„ le même „ ,.„,„„«;„„ di|t ,,.^ ticllc il(> ^;- 



donc 

(192) il = _ 1 



2/" + 1 

Connaissant 4, on aura ensuite 



(!93) e * e a 2/u + l 

v ; e » e » • • • e » = ' « = c" — C ifl +2 <". 

Les quantités e t , e„ . . . e „ ont entre elles des relations remarquables 
que nous allons développer. Considérons l'équation ™rquables 



— y- 

Les racines de cette équation sont les (2,. + l)« quantités 

<^±e,Jlx *Je,±e,J* xJe n ±e„J.v 
1— 1 — c^tj.» ' • ' • 

Soit <9o- -^jle-\-eJx v 

lune quelconque de ces racines, les 2^-f-l quantités 

s, 0*x . . . 0 8 "a: 

•seront encore des racines et différentes entre elles, si l'on prend pour e une 
quantité qui n'est pas racine d'une équation P 

X 2m + 1 =1 0, 

<>u 2m -f 1 est facteur de Soit de même 

1 1 _ C V*.r* 

une autre racine, on aura encore les racines suivantes: 

0>x, 6\x, . . . 6{"x, 
qui seront différentes entre elles. 
Cela posé, faisons 

on aura en général 



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598 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

quels que soient les nombres entiers m et h. En mettant 8 m x pour x, on 
aura 

donc toute quantité de la forme 

6\0 m x 

sera racine de l'équation y = ipx. Je dis maintenant que si Ton attribue à 
h et m toutes les valeurs entières moindres que 2 1/ -f- 1 , les valeurs qui en 
résultent pour la fonction 6\0"x 7 seront toutes différentes entre elles. En 
effet, si Ton avait 

0\0 m x = 0X6 m 'x, 

il en résulterait, en mettant 0 2 ' l+1 - m 'x pour x et remarquant que B^ y x—x, 

0\0 n x = 0 k ;x, 

en posant n' = m -f- 2 a -j- 1 — m'. 
Cela donne 

en posant h" = 2fi -f 1 — h -f- fc', c'est-à-dire 

e n 'x = 0f:r, 

et par suite 

O n ' fl 'x = 0\' f 'x. 

Maintenant, puisque 2a-\-l est un nombre premier, on pourra foire 

«V = (2^ +1)^+1»- 

donc 

c'est-à-dire que 0 t 2* serait une des quantités 

x, Sx, . . .'6*"x, 

ce qui est contre l'hypothèse. 

L'expression 6\0 m x a donc (2}i -\- 1) 2 valeurs différentes et par consé- 
quent ces valeurs seront les racines de l'équation 

X 2ju + 1 = 

Soit maintenant 

x' = 0\x, x" = 6\0 m x, x"' = 6 l »x. 

On aura, en regardant e et e comme variables, 

dx' (Lr , , de' 
JS = J, + h M' ' 



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PRECIS D UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 599 

dx'" dx , de 

En mettant dans la première formule x'" au lieu fie a;, x' se changera en 
x'\ donc, 

dx" _ dx"' , l de' 



donc 

et si Ton fait 



dx" dx , 7 de' , de 

3*r= J,+ k M J r m Je' 



, de' tU k ' 



Si donc, on fait 

(194) 

on aura 



le de m 

Je' Je k 1 " v Je Je m ' 

dx" _^ dx , de k , de m 
Jx" — ~Jx -T -j e > -T Je m ' 



e m Je k -\~ e k Je m 
dx" dx i de, 



d<v' 

Jx"— Jx » ~Je nhk ~ ' 

d'oh, en supposant que e w et s'évanouissent avec e et e', 
(195) = ^ t^ lk 4^ = °i 

Toutes les racines de l'équation ?/ = ^ <+1 pourront donc être représentées par 
cette même formule. 

Donc pour connaître toutes les racines, il suffit d'avoir la valeur des 
deux quantités *e et e\ qui sont deux racines de l'équation 

X 2u + 1 ===: 0- 
.Toutes les racines de cette équation 

lesquelles, par ce qui précède, sont les (2 ( u-}-l) 3 quantités 

0, ±é? n ±e 2 , . . . ±e, n 
sont donc exprimées par la formule 



m, h f 



en donnant à m et h toutes les valeurs moindres que 2 // -f" 1 . 11 est facile 
de voir qu'on pourra exprimer e m k en fonction rationnelle des deux quanti- 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



tés e'; donc on voit que toutes les racines de l'équation a; 2/M+1 = 0, pour- 
ront s'exprimer rationnellement par deux d'entre elles et par le module c. 

Si l'on veut exprimer x 2jll+1 à l'aide des fonctions 0 x x et 6x, on pourra 
le faire d'une manière fort simple. En effet, en remarquant que le dernier 
terme d'une équation est le produit de toutes ses racines, on aura sur le 
champ 

(196) ^x = o 2fit+2fi .x . ex : o*x . . . e^x 

XOiX.OiOx.Oj'x . . . e x 6 tf *x 

xe\x.o\6x.e\e*x . . . e\o*x 



xBYx.0\»Qx.6\*e % x . . . epo^x. 

On a aussi 

(197) x ïfl+l = 2^prf- f- (W*)- 



§ io. 

De réqitation »r 2/4+1 = 0. 

D'après ce qui précède les racines de l'équation x 2 ^ 1 = 0 sont exprimées 
par e m k en donnant à m et k toutes les valeurs moindres que 2 — J~ 1 . Une 
de ces valeurs est zéro, savoir <? 0 0 . 

En divisant le numérateur de la fraction x 2/t+1 par x, on aura, en éga- 
lant le quotient à zéro, une équation 

(198) P=0, 

du degré 4 / a 2 -|-4 l a. Je dis que cette équation peut être résolue à l'aide 
d'équations du degré 2/X-J-2 et du degré 2 a. 

Soit p une fonction quelconque symétrique et rationnelle des quantités 
e xi e 21 . . . e 2pL . En mettant pour e 2l e 3 , . . . e 2fl leurs expressions en fonc- 
tion rationnelle de e 13 p deviendra de même une fonction rationnelle de cette 
racine. Faisons 

(199) p = <pe l7 
on aura évidemment 

(200) <p e x = cpe 2 = tp e 3 = . • . = (pe 2fi , 

équations qui auront lieu quelle que soit la racine e. Cela posé, mettons e nA 
au lieu de il est clair que 



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PRECIS D'UNE THÉ0B1E DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



601 



(202) 



se changeront respectivement en 
Donc on aura 

Formons l'équation 

(l> — <P<>i)(p — <P\i)(l> — <P^,i)(p — <pe iA ) . . . (j> — <pc ifl>l ) 
=1^ - 2* + , • p ifl+1 + q îlt ■!>*» 2l • p + 2o = 0, 

<ft>9 <7i? - • • 2Wi seront des fonctions symétriques et rationnelles de yc n 
yc 0f i, . . . tpi'w Or on pourra les exprimer rationnellement en c. En 
effet, il suffit d'avoir la valeur de 

(203) (V*i)* + (9>*.i)*+ • • • +(wO* = fc- 

En vertu des équations (200, 201) cette quantité pourra s'écrire comme il 
suit : 

+ (y g o,i)* + (v<*o,.)* + (v^)* H Kîp^au)* 

+ + (v + (y^)* H Kv<w,.)* 



+ ( Ç*w)* + (<PW)* + (W*)* + • ; • + (y^,^)*. 

Or le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et sy- 
métrique des racines de l'équation P=0; donc on pourra exprimer p A ra- 
tionnellement par les coeffieiens de cette équation, c'est-à-dire par c. 

On voit donc que les coeffieiens de Y équation (202), q 01 q t1 rjr 8 , . . . 
seront des fonctions rationnelles de c. Donc une fonction symétrique quel- 
conque des racines 

pourra se déterminer par le module à l'aide d'une équation du degré 
2/y — |— 2. Cela posé, faisons 

(204) (e — €?,) (« — 6,) . . . (e — e^ t ) = 

Les coeffieiens •> lhi lh> • • • i^-i seront des fonctions rationnelles et symé- 
triques de e 17 e 2 , . . . e ifl ] donc, comme nous venons de le voir, on pourra 

76 



PRÉCIS D'UNE THK0K1E DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



les déterminer à l'aide d'équations du degré 2/i-\-2. Ainsi, pour avoir les 
racines de l'équation il suffira de résoudre des équations du degré 

2 a et 2/t + 2. 

Ce qui précède est susceptible d'une application importante. Le module 
c', exprimé par la formule (156), est, comme on le voit, une fonction ration- 
nelle et symétrique de e, c a , e 3 , . . . e^. Donc, en vertu de la propriété 
démontrée précédemment, on pourra déterminer le module c en c à l'aide 
d'une équation du degré 2u-\-2. (Jette équation ne paraît guère résoluble 
algébriquement, excepté lorsque 2u-\- 1 = 3. Dans ce cas elle sera du qua- 
trième degré. 

En appliquant le théorème XII à l'équation 

on aura, en remarquant que le degré de la fonction x ifJL + x est (2// ~j- l) 2 , et 
2// -|-l un nombre premier, 



y étant une fonction de rc du degré 2 ,tt — J— 1 , et x ift+l une fonction de y du 
même degré. On aura 



et 



— y c " ' (1 —c' V V) (1 - "^V«V«) ... (1 - c'V'y*) 
1— e s 



"y 6/ (1 _ «.•«»**) (1 — t -V|.r 3 ) ... (1 — c *eJ.r») 



c 2/« + i 



1 — e* 




1 — c 2 e| 




1 — 




1-c'V» 





é = ^e*^ . . . ej. 

est déterminé de la même manière en c! que e Test en c. Donc si l'on 
change c en c 7 , e se changera en e'. De là il suit que l'équation entre les 
modules c et c doit rester la même si l'on change simultanément c en c 
et c' en c. 

Puisque c dépend d'une équation dn degré 2 ,u -\- 2 , on potirra donner 
à la fonction ?/, 2/t -[-2 valeurs différentes. 



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1^ 



"11- 



PRÉCIS D UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. m 
§ 11- 

Des transfor^ d iff^s q «i r ^U à un ^ (k la ^ 

Soit ' * 

„ _. A _o±A X ± A 2 ** + '•• + ApXl» 

(205) . 

vertu^T 118 f P r ,ni6r 6 * Dans ce ca * le module c' en 

r/: trLt: paragraphe 2 ' ™ six d ^ - 

formulL aT 3 2 ' i° fi ^ aUra 7 t6S . 168 • S ° luti0nS P° ssibles e " —binant les deux 
ormu es (163 165) avec les six fonnules du paragraphe 2, ce qui donne 
18 valeurs différentes du module c. • aonu . c 
Si l'on fait 

ces 18 valeurs s'obtiendront en mettant dans les six fonctions 

±*. ±(^Sr. ±(W, ±fi=îEîi'. + /i±vf 



" ci 



les trois quantités c n c,, c 3 au lieu de c. 

Si ,« est un nombre premier impair 2n+l, on aura d'abord 2rc + 2 
valeurs du module «' qui répondent à la forme suivante de y: 

» = . c "!i - **) («ïj- a- 8 ) - («.* - *») 

ic! (l-c*e'.v*)(l-c'eï.v*)..:(l-< ; * e &)' 

Or de chaque valeur de y de cette forme on déduit, en vertu des six for- 
mulas du paragraphe 2, cinq autres valeurs de la forme: 



1-Yc' 1+yYc' 1+vV 1+yYc'' 1 + ' 1 + y y ._j 

1 + V- c' l±yVw 

auxquelles répondent respectivement les modules: 

7(J* 



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604 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTION8 ELLIPTIQUES. 



<•' ' 1 1 + y',-' ! ' l ï — yV I ' U — Y—c ! ' 1 T+ V- c' j ' 

On aura donc en tout (^(2?^ -J- 2) = 6(« -[- 1) valeurs différentes pour 
le module c. On en aura un nombre double pour la fonction y. 



§ 12. 

Résolut um de l'équation y — if>,r. 

L'équation algébrique y — tftx, où yx est une fonction rationnelle quel- 
conque de satisfaisant à une équation différentielle de la forme (205), 
jouira de la propriété remarquable d'être résoluble par rapport à x h l'aide 
de radicaux. C'est ce qu'il est facile de démontrer h l'aide de la forme des 
racines de cette équation. D'abord si le degré it est un nombre composé 
= n . n ï . /? 2 . . . n v , on pourra faire comme nous venons de le voir dans 
le §7: 

V'o VV-n • • • V'm */' désignant des fonctions rationnelles respectivement des 
degrés ?? vl n y _, t1 . . . n x , /?., ces derniers nombres étant premiers. On aura 
donc la valeur de x en // à l'aide de la résolution de équations des 

degrés n, n { , . . . ?? F respectivement. 11 suffit donc de résoudre l'équation 
y — iffx dans le cas où le degré // est un nombre premier. Si i/— 2, on 
aura l'expression de x par les règles connues. Soit donc u impair = 2/# -j- 1 . 
Alors les racines de l'équation y = \{>x seront les 2//-J-1 quantités 

x, 6x, 0 2 x . . , e 2,, x. 

Cela posé, soit <J une racine imaginaire de l'équation 

tf 2w + 1 = 1, 

et faisons 

v — x+<J . Ox + â 2 . 6 2 x -f . . . -{-â^.O^x, 
En substituant pour les quantités leurs valeurs 

et remarquant que 



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PHÉCIS D UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 605 

il est clair qu'on aura 

V et q étant des fonctions rationnelles de r fVL. f • 

t>*+> i y / S/t+ i , „ ~ uus ue <-ela fait voir que vv' et 

fi .sont des fonctions rationnelles de ;r- or ie ,1i« ,„ 
exprimer ces quantités en fonction rationnelle de „' En J * ' ^"^ 
I- ««ne de „ et il est clair que si 1W f£ * ^ ^ ^ dc 

^Tî::jl" p no < - - - 

a-, . . . 0*/<. r . 

Donc on aura 

^ = 27, + 1 + <P0* H h Y 0*".r) = v 

,, _ l 

— 2,7+1 W* J rf° x H h/**"*) = « s " +1 -f 

trr rati *" ,cm ,w " lea JffiZ *~ S£ s: 

Faisons donc 

V V' r=z .S' 

* et / seront des fonctions rationnelles de ;/. On en tire 

On connaît donc la fonction „. Cela posé, si l'on désigne par v R v v 

• . • v îfl les valeurs de v qui répondent respectivement aux racines l' J' P 
, • • • ô> de l'équation on anrn sm . le cJmmp ' ' 

x = 2jTÇï ( v ° + *« + «k + • • • -h v), 
«e qui est l'expression générale des racines. 



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606 PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 

On aura ainsi une classe très étendue d'équations algébriques • de tous 
les degrés qui seront résolubles algébriquement. Nous n'entrerons pas ici 
dans des détails sur ce sujet, mais nous renvoyons nos lecteurs à la se- 
conde partie de ce mémoire, où nous en donnerons des développemens 
étendus à cause des belles propriétés des fonctions elliptiques qu'on en peut 
déduire. 

Comme cas particulier on pourra remarquer l'équation 

oh Xp désigne la fonction rationnelle de x du degré qui satisfera à l'é- 
quation 

On en pourra donc toujours tirer la valeur de x en y à l'aide de ra- 
dicaux. Si // est un nombre impair, on pourra donner aux racines cette 
forme très simple: 

*= \ [«y + iih + 2. JyY + {p* + <L^yY^ 1- (iy-. + q^yYh 

où iht Pu Ps • son t des fonctions entières impaires de y du degré 4 u, et 
2i> ?2> 2s • • • des fonctions paires de y du degré /a — 3. p m et q m seront 
déterminés par l'équation 

pl - qt (1 - y») (1 - cY) = (y» — e»)", 
où c m est une constante, savoir une racine de l'équation x^ = 0. 

chapitre v. 

Théorie qAnérale de la transformation des fonctions elliptiques par rapport 

au module. 

A l'aide des théorèmes que nous avons établis dans les chapitres précé- 
dons, nous pourrons maintenant donner la solution de ce problème: 

„Etant /rroposée une fonction elliptique dtun module quelconque, exprimer 
celle fonction de la manière la. plus générale en dauires fondions" 



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PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELL 



IPT1QUES. 



§ 1. 

(ÀnutiUou .j^/ra/e ,m,r lu traiufwmaion. 

Soit proposée ..ne intégrale «le la forme 

frdx 
J 

ltr K, i S,i 'rr ib,C (,, -im»,er cette inonde par de. fonctions al- 
gébnques, loganthnnques et des fonctions elliptique., dont les .nodules sont 



"15 • . . c M , en sorte qu'on ait: 

riU 



J j x - A > • +A-y>x t -\ j_ A m . v , mXm + v, 

brio™ ' " ' 1; SOnt / eS C,m8tantes ' • • • de. fonctions algé- 

bnques de ,, et K une fonction algébrique et logarithmique; y, , y, * 
dés^ient des fonctions elliptiques ayant respectivement \ ,' £\ ^/pom 

Cela posé, cette équation donnera en vertu de la formule (8(5): 

/^^■W'+^.^H h*-v.y-+ r\ 

les quantités 

, A y*, • • • 

ae même que 

-A^i Avs -/„,'/». 

-J* Jx ' Jx' ' " Jx 
étant des fonctions rationnelles de x. 

Si l'on suppose, ce qui est permis, qu'il so it impossible d'exprimer 

/" rcir 

Par un nombre moindre des fonctions , % , . . . il est clair qu'aucune 
des quantités ft, y„ . . . y. ne pourra être constante. 

On doit donc avoir séparément, en vertu du théorème démontré dans 
le premier paragraphe du chapitre précédent, 

rf.y a _ <lv dy m dx 

J M 1 J * J,ï* ~ * ^ ' * " 4.y." - *• I/* ' 

ou *i, *s,, . . . ê m sont des constantes. Cela donne en intégrant, 



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6()8 PKÉCI8 D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

sauf une constante qu'il faut ajouter à chacune de ces équations. On pourra 
donc énoncer ce théorème: 

Théorème XIII. Une relation quelconque entre des fonctions elliptiques, 
ayant c, c n c â , . . . c m pour modules, ne pourra subsister à moins qu'on 
n'ait entre les fonctions correspondantes de la première espèce, cette relation 

(206) œ(x, c) = -J- ®{y x , c x ) = cDQ/ 2 , c,) = . . . = ^ ô% m , c ro ) , 

où f ! , éj, , . . . f m sont des constantes et y l , ?/ 2 , . . . y m des fonctions ration- 
nelles de la variable x. 

On pourra donc encore satisfaire aux équations suivantes: 

^ 207 ^ J (0(*2,e)=e"œ(x,c 2 ), 

#i 4' m étant des fonctions rationnelles de a;; ou bien, si Ton désigne 

par c et c les modules de deux quelconques des fonctions entre lesquelles 
on a une relation, on pourra toujours satisfaire à l'équation 

(208) G>(x\c') = 6œ( : x,c), 

en supposant x' fonction rationnelle de a*, ou x fonction rationnelle de x. 
Cette équation donne 

(209) dx ' — é 

Soit maintenant ./;' fonction rationnelle de x: si / désigne une fonction ra- 
tionnelle quelconque de x\ on pourra transformer r en une fonction pareille 
de x. En la désignant par r, on aura donc r' = r. Donc en multipliant 
l'équation différentielle ci-dessus par >•', on aura, en intégrant 

(210) f r ' dy _ • fj' (h ' . 

J A^')~ J A*?) 

Quelle que soit la fonction rationnelle r, on pourra toujours, comme on sait, 
exprimer 

rd.r 

par des fonctions elliptiques des trois espèces avec le module c. On aura 
donc ce théorème: 



/ 



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PKto» U Vm TUÉOmV DES ««LTIOIM ELLIPTIQUES. „„„ 

^îX^VicZ^' e,lipti ' 1 " 6 <iue,to """° **■ «' 

fonction, dBpd,». d'un ,„, m „ odn f ! „ , T "'" ^ T ** 



«t, ■ • • c., et cela de la manière suivante 

(211) WdrV 

on y et r sont des fonctions rationnelles de x. 



La continuation d'après un manuscrit inédit. 



foneti^ TV 1 " C " the '° rème ^ CG qUÎ C011Cen ' e la ^«formation des 
fonctions elhpfcques par rapport au .nodule se réduit à exprimer l'intégrale 

J J(ic,c) P ar (les fon ctions elliptiques. 

§ 2. 

Tramformation des fondions de la première et d* la secomle espèce. 

Supposons d'abord que <px soit une fonction de la première espèce, de 
sorte qu'on ait * 1 ' 

C da- 

Dans ce cas la fonction r se réduit à une constante, et on aura par suite 
où y est rationnel en x. Cette équation est la même que celle-ci: 



dy dx 

— e 



Xous .cn avons donné la solution dans le chapitre précédent. Passons aux 
fonctions de la seconde espèce: 



77 



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610 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 



On aura alors 

(213) ®o(Z/,0 = f J - J( — ) • 

Connue « est une fonction rationnelle de a, l'intégrale du second membre 
paraît contenir des fonctions de la troisième espèce, mais nous verrons quon 
peut toujours la réduire à une expression de la forme: 

A.Cô{x,c) + B.ôi 0 (x,c) + v, 

où o est une fonction algébrique de x. Il y a un moyen bien simple de 
prouver cela, savoir en diftérentiant l'équation 

C0(y,c') = e.i0{x,c) 
par rapport au module c. Cette équation revient à celle-ci: 

f M1 (1 - S'y*)'* = * / - *V } (1 - cV)~ *. 

En la diftérentiant par rapport à c et remarquant que les trois quantités y, 
c\ t contiennent cette quantité, on aura 

, de' f y*dy , ikf. 1 _< te f ^ v + c* f n - •fiV^V 



niais on a 



J (l_c-'V 3 )^«') - "' 3 - 1 ' - 7 ^ C ') 1 - t ''^ - / °'' C ' ) 



En substituant on aura 

c de' i _ ,„ ,,v /y(i - y 2 ) I i <ty . _ 1 - 



et de là en mettant pour û%,«') sa valeur tô)(^,c), 
ci 14) ro 0 (y, c') = Aîû{j; c) -f 5<o 0 (fc, c) +p, 

où l'on a fait pour abréger 



ninitiTPH h' 




PBÉCIS « UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 6U 

A = f \ 1 __ £*(L-^*) | de(l _ ,'*) 
f <^(1- C *)J ,,,/,< ' 

(215) ) B— *°<X 

Or on pourra parvenir plus directement à l'expression de m ( v r') s, 
von- on décon,posant la fonction rationnelle f en fLions ptti^es. ^ 
huit x-a un facteur du dénominateur de y, on anra 

où A et B sont des constantes. En faisant y* on trouve crapr6s ]es 
règles connues 

Or si l'on met dans 1 équation 
y* au lieu (le Ih viendra 

(218) (1 - *•*) (1 _ « V) (cp'xy = é'[( V x)' - 1] [( (f)X y - c?*] 

= t\<fsY — t i {l+c'*)(<p X y-\-e*c , \ 
En y faisant .r = « on a <px = Q, donc 

(l-a 8 )(l- c V)( ( /«)»zz f V 8 . 

De même si l'on différcntic l'équation (218) par ra P1 ,ort à x et qn'on fasse 
ensuite x = a, on aura 

2(l-fl')(l_ (! V)^.f«-[2(l+ c V_ 4c V](^ = 0; 
on a donc 



(219) 



( 1 = (1-^ (1-^) _ , 

) (<r'ay «v* — 

) f _ — (1 + c> + 2c*a s 

l (y'a) 3 — £«7»" — B ' 

En vertu de ces valeurs de A et de B il est facile d'avoir l'expression de 

f yî JQiï) ' En cffet ' en ni,uti pliant l'expression de ?f par = « , 

F?*? «S» 



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612 PRECIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

il viendra 

/oofts Ç y*<'D _ 1 f\(l-a*l(l -c.*a*) 2«_»a»-(l + ««)«( 



Or si l'on différence la fonction 



. r — « 7 



on trouvera 



donc la première des intégrales du second -membre de l'équation (220) est la 
même chose que 

f ( c * x * — c'a 2 ) ~% — - M = - ( ^ — ^ 2 cD(.r, -I- c«a* 0 (a\ r). 
Donc l'expression de / deviendra 

En désignant donc par a,, a 2 , . . . a M toutes les racines de l'équation 
1 



= 0, on aura 

y 



(221) ec/'Gjod,, e") = fic'Btfa e) - [c\a\ + a*-\ h ~ * V*/c*]<3(*, r) 

+ J(&c)\ - 1 -4-_ 1 ---| 1 

où h est une quantité constante, savoir la valeur de y pour x = -^. 

(Jette formule répond h une fonction rationnelle // du degré //, savoir 

y _ 0* —^i) (.r— _a 2 ) (.r — a 3 )^. . (.r — <y) . 

mais il y a deux cas qu'il faut considérer séparément: il pourra ar- 
river que Tune des quantités et sera infinie. Soit d'abord a fi = ^. 
Alors on aura k = Q. Dans ce cas la fonction y sera une fonction impaire 
de x, dont le numérateur sera d'un degré moindre que celui du dénomina- 
teur. Si fi est pair, on aura en mettant 2,u pour 

^ — 6 (i (î — dj* 1 ) ..(i — 



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PRÉCIS „,„ THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. gjg 

et la formule (221) deviendra 

(222) ^(y^^a >fl>( } __ J l i , 

+ 2^(,,,)|^| + * , 

" CSt nombre in W °» aura eu mettant 2,„ + 1 pour lf 

(223) y = (1-^)0 -,. X ^)... (1 _ cS 

et la .formule (221) deviendra 

(224) . ^a^') = (2„ + 1)aXM 2 ,. K + a|+ . . . +a>M 

+ 2xJ( x ,c) \— _L_l _ 1 1 , 1 i 

2.r*ï- rt? -_^H f-ÏJ=^5 ' 

Supposons maintenant o„ = 0. On aura alors 7, -1 r „ * 
impaire, mais le dénominateur sera d^t^ Z^jTT!! *"* 
meraten, Pour avoir 1. fonnules oui T^LZ 
dans les deux équations (222, 224), 1 au lieu de ,-. Cela donne 

Donc en substituant dans la formule (224) et mettant z = x, 

(225) ^X(y, C ') = (2/i + l) C ^ fl )-2«»(« ? H-a;+ . . . \a >{x , c) 

L'expression de y sera, en vertu de la formule (223), 

y= *Jfil-*yM ■—_,*) ...(al- «») 

a* . a» . . . «« (1 _ «•»«>.,*) (1 _ ^a|^)\-7f_- c » tt r^ } ' 

Pour donner un exemple soit 

-'=T+V » = (l+.) rq i iïi , . = !+.. 



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614 



PRÉCIS D'UNE THÉORIE DES FONCTIOKS ELLIPTIQUES. 



alors on a /< = 2, et la formule (222) donnera, pour fi <== 1, 

<"o ' ; ) = - f - «) H- -g - - » <0 - - y • î + «V* • 

§ 3. 

Transfonnaiion (les fonctions de la troisième espèce. 
Soit maintenant 

hn mettant pour , 7 - - ,t sa valeur e — — -> on aura 
(226) //(.y, c>') = * [—£—— . 

Pour réduire le second membre aux fonctions elliptiques il faut décom- 
poser la fraction rationnelle — - ^ en fractions partielles. Soit donc d'abord 

1 ~~ a 7 * 

L^tf^'— 1 - + + 1 — — A< ~ = fe / + i , -~ -, 

a — y 1 a x — .r ' a 2 — .r 1 1 « w — # 1 a — # 

oii il est clair que h' est une constante. Pour déterminer A n A 21 . . . on 
aura d'abord 

- (a — .r) 
= ■ ,— ; pour x = a, 
a — // 

donc 
or on a 

donc en faisant x = a et remarquant que la valeur de y deviendra alors a\ 



on aura 



et par conséquent 



€.J(a',c') 



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.•HH- 
ai-Pi 



PRÉCIS OUNE THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 615 

En substituant On aura par conséquent 

En de ,ue,„e le. de ,+, =0 ' par 4 „ 4 „ . . . 

En ajoutant ces valeurs de _ et '- 1 - on ■»,«, ,..11* i 2a' 

a' -y et 011 <mia celle de Mais 

.il suffit de considérera formule (227). En la .multipliant par - A. et in 
te'grant, il viendra ' J iy> c ') 

Cela posé, ayant = ( «+^, 0 „ e „ ti ,. e 

De même on aura 

Donc la formule (228) donnera en substituant 

(229) ■ J " ' / ' V l«'*-y»)-%,<0 

Les intégrales qui entrent encore dans cette formule seront, comme on le 
voit, exprimables par des logarithmes. 
On aura par conséquent 

(230) ^^V( y ,c>0 = ^^, C ) + ^^ C) ^^) + ^ 

H est à remarquer que cette formule ne contient pas de fonctions de la 
seconde espèce. 

La fonction de la troisième espèce II(y,c',a') est donc ainsi réduite à la 
fonction de la première espèce m(x,c) et à ,u fonctions de la troisième espèce. 



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B16 1»KÉC1S D'UNJfi THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

Or je dis qu'on pourra toujours exprimer les ft fonctions du second membre 
pur une seule. C'est ce qui est facile à prouver à l'aide des formules établies 
dans les chapitres préeédens. D'abord si Ton détermine une quantité a de 
sorte que l'équation 

(fxY - {(fxf [J{x, c)Y = (x* - a») (x* - al) . . . {x' - a») (* 3 - a 1 ) 

soit satisfaite, fx et cpx étant des fonctions entières de dont Tune est 
paire et l'autre impaire, on aura sur le champ, en vertu de la formule (104), 

»(. W )=M(,,,) + n^u) _ , [ 

Donc en substituant: 

(231) ^ ) J7(y,^a0===(^ + ^)O(«,c) + ^/7(x,c,o) 



-1-7,' l W Sf*+V*A*> e )[ 



Quant aux coefticiens des puissances de x dans les deux fonctions fx et tpx 1 
ils sont déterminés par les /* équations suivantes: 

fa l -\-(pa l .J(a l1 c) = Q, 



auxquelles il faut ajouter celle-ci: 

fa -\-(pa . J(a, c) = 0, 

pour déterminer le signe du radical J(a 7 c). 

On peut encore réduire les fonctions du second membre de l'équation 
(230) d'une autre manière: on pourra les exprimer par Tune quelconque 
d'entre elles, comme nous allons le voir. 

Soit a Tune quelconque des quantités Alors connue 

elles seront les racines de l'équation 

a'=y=ip(x), 

elles auront, en vertu de ce qui a été démontré dans le troisième paragra- 
phe du chapitre précédent, toutes la forme 

aJ(e,v)-\-eJ(« } c) • 



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rr de 

) 

ic rst 



,1 f. 



[;tîl"ll 

■ni"' 



..nfl'îl- 



l'KKCls D'UNE THKOK1K DK8 FONCTIONS KLLU'TKJUIïS. fil7 

où « est une constante indépendante de a. Soit donc 
(232) __<^(<',„, «) + ''.»• /(«,<•) 

on aura en vertu de lu formule (112) 

La formule (230) ,l e vien.lra ,l„m-. en «uljstitiuuit 
(238) / - /(y , (!> - )==(/ . +/?j+A+ . . . i)ffi(x . c) 

-f »' + log , -I- log S t -\ (- log . 

Je dis maintenant que 2 J{ '-"') fT(x,c,e m ) se réduit à zéro. En effet, si 
l'expression de a, est racine de l'équation a'-y = 0, elle le sera encore en 
mettant — g. pour e „. Si donc // est un nombre impair, les tenues qui 
composent l'expression 2 //(*, c , <g «ont deux-à-deux égales et de 
•signas contraires. Si ,, est un nombre pair, l'expression dont il s'agit se réduira 
à un seul terme /( '> ' :) //(*, c, ,), où e est zéro ou dinfini. Si e est nul, 
ce terme le sera Me même. Si e = £, la valeur correspondante ,1e « M est 
± — » doue en vertu de la formule (115) 



78 



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XXIX. 



THÉORÈMES ET PROBLÈMES. 



die reii.o und anpewandte Matliematik, hcrausgcpcben von CWUe, Bd. 2, Berlin 1827. 



Tïtéorème. Si la somme de la série infinie 

a 0 -}-a l x-]-a 2 x i ~{-a 3 x 3 -\ \~a m x a -\ 

est égale à zéro pour toutes les valeurs de x entre deux limitas réelles a et 
ft, on aura nécessairement 

a 0 = 0, a 1 = 0 1 a f = 0, . . . a„ = 0 . . . , 

de sorte que la somme de la série s'évanouira pour une valeur quelconque 
de x. 

Problème. Eu supposant la série 

fx — a 0 -J- a, ce -f- a 2 x* -f- • • • 
convergente pour toute valeur positive moindre que la quantité positive a, 
on propose de trouver la limite vers laquelle converge la valeur de la fonc- 
tion fx, en faisant converger x vers la limite a. 

lliêorème. Si l'équation différentielle séparée 

adx t i y 

Va + 0 « +~y , r * + ^ - A .a + £ x i ~ y a _p^T_jj 'ry+ôg*+7^ ' 
oii «, /?,^, fi, t , a sont des quantités réelles, est algébriquement intégrable, 
il faut nécessairement que la quantité a soit un nombre rationnel 



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I 



THÉORÈMES ET PROBLEMES. fil 9 

Problème. Trouver une intégrale algébrique des deux équations séparées: 

tlv Y S dy 
V 3 + 3 a:* + ,r 4 ~~ V3 — 3y* + </ 1 ' 



Journal fur die reine und angcwandte Mathematik, herausgegcben von Crtlle, Bd. 3, Berlin 1828. 

Problème. Le nombre 1 — 1 peut il être divisible par // étant 
un nombre premier, et a un entier moindre que u et plus grand que l'unité? 



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ERRATA. 



Page 50. Dans la première et lavant-dernière ibrumlc les signes fies seconds mem- 
bres doivent être changes. 

Page 154, dernière ligne, au lieu de 1 , lisez 1 

a - sp il — x 

Page 103, dernière ligne, au lieu de li//' m) , lisez ht/ ( t 4 'K 

Page 185, ligne 3, en descendant, au lieu de 3[ f(\ 1) + 11 . i ], lisez 3f f(l 1) -f 1 1 . Jj. 
l'âge 192, ligne 13, en descendant, <w /«V// r/f e m m , Usez e 



Page 237, ligne 12, en descendant, au lieu de ô' = a sin (f — h « 2 sin 2y -j- i <* 3 s hi 3f/> — • • • 
17* z d' = — (a sin 4fjp — J «- sin 2 r/) -f- J « 3 si» 3 y — • • • ) 

Page 239, ligne 0 et 7, en remontant, au lieu de lorsque k est égal a zéro ou compris 
entre 0 et -\-<x>, et lorsque /fe est compris entre 0 et — 1, lisez: lorsque k 
est compris entre 0 et -f- oc, et lorsque & est égal a zéro ou compris entre 
0 et — 1. 

Page 205, ligne 13, en remontant, au lieu de Fa } lisez Fa. 
Page 277, ligne 3, en descendant, au lieu de cpxzz: 1 



lisez cr x z= — r . 

1 CCI M ù) \ 

*V-y— * \) 

n n 

Page 313, lignes 3 et 4, en remontant, au lieu de v t en 0~ m r 3 , lisez Vt\ en . 
Page 343, ligne 10, en descendant, le numérateur du dernier facteur doit être 



\m o) — (/i — \ ) ib i] 



Page 357, ligne 8, en descendant, au lieu 



2 



Page 419, ligne 3 et 4, en descendant. Effacez les exposans 2. 
Page 458, ligne 9; en remontant, au lieu de c% lùsez partout c" . 
Page 582, ligne 12, en remontant, au lieu dœ y(\ — e* e 2 z 2 ) . . . (1 — c*ef t z 2 ), 

lisez (— l>+\y(l — c 2 e 2 z*) . . . (1 — c 2 e^z 2 ). 



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621 

Page 582, ligne 7, en remontant, aii /m * (~ . . 

Page 582, ligne 3, en remontant, au lieu de i~ i>^_ , 1 



Page 586, ligiio 5, en remontant, au fe„ _± = __1 _ 

V±c ' ' V + c * 
Page 586, ligne 3, en remontant, a,/ * 2 ^"- 

Page 589, ligne 3, en descendant, au li» t de 1 , «± Y^-l 

r*g» 613, ligne 9, en descendant, «, /£» & 0^ = 0 /«,- a =i 



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i 



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ŒUVRES 

COMPLÈTES 

DE NIELS HENKIK ABEL 

NOUVELLE ÉDITION 

l'UBLIKE AUX FKAIS DE L'ÉTAT NORVÉGIEN 

PAR MM. L. SYLOW ET S. LIE 

TOME SECOND 

CONTENANT LES MEMOIRES POSTHUMES D'AUEL 




CHRISTIAXIA 

IMPRIMERIE DE GR0NDAHL & S0N 
M DC CC LXXXI 



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TABLE DES MATIÈRES DU TOME SECOND. 



I Les fonctions transcendantes J ^ , 1 ; _1 v l 
exprimées par des intégrales définies . . "*/ " ~ a " 

IT. Sur l'intégrale définie j '.r— 1 (l — Sy- >|/ 1 -J"~\/ r ? 

III. Sommation de la série yi^>) + ^J)-+^*+^ + ... + ^) 

« étant nn nombre entier positif fini ou infini, et ,,(„) une fonction 
algébrique rationnelle de »... 

IV. Sur l'équation différentielle ,/„ + (,, + (/// + (£r = 0> ou ?)< _' t ^ 
sont des fonctions de .v seul . 

V. Sur 1 équation différentielle (y + + 99 + ^ *),Lc = 0 '. [ ' 20 
VI. Détermination d'une fonction au moyen d'une équation qui ne con- 

tient qu'une seule variable 

VII. Propriétés remarquables de la fonction y = y.r déterminée par l'équa- " 
faon fy. d H -,l,V{a -jrK«.->;(«",-y)r.T(«— jr) = 0. f,j étant 
une fonction quelconque de ,, q„i „ e devient pas nulle ou infinie 
lorsque y = „, « M 

VIII. Sur une propriété remarquable d'une classe très étendue de fonctions 
transcendantes . . 

: 43. 

IX. Extension de la tbéorie précédente 47 

X. Sur la comparaison des fonctions transcendantes 55 

XI. Sur les fonctions génératrices et leurs déterminantes ...... «37 

XII. Sur quelques intégrales définies ..... 

XIII. Théorie des transcendantes elliptiques 87 



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TABLE DES MATIÈRES. 

PAOBS. 

r«2 .r 3 



j_ x * _l * 4- + — 4- ••• • • • 189. 

XIV. Note sur la fonction »/».»• = .*+ 2*~ t ~"3 s ' ' «* 

XV Démonstration de quelques formules elliptiques . l94 - 

.... 197. 

XVI. Sur les séries 

XVII Mémoire, sur les fonctions transcendantes de la forme fyl*, où 

i ,1 . i . - . 206. 

est une fonction algébrique (te .r 

217 

XVIII. Sur la résolution algébrique des équations • 

244 

XIX. Fragraens sur les fonctions elliptiques 

254 

XX. Extraits de quelques lettres à Holraboe . . . 

263 

XXI. Extrait d'une lettre à Hansteen 

266 

XXII. Extraits de quelques lettres à Crelle 

271 

XXIII. Lettre à Legendre 

Aperçu des manuscrits d'Abel conservés jusqu'à présent 283. 

290. 

Notes aux mémoires du tome I 

324. 

Notes aux mémoires du tome II 

Table pour faciliter la recherche des citations • 



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ru» 

189. 

m. 

197. 

M. 
217. 
244. 

254. 
M. 
M 
271. 

381 
21H 
324. 

339- 



I. 



LES FONCTIONS TRANSCENDANTES 2 L, v 1 v 1_ v 1 
EXPRIMÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES. 



Si l'on différence plusieurs fois de suite lu fonction v 1 

a 

1 



? on aura 

<12 1 v<Z 1 



<&t (lu ~ /.* 



--'(,!) 



<fo» = ~ ,/«» = — 2.3-5' x , 



t 

a* 



- . - = - -A"- — + 9 



da a ~~~ da" 



±2.3.4 ... n. S 



a 



l 



où le signe + a Heu, lorsque » est pair, et le signe -, lorscnie n est 
impair. 

On en conclut réciproquement 

= a ' , v 1 _ i _ « V J rt - « , 

<* 2 da ~ a 3 « 2 . rfc»~ ' - a * ~ ~ 2.3\<fa» + etC '' 

Tome IL 



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2 i jE s FONCTIONS T K AN SC EN 1 > A NTES ^J, . v ^ . . • etc. 

2 l = ± 1 . 2 . 3 T. . > - T>^ = ± * T 3 "~ - 1 ^ a "" 1 ' 

1 r / \ Z' 1 « ,,rt 1 ^ .fj. On en tire, en ditïérentiant par 

()r on a 2l = — l j 

rapport à a, 



v 1 

du 



J 0 



da~ 
,1*2 1 



En substituant ces valeurs, on aura 

1 r'.r'- 1 /. 



vi 
— „1 



i /•'*- 1 (y a tL . 



-«•^ — ■ 2"."3.4...(2»-l)J 0 

- „*.+! — r 2 .;j 4...2»J 0 x—1 
En général, quel que soit «, on aura 

~ a" i\a) J o — 1 



Désignons ^ ^ u par L(<ija)i nous aurons 



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(i) 



l<K8 W»Nl'T«»KS TRANSCENDANTES v 1 . v 1 .. 

a 3 ' — a i * ' e 

/,(«,«) = 1 /" ('-')" 1 , . n 



En développant ^ en séric j,,,.,^ 

or / / / 1 ) f ' _1 / _ /'(«) ' 

Jo ' l •<• / X — (« -/•)«' P iir conséquent 

«A C est une constante indépendante de a. Pour la trouver, faisons dans 
(1) «=1, ce ou, donne X(l > «) = 0 et a-W = , ; pur C()nse>cnt 

l\a).J 0 </j - 

On tire de là 

oh a peut être positif, négatif ou zéro. On a 

^=(:r^,- ( „_ I)(t » )+ K-.^ (< .j._(.-.,. (< . r+<te 

Substituant cotte valeur, on aura 

/"(/M* 

Considérons l'expression J En développant -A , on aura 

' f^HV +M>-lï*+ ■ ■ ■; 



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4 LES FONCTIONS TKANSCKÎÏ DANTES 2 jr > 2? • ■ ' ctc - 

J ^\ dx= /'(&+ ] ) i 1 + 2*+> + + 4^' ) ' 

donc enfin 

(ft _i). r(«+i) /, , 1 _i_ 1 _i L _i 

(„ _ i y .'/-(« + 2) /. , i , L iIj \ 

(„_l)».I'(« + 3) [ , 1 | 1 , J i 1 

or on a /*(« + 1) - « r(«) , A« + 2) = «(« + 1) A«) <* ™ f 

= «(« + l)(« + 2) • • • + !)''(«)■ Substituant ces valeurs, on obtient 

//(//, «) = " ^ 1 «|l "f"2« +l ~^3" +1 ~^4" +1 " ' ') 

- (n ~}/ « (« + 1) ( 1 + 2 l, + + 4«+«" + ' " ' ) 



Si l'on pose a infini, on aura 

£K«) = i + 2 1 K + .]„ + 4 l+---' 

donc en désignant L(?c,a) par ^'( r/ ) 

Si dans la formule (1) on met au lieu de a, on aura 

*(:• «)= U. - <te - 

Faisant x a =y 1 x devient = y a , dx = mj a '\ |/ * j =a rt_1 |/ y j cl 
par suite 

[ « ) ~ n«) J „ .y - 1 * - a») J. r - 1 i » ' 



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LES FONCTIONS TRANSCENDANTES 

m ~ <*< - a> etc. 5 

On tire de là 

Si maintenant —1<«, oc q u'on pcut la ^ ^ 

est résoluble en fractions partielles de la forme ' 1 0 , 1 

.me On aura donc 

i i:-i-K ( :-r* + '/-':-!r* + ...|*. 

Si Ton développe — 1 - ntl 

11 1 — se,ie > on volt que 

/. H * =/ w(' +;.+-;: + 4 i +-,.). 

donc en désignant 1 -f- . " _L i " 3 r_ . „ , 

T" 2 « T- ,v ~r 47, ~j par //(«,«), on aura 

A il",,, .^ = /-(«). //(«,«); 
on obtiendra donc enfin: 

l\ , «) = n-[A.V(„,r) + A\L\«^) + A-.ly( a ^) + ^. ] . 
La fonction i( .» , „) p01lt dom . lorsque ,„ o( ^ ^ ^ ^ ^ 

On a par conséquent A = —l et c=— l, donc 

m,a) = -2".L'(a,-l) = ~2"(l~ 1 4_ 1 _ 1 , 1 



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(i 



LES FONCTIONS TRANSCENDANTES v 2. , ^ . . . cte> 



Lorsque a est un nombre entier, on sait que la somme de cette série 
peut s'exprimer par le nombre ji ou par le logarithme de 2. Soit a=l, 
<>■' « l-* + i-* + "- = log2, donc Ztf, 1) = !,(*)=- 2 log2. 

1 1 1 7T 2 

En posant a = 2, on al — ^ 2 -[- — 42 + ' " * — i*> ' d ouc 

i(*,2)=- 7- 

On peut en général exprimer L(-i 7 2?/) par — J/^ 2 ", où J/ est un 
nombre rationnel. 



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IL 

SUR L'INTEGRALE DÉFINIE f\ r ^(l r) _i ( ( \ 



\ 



pression suivante ou trouve l'ex- 

(1) 
donc 

log f o x«-*(l - x y-i dx = , og yv< + , og 7 , c _ ^ /f(rt + ^ 
En Jifleroutiaut pnr rapport à « et à et remarquant que 

on aura 

r l \,< T =La — IJa-X-A, 

f l , 1 .v"^(l-, v y i((i_ x y (Ll , 

Ces deux équations combinées avec l'équation (1), donnent 

/V' (] - ,•)- ' \ x . dx = [ La - L (a + ,) j r « ; ^ 



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SUR L'INTÉGRALE DEFINIE etc. 

o 

i m Ta. Te 

j x «-i(l _ x y-> l(i - x)dx = [Le - l. (« + c) J T ( ( t^) • 

La dernicC équation peut aussi se déduire de l'avant-dennere eu éehan- 
goant a et c eutre eux, et mettant 1-* à la place de a. 

Lorsque c=l, on a, à cause de t(l + «)= - + et 

/ x"- 1 lx.dx= — - t > 

J 0 

résultat connu, et 

l l X 7 7,(1 +«) 
/ aJ -/(l_*)ci e = \e • 

donc 

/. (1 -j- a) = — a/ o x"- 1 /(l — *) ^ 
En développant (1 — a)'- 1 en série, on trouvera 

or JVi^)^^^, donc 

, i , (( .!_l)(c— 2) 1 (c _l)(<— 1 i ., 

=i-( e - i ) ( TïTï)-«+ -■ ï- ~ — y- 3-- ( «+ 3)ï 

ma» jVHi-*r i '(i-)^=L'>+ c )- to ]-nî+V donc 

■(2) + 

= a»-( C - 1 \«+iy+~ 2 (a +2)' 2-3 

iSoit par exemple c— 1 — «, on a 

/.(ffl + c) — La= — La, I , ( a + 6 )= 1 » 

ra./'c=i'a. /'(!-«)= s hT«7 c 5 

donc 



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SUR L'INTÉGRALE DÉFINIE etc. 

9 



i;m- 



Soi* « = *, on a -La = 2lo g 2, sin-J = i, donc 

2^]og2 = 2 2 4-A i 3 i 3.5 . 357 
Soit a=l — # r — 9 r i 

= ' C ~ 2X ~^ °" «™ en remarquant que £(!-*)__ ^ 

v ; J 2(3 — *); ^737(4=^p H 

En échangeant a et c entre eux dans l'équation (2), on obtient 

T(a+ C ) e t V 'H-l)»+ 2(c- + 2p 

Eu divisant l'équation (2) par celle-ci membre à membre, on aura 

L(a + e) ■ - /,(«) = - ~ • • • 
/.(a + c) - L(c) , (^T»7«^ 

<•» (c+1> i-T- 2(0 + 2.,* 

De cette équation on tirera, en y faisant c=l, 

Z(l + a) = « — ^ -i> J_ <«L~ 1K« - 2) 

^ 2 ' 2 3 2 " " " • 

donc en écrivant —a pour a, 

^(l-«) = -(« + ^L) + ^+^i±2) + . . | 
et en mettant a — 1 au lieu de a, 

La = (a-1)- ^3 ('L- 2 ) i (« - 1) C* ~ 2) (a - 3) 

v ' 2* i - . 2T3ï ; 

on tire de là 

X(l — a) — La = 7i . cot Ta 

= - f 2 « _ 1 J_ "(«+!) -(«- l)(a-2) , «(«-H )(«+2)-H«_l)(a_2)(a-3) , \ 
l ' 2* ~ 2.3* 1 1- 

Si dans l'équation (2) on pose a=l, on aura 

Tome IL 



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i 



^ SUK L ISTÉGKALE DÉFINIE etc. 

comme auparavant. En faisant c = 0, il vient 

Nous avons vu que 
En diftérentiant cette équation logarithmiquement, il viendra 

Or on a *£ = -Z±i «oit J^ = L'(«), on aura 

= [(L'(a + c) - L'a) + (L(a + c) - La)-] ^^p^ ■ 
Si l'on désigne ^ ], par L"a, L-^ par L'"« etc., on obtiendra par 
des difterentiations répétées 

f -x)- 1 ( Z l)'«ir = [2(L*(a + c) -L"a) + 

3 ( a _(_ c ) _ L'a) <L(a -f c) - La) + (L(a + c) - La) J • 

J 1 a;— 1 (1 — a;)'- 1 ( l \- Jdx = etc. 
En diftërentiant l'équation (2) par rapport à a, on aura 

'il c-l 1 . (c— l)(t— 2) 1 _( c -l)( c -2)( C -3) > _ 1 , ...] 
= 2 r«? î~"(«+l)»1 1.2""V+2) 3 1.2.3 (a + 3) 3 / 

— r*(a+l)i~1 1.2 (a+2) 1 ~ " ~ 1.2. 3 > + 3)' 1 i 

et en général 



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SUR L'INTÉGRALE DÉFINIE etc. jj 



Or la fonction /" a-~Vl — tY- 1 II 1 j * • 

A 1 > \x) dx est exprimable par les fonctions 

r, L, L\ L", . . . £,<-», donc la somme de la série infinie 

- - - c ~± . — 1_ _j_ (fzi) 0-2) 1 

1 (« + l)«"t~ Ï72~- '(ô+2)ï 

est exprimable par ces mêmes fonctions. 

/'--(i-*)"(i-i-)"*=,(.,.x 

on obtiendra par des différentiatiom successives par rapport a c, 
£ »«(l-.)«, ( i_« ) (,I.)« <fc= ^ 

' _(^"- , (l-^^'[<(l-rr)]>(ri)- , & =v " ( , ) 

) V- ( i -*)-■ [/(i ( ; I ) - «& = ,,<<<„, 

et en général 

^(i-*r[/(i-x)]Hj i ip &=v( M ei 



Or on a y (a, r) = (-1)-' - -^-'K donc en substituant cette valeur, 
on obtiendra l'expression générale suivante, 



J o . L y /J v / (la n .dc n 

et cette fonction est, comme nous venons de le voir, exprimable par les fonc- 
tions /; L, L', L", . . . L <n - l > . . . L (m -». 



2* 



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12 



SUR L'INTÉGRALE DEFINIE etc. 



On sait que 
En différentiant par rapport à a on aura 



ara „ 

Fa dlTa 



or --,- = La — C, donc 



/;(4r , "(^) <fe = i ' o - (i "-' j); 

en différentiant encore, on aura 

£ ( , 1 p ( w 1 ) 4 jx= r a [(La - cj- - z/«)]. 

Une expression générale pour la fonction 

peut se trouver aisément comme il suit. En différentiant l'équation (A) n 
fois de suite, on aura: 



or = La — (7, donc 
da 

J\La — C] (la 



lfa= f(La — G)da et = 
donc 



d 1l e J 



/;('.'r(4)--= ^ 

fonction qui est exprimable par les fonctions J\ L, 77, L" . . . M 1 

Si l'on met e y à la place de x, on a / * = — ?/, // *-==/(—#), 
dx = e?dy- donc 

/ (-y) a - 1 V(-y)] n e' J <ty= — da n 

J —oc 

ou en changeant y en — y 

/ y«- l (ly) n e-»dy= - 

J oc 



/(La — C) da 



/(La — C)da 

1 e 



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sur L'intégrale définie et,. 13 



et par suite K ' 

^ 0 rte" 

Si l'on met a au lieu de ±, on aura en pQnnt = 
en posant w= J ? 
Si par exemple a = 2, on aura 

OC 

Si dans l'équation (A) on pose x = tj>, on trouvera 

ï» yn ~'[ l j) ^^'i^' lorsque est positif, 

foJ f '~ 1 { l ~y ) dlJ = ^" ' Iors q"e » est négatif. 
En différentiant cette équation par rapport à a, on aura, lorsque « est positif, 

Hoit y = c-**on trouvera 

r<r-tf-* lx.Jx = ï" m - {La -C- log W ), 
résultat qu'on peut aussi déduire aisément de l'équation 



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III. 



SOMMATION DE LA SÉRIE y = q> (0) + f (1) * + ? (2) x* + V (3) .r» + • • • + f («) *"» 
« ÉTANT UN NOMBRE ENTIER POSITIF FINI OU INFINI, ET v (n) UNE 
FONCTION ALGÉBRIQUE RAT10NELLE DE n. 



La fonction y(«) étant algébrique et rationnelle, elle est résoluble en ter- 
de L 
la forme 



mes de la forme An' et --p^î V donc résoluble en plusieurs séries de 



^ = A.0" + Aa;-|-ii.2 B a: , -t--4.3"a; 3 -|- • • • +An a x n et 

, Bx .Bf' ■ g*! I _i _ B - T !__. 

2 — â7~i"(ï+T)/» ~ï~ (a + 2)/» (o+3)/* ' ^ (a + «)^ 

La sommation de la série proposée est donc réduite à la sommation de ces 
deux séries. 

Considérons d'abord la quantité p. A.O" étant une quantité constante 
et A facteur de chaque terme de la série, nous poserons 

- — ^ = /(«>*)■ 

On a donc 

f(a,x) = x-\-2"x i -\-3«x s -\-4"x i -\- • • • -fn"x"; 
divisant par ce, on a 

/(o^. = 1 _^ 2 „ a ._|_3„ a .i_|. < _ < _L. w «af-> ; 



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en multipliant par d X et intégrant, il vient 
f A",*) , 

J * X ~t-à X -{-... ^_ n a-l x n 

en comparant cette série à la précédente, on voit que 

différentiant et multipliant par *, on tire de là 

ou en écrivant /« au lieu de /(«,»), 

Connaissant la valeur rlr> f<~ i\ 

Mettant a - ! au lieu de «, on aura ( j ' 

/(«_ 1 ) = ^/(« = 2)_. 
en substituant cette valeur dans l'équation précédente, il vient 

dx* ' 
mettant de plus a 2 n v 

/(«-3) = -lil^(^i) , 
(Lu 

/(l)=£:f22. 
Substituant ces valeurs on trouve 

fa = '^("^i* - <l{-^df(py. . .)))_ 
cLv" 

On -a ainsi la fonction /« déterminée par la fonction /(0). Or on a 

/(0) + + S* + ^ x n = «(l^f*) 

1 .2? ' 



15 



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16 SOMMATION DE LA StlUE y = y <<>> -|- y ( 1 ) a: -| [-y etc. 

donc 



•t? . </ f x . (i ( .r . . . d X -* — - • • • J ) 

V \ l— * .... // 



Ou connaît ainsi la fonction f(a), et par suite on connaît de même la fonc 
tioiijp. Si la suite va à l'infini, on a / (0) = — , et par conséquent 

x . dix, dix... d ~— — • • • ) ) 

x + 2 " ^ -|- 3 " x* + 4" x 1 -| = -~- V — V - „— ~ ~ — ■ 

En faisant successivement « = 0, 1, 2, S etc., on aura 

x -(- x- 3 -j- x' 6 4 -] — - j 



a* 

— .r 



x -f 2a; 2 + 3z 3 -f-4z 4 -| = ** ' ^ 1 _ * 



( fo — (1— .*) 



Considérons ensuite l'autre série, savoir 

a" (a+T^~t~ (a + 2p~ » (a + 3)« » r ( a ZjT^p ? 

en multipliant par x a et ditférentiant, on aura 

d(Fa.x n ) j;"- 1 , x a ,c a + l .r n + a ~ l 

dx ~ a" 1 » (a + (à + 2)"- 1 » ' (iT+n)^- T ' 

ou bien 

" \ a"" 1 ~ (a + Y)"- 1 (a + 2)«'- 1 T ' (a + »)«- 
On voit par là que 

d(Fa.x a ) tri , 

en multipliant par <&c et intégrant, on obtient 

On peut donc déterminer Fa par F {a — 1). 

En mettant maintenant a — 1, a — 2, etc. au lieu de a, on aura 
F (a — 1) =l dx ' 2) . 



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or 



SOMMATION DK LA SÉK1K ,- rm . „ , 

^(« — 2) = ■ ' ta : 1 - 3) 
■F (2) = l'I^-^-'Fil) 

On peut donc déterminer F (a) uar i-Yf/ 

W pai /(()), cur on aum par substitution: 

8i,HSe " e VBàl ' in ^ et parante 

J^m quantités constantes dues aux i nh s„,„- 

v*u r „ artic „„ ères des fo ,,; i ::V ( ^; ^™ -e, doive,., êtl , de8 

» .tr,;:^:! Ira * « '«."- - *- ■« 

*>(0) + !P(l)* + ?(2)z' + , )( 3). l; » + . . . +Hn)x , 

de la ^ de la Îrie + + ' P ° U ' * '» <^ 

-=/(0) V (0)+/(l )( p(l), +/(2) ,, (2) ,. + ... +/ 
l""Ie de la série 

/(0)+/(l)*+/(2) !B «+ • • . +/(„)«;- 

o« Jn désigne une fonction quelconque, et < f n une fonction rationnelle En 
ettet la sene z est résoluble en plusieurs séries de la forme 

^Wl)^2«/(2)^3"/(3)^ . . . +»-/(„)*.), et 

Tome II. 



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18 SOMMATION DE LA SERIE y -, ,0. + ,•« lj * + •••+*■<«> «" ctc - 

Si Von p«e/(0)+y(l)* + /(2)*'+ = on trouvera 
précisément de la même manière que d-dessus: ^ , ( ,,.., ( ^ )) ) 
/(l ) as + 2 « /(2) * s + 3 «/(3) * 3 + • • • + »'/(») *" = ~~dx«~~ 

i_ rji« r ^ . . . f d ±jdx.x"-\s. 
■ x " J x J x J x 

Soit par exemple s = e x = 1 + x + "2" + 273 2. 3 .T ' ' ' ' 
on aura , 

a + a +ï + 2 « + 2 + 2-3 « + 8 T W 

, L / 0^11 ■ 0»_-A)0«-r2) _ («ri)(°- 2 K a --A + . ..) + -; • 



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IY. 



SUR L'EQUATION DIFFÉRENTIFF T v / . , i 

SONT DES FONCTIONS DE ., SEUL. 



-re^rirr' 8 réhûre ****** *+(p+»+*)*=o, à ^ 

cfe + dV + + + r , r) ^ + z {q + ^ )dx + nt (h = Q 

lour q ue le tonne multiplié par , disparate, il faut poser ? + 2,r'-0 
d'où l'on tire r'— _ ? rw i iT 

— - 2r ■ Lotte valeur étant substituée pour r', donne 

( J ) <lz-4-(p— f t* 1 , <«r j i 

doj H' 4r rf, 27 + ,û 2r* + rZ ') < lx = »î 

t fe + (P-L.Ç z ») < & ==()) 

on'a" S0it * = 2 '' et — q uent * = , dz + ^ 

r'«fe +pdx + z (Jr' -f r'jefe) -f z 3 r' % r efo = 0. 
Pour que z s'évanouisse, on fera dr' + r'qdx=:0 1 d'où l'on tire 

3* 



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2Q SUR L'ÉQUATION DIFFERENTIELLE dy -| . V + <I1J \ ry> s dx - =0 etc. 

En substituant cette valeur pour r' on aura 

(2) dz -f- (p e /f * + r z 2 ) cfe = 0. 

Si donc on peut résoudre les équations (1) ou (2), on peut aussi résoudre la 
proposée, et réciproquement. 

L'équation (2) est résoluble dans le cas où Ton a 



car on a alors 

donc 

et de là 



-±- =_ v J""* dx- 

a + =- a 



z 1 [ j fi<>* 

c tang -.--- = r- Ipdxe ; 

= __ y a tang ^ ^ Jpdx e/''' h j ; 



mais y = zr' = ze donc 

y = — yâ . e - - /î '' 1 tang ^ ^ fi- 7 '"'* pdx ) ; 

maintenant pe-^ ax = are~^'" te, 1 donc 

e = — , e = 1/ - — > 

Jqdr. = ±\og }> -, qdx=i- r - —\ — » <Z— i[ - ? , ,/, J 

L'équation -f - Q> -f- + n/ 2 ) cfo = 0 , deviendra donc 



et son intégrale sera 

1 




tang | f l/rp dx), 



ou bien, en mettant pour la tangente son expression exponentielle $ 
Soit par exemple p = — r= * ? on aura 



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In- la 



SUU L'ÉQUATION blPPKKENTlKLLK * + + „ + „. , „ ^ 

y-' 

En. supposant / , = Jr - et r==a; . Qn M <(p , m 



1-f « 



2 

^ 7 , — - - — ^.^»'-f-»+2) . 

donc '« + " + 2 



m— n 

boit » = — w __ 2 , on aura 

y=-*" +1 tang(fc + Iogx)=-- aî -» tBng(1 ^ a!X 
« ou Ton tire ; ' 

Si dans l'équation (2) on met - ± à L , p]ace dc 2> on anm 

dz + (re~ J * lx +peS'""z*),! x = Q, 
et puisque * on ft 

' 7 .y + 0» + 5?/ + »y ») rfar = 0. 
Lorsque ;, = 0, on a c/y -f _J_ ^ = 0> 

dz = - r . e-/~ «&. a = —yV^— 

y= --t.- 1 --- • • 

Telle est donc l'intégrale de l'équation 

d y-\-{qy+ry s )dx=o. 

Si dans l'équation proposée on fait J = ^= r, on obtient 



21 



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22 SL'Ii L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE dy + ( I» + 'IV + "J* > A> — « «te. 

c <fy 4- (c 4- 2ay 4- y*) y <& == 0, 



donc 



_ 2 ( 'h Î??U donc 

ou bien 

et de 1î\ 

V + « Va 2 ^ * \a--cfpdx 

J - ^ 7 , = c c , 

?/ = — a 4- Va* — c — - ^ - i r 

1 0 c ' ^ 

Dans ce cas, l'équation (2) devient 

c dz + \ce c - 4-e cJ z')pdx=0; 

mais on a 

y** 

r 



donc on aura 



z = ^ 



— n 4- IV — f -- i 



Si l'on fait p=l, ce qui ne diminue pas la généralité, on a fpdx 
x-\-k, et par la 

/ (*+*) - \ 



-?(»+*) I , rr ~ 2 i + e~\W"-A 

z = e )—a4-ya* — c— -— — — :>• 

Lorsqu'on connaît une valeur de y qui satisfait à l'équation 

< h .i + (p + w + ^ = °> 



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SUK 1/KQUATION DlFKfcRK\TII.-| l u- , , 

'^BtNllM, U( / J + (p + & + l . }8)i)y=(iete ^ 

on pourra aisément trouver l'intégrale comnteh» « v . 
eulière. On fera y = „> J_ „ ° * ^"l^te. boit y cette valeur parti- 
«/ # Ct on aura 

0 ,f + ( • / + (i> + ^ + «* + (</ + W) + "«] rfa = 0. 

Or par 1 Vpoth.se on a < ¥ + + ^ + ^ |& = 0 . ^ 

•d'où l'on tire en intégrant 



3 = 1 



+ d*T -fUt + tr^dx ' 

mais 0 = 2 + y ' doi 



l—Jl'l + Sry') dx 



fcoit par exemple 

taisant OI1 trouvera 

— *+l+«ô + c6* = 0, 



et de là 



b = - a ~ l 



"ar±J/ ( arj — t r; 

donc m' =!!--" 4-|//l- rt r f M * • , , 

f 2c ~ ^ ^ 2 C j ~ c \ x e " st une intégrale particulière, et 

connue on a tf =-«, , = t , rint%rale dy ^ 



I & ±J/ 2t .~ - c) ,+~ - - ----- 



et en effectuant les intégrations, 



«= i .i - « + 1 // 1 - « y i / î /t.,- ! 1 + y<ï-i»*"4-c 



Vtl— — 4c' 



où & et 6' sont les constantes arbitraires dues aux intégrations. 

Quoiqu'on puisse, connue on vient de le voir, résoudre plusieurs cas en 
employant des substitutions convenables, il semble pourtant plus commode pour 
1 intégration des équations différentielles de chercher le facteur par lequelTé 



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24 SUK L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE d v + (p + 'JV + r»» ) ** — » otc - 

quation doit être multipliée pour devenir intégrable. Soit s ce facteur, de 
sorte que l'équation 

zdy-\-z(j)- s r qy 3 )d£ = 0 
soit une différentielle complète. On doit avoir, connue on sait, 

dx dy 
et en effectuant la différai tiation, 

£ = (p + 2?') £ 

K Suit 2 = e r , on aura 

Quoique cette équation en général ne soit pas moins difficile à résoudre que 
la proposée, elle peut néanmoins servir à découvrir plusieurs cas particuliers 
dans lesquels celle-ci est résoluble. 

Supposons par exemple que r = alog(« + /fy), oh « est une quantité 
constante, et « et p des fonctions de x seul. En substituant cette valeur 
de /• on obtiendra 

au' + ati'l _ <?^) _ 2( ™ = 0 

où o'==4°- et /?' = -? • En multipliant par a-f/fy on aura 
««' - -f («/?' — 2«</) ?/ — {a(iq + 2/fy) y 2 = 0, 

d'où 

««' — a,fy = 0, a/*' — 2a 2 = 0, «/fy + 2/?<Z = 0. 
La dernière équation donne a=r — 2, et en substituant cette valeur dans les 
deux autres équations, on obtiendra 

a' — fy) = (\ /*' + a 2 = 0. 

Si de ces deux équations on tirait « et /? en p et 2 , on parviendrait à une 

«' P.. 

équation différentielle du second ordre; mais on trouve V^=-^ et 2 — a ' 
si donc ces deux conditions ont lieu, on a r= — 2 log(a + et P ar sUlte 



7-e'- 1 



11 suit de là que l'équation différentielle 



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»«K L'ÉQUATION WKFÉKENTlIiLI.E „ + „ + „ + „ _ ^ ^ ^ 

peu. être i nte - gr é e , « qoe le fllete , u . qui h ^ . , 

i-< intégrale sera (« + Â0 S " 

c cst-a-dire 



Pour trouver /r, il faut différentiel-, ce qui donnera 

"wd^-^-jm^ donc 

a ou en réduisant, 
L'intégrale de l'équation 
sera donc 

1 /• ^ 

dou Ton tire 



Supposons /r = a = < £-, on aura 



y =_ **-+--- - 



p 



Voy. Memorie délia società Italiana t. III, p. 236. 



Tome II. 



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• 



Y. 

SUR L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE (y + s) dy + ( P + qy + rf) dx = 



Cette équation peut toujours être réduite à la forme 

zdz + {P+Qz)dx = 0. 
A cet effet je pose y = « + donc eZj, = d« + /*fc + *P; clone en sub- 
stituant: n 

ou bien 

/ , a + 8 \ , , (.s + ^^ + cp + ^+^I)^: 

l z +"7 ~r H /*■ 

Pour que cette équation soit de la forme zdz -f (P+ Çz) = °> on doit 
avoir les deux équations suivantes: 

a + s =0, et «fc+-^-=0, 



donc 



Si donc dans l'équation (y + s)dy + {p + qy + ry 2 )dx = 0, au Heu de 
?/ on met a-\- fiz = — s-\-z e~^ rdx , on obtient 



frdx 

e J 



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"* + [ ( * ~~ * + » V**+( ? - 2, - *),/-. z]dx = Q 
^ - cet, Ration est rc , o]uble> ce]]e ià iw 2 ^ ^ ; ^ ^ 

ou bien si P-2. + m- = 0, 

Dans le premier cas on a 



d'où 



d'où 



cfe -j- | 2 — 2r« — 


<ls 
lias 


\ f rdX 7 

Y dx = 0, 


'=/(*»+-£ 




\ f riïX 7 

q\e dx; 


cas 










2/rtlx 7 

J dx = 0, 






t)e J dx. 



(y + *) <Jy + (qs - rs* + q ,j _|_ ry . ) ^ = Q 
a donc pour intégrale 

et celle-ci: 7 

^ + ^^ + ^ + (2,,+ J) y + i?/ j (/j: = 0 
a pour intégrale 

//=-.s-+^| / / 2/(^-: i , + 2)//^. 

On peut aussi donner une autre forme à l'équation 

En mettant y-f-« au lieu de z on a 

(y + *)Wj + <k) + [P+Q{t, + a)]<lx = Q- 

c'est-à-dire 

(.y + «) ^ + «^« + Pdx + Qadx + y{Qdx -f <fo) = 0 . 

4* 



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08 SUR L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE (y + » >h + <P + 'IV + r»«J *> - <»• 

En posant maintenant 



Qd. 

on aura 



dR 



( / :r _l_Ja = 0, ou a = — fQ<te, 

et en faisant - [Q<Jx = R et par conséquent <? = 

( y _j_7i) t / )î , + PJj: = 0, d'oîi t*y+-_jL-/î 
Si l'on fait Pdx = <lo, on a 

rf» + (y = °- 

Je. vais maintenant chercher le facteur qui rend l'équation 

y<J'j-\-(î>+w) dx==0 

une différentielle complète. Soit z ce facteur, on aura • 

(Le <h ' 

ou bien 

Soit z — on aura 

rte <fr ^ <fe „ dr 

= z — r — et -> = z 7 • 

r£r rf,r % % 



Donc 

»ï -<h-»>-;, -v 

Supposons r = « + on aura 

.-/(£+» f-H''+ »)/»-«=«. 

c'est-à-dire 

On en tire 

et par conséquent 

/?= — c, a=—cfqdx, — cp + q = 0. 
Le facteur cherché sera donc 



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■™ L'ÉQUATION DIFFlîltENTIELLK „ + + + „ + 

Soit maintenant r = « + /%f + ^ on ^ 

+-y -rfi)-(/'+^)(/»+2^)--g=0i 

donc en développant 

On en conclut 

- ~ "T/ = 0, ^ - /fy _ 2 y, 7 = 0, y + ,,/? = o, 

d'où - 

/ = r., P=2cfqdx, q+2cpfqdx = 0, 

a = 2e f dx{qfq,lx-\-j,) = 2efqdxfqdx - f î (l \. 
L'équation deviendra donc ' 

et la facteur sera e r , oîx 

Faisant ï= l e t écrivant — « au lieu de 2<î, ou a - qd *- = ^ et 
et le facteur deviendra 



29 



1 — « <*+9+<*F 

e 2 



Lorsque a = Q, on a 

et le facteur sera A e~ 2 ' X+J "\ L'intégrale sera donc 
ou bien 



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3() SUR I/ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE (, + .>*, + <, + » + *> 9 > ** " °" 

f y e~ J ** +X) ' dy + Fx = 0. 

Supposons en général 

r = « + «, ?/ + «22/ 2 + «3^/H 1 - ""^"' 

on aura en différentiant successivement par rapport à x et à y: 

f =« 1 + 2« î 2/ + 3« 3? y 2 H 

En substituant ces valeurs clans l'équation 

et réduisant, on obtiendra 

+ | <te » : 3 _ („ _ 2) — (n - l)2>«,_i ) .V" -2 + • • • 

On a donc les équations 

«te. =0 dan-i _„ <z « n= 0, '' rt ;- 3 - (« - 1) - = 0 etc -' 
tic 7 . J 

2 2 « 1 -3p«,=0, -2i»«. = 0, î+i«i = °- 

Voilà » + 2 équations, mais connue le nombre des quantités inconnues n'est 
qno „+l, il restera après l'élimination de celles-ci, entre p et q une équa- 
tion de condition, qui par conséquent doit avoir lieu pour que le tactem 
puisse avoir la forme supposée. En intégrant on aura 

«„ = C , a^nf^qdx, (n - l)/*-! qdx+ nfajtdx, 

a n _ s ={n-2)fa n „ î qdx + {n- l)fa n _ lP dx, . . . 
a._ m = {n-m+l) fa n _ m + 1 qdx + (n-m + 2)fa H ^.„pdx, . . • 
a i = 2fa î qdx + %fa 3 pdx 1 a=fa l qdx-\-2fa i pdx, q+pa^O, 
ou bien 

a n = e. «„_, = ne. f qdx, a„_ 2 = n (» — 1) ï'^ + w 7^ 7j: ' 



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«« L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE „ + du + „ + „ + <fc = (( ^ 

««.a = » (« - i) („ _ 2) cfedtfîdxjfa + » ( „ _ 2) c y; /(Zx y^, 

a . + « (» — 1) c /)> tfa; etc. 

boit par exemple « = 3, on aura ^ 7 ' 

«, = C, a a = S e Jqdx, a^ecJqdxj'udx + Zc jpdx, 
a = Kcjqdxfqdxfqdx + 3c y; /( ^^ + 6c fpdxfqdx. 
L'équation de condition deviendra donc 

tf + fic/i Jqdxjqdx-\- Sep Jpdx = 0. 

Soit r = — L__ on rfr = _"*JL^Ji«: rfr /ï 

« + A' tic (« + fyy ' («Tf/fy)» ' on aura dono 



. y „ y) _j_ ./*(/» + q;j) 

d'où en réduisant 



donc 



(« + #)« -r {a+ fyy~—'i=0, 

y* ( + P<1 ) + y ( £ - + 2 «/îî ) + « »j - /%, = 0 ; 



donc 



et par suite 

qfqdx d 



p d.c q j qdx j vU -r y q j qdx ^ dc — U. 



Si l'on fait q = — , on aura 



d'où Ton tire successivement 



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32 SUR L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE <„ + .)* + (!» + » + *• - »■ 

(C/î' + i)' 3-/^=0» P = fT — 

niais /* = -y.^» àonc 

'•'L^OV'- 

On rendra donc l'Squation 

1 

intégrable en la multipliant par le facteur e"+*, où 
Faisant 2=1 on aura 

et le facteur deviendra «— " . Si « = 0 et 6 = «, on a 

et le facteur sera e x ' x 

Supposons maintenant r = olog(o + on aura 

da , dp 

dr _ ^+ ^ *T = _ _ • 

"ite — « + fy ' % « + ' 

par conséquent 

. drt \ 



f =0, a^-afiq-pq^ a P /i + «2 = °î 

dx dx 



et en réduisant 

donc 
donc 



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SUR L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE (y -f s) ,\y -\-( v -f q y _j. ry t ) (lx = 0 33 

L'équation deviendra donc 
et le facteur sera 
Soit </ = 1 , on aura 

^~( tt -J-(* + *)-y)^=0, et le facteur sera ( + 
«nais l'équation étant homogène, la résolution ne présente aucune difficulté. 
Soit ensuite r = a\og(y + a)-t-a'\og( !/ + c ( '); donc 

'l't , <ln' 

<lv a 1 ,"- « , / 

* j >+« + y + «' j - + ( ,+„ + y + «' ) - 2 = 0; 
donc en réduisant 

^(«£+^'^-(« + «'+1)7) 

+ ' 7 ( w< ' J + ',t - ( a + "')y> - 7 '««' + «'« + « + «')) 

— j) (aa/ -(- «'«) — qua' = 0. 
On aura donc les trois équations suivantes 

" ,Lc + a ,/, -(« + « , + l)ï = 0 | 

+ et —(" + <)^~ï + + « + «0=0, 
^ («a' ~|- aV) -j- qaa = 0. 
La première équation donne 

aa + «V = (rt -[- rt'+l) y^c/x; 

«'=-* ^ -=('+' 

En substituant cette valeur dans la seconde et la troisième équation on ob- 
tiendir 



donc 



Ira 

Tome IL 



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34 



SUR L'ÉQUATION DIFFÉRFNT1ELLE (y -j- s) d» + ( p + IV + r»*J <** - »• 

[( fl + i(l + .)]/^-ï.]î- + .((.' + a+l)î--î)^^ 
(« + 1) ( 1 + 1 + ) 7 tfcfa - (a + 1) £« + («' + 1) <T 



— 2 
ou bien 



= 0, 



+ „[(„'+«+ l)«+î((a+l)^ -(«'+ 1))] - (« + «')!' 



et 



" ( rt + « (i + a ))jqdx - ;;; «+««]+ ^ [( 1 + 1 

Soit a + o' = 0, ou «' = — «, on aura 

donc 

<;« + « i «±i î= o, 

d.v 1 /^«tf a 

/• q dx r q <lx 

U JL_\ ' JfqdX f Jfqdx 



et eu intégrant 



lx (* J J qdx j 

j e </dx] 



donc 



(a+ \)f(fq<lc)qd.v 

a= ' ; 



c'est-à-dire 

a — 

ou bien 
donc 

maintenant on a 



(a+D\C+i{fqdx)*\ a +l 



= a+ ~ fadxA- 
a j'qdx ta J 1 ~ jqdx 

« -M 1 - l)J* tU + fU* 



=0. 



1>= — 



qaa 



ad -\- a' a 4 j'q </.r 



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SUR L'EQUATION DIFFERENTIELLE <»/ -f *) dy + ip + <i>J -\ ry*)dx = 0. 

Il suit de là que l'équation 

yiy + j 4 j q a, [ + 1 )' " ;!* (7 2'^* ] + ^ ( ^ 0 

devient intégrable quand on la multiplie par le facteur 

En faisant l'équation deviendra 

et le facteur sera 

l*+ ;(!+-:)+* 



35 



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VI. 



DETERMINATION D'UNE FONCTION AU MOYEN D'UNE EQUATION QUI 
NE CONTIENT QU'UNE SEULE VARIABLE. 



La fonction j'x étant donnée, trouver la fonction tpx par l'équation 

V x-\-l=ztp{fx). 
Soit x =1/7/ et fx = yi(i/-\- 1), on aura 

!+ W = f A"/'(.'/+ 1), 

ou bien 

c'est-à-dire 

donc en intégrant 

<M>!l = !J-\-"/JI, 

oîi /y désigne line fonction périodique quelconque de //, de sorte, que 

* (y -H) = ,*?/• 

Or V7/ = *, d'où l'on tire y — 'tpx, et par conséquent 

(!) yx = 'v« + z(>4 

Il s'agit maintenant de trouver la fonction 'fx. Cela se fait connue il suit. 

On a x = fj, et fx = y>(j;~\- 1); donc 

( 2 ) V ^+l)=/ W/ . 



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DETERMINATION D'UNE FONCTION etc. 37 

Voilà une équation aux différences finies HW, ]',„. f 

étant connue, on a ' ' tl1 ' 6 et cette fbl,cti " n 

X=,f, I/ d'„„ y = 'y Xm 

Par ce qui précède on voit que le problème est toujours résoluble et au'il 
h même une infinité de solutions. minore, et qu il 

Supposons par exemple f x = x% l^uation (2) deviendra 

Hy+i) = (y>y)\ 

En mettant ici successivement »4-l, v J-2 eh- * In T .i« 1 

r 1 ? !J-\ 6, etc. a la place de y, on aura 

V(y + 2) = [^(y-(-i)]. =: (^ ) -. j 

V (.y + 3) = |> (y 4- 2)] - = (»,»)•*, 
et en général /J VV,/; ' 

En faisant .y = 0 et y, (0) = „, on }l et par s|lite w==a „. m . 

1//// = *; donc d'oîi M » = . lo ff- T ., ct 



donc 



w lo g log. a- — log log n 

lOff M 



jogjog.r — lo<r log „ 



lOîT »/ 



L'équation (1) deviendra donc 

<px= .'«ff'oK-'i-loff / loglog,-- loglog„ 

~~ r 'M log» 

ce qui donne la fonction cherchée. 

Si l'on met x" au lieu de on aura 

<f(x")= l0 # l0 S >Sl0f^ . / loglog..-''— loglog« \ 

lo S" f X \ ' logw j 

= io * " + lo " Io * * 1»K « , „ / log « + log log .r - log I 0 g rt \ 

,0 £" X l " log» j 

= 1 + - l0fï - l0S * -. lo Sj?K « l ^ / i , lofe log - log log a | 
'"S" \ ' log» J 



= 1 +-<px. 



La fonction a donc la propriété demandée. Le cas le plus .simple est celui 
ou xy = 0 et a = e 7 loge étant— 1; on aura alors 

loglog." et loglog.* , log log,-« 

log» i„g W r — j- Rw - • 



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DÉTERMINATION D'UNE FONCTION etc. 

«1o 



2. 



Considérons en général l'équation 

oh F, / et V «ont des fonctions données, et où l'on cherche la fonction <p. 
Soit /x = y, et ipx = y t+1 , l'équation devient 

Soit w, = «„ on aura <py t+l = u„„ et par conséquent 

F(X, tt„ tt l + 1 ) = 0. 

De l'équation = * on déduit a- = donc en substituant cette valeur 
dans . l'équation y>x = y t+u on obtient 

(1) y«+i = V ('/&)• 

De cette équation on tire y„ et par conséquent aussi *=:/}/„ en fonction de t. 
Cette valeur étant substituée dans l'équation F{x, «,, «,+0 = 0, donne 

(2) -FC/yn ««+0 = 0 - 

De cette équation on tire u t = Ot = <f{y ,). Faisant = on trouvera 
/ = donc enfin 

(pz = 0('y z ). 

Exemple. Trouver la fonction <p détenninée par l'équation 

( <px y = (f (2.r) + 2. 

Soit <f,r = n, = ify n et V (2.r) = «,+, = y °" aurîl 

(«0* = «, + i + 2- 



On en tire 
Supposons 

donc 



et en général 



t* l+1 = ?/,* — 2. 



. 1 



2 I 1 

- 1 (C 

,.-1 . 1 



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DÉTERMINATION D'UNE FONCTION etc. 39 

Ayant x = y t et 2x = y t+l , on a y t + l = 2y n d'où Ton tire 



donc 



C 



n ^ Cette valeur étant substituée dans 1 équation 

<px = u t — a ~j~ a 5 

donne 

X X ' I 1 \ X I 1 \ X 

cpx = a c -|- a c = \a c -f~ \ a ° ? 

ou bien 

V l ' nr On a en effet 

(ô--j-ô--*)* = 6"*-{-ô ^4-2. 



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VIL 



PROPRIÉTÉS REMARQUABLES DE LA FONCTION y=<f.v DÉTERMINÉE PAR 
L'ÉQUATION fy </// — d,v Y (« —y) (a , —y) (a s —y) T. . (a m - y) - 0, fy ÉTANT UNE 
FONCTION QUELCONQUE DE y QUI NE DEVIENT PAS NULLE OU INFINIE 

LORSQUE y — a, a l , a 2 , . . . «,„, 



Soit pour abréger (a — — !/)•••[",„ — il) — H"Ji 0,1 auni 
En différentiant on aura un résultat de la forme 

//-// _ P fy _ P 
't*'* V ihy fy ? 

où P est une fonction qui ne devient pas infinie lorsque i//^/ = 0. En difle- 
rentiant de nouveau, on aura 

de même 

' /4 // <('/ _ ^ '/■'// _ ,> '/y A ,/ 

i >>,/ ' <U ~ fy ' iU'»'— 1 * dx ~ /y 

etc. 

où P, jP SJ l\ etc. sont des fonctions de y qui ne deviennent pas infi- 
nies lorsque ipy = 0. 



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PROPRIÉTÉS REMARQUABLES DE LA FONCTION etc. ^ 

Cela posé, considérons l'équation 

+ Wy{vQ l -{-v>Q 3 -\- v >Q ;i j [ ); 

ou Qu Q 3 , Q A etc. sont des fonctions m»' r, Q a • 

lorsnue wn~ 0 « onctions qui ne deviennent pas infinies 

y(«+f)=a+t,»ç,4.^ç 4 _|_ t ,.ç B+ .... 

0*, Çi, etc. sont ici des constantes, et « est li v.,1*,,,. i 

* = et qui est déterminée par l'exprelt * * ^ ^ à 

J Vff'y 

ufa-ta, „<„+„ « d0 „ c une fo „ ction pn . re de ^ Qn a ^ 

d'où l'on déduit, en mettant «_» au l ieu de Vj 

<p (2a — v ) = yv. 
Cela posé, on, a de même 

<P{2a l — v) = <pv, 

en désignant par «, l'expression f" .donc aussi 

<iP(2« — t,) ==9 ,( 2 « 1 —v), 
d'où l'on tire, en mettant 2a, — » au lieu de », 

<p(2« — 2a 1 + v)=<pv, 

ce qui nous montre que la fonction <p est périodique. De là on déduit en 
suite sans peine 

(p [± 2n (a — «,) -j- »] — f/ ,y 7 
w étant un nombre entier quelconque. 
On a de la même manière 

donc v [± 2» («-«,)+»]= y», 

d'où y[±2»(« — «,) + »] = ^ [±2«x (o — a.J-f- v] 

<p[v±2n(a — a 1 )±2n l (a — a,)] = 9 v. 



Tome 71. 



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42 



PKOI'KIÉTKS RE M A UQU A 1 JL ES L»E LA FONCTION et,-. 



En général on aura 

I, H „ », etc. étant des nombres quelconque entier, positifs ou negatds. 

° U blU1 (f o = <p (» + 2»« + 2« l « 1 + 2n a o, H h 2n m «,„), 

où B + ni + nd h«.» = °- 

Si Von suppo.se que # = 0, on aura, en faisant v--=k, 

< f> (k + 2na + 2 Wl «H H 2, *- a -) = °* 

On peut donc trouver une infinité de solutions de l'équation 

(px = 0, 

SîWOn £ = 2 ^ h "'» a »)r 

où h w ».=°- 

On peut aussi trouver une infinité de valeurs de x qui rendent y* 
infinie. En effet il suffit pour cela de changer y en j dans l'équation 

Ç.f'h' 1 !! 

x = | , - -- » 

et de chercher ensuite par la méthode précédente les valeurs de x qui ren- 
dent 2 = 0. 

Four éelaircir ce qui précède je donnerai un exemple. Soit fy=l, 
H nj= 1— y s = (l-y)(l+y)» uîl anra 

x = f , o = arcsin?/ 7 

donc 

y n sin # = (px. 

, -, i „ r r, — 7C on a donc 

Dans cet exemple on a a=l, a 4 = — 1, « — 2 1 — 2 7 



(;■-] 


i=*i 


il H 


(-;-<: 


i=»i 





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VIII. 



SU1{ UNE PROPRIETE REMARQUAMES D'UNE CLASSE TRES ETENDUE DE 

FONCTIONS TRANSCENDA NTES. 



Soit y une fonction de r, déterminée par l'équation 

s et t étant deux fonctions entières de x. Soit de même 

frydx = ivy, 



on aura en différentiant 



or 



au , 

/ ' = — .<??/ donc 



cLr 



Cela posé, soit v= v __ a , on aura 



.r — a (.r — a) a 



ou 



, en faisant t = <px et s—-fe>. 



.#.■ — (.r — o) 2 



6* 



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44 



SUR UNE PROPRIÉTÉ REMARQUABLE D'UNE CLASSE TRES ÉTENDUE etc. 



Or on voit sans peine que 

"-- f a (* - «) + <«—>•+• 

V _ «r« i i ( f" a i ( f ) "" a Cr „Ï 2 J- 

donc on aura 

( t r — a) 2 # — a 1 7 
d'oïi Ton tire, en multipliant par ydx et intégrant, 

viy = - cpaf -/a | +/ j^fa. 

Cela posé, soit Z= J J^* a ? on aura en différentiant 

<'« J (•<•'- 

donc en substituant 

= — ^ — . z -f y %cir. 
Soit z — qp, on aura en substituant 

y Ihjdx — viy = t f a .p ^ -f <pa . q J -f V q .fa. 



Soit 



on aura en faisant y=ifjx, 

Cl) 7 *.î/W <lp 



donc 



JJV a l l' a J V'« • <fa x — « 



donc 

l !' a J « r — « ' J (« — .r) (fa J J (fa . tfHi ' 

oïi Ton a 

B =W"-f"HW"«-tfa)(x-a)+[ i ]^ 

Le second membre de l'équation (1) peut toujours, connue on le voit, 
fitre développé en plusieurs termes de la forme: 



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«* 0» P R 0P,UÉ T É REMAUQIMJJLE CLA , SE xuÈs ÉTENDUE 45 

faisant 

<P* = a + ai x + a È x*-\-a s x* -j , 

f* = fl + fi l x + fl Ê x' + fc x * -| 

il est facile de trouver 

A =(n-\- l)a m *—ft 
on aura donc la formule ge'nérale: 

(2) -A^-Vx.wf,- ^-- 

,f,aj .,•_„ f f J (a-.r) (f u.,!<a 

Il .au, remarquer que les inhale, par rapport à x doivent êt ,. e ^ 

puis une valeur de * qui réduit à zéro la fonction <KC 0 , 

rapport à . dcpui, une valeur de cette varia.de uni rélTa 1 U (Z 

tion 

ifut 

La fonction ;y = >/,x étant déterminée par l'équation 
il est clair qu'on a 

.'/=e ; 

donc ;/ est de la forme 

e.v 

y* ~ (*—"*)« (* — rf, ^7 ' 

», etc. étant des nombres positifs moindre que l'unité, j, est une fonc 
tion rationnelle, qui s'évanouit lorsque tous les facteurs de cpx sont inégaux 
si en même temps le degré de fx est moindre que celui de <px. 

. Supposons maintenant qu'on prenne les intégrales entre deux limites de 
x qui rendent égale à zéro la fonction yx.yx, on aura 

(3) = ya2l( n + l)a m+ „„-fl m+a+1 ] fx^xdx. f^ Ja . 

J J (fa. \pa 

Si l'on donne de même à a une valeur telle que -L devienne égal à zéro, 
°=^[(»+l)«™ +B+â -/Wi] fx"fxdx.f amda . 



on aura 
(4) 



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46 SUR UNE PROPRIÉTÉ REMARQUABLE D'USE CLASSE TRES ETENDUE etc. 

Il y a un cas remarquable qu'il est important de considérer à part, 
savoir celui où 



on a alors 
donc 



* - = cpx . ifrx : 
rfr - ~ T (Vrp-) 9 



L'équation y.fx + V* % = ° devient donc 
donc 

L'équation (2) devient dans ce cas: 

Pour vérifier cette formule dans un cas particulier, soit <px=l — 
on aura a=l, «i = ^j <*2 — 

ce (pli est vrai, car on a 

f '!■'■ 1 ^«.r-i^yî-^vî^ 

J "(,«--,yr-"«» ~ 2vi^« n —i - vi -« 3 vi -** 

Si l'on fait <f,r = (\-x*)(l-(fx'\ on a «=1, «, = 0, « 2 =-(l+^ 8 ), 
a ., = (>, « 4 — c 2 , donc 

= * J V(i J V(i->, (ÛV) ~ ' J V(T^ 2 ) i J V(i^ 2 )(^« 2 ) 

(Jette formule' contient implicitement les propriétés remarquables des fonc- 
tions elliptiques que M. Legendre a données dans ses Ex. de cale. int. t. 
p. 134 et sq. 



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IX. 

EXTENSION DE LA THEORIE PRÉCÉDENTE 



Soit y une fonction qui .sati.sfas.se à l'équation 

< s> 7 *i> -Va . . . étant des fonctions entières de x. 
Soit de même 

ou aura en ditférentiant : 



or 



•loue on aura en substituant et égalant ensuite h zéro les divers coefHeiens 

— r r=,s7 — 





il If I 












7, T 1 




,/,■- 1 


1- ( "„ * 1 








,/y 




•'-!) 


(/"'->// 




(14' 


' S 's 





îens : 



dr, 
d,c 



V —H t — d ^"^ 

<Le 



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4 g EXTENSION DE LA THÉOKIE PRÉCÉDENTE. 

De là on tire aisément 

Î ./(v+iOi'^^+A*) , 
_,. = „,_*o+^o_... ± ^^:'ï 

Cela posé, soit <=^ a , et supposons que 



(3) 




.-, s'„ etc. étant des connûtes et S, fi„ «,... *» *r*»f f*£ 
d ; z; il « clair que S '„ est la ,nc,»e fonction de « que le* *.* 
différentiant on trouvera 



•^>=(_irro.+ i) (# -V 

donc la valeur de — r devient 
en faisant 



Cela posé soit 



J *— « 

on aura en différentiant par rapport à a, 

dz _ /' !/<h- 
da -J(*-«) 2 ' 

tUt t —'WJ (,— <«) 3 



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EXTENSION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE 

49 

or en „ lule i pliant , a valem . de ,. ^ ^ ^ ^ 

+ •A--.).+*.n*)7^ + ... + .^ wl) / i ^ i+ y^ (fc 

en faisant pour abréger 

On u donc l'équation suivante en z 

( 5 ) -/-/^ = ,' 2 + / , J + 6 , g ^ + ... +6 , ,^ 

^ = ^1 + ^ + ^3 H f-c-y. 

cette intégrale. On trouvera alors, connue on le voit sans peine, 

ou y',, est la même fonction de a que y 1W de r **■ „ j * 

tions rationnelles de «' „' „' ♦ i , , ' ^' des fonc- 
ornelles de y„ y,, ya ... et de lwm ^ ^ fa 

res de z'+Jçyfa de la forme 

„ _ W 

" — - . 

On a donc 

minée» par les équations suivantes: 

o = d (i e l 4_ 0 i ^ # . . . , «y- „ 



(7) 



- 1 z= -t^^ + ' /M_1 - y ' 2 0 4- «'""V» a _i , ''-y. 

«fa— «fa— »• + -&--*- M h e?.. 



Tome IL 



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48 



EXTENSION DE LA THEORIE PRECEDENTE. 



De là on tire aisément 



Cela posé, soit «= r L i , et su PP°s<™ <l ue 



«4 = --*- 

X il 

1 a — o> 



(3) 



— a 



2 5 



8 m-Y | 7> 
1 0? CL 



^ 7? 7? « des fonctions entières 

*\ s\, etc. étant des constantes et R, R„ it 9 ... «es 
d ; s; il est clair que est la même fonction de a que .s, lest de.x. A 
différentiant on trouvera 

donc la valeur de — r devient 



en faisant 

Cela posé soit 



J *— « 

on aura en différentiant par rapport à a, 

da — J (*-«)*' 



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EXTENSION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE. 

49 

or en r^-" l ; de >• p- « i,,^,,, „ obtiendra 

en faisant pour abréger ' ^ J 

On a donc l'équation suivante en 2 

Supposons maintenant qu'on connaisse l'intégrale comnlèto rf P Va s 
différentielle qui détermine la fonction y, et soit qUHtl ° n 

_ ^= c ^ + ^ + «3y, + --. + c ro3/m 

cette intégrale. On trouvera alors, comme on le voit sans peine, 

ou y „ est la même fonction de a que ?/ l'est de <r * „ , 

tions rationnelles de «' „' / i , , ' ^" ^ ' ' 1 des fo »c- 

res de / i / , , , ^ ^ **** 6t d <® Jetions entiè- 

îes de * -j-Jçydx de la forme 



On a donc 



-née?;: r^^ir on peut remarquer qu ' elles :; dé - 

0 = V/, - , rf- V, rf-y, 

«fa— + «fa— *» + - < fa-.-*» + - + - <£i wi^. l 

Tome II. 

7 



\ 



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EXTENSION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE. 

50 

0 0 S ... sont donc des fonctions de a seul, lom- 
bes quantités ff„ »«, "s • ■ __ g 

appliquer ce qui précède, supposons »=1 et 

! gi ,»= 1, on aura t 
__ 1 =7/'^!, donc — ^rï 

de même en supposant Xo = ° ^ 
donc l'équation (G) deviendra 

c'est-à-dire (T '/ i i 

la même équation que l'équation (1) du mémoire précédent. 
2. Si m = 2, on aura 

d'où l'on tire , ^ 

Or des deux équations 

, </-»/, , </ Y* i «'i f ,/ - y', ''f 2 UO; 



on tirera 



donc r , & 

par conséquent 

On a de même 



f *'i , i « _<^, et *t = -'-•-+*" (lonC 



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EXTENSION DE LA THÉOK1E PRECEDENTE. . 

L'équation (G) deviendra donc dans ce cas 

J _-. = - y ,</'/,._-„ • :.; « / • • 



51 



e y i 



+ v\ f [ dn • S ' 1 « * »/' 4-,/ T /'' : <h > 

ni . I r (la C*'\ ■> 



da 



+^/*("!-^)- / ' : ^.-^(*î-^) 



, »///' /'</« ,., ,/„<> /V/<( ' /<l 



f < da 
•> ê, 



ou bien en faisant 
X- 



et 



/ , _<J*. ] M _i_, 1 i y*. ;> , ? 



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(8) 



EXTENSION DE LA THÉORIE PRECEDENTE. 

| jj>^ n V yda dx -|- y'J j J* tyda dx 

,r« <Za , »f« 4 *» 

+ //. </J > • (? -- li5 - y . '/ J ^. ■ (^-«y . 
4-;/V/ 1 J/ i - ( .,._ (() .-^'/J 8 ' s -(^-«) i 

Si l'on suppose ., = 0, -, = 0 pour * = et * = x», on aura la formule: 



(9) 



Dans la formule (8) on peut faire jy == > jf' + r/^ 'i" + "-~Z T If" 



8oit 

«„ «,...«. étant des fonctions de «, cherchons s'il est possible de faire en 
sorte que z satisfasse à l'équation . 



P z + y L = J w dx + mj ^ Vy <^ ' Wm_2 <<•'••"• â *—«■' (Lvn " i ' 

En différentiant l'expression de z par rapport à a, on aura 

donc en substituant on obtient une équation de la forme 

f rydx = x, 



ydx; 



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EXTENSION DE LA ïllÉOKIE l'KÉCÉUENTE. 



53 



où 

[jîa. j- y («„_, + —)] />" _ r(». + l) _ 

'*' ' (jr — <()'" ' " (.1- — (/)"' + 1 

Or on a vu que 

on a donc les équations suivantes: 











= «, 






= 0, 






= 0, 


*'* -. -h /*«. -f - /' («- i + '1? ) = 








y "» + « 


</,/ 


«• = *. + 6 "-+l ■— 





Donc 
ou bien 



s' ff 

en faisant pour abréger — '*=à n et — y~ f - ^ e ^ 011 ^ re 

* i A*» +2 . 

donc 

Comme on a m -j- 1 équations et m -\- 2 indéterminées, on peut faire e con- 
stant; alors on a 



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EXTENSION I)K LA THÉORIE PRÉCÉDENTE. 

04 

Il est clair que «. est de la forme 

+ e »J. +1 -2e- da -- + ,/«* 

En faisant n = 0, on aura 

+ ' «» — Jf "rf« r da* 

,<W, , „ d'à* d*ô, 
+ 8 * lia ,W -1W 

-j- 

,dd- , »»(»«- 1) ,„_« rfS > + ^"*"- 

+ *-«T. — 'da " + " 2' ~ <wr " ^ 

Cette équation détennine la fonction y. 

En substituant au lieu de *. sa valeur - *W„<o, °» «™ ^ 

équation linéaire en u>. 

Ayant ainsi trouvé tontes les inconnues, on a 

r[Z— H +/«"'*• 

d'oii Von tirera la valeur de z. 



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X. 



SUR LA COMPARAISON DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 



Soit y une l'onction algébrique quelconque déterminée par l'équation 

(1) 0 = a + a ï y + a 2 y*-\ \-a m y% 

«, « J? a 2 . . . étant des fonctions entières de x. Soit de même 

(2) 0 = q J rqil/ J r q$J f + , h } f _| [_ ^ , 

7 15 '/a etc - étant des fonctions entières de x et d'un nombre quelconque 
d'autres variables, savoir les coefficiens des diverses puissances de x dans les 
fonctions q, q t1 q 2 , etc. Soient a, a n a 27 « 3 . . . ces coefficieiis. Cela posé, 
on peut tirer des deux équations (1) et (2) la fonction y exprimée rationnel- 
lement en x et en a 1 a n a t etc. Soit r cette fonction, on aura 

(3) ,j = r. 

En substituant cette valeur de y dans l'une des équations (1) et (2), 
on aura une équation 

(4) , = 0, 

s étant une fonction entière de x, a, a n a 2 . . . . 

Cette équation donne x en fonction des quantités a, a u a s etc. En 
dittérentiant par rapport à ces quantités on aura 

la caractéristique d' étant uniquement relative aux quantités a, a i? a 2 etc. 



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56 

De là on tire 



SUR LA COMPARAISON DES TRANSCENDANTES 



à* --= - -* 



•l'a 

d» 
dx 



n- r * fin x\ où f désigne une fonction rationnelle de y et x, 
et en multipliant par J{jf, x), ou j utsi D . 

dx 

* on a mis r au lieu de y dans le second membre On aura donc, en 
développant la différentielle d% une équation de cette forme: 

(G) M x ) dx = v x • da + ^ x • J(tl + v,x ' da * ^ ' 

vx w x etc. étant des fonctions rationnelles de x, a, a v a, etc. 

Cela posé, soient *„ *„ *, . . . *. 1» « de l'équation s = 0; on 
aura, en substituant ces valeurs au lieu de x dans 1 équation (G), « équa 
tiens semblables qui, ajoutées ensemble, donneront celle-ci: 

M, aji)^i+/(y» Kflf-' ^ 

= + <px, + y*, H h V^J Ja 

+ + </^* + ^ i ^ ^ <7ftl 

+ + y**» + v»*» H ^ f/<la 

+ * 

Xt)^ +/<*. *.) *** + • • • ^ ^ = ^ + + Et d<h + '7 

où tf, Ii',, i^...sont, comme il est aisé de le voir, des fonctions rationnel- 

llli'n— l'e' premier membre de cette équation est une différentieUe 
complète; le second membre est donc aussi immédiatement nitegrable. 
désignant donc 

f [li da -f R, du, + E s da 2 -j ) 

par ç, il est clair que 9 est une fonction algébrique et logarithmique de 
a, «„ a, . . . . 

On aura donc, en intégrant et désignant J f(jj, x)dx par .//.t, 

(7) •/'•'-•i+v^ï+v^H hV'*»= c '+^ 

Cette équation exprime, comme on le voit, une propriété de la fonction 
xpx, qui en général est transcendante. 



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SUR LA COMPAKAISON DES TRANSCENDANTES. 



Les quantités x t , x 2 , x s . . . x n étant des fonctions des variables indé- 
pendantes a, a n a 2 . . . , il est clair qu'en supposant que le nombre de ces 
variables est //, on peut regarder un nombre t a des quantités x tJ z 2 , x 3 ...x n 
comme indéterminées, et les n — fi .autres comme des fonctions de celles-ci. 
On peut trouver ces fonctions de la manière suivante. 

Soient x x , x 21 x 3 . . . x ft données, et faisons 

.p — (x — x 1 )(x — x 2 ){x — x 3 ). . .{x — 

on aura, en divisant l'équation 5 = 0 par une équation ^ 

s' = 0, 

dont les racines sont les quantités cr >+1 , ^ +2 , . . . x n . 

Dans cette équation les coefficiens contiendront les quantités a, a n a t 
. . . a i] il faut donc exprimer ces quautités au moyen des quantités x 1J x 21 x 3 
. . . Xp. Cela peut se faire de la manière la plus facile en mettant dans l'é- 
quation (2) au lieu de x successivement x n x 2 , x 3 . . .x^. En effet, on ob- 
tiendra alors /li équations linéaires en a, a ly a 2 ...r/ // _ 1 qui serviront à les dé- 
tenniner. En substituant ensuite ces valeurs dans l'équation s' = 0, on aura 
une équation du degré n — /*, dont tous les coefficiens sont des fonctions des 
quantités x ly x 2l x 3 ...x M ] par cette équation on peut donc déterminer les 
fonctions a^ +1 , x fl+2 ...x n . 

Il n'est pas difficile de se convaincre que, quel que soit le nombre fi y 
on peut toujours faire en sorte que n — ft devienne indépendant de //. Au 
moyen de l'équation (7) on peut donc exprimer la somme d'un nombre quel- 
conque de fonctions de la forme ipx par un nombre déterminé de fonctions 
de la même forme, savoir: 

Vx t + xpx 2 -| \- xpx^ = C+ p — (ipz, -{- ipz 2 -f \pz 3 -\ [- xpz v \ 

en faisant 4 

a> +4 = 3 4 et n — [i = v. 

On peut déterminer la constante en donnant à chacune des quantités 
x n x 2 . . . x^ une valeur particulière. Alors la formule devient 

(8) y Xx -f- ipx 2 -f- . • • -\- ipx^ == ç -f i(jx\ + ï//.r' 2 -\ ■ -f (//x^ 

— (/— i//^ — t/>z 2 — • • • — \pz y 

+ Vz\+yz'î-{ h V*'o 

en désignant par z\ la valeur de lorsqu'on donne aux variables as,, . . . 
^ les valeurs x' l7 x' % ...x'^ 

Tome II. 8 



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58 SUR LA COMPARAISON DES TRANSCENDANTES. 

Dans le cas oîi fi est plus grand que v on peut trouver une formule 
beaucoup plus simple. En effet supposons qu'on ait entre les quantités 
x n x 2 . . . Xp les relations suivantes: 

on aura aussi 

fx l -{-ipx 2 -\ \-xp X/JL = c-\-i>, 

ou bien 

yx l -f- H h V**V = (f — (>' + V^'i + Y x '* H h 

Parmi les quantités # n x 2 ...x^ u — v sont des variables indépendantes, 
les autres sont des fonctions de celles-ci, déterminées par les équations (9). 
On peut donc faire 

(10) ^x' F+1 = 0, tpx' v+2 = 0...yx' fl = 0, 
et alors on aura 

(11) xfjx, -f ipx 2 -| (- i/^ = () — (>' -f v ; ^i + H>*\ H h V x '*- 

Les quantités o^, x 2 , x z . . . ^ sont liées entre elles par les équations (9), 
mais comme ces équations contiennent /i -[- y indéterminées, savoir 

X t j x 21 x 3 . . . x^ c l7 c 2 , c 3 . . . c,,, 

il est clair qu'on peut regarder les u quantités x ly x 2 , x 3 . . .x^ comme varia- 
bles. Les quantités x' 2 , x\...x' v se déterminent par les équations (10). 
Pour cela soit 

Z k ~ ( fk (#15 X 2i X 3 • • • X /u)l 

on aura les équations 

Cl = cp, (x\, x' 2 . . . x'J, c 2 = cp 2 (x\, x\ . . . a;',,), . . . c y = cp y {x\, x\ . . . x^) 
Cl = x 2 . . . x u \ c 2 = (tf 17 x 2 . . . a^), . . . c y = <p v (x n x 2 . . . *,,). 

Or les équations (10) donnent 

en substituant donc ces valeurs, on aura les v équations suivantes: 

x 2 ...xù = <p l {x\, x\...x' r , /? n /?,.../?„_,.), 
^ if> 2 (x t , X 2 . . . z= y, , x' 2 . . . a-;, , . . . f^_ t ) , 

( 12 ) ^ x,...^)= y ,(x / l , * 2 ...<,, ft, /? 2 .../v;j, 



qui donnent les valeurs des quantités x' 3 . . 



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SUR LA COMPARAISON DES TRANSCENDANTES. 59 

Ces équations sont très compliquées; il est plus simple d'employer la 
méthode suivante. 

En supposant dans l'équation (7) n = fi -f- v et x fl+1 — c n a^ +2 = r s , 
. . ,x n = c r , cette équation deviendra 

oii les quantités x n # 2 . . .x^ sont liées entre elles par les équations suivantes: 

(13) 0^ = 0, 0x 2 = Q, 0.r 3 = O, ... 6x fl = Q, 

(14) 0^—0, 0c* — 0, Oc, = 0, . . . 0c Y =0. 

Cela posé, si Ton fait x 1 =x' i , # 2 =:a;' 2 , . . . a; y :=a/ y , et x' v + 1 = fi 1 , 
x \ -+8 = A? • • • x'tA = ftn-r, on aura 

où a^, #' 2 . . . x v sont déterminés par les équations 

(15) 0x\ = 0, 0x\ = 0, 0x' s =0, . . . 0x' y = Q, 

(16) »/?i = 0, ^ = 0, 0& = O, . . . tf/V, = 0, 

(17) 0^ 0^=0, 0c 3 =O, . . . 0C, = O. 

Désignons maintenant la fonction .s par 0 t x^ il est clair qu'on aura aussi 
0 x x' k =0, 0^=0, 0 x e k = 0, 
pourvu que a 7 a n a* . . . soient déterminés par les équations (16) et (17). 
On aura donc 

0, x = (ar — aj'j) (a; — a;',) (a: — x\) . . .(x — x' r ) 
X fl l ) (x - /?,) (*-&)-.. (* - /V><) 
X (s — fli) (a — c,) (x — r,) . . . (as — c„). 
En divisant l'équation 6 x x = 0 par le produit 

{x — ft x ) {x — ft 2 ) . . . (x — /?„_„) (x — Cl ) (x — c 2 ) . . . (x — c r ), 

on aura une équation du degré r dont les différentes racines sont les quan- 
tités x\, x\ . . . x' v . 

Dans ce qui précède il faut remarquer que si plusieurs des quantités 
P11 ftt e ^c. sont égales, par exemple si 

8* 



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60 



SUK I,A COMPARAISON DES TRANSCENDANTES. 



on aura, au lieu des équations 

celles " ci: ^=0, ^=0, a=o,... »r'A=o. 

La même chose a lieu, si quelques-unes des quantités x„ s,...», sont 
égales entre, elles. 

Ayant ainsi déterminé les quantités x\, x\, x\...x'„ en fonction de 
c A r 2 , «, . . . c r , il est clair qu'on peut regarder ces quantités comme des va- 
riables et déterminées par les équations (13) et (14). Les quantités x x , x t . . .x„ 
deviennent alors indépendantes et x'„ x' % . . des fonctions de ces variables. 



Ajrptication de la théorie précédente. 
Je vais maintenant éclaircir la théorie précédente par plusieurs exemples. 

Soit 

Q = a-\-a 1 y. 

Dans ce cas on -a m=l, et par conséquent l'équation (2) devient 

(18) 0 = q = a -f OyX + atf -\ h a^x'" 1 -f x n = s, 

d'où l'on tire en différentiant 



(19) 



da + x<Ut + .r 2 </« â H h .r"- 1 <^,,-i « 

!jdx= s ~ „ 



dx 



OU 



En désignant donc ^c/j; par l'équation (7) devient 
fXi _j_ v ,x 2 _|_ ^ -| 1- i(>x„ = (>, 



<fo 
da: 



L _i_ Xl 3 J U 

, ,z., 4 t- ,/«,„ n r 



dXm 



da 



(20) 



+ 
+ 

+ 



'fo-2 ' 



dit I Ci« 2 I • dSn i n 1 

dx 1 tlx^ dx» J 



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SUU LA COMPARAISON DES TKANSCENDANTES. 



61 



Comme le nombre des variables # n x 2J x 3 ...x n et celui des quantités 
a y a n est le même, toutes les quantités x 11 x 2 ...x n sont des va- 

riables indépendantes. 

De l'équation que nous venons de trouver, on peut déduire deux for- 
mules qui seront d'une grande utilité dans ces recherches. Soit d'abord 
y = x"\ on aura 

La formule (20) deviendra donc 

= — f\ (P» da -f - P m+l da t -f- P m+Î Ja 2 ^ \-P m +„. , da n _ 

en faisant pour abréger 

-,.771 m -,,771 7/» m 

(22) P = 1 4- - 1 -4- --»- -4 L- " . 

dx t dx± dx^ dxm 

Maintenant le premier membre de l'équation (21) peut s'exprimer par 
une fonction rationnelle et entière des quantités a, a 17 a i .. g a H _ l . En dési- 
gnant donc cette fonction par — ~- ^ il est clair qu'on aura 

p 1 dQm+i 

En faisant m = 0, on aura 

Or ^ t =0^! — [— — |— ;y? 3 — j— • • --\-x„ — — a„_,. La fonction Q t ne contient 
donc que la variable a„_±. On mira par conséquent 

P o = 0, P 1= =0, P, = 0, ...P^, = 0, P„_, = l. 

Soit maintenant ?/= > — *-^r-, on aura 
#/ (.r — or) 1 " 7 



donc 



fydx = - • ( -^4pi = V'*î 
. 1 | 1 4-— 1 + L-.) ' 

m — i\(x i — a) m - 1 ' (.Vi — a)"- 1 1 " 1 (.»•„— a)"— 1 / 

=/(P«? rfa + «fa, 4" H h da n ,) , 

en faisant pour abréger 



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f>2 SUR LA COMPARAISON DUS TRANSCENDANTES. 



p«>- < L- - -V -1 1- _ 

Si l'on fait 

on aura * 

Si w = 1, cette équation devient illusoire; or dans ce cas on a 

fydx = \og(x— a\ 

donc si Von fait 

t = (x-a)(x,-a). . .(x-a) = (- !)"(« + «,« + «,«*+• • • + ^«-^«"X 



on aura 

,/< 1 



Dans l'équation (20) la fonction p est en général une fonction logarith- 
mique et algébrique, mais on peut toujours établir entre les quantités x, 
etc. des relations telles que cette quantité devienne égale à zéro. 

En effet soit 

0 = J -j- (Î, z + o> 2 -| 1- «, (a + a, x -f a 2 x* H h + ^ = S ; 

on aura en différentiant 

0 = | * j _|_ tti ( J rt + * J„ , 4- x' da 2 -1 h Jrt « ->)» 

donc - , , \ 

« («fa + .r rfa, + H 1- .r'<^</«,,-j) 

ydx — — 

,lx 

et 

V'Xi + V^H hV a; n = C7 

^ étant en général une fonction entière, qui s'évanouit lorsque le degré de 
a est moindre que celui de a t . Dans ce cas on a donc 

(23) ysi+V^H l-V'z»^ 61 - 

Les quantités z„ x„ x 3 . . .x„ sont liées entre elles par les équations 

f.T 

a + a lXl -f -j h o^œf- 1 + *f = ~ ' 



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SUR LA COMPARAISON DES TRANSCENDANTES. 

a -f a lXi -f a îX l -| j_ «^j-i _|_ x « A 2 



63 



« + «^-f-a^-j 1- VlX . r . _f_ ^ = A» ? 

où l'on a fait pour abréger 

= et -(J + ^x + ^ + .-.-f.^ l3 ~-«) =/a5 
hn fusant dans l'équation (23) Xl = x \, Xi = x ' t etc. on aura 
V*. + ^ + • • • + = «/< + + • • • + Y< . 

par ooH éqUati ° n °" PeUt reg ' ai " der â > ete - «™™ variables- 

pai conséquent on peut regarder t m- „ j . , K '' 

dint^ * • i« 0 «»uei x 1? je,, a^... comme des variables indépen- 

dantes, et faire en sorte que V <. = 0, V<_, = 0. . . . w =0 

Un aura donc la formule 

(24) y Xl -f fXi + ... + y r%== ^ + ^ + . + ^ 

Soit par exemple « = 1, « l=A . on aum lfJX= _J^ = _^ 

0 = -f a* -f_ _j j_ a ^ iX „ ^ 

doue si l'on fuit ^ = x', = ... = on aura 

par conséquent ^ = ; W ; 3 . . • 

log^ + log .<* + •• . + log^ +1 ^loo.(. Cj ,. ^ . 
comme on sait. 

Soit maintenant «=1, r/i=1 _|_^ ou aum 

i//a; = — arc tang 

°=*+^i+(i+*i f )(«+*,), 

o = j+j 1 ^ + (3+ar;)(fl+a . )| 

arc tang x t -f arc tang x% -f- arc tang a; 3 = C; 
x iX , X . 3 = -d-a- ^+^-1-^ = — „ ; a: ia?1 + a;ia j,4-^ ai=:|yi + 1 . 
donc 



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64 sur LA COMPARAISON DES TRANSCENDANTES. 

| *i + X* + X » — X l X * X * = ^ 

Soit pour déterminer 0, x, = x'„ x^ — x',, x t = x' n ou aura 
" C = arctangx' 1 , + ^ = *, l + W = -*i- 
Des deux dernières équations on tire, en éliminant x'„ 

"Si 



v 35 1 î 



or les équations (25) donnent 

S x\ + #d + ^^—aia^xz ^ 
^7 x i — ,Vi — x * * ra 

donc en substituant on aura * + * + 

arc tang -J- arc tang x 3 + arc tang :e 3 = arc tang ^ _ — ^ ^ - _ ^ ;1 . 3 ' 



Pour trouver la valeur de dp, il faut, selon ce qu'on a vu, exprimer 
en fonction de a, a x a,. . . des fonctions symétriques de a? n x t . . .x % de la terme 



Ai i A* i . . . i ff^ . 
«z*, ~r tfc a i ' ' ' ~r ' 



mais comme cela est en général très laborieux par les méthodes ordinaires, 
je vais développer quelques formules qui sont d'une grande utilité dans ces 
recherches, et qu'on peut déduire de la théorie précédente. 

Soit, dans ce qui précède, y une fonction rationnelle Jx, on aura m— , 
et par conséquent 

Q = q = a-\-a i x + a 3 x i -\ \-a H x" = s = <px, 

d'oïi l'on tirera en ditt'érentiant 

fa j x _ da + + *^«H- • •• + * "<&». y 

donc l'équation (20) deviendra 



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SUR LA COMPARAISON DES TRANSCENDANTES 

65 

— d(f = du, [ . 4. A I . , .Un \ 

Cela posé, 80i t U " ^ + + )• 
>^ = ^ + ^log(.-^ 

U quantité ^+^,+ 4^ ^ ^ > 

de ' i * '"'f <™ Cette ^ une fonction rationnel 

e «, • > «, ■ • . «, Soit cette fonct,on. La quantité (x.-^-â) ( x - â) 

est la même chose que (-l)--f ; on aura donc * 
d'où l'on tire ^ + ^ loga,,), 



on aura aussi 
donc 



= - f 4 ±: -a 4. . *: -a. \ 



Le signe + « lieu, si m = «, et le signe -, si m<n. 
Si l'on fait Ȕ = 0, on aura 

A J_A , , fa;, _ dp A 

De l'équation (26) on tire aisément celle-ci 
(27) Fx^fxy F.r s .fa Fa ?: fx s , , 

9 



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66 



SUR LA COMPARAISON DES TRANSCENDANTES. 



=-/»£- a£- a* 



1 du,. 
En faisant fx=\, on aura \px = x, donc 



p = « l + a; 1 + x 8 -l j-a—— 4 = 0; 



donc 



aî 



Il suit de là que 
(28) < i ... i <__o 

si m est moindre que n — 1 ; que 

(29) 
et que 



1 --4- 8 -_[_... J_ n 



(33) 



Si Von fait/.n= , on aura ^ = 0, -4=1, donc 

(3 1) , F *> F ? - + . . . -u - Z'- _ _ A- _ *? . 

De cette équation on déduira, en ditt'érentiant m fois de suite par rap- 
port à ô*, 

(39) - _ i _ *V _ + . _ F *. _ JL 

V (*i-^r +1 9 , '*i~ r +1 </'- r * ' " r (*»-tf) m+1 y'a-,,~ r(»«+l) * (<<<*)" 

ou bien, en développant le second membre de cette équation, 



/■('»+!) 



d "^F*-m dm ~ l ^' ) <lFÔ 4 . '"(-D -(«+1) dm ~H*)\ 
dd»> . 1 </<)'"-' <W 1 l.2.3...(m-u) ' ,W» * M— « 



Par exemple, si //t — 1 , on aura 

(.«•,-<>)* . ,/>'*, 1" (^-tf) 2 . r/.'.« s 1 (7,— <ï) r ."r/'^ ~ «/<)' 



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XI. 



SUR LES FONCTIONS GÉNÉRATRICES ET LEURS DÉTERMINANTES. 



Soit <p(x, y,z...) une fonction quelconque de plusieurs variables x y z 
on peut toujours trouver une fonction /(«, v, p.. .) telle que " ' ' 

(1) vto y. *■ ■ .)=/»- + " + * + -/(«, t-, P ...)dudvdp. 

Dans cette équation j'appellerai y la fonction génératrice de /, et / la déter 
minante de y, et je ferai usage des notations suivantes: 

(2) 1 V( x > f> 2 - ••) = %/(«, ?>...) 

!/(«, p...) = Dy(.r, ?/, 2...). 

Cela posé, considérons d'abord les fonctions d'une seule variable, et soit 

<P->'- — fe rx fv.dv, 



on aura 
(4) 

Soit de même 
on aura 

donc 



<px = fg.f v , 
fv = D (px. 

( p 1 x=fe x °f l v.dv, 
<px -\-tp lX =f s» (/» _|_/ lt> ) 



9* 



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SUR LES FONCTIONS GÉNÉRATRICES ET LEURS DÉTERMINANTES. 



(?) 



or f v = D (f X) fiV — Y) (p Y x , donc 

D(cf x -\- (p x x) — Y)(f>x -\- D 
On aura en général 
(5) D((px -\-(p x x -\- <p*x -\- (p$x ~\- • • •) = D^x4-D ( / ) i^--hD ( / 1 2 x *~hDy 3 a:-|-- • • ? 
donc aussi 

(«) % (/" +./> -VU- + ■■■)= fg/»' + fg/.» + fg./> + • • ■ , 

En mettant a; -(-a au lieu de îc, on aura 

(p{x-\-a) = f e" fi"»/» . dv, 

I I)y( J c-|-a) = c nr l)ya;, 
1 fg (e- D ya-) = y (s + «) = fg (fi" 1 »- 
En différentiant l'équation (3) on aura 

donc 



donc 
(») 



1) 



(9) 



fg = fg (f D y >s) = ^ • 



De la même manière on aura, en différentiant l'équation (?>) n fois de suite, 



donc 
(10) 

De même 

(ii) 



fg(^)=fg•(r"l) V )x)=' / ( , ;^ 



D ( f"<pxdx u ) = v-"fv = v-" \)(px, 

fg (tr"fv) = fg (»~"Dy = f"<pxdx". 
En prenant la différence finie de l'équation (3) n fois de suite, on aura 

A\ <px = f v rx (« ra — l)"fv . dv, 



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SUR LES FONCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERMINANTES. 



69 



en désignant par a la différence de X] donc 

!X)J n n <px = (ë"— iy/r, 
D^:(ya:) = (é~~l)-/p, 
fg W- = 
On trouvera de la même manière 

| D Jï A*;. . . . d'tp (*+/?)] = « ,V V (<?"" — 1)" («""' — 1 )"' (<?'"" — 1)"' . . 

^ 13) l fg[e'^-( C "'— = //:^::^::...d-y(x+/î). 

Boit en général 

(14) * (y x) = A n , a - ,y d J- > + A n ., a . - V i,7 + • • • ' 



on aura 
donc 

Soit 
(15) 

on aura 
(16) 

Soit de même 
(17) 



D (d<px) ==/» (A„ >a v"c"' +A n . tU . »-'c™'+ • • •)• 
]) ( fi<p x) = XfJV .fv = ifiv . I)<px, 

I 

[ D («?,</> .r) = tfiV . Dtpx, 
\) (iï l( px) = i/i^v A)<px, 



on trouvera aisément 



et en général 



V(â /t <px) = il> f ,v.ï)(px, 

1) ((Mi (px) = fv.y l v .jv, 
1) (â<y t (y a (px) =z%pv .^v . ip 3 v ./?>, 



(18) 



D (J^ J, . . . âptpx) = fv . tf^v . xp s v . . . v„v ./», 
D((y , '</)a;) = (v«) n .D9 :r î 

D («T^'^"'. ..â;>'(px)={xf>v) n (i(> i if'(f i v)'": . .(w»)VDya:, 



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70 



Application de la théorie précédente* 

La théorie précédente des fonctions génératrices est très féconde pour le 

développement des fonctions en séries. 

Supposons par exemple qu'on veuille développer (p(x-\~a) suivant les 
coefficiens différentiels de (px. La déterminante de <[(-''-}- a) est &*JV) 

(l n (i ,r . . , 

et celle de f ' ti sera tffo. 11 s'agit donc seulement de développer r ' bd ter- 
mes de la forme A tl v n \ or on a 

«" = 1 + "« + «■+ nn> «*+••• + nfc ""+••" 

doue 

e va fv =fv -f »/« + ^ ^ -f j-^-g v z fv -| 

En prenant la fonction génératrice de chaque membre de cette équation, on 
aura, en remarquant que fg {e va fv) = q> (x -\- a), et fg(tffv) — ~-jj~ ? 

V (* + «) = V* + « ^ + Ha * ' H ' 

comme on sait, 

Supposons en général qu'on ait une relation quelconque entre plusieurs 
fonctions de la forme ifjv, y^v, . . . etc., composée de termes de la forme 

et désignons cette relation par 

(19) SA^ um%wmp {yv)* forajT' . . . (tpvrf» = 0. 

En multipliant par fv et prenant la fonction génératrice, on aura 

c'est-à-dire 

(20) ^ w ,n I ,« î ..., < /V^yrwV^...(y;^,- = o. 

Cette équation exprimera une relation générale entre les différentes opéra- 
tions indiquées par Les lettres <V ? iï n ()\,, . . . . 

Problème L Soit (Tq)a; = y (x-|-«)-|-ayx, et proposons-nous de déve- 
lopper ^"ijpa! en termes de la forme A m </ >{x ~\~ ma). La déterminante de 
y(x-f-a) étant i ",/'\ ét celle de (f .<\ fi\ il est (dair que 



donc 
on a aussi 
donc 



SUR LES FONCTIONS GENERATRICES ET LEURS DÉTERMINANTES. 71 

donc Dâ V x = (*• + «) A 

DJ "^ = (e t ' a -f-a)«/ v; 
ayant de même V<p(x-\-ma) — „<•»« A. ;i . , 

les puissances de aï; JT. A <«"+«)" ~ 

J -^=«>*+»«-- y ( aî+ „) + K»-J) a ^ V(x + 2a) + > . m . 

(a + e"»)» = e »~ 4_ na j.-i> « _|_ « (^1) a2 e( „_ 2Ka _j_ _ _ >? 

â- 9X==v ( , + WK) + na v [x + (B _ , } a] + » o. -i) ^ ^ ^ + (b _ 2) aj + _ 

En faisant a=-l, 0 n a = donc 

^ ^ = y (* + M „) _ „ y f, + ( „ __ l)a]+ niu-V) ^ [x + ^ _ ^ 

iW>/^„ U. Soit ô 9 x = v {x + „) + , ( 

et proposons-nous d'exprimer l'opération par On a ^ 

Il faut donc exprimer (,". + „,)■ en tenues de la forme 4. (*- + «)-. goit 
t -f-a 1=< y, e'"-f-a = 2, on aura 

donc «- = (y-«,)^=(3-«)^ 

M, 

jf = («l+(*-a)«)", 

donc JT = ^^, 

Soit par exemple a l = a } on a 

!T = (<h-a + zy = (a l -a)'+n( ai -a)r l z + - ■ • = f+n(a 1 -a)*^+. . . , 
donc 

*î <p* = („, - a)- ^ + n (a t _ „)-. * y x + (Mi _ a) »-» J>x + . . . , 



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72 SUR LES FONCTIONS GÉNÉRATRICES ET LEURS DÉTERMINANTES. 

tfj tpx = d"(pz + n {a x — a) d"- 1 <px-\- (a, — af â n '^(px -\ 

En faisant a x = 0, on aura <)' " <p x = cp (x -|- na), donc 

cp (x -f wa) = (?"(/)* — na d n ~ l (px + a « x ; 

si a = — 1 ? on aura 

tf {x -f na) = J» a cpx + n z/r 1 <p x + x-| 

Problème III. Soit (tyx = y (se -f- a) — a</)X et (px= cepx^k^j^ 
et proposons-nous de déterminer par (T. On a 

D J\ y # = (c -f- hv)fv , 

donc 

DJtyx = (c + fcy)7V, 

or 

il faut donc développer (c-\-kv>) n suivant les puissances de e va — a. Soit 
c-\-lcv = y, e va — a = z, on aura 

1 k 



ÎT 

donc 



Soit c = 0, o^l, fc=l, on a\ira <î;ya;= donc 



— ' — ^ /4 i m (f)T 



Oh 



sA **=l (z-K + i* 3 )•; 



en faisant n = 1 , on aura 



d d}= « + )• 

ProWème IV. Développer la fonction + en ternies de la forme 



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SUR LES FONCTIONS GÉNÉRATRICES ET LEURS DÉTERMINANTES. 73 

On a Dy (a; + «) = e «y et ^. 

, , . d.c» c 0 J v - Al s agit donc de 

développer <T vivant les puissances de ve» Or on ,^ / p 
de cale. lut. t. 2, p. 234) ' (^««dre Exerc. 

ft- = 1 + ft . * + » (ft 2fc) f-|t + , & (/6 _ 8fc) , + 
Soit ft = «-, c==e , on aura tt = tfï fc = A donc 

é» = 1 + an» + „ (« _ 2/î) ^ + „ (a 3/?)8 ^ , . . . f 
donc " 2,3 

y (a: -f a) = y* -f « 'Mpû i «(«-^)_ rf^^/iQ «(«-3^ 

dr 2 ^ s ~T~ . 273~ ,7^ 1 

~ 1.2.3... w jfr 1 

En posant x = 0, et écrivant ensuite * au lieu de «, on aura 

<P* = <f (0) + x ¥m + ^-^) v . (2/3) + *(x — 3jif + 

Soit y* = a .-, on a V {x + ti fl) = ( x + nfl. t donc 

-f = ,„ ( OT _ i) _ 2) . e # (M _ „ + 1} (a . + w/?)m _ % 

et par suite 

(* + = *» + » « (* + + W-Z±) „ (a _ 2/?) {x + 2/9)OT _ 2 + _ 
L '"('" — !)(»«— 2)... (,„_, ( +i) 

OT37^ a (" — V)"- 1 (s + H 

Soit <px=:\ogx, on aura <p + = \ og (x + nfa donc 

donc ~ (* + «* ' 

log(.r-f-a) = loga;-f. —4-4-. " . 2 ! 1 ~ a i i « /3,*— «\» . 
Soit a; = 1, on aura 

Soit a = 2{3, on aura 

log(l + 2/3) = T - 2/ ?-4.i.. ^ 3 __ ii 2.2»./?* 

Tome II. 1Q 



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! 



74 SUK FONCTIONS GÉNÉRATRICES ET LEURS DÉTERMINANTES. 

log(3)=l^-5(i) ^ +!•^a)H^^(2) 4 +^i•(i)^••H4 n ^^^)"" + •••• 

Problème V. Développer 1 n u <fX suivant les puissances de n. On a 

1). /; v .*- = («••'- îy/tr, 

donc 

1) Jl<fx ==/V ( 1 + n log (é™ - 1) + £ [log ( e '« — l)] a H 

d'où Ton tire, en prenant la fonction génératrice, 

./: v .x = V .x + nfg[\iv A {.r - nM + 't % [(log («•«- 1))V'"] + - • • • 
Soit 

on aura 

n?Ki"g(«""- 1 ))"/'■] =*-y^ 

donc 

./^ V x^(/.r-|-//(V^,r-f ^ ( y^ f . r _^^^ ( y^ f ^_| . 

Pour déterminer (V (fx il faut développer la quantité loo % (V" — 1). On a 

loo-(r''<— 1) — loo-[r'"(l t> '")] = ra - - <>.~ cu — \ « — * f 3 "< 

donc 

(hf x = a iJ( f~ — (f (x — a) — J- y (.#; — 2a) — J- (/> (./* — 3«) — ] (f (x — 4a) 

Kn ditt'érentiant cette expression par rapport à a, on aura 

d {fi,, s) = do. | ''']* -|- <f'(x - «) -f if,' [x - 2a) + <f' (x - 3«) +•••)• 

Soit 

< f x -f y (,r — «) (./• — 2«) 4 = <V, <f x, 

on aura 

\)<fx -L 1) y. (.r — «) J- — 2«) 4 = D<Y, 

donc 

(i + -1 «-*" -!-- • • • >/'• = , ..... - 'F" 

donc 

donc 
donc 



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8U " *°» CT,0m C'-NKKATRI(,'KS ET LEURS DÉTERMINANTES^ 75 

donc 



et 



tï<px = a<p'x-{-fda2 a < r .' x . 
Si Ton veut exprimer par ? „ faut déve , , 

■suivant les puissances de *. On aura * * 



donc en posant 



~ 2 T 2Jj | < 



a 

= % (log P ./„) + , ()g „ . +aAi (p , x + ^ ^ ^ + ^ ^ ^ 



on aura 





Problème 


VI. 


donc 


I) 


( </./- 1 






où 






or 






lofif V - 

donc 


= -Iog( 





puissances de rc. On a 



On peut exprimer de plusieurs autres manières. Soit par exemple 

logt; = log(] + »-l) = »- l-i(»-_l)»4-|( t ._ 1) 3_..; 
on aura 7 

» a; = ^ y a- _ | J » y X _|_ ^ ya . ? 



ou 



^ X = <p'x — yx. 

/W,ft„„. VU. Wvo!,,,,,,,, W s „ iva „ t |ca p „ kwces de n 0n o 

10* 



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donc 



- = * [ < P x + n<p'x + ïfiÇ^ ^ +•••) = * W 

D = ( 1 + *> + n± f~ l} ^ + •••)> = (1 + 
D^^=>(l+« lo g( 1 + t! ) + ï[ lo ê"( 1 + u )l 2 + , ") ; 

y, x = if x -f- «ffyx + J y a- + 2 ~ 3 <? 8 y a H ■ 

(1,1' 11 ^ 

D ,y (/ ,r = log ( i + v) ./<■ =fv {v - \ v- + 1- S — ••); 
,h f x = < f 'x — { i f "x + i y'"* 



donc 
donc 
.m 

donc 



Ou jv 

D y (a; -|- a) 

dune 

D<p(x + a V-l) = e-l~\f» e t \)<p(x-aY-l) = e-°'-V= i fv, 

(Y ou 1 on tire 

— 

2 ( , ± «V^l) -jp (* - « V - î ) = sin , < fr % 

2V-1 

Or on a, comme on sait, 

^ = cos av — C08 2av -\- cos 3 «r — • • • i 
donc en multipliant pur fv et prenant la fonction génératrice, 

, y (* + 3o y~i) + « o — 3« y 3i) ff ( .r + 4« y^ï) + f (« 

H 2 2 

-j-etc, 



SUR LES FONCTIONS GENF UATltirr e i~n t ,^ t ™ > 

uûflLKArKllES Ji-r LEURS DETERMINANTES. 

ou bien 

<P* = <P(x + *) + <p(x-a)-< p{ x + 2a)-< pi x-2a) 
+ y(^ + 3«) + y(^-3a)- 9 ,(^ + 4«)_ f/)(:F _ 4a) 
-f- etc. 



Supposons qu'on ait 

(21) vv=ffMdt, 

et soit 

tpv./v = Bâ(px, 
on aura, d'après la définition de la déterminante, 

dyx = fe' x yv.fv.dv 
c est-à-dire • 

* <px =f ffv . dv ff(», t) dt = f dt f f*fv ./(„, /) «fo. 
Cela posé, soit 

on aura 

â l( px = fe"/v.f(v,t)dv, 
donc " 

or on a Dd<px=f I),y i( p X .dt, donc 

(23) Dfdt.â lV z=f»fi lVX .dt, ^JdtJg{/v./ M ]=fg[fdt /v .f iVit)l 

Ces équations peuvent servir à exprimer Jça; par une autre opération * 
au moyen d'une intégrale définie. 

On a par exemple 

_ _ i , _ 2 f si " (««0 . 

1 ^ J 0 e i:n — 1 ' 
donc en prenant la fonction génératrice, 

2„<px— 1 -f< P xdx+i<px = 2 /** .fK^bli^O 
' " Jo*'*"— 1 2V— 1 



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78 SUE LES FONCTIONS GÉNÉRATRICES ET LEURS DÉTERMINANTES. 

On a l 

c'est-à-dire 

J" c < e - '"' <// = «" («-""■ -J- «r e-'""' -f « 2 r e"""' H ) 

_ jf («-««'' -f «0 e-""'' -f « 8 r c-" aV H ) • 

En multipliant par ,/>, et prenant la fonction génératrice, on aura en re- 
marquant que W ^ fv ) = ^ ( ^ U '\ (g = <P (—«<), 

^ e'<f (x — al)dt 

'= e '[ <fl (x-aa) + a<p\x — aa) + ^(x — an)^q>'''(x--aa)-{-- • •] . 

_^[ V ^_«o')+« y /(x-«no+«v'(«-«o+«y>-« n ')+ ■ • • 1 

donc en faisant a = 0 et a' = — ^, 

(f x -\-aip'x + «V + «V" j; H =J_ / V (* — <*') < If 5 

donc en diflérentiant par rapport à x et mettant —«à la place de «, 

v 'a; _ a<p"x + - « 3 y""* H — / / V'\ x + «0 * ; 

en multipliant par da et intégrant, on aura 

En faisant a = 0, on aura C =—J , < 'f*! (,om " 

«c/.'x - i «V* + < «V'V - j «' 9 -f • ; • =^f_ *f [</< (- r + «') " H» 
et lorsque a — 1 , 

= f <, -; <ft [v(^4-0-v4 

De là il suit qu'on aura 



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SU« LES EONCT,ON* OtoÈUWW* ET LEURS OÉ TERMINANTES. 

On a 



79 



av 



donc en prenant la fonction génératrice, " 

J\p (* + «a) cfc - )\ p {x + Ma ' )dx== n jy {x + a/) ^ 
On a {Legendre Exerc. de cale. int. t. II, p. 176) 



donc 



J 0 



Jo 1 + '* 2 ~ J = : 2 >(*±«). 

Soit par exemple y*— 1 OI , itum 

En effet, _ ' 

Soit y>-c= > -, on aura, en faisant a/==zMi iy , x^cosy, 

7M> -f 1 ) 4. T (, ( . _ y _ iy 

■> =z "cosny», 

or z = j/^ + „ - ,. ? v = arc tan „. at ? ^ 

<lt C08 ( w -« rct »"k *) ,. r ! 

+«»<*)• ^-t-«; 

Soit par exemple » = J, on aura cas q, = l/ 1 + ™ s ^ |/ 1 / 1 + ■<■ ~\ . 
donc " 2 * *l VW^ 8 )' 

COS COS i ^ _ J/j ( a . _|_ y. F S „2 t *j 

donc + 



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80 



SUR LES FONCTIONS GENERATRICES ET LEURS DETERMINANTES. 

On a z = -- = -^— , donc f = ^-tangy; on tire de là 

1 -j- {* a 2 cos 2 y + sin 3 
zr n cos nr/> — ^- >M - cos nr/> ; 



donc 
donc 



,u « M s y) w cos m f - (t4 f_ . 



2 ' cc{œ + aj n= J 0 (a? aïny)* + (a cos 

Soit a = x, on aura 

= 2 (COS </?)" COS W</) . dty>. 

On trouve encore chez M. Lecjendre les deux intégrales suivantes: 



U . sin at tz , 1 _„n 

0 .(l+T«)— 2 (1 - e >' 



r 4 c 

Jo « 



tdt . sin a£ 7t 



donc on aura, en faisant a^=a« et prenant la fonction génératrice, 

fi dt yjx + atV- l) — yJx-atY-ï) = 5 r _ y ( x ± „)] 
J 0 + 2V-1 2 

r J tdt _ r P J* + at V=\) - r r (^-jaVJ£l) = " (p ( x± „). 

Jo 1 +** 2V-1 2 
En ajoutant, on aura une troisième fonuule, 

ou bien en faisant a = 1 : 



T » dt (f(x-]-t 
Jo ' ' 



+ 1 y — 1) — <[ (.>• — < y— 1) _ ™ 



2i— 1 



= 2^ 



Soit 



par exemple ya; = \ n , < = x . tang y, on aura 



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SUR LES FONCTIONS GÉNÉRATRICES ET LEURS DÉTERMINANTES. 



81 



donc 



dt _ drp 
t eus if sin if 



J* (cos a>Y l-1 sin w«p = ^ 
o 8m 9> v 2 



Tome II. 



11 



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XII. 

SUR QUELQUES INTÉGRALES DEFINIES. 



On a vu précédemment que 



C 2 (cos rpY cos ?irp . dtp 7t a" 
J 0 # 2 sin 2 (p 4~ a 2 cos 2 (p 



2 a(x+a)»' 

îi* 

(cos cp) n = 1 -J- n log cos ç> -| — g- (log cos </)) 2 -f- • 

COS7l(p=l — Y^ + O^^ 4 ' 



or 

,2 



donc 

(cos (p) n cos ne/) = 1 -\- n log cos cp -\- [ ( l0 g cos 90* — 9* ] 

+ o cos ~ 3( ^ 2 lo s cos v H h 7x^+ï) ^ m 

oîi l'on a, en faisant pour abréger logcosy = f, 
/ r (m + 1) — r(»r+ï) — r(3)7*(^ï) i" r(5) r(m—S) ~ r(7) r(«* — 5) ' 

Or ; -y = 1 4- w log -h 'V f loir ! ■)+••• i donc on aura 

~ . — f î - x _ V" f T ^f^ y 

2 A-a \ °a; + aj J 0 sin 2 y + « 2 cos 2 y 



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SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 

Ainsi l'on aura 

dy 

71 

7C 1 



7C 1 
2 ' M 

En faisant 



T 



on aura 



2 Q°gt) m =f*A u d v; 

par exemple 



Soit cosr/)=z; /? on aura c/™ — 



donc 



En effet on a ' 7l 



donc ' 
or 

C (1 V ™ f* 1— v 



83 



n* 



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84 SUR QUELQUES INTÉGRALES DEFINIES. 

On a 

fl di if (.r -f at V - 1) + < r (* - at V - 1) « , , , 

J o r+<* 2 — 2 v (*-!-«)• 

Soit </>x = (log a;)", on aura 

£ \^ + a nr^]^(^y^ = , [log (*+«)]». 

Or on a 

. log (x + «/ V - 1 ) = log a; -f log ( 1 -f ^ / ) 

= log SB -f-- '-g ^ /_|_|l 0 g|l_|_- f . f «j 

= % * + 4 log ( 1 + £ ? ) -h f=ï . arc tang ( £ ) 
= | log (a; 2 + «• «•) + y-ï . arc tang ( £ ) . 



Soit - a - = tang o>, on aura 



log (# -j- a£ y~ — 1 ) = log x — log cos cp -j- tp y — 1 
1 -\-t 2 œ 2 sin 2 y + # 2 cos 2 r/ 7 

donc 

En faisant x = a = 1 , on aura 

On a aussi en général, en faisant f = tangw, 

y 2 [</> (z a y — 1 tang u) -\- <p(xr—a ï tang u)] = 7r y (x -f- a); 
donc en faisant # = a = 1 , on aura 

J * du [<p (1 -j- y^T tang ?*) -j-y (1 — y^T tang u)] = tt <p (2). 



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SUE QUELQUES INTÉGRALES DEFINIES QR 

Soit ifx^^l^ on aura 

<p(l + f—l tang u) = - Ji± V- 1 = - (cos™ +j^T^)( C08 H y-„ 

l + «(l + y-lta„g tt )» (cos^+acôs^ + ay-ï^ 
(cos m)"—" 

~~ [(^^VS^J^r^î^ [(™s u) n cos mu -j- « C os (m — «) « 
on tire de là ((«««J-amBw + a ri n («-»)«)]; 

/' r (2^«)^[cOB»M(^„)^„ C08(M _ Ml)M] ?r 2m 

J o (cos uf» + 2« cos nu (cos «)- + «" = y j + - ^ „ • 

Soit m = 0, on aura 

f 2 (co8 _m)- [(cos m)« + « cos nu] du _ 7t \ 
J o ( cas w ) 2m + 2rr cos ?n« (cos w)» -f ^* ~ ^ ' ]Q_ ^ ^ ' 
Soit m=n, on aura 

/"* COS MM (COS !«)»-(- « >T g» 

J 0 (cos + 2« cos km (™ s „)» + a i du =2 " ï + «2 '< ' 
Si par exemple ?^= 1, ou aura 

.7 

*_ = r r (cos«)* + « , f 1 ^.y s +« du 

Keprenons la formule 

7f 1 

Soit 7i= 171 on aura 

2 -y = / (cos r/)) cos — y . drp. 

Soit ~- = 0, on aura 

— * 
7T 1 T«n „ 

2n* m = (coswtf) cos7nO.d0: 

2 n ^0 

or 



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.i l. AMMAffM ivi'rfDil rw i i i'- 1 1 1 v 1 00 

donc en faisant cos 0 = y, df) = , ■ . . . 1 

VT— 1/ 

m 

où 

Soit par exemple m=l, »=4, on aurà 

,C08-s- 4 



Si Ton fait. y*=l — z 2 , on trouvera 



" . / =f * âzf\ -,S.r+S;;'. 



XIII. 



THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 



CHAPITUE i. 



ItMiwtion de, l'intégrale f f - iIx par des fonction* algébriques. 

J } « -J" fix -f- yx' 1 -j- Ùx 3 -\~ tx* 



1. Pour plus de simplicité je désigne le radical par ^H, ou a donc à 
considérer l'intégrale 



ÇPdat 

J Vn 



P désignant une fonction algébrique rationnelle de x. On peut, connue on 
sait, décomposer P en plusieurs ternies de la forme 

Ax m et f - 

(iC — a) m 

I PiLe 

m étant un nombre entier quelconque. L'intégrale proposée / est donc 
immédiatement décomposable en plusieurs autres intégrales de la forme 

J Vil J (x-ay.VR 

Cherchons les réductions qu'on peut faire avec ces deux intégrales, en 
les considérant d'abord séparément, et puis ensemble. 



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88 



THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 



Réduction île VhAêqrale Ç~- 



2. Pour trouver la réduction générale dont cette intégrale est suscep- 
tible au moyen de fonctions algébriques, il s'agit de trouver la fonction algé- 
brique la plus générale, dont la différentielle puisse se décomposer en termes 

de la forme — - car après avoir intégré la différentielle ainsi décomposée, 
y 

il est clair qu'on obtiendra la relation la plus générale qu'on puisse obtenir 
entre les intégrales de la forme J ~^^T " 

Or on sait par le calcul différentiel qu'en différentiant une fonction qui 
contient des radicaux, ces mêmes radicaux se trouvent aussi dans la différen- 
tielle; il est donc impossible que la fonction cherchée puisse contenir d'autres 
radicaux que YË] elle est donc de la forme f(x f désignant une fonc- 
tion algébrique rationnelle de x et de ^ R. Une telle fonction est, comme on 
sait, toujours réductible à la forme *Q' -j- Q Q' et Q désignant deux fonc- 
tions rationnelles de x. Or il est clair qu'on peut faire abstraction du pre- 
mier terme Q\ puisque sa différentielle ne contient que des quantités ration- 
nelles; on a donc 

f(x,YE) = Q]!R 

En différentiant ÇyS, on voit au premier coup d'oeil que la différen- 
tielle contiendra nécessairement des termes de la forme — si Q est 

fractionnaire; car supposons que Q contienne un tenue on aura, en 

différentiant 7 ? 

(x — a) m 



* ' dx rnR \ d.v 



Or, quel que soit m, il est impossible que le coefficient de -—■ dans l'expres- 
sion précédente puisse devenir entier, à moins que li ne contienne deux ou 
plusieurs facteurs égaux; mais ce cas doit être exclu, puisqu'alors l'intégrale 

proposée serait de la forme f— — — • donc, comme la différentielle ne 
r r jVa + /to + y**' 



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THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. gg 

doit contenir que des termes de la forme U faut Qw Q v 

y# ' rdUt c l ue V soit une 

fonction algébrique entière de x- on a donc 

Q =/(0) x +/(2) *•+...+ /(^ 
d'abord Différenti ° nS maintenant la fo -t- trouvée Qflt On obtiendra 

donc ^ ^ 

où S = li d ft-±.iQ d *. 

Un a 

Q =/(0) +/(1) x 4-/(2) *'+...+ /(„) x-, 
donc en differentiant 

^/W + WJs + S/fS)*-^. • • +n f{n)x"-\ 
En substituant ces valeurs dans l'expression de S, on obtiendra 

S = (*+ftx + yx' + ôx' + t x*)lf { i) + 2f(2)x+ ■ ■ ■ +»/(„,*-»] 
+ i(/î4-2rx4-3^4-4^)[/(0)4-/(l). r+ . . . + / (n)a .-i 

KSoit 

5 = <p (0) 4- ç, (1) x 4 1- y (m _ i) a.-i _j_ y (w) 

nérale btiendra ' ^ déVel ° PPant Ct con, P M »"* les coefficiens, l'équation gé- 

*M = (p+l)/(H-l).«+^ 

+ (i'- 3 )/(^-3).*4-i/(/>)./?+/(i>-l)./4-|/b-2). ^4-2/(^-3).,, 
c'est-à-dire 

(a) |y(^)-(p+i)/(i>4-i).«4-(jp4-i)/(^)./î4-p/( J P-i).r 

Tome IL ^2 



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90 THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 

En faisant successivement p = (), 1, 2, 3 . . . m, on obtiendra toutes les équa- 
tions qui résultent de Y égalité des deux valeurs de S. 

Quant à la valeur de /i, cm trouvera ?i-\-3—m, donc 

?? = m — 3. 

4. De l'équation d(Q\-li) = S - ^ 7 on tire en intégrant 

Kl- 

et en substituant les valeurs de Ç et de aS 7 

(b) j ,(«)/;'; +,(»/;;;; + 

| == [/(0) +/( 1 ) . -|-/(2) . + • • • +/(«* - 8) • 3 -- 3 ] • 

Cette équation contient la relation la plus générale quon puisse trouver 

R 

et c'est de cette équation qu'il faut tirer toutes les réductions dont les inté; 
grales de cette forme sont susceptibles. Le premier membre de cette équa- 
tion est en même temps l'intégrale la plus générale de la forme j ^ ^ , P 

désignant une fonction entière de .r, qui est intégrable par des fonctions al- 
gébriques. 

5. Considérons maintenant l'équation (b). Comme la fonction multi- 
pliée par ]/ H du second membre doit être entière, il faut que m soit égal ou 
plas grand que 3. Il suit de là qu'il est impossible de trouver une relation 

. , . ÇtU (\r<J.r f.r^/.c 

entre les intégrales / « / ? / , et que par conséquent ces trois 
* J VU J ylt J VU 711 1 

intégrales sont irréductibles entre elles par des fonctions algébriques. Si au 

contraire tu est égal ou supérieur à 3, on voit qu'il est toujours possible de 

/./<"',/.,. 
^ à des intégrales de la même forme dans lesquel- 
les m est moindre ; et il est évident que les seules intégrales irréductibles 
sont les trois suivantes 



y il ' J vu ' J Vit 



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THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES 



91 



^; in ?%:° nt d0I ' C ^ S6UleS transcendantes contenues dans 

1 intégrale J - r , p étant Une 

6. Pour réduire l'intégrale f' 1 ""** *v j 

ntc 0 ialo J y jf , f aisons dan8 réquation (b)> , 

— — 1 , nous aurons 

- ^t/(0)+/(l),+/(2)x--|- . . . +/(M ._ 3) 
D'après ce qui précède on peut faire 

on a dono * ( " ~ 1 > = *<— 2 > = ■ • • = ¥>(3) = 0, 

( - 17([/(0) +/(l)* +/(2)x . + . . . +/(M _ 8) 

Il reste à déterminer les coefficiens 

V (°X V (1), y (2), /(O), /(l), /(2) . . ./( m 3) . 
Pour cela faisons dans l'équation (a) ^ = 0, p= 1, . . . p = w , on obtiendra 
les équations suivantes, au nombre de ; rt -f-l : rendra 

V(0)= /(!)•« + 1/(0). ^ 

y(l)=r3/(2).« + i/(l)./S+/(0).y, 

y (2) = 3/(8) . « -f 1/(2) . 0 + 2/(1) . y + 1 /(0) . 

0 = 4/(4) . « -f- 1/(8) . fi _j_ 3/(2) . y + 4/(1) . j + 2 /(0) 
0 = 5/(5) . a + 1/(4) . ft -f- 4/(3) . y + 1/ (2 ) . * + 8/(1) . # , 

0 = (« -»)/(«, - 8) . « + («i _ |)/( W -4)^4- (,„ _ 4 )/( m _ 5 ) . y 

+ ( w -D/(^-6).J + (m-5)/(m-7). f , 
0^=(.«-f )/(m-3) ./M-('»-3)/( m -4) v)/( Wi _ 5) . J +(w _4)/(m-6) . f 

0 =(m-2)/(/».-3) ./-|-(/«-|)/( ? «-4) . â + (m-3)f(m~ô) . 
0 = (OT-|)/( WÎ -3).J+( TO -2)/(»ï-4).e, 
— l=(tra-l)/(ro-3).e, 

en remarquant que y (m) = _ 1 , y ( 3 ) = y ( 4 ) = . . . = ^ {m _ 1} = () 



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92 THÉORIE DES TKANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 

Au moyen des m — 2 dernières équations on peut déterminer les m 2 

quantités /(0), /(l), . . ./(m — 3), et les trois premières serviront ensuite à 
déterminer <p(0), </>(!), <p (2). En éliminant on trouvera 



/(m -3): 
/(m -4): 
/(m -5): 



_ -1 Jl 

»h — 1 e ' 

(m — ï)(m — 2) " £* ' 

Jm — 2)_ y (»»—|) (_»»—§) <î 2 

( m _ l)"( /#l _3) - > (m— ï) (m— 2) (m - 3) ' "i» ' 



/(,« — 6)=— ( — --^ ("'zlK»'-^ <ty _ _(,«-2)(m-J) 

(m-l)(m-4) e* (w-l)(m-2)(m-4)' r> (w-1) ( HI -3) (w-4)' e 3 

_|_ „i" l -fK» w -l)('"-ï) <** 



(m - 1 ) (m - 2) (wi - 3) (m - 4) e 4 

(/n-3) a 
-l)(»t-f>) e 2 (//* 

(»n-2)(»n-4) y» 



/"(m. — 7) = - ( "'~ 3) a _ _ ("Lli) O»"*) /»* _ _0?zt) <^T?) # ' 

(m-l)(m-5) «« («*-i)(»«-2)(m-5)" e» (m- 1) (m -4) (m -5) ' ^ 



( 



m- 



^2) (m-4) 7 2 , ( /w _|) ( w _4) y( j 2 

1) (m-3) (w-5) * ^ ' (w-i) (m-2;(*»-3; (w-5) ' V 



j (m-f)_(m-3)^m-|) yô* _Jm-2) (tn-i) (™-f) ytf* 

^(//i-l)( w -2)(fii--4)(i#i-5)" 6 4 ^(m-lY^/t-Sj^MZï)^^)'^ 

_ (^-fK^-5)(m-|)(m-|)^ ($* 
(m~l)(m— 2)(wi-3)(m-4)(m — 5)" e 5 " 

7. Pour exprimer en général le coefficient /(m — p), faisons f = é (0) , 
= Y = ^\ P = ^\ « = * (4) . Cela posé, on peut aisément se convaincre 
que /(m — />) est composé de termes de la forme 

' — 1) ( m — k) (m — h') . . . (m — (,» — *(»>) (m — ;> + 2) 

où les quantités k 7 h\ 1c" , etc. p — 2 suivent Tordre de leur grandeur, de 
manière que k' > &, > h\ etc. p — 2 > k in \ 

En donnant avec cette restriction toutes les valeurs entières aux quan- 
tités fc, fc" etc. et à n toutes les valeurs entières depuis le plus 

grand nombre entier compris dans v — 2 jusqu'à p — 5, et en remarquant 

que chaque dénominateur aura n -f- 3 facteurs binômes, on obtiendra tous les 
tenues dont f(m — p) est composé. On a donc 



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THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 93 # 

Am-^-^- 1 )- 1 r- r- -v ) - r~ — ) r — 2—) 

(d) ^V ^ e«+3 ' ( m _ î)(,/i — — A')...(m_A(»))(w — ;> + 2) 

( X t {k ~~ l) .t {k '~ k) .t ik "~ k) . . . 5^-* (M) - 2 >. 

Ayant ainsi trouvé les quantités /(O), /(l), jf(2) . . . f(m — 3), on a ensuite 

i <K0)=«./(i)+W(0), 

(e) y(l) = 2«./(2) + |/?./(l) + / ./(0), 

( < f {2) = 3 « ,/(3) H- f ft ../(2) + 2 r ./(l) + f J ./(0). 

8. Appliquons ce qui précède à un exemple, et proposons-nous de ré- 
duire l'intégrale 

W 

On a ?» = 4, n = m — 3 = 1, donc 

-p[/(o)+/(i)^]- 

Par les équations précédentes on a, en faisant ra = 4, 

/(l) = - ^ , /(0) = ™, , /(2) =/(3) - etc. = 0. 
En substituant ces valeurs dans les équations (e), on aura 

v(0) = *-îî--H' 



v(2)=t • £ * - 

En substituant ces valeurs, on aura 

/Vrf* __/ , /*<» , a\[** 
J VBr*"**' E U VU 

+ [* ■ ê» ~ T " vjj Vi«" 



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.94 



THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 



9. Dans le cas où (3 = y = â=0, la valeur de J(m — p) se simplifie 
beaucoup, et se réduit à un seul terme. En effet, comme € il) = ê <2) = e (3) = 0 J 
e (i) = ec, il est clair que tous les tenues s'évanouiront dans l'expression de 
f(m — jr>), excepté ceux dans lesquels on a k — l=k' — k = k" — &' = ... 
=p — 2 — k (n) =4. On a donc k=b, k' = 9, k"= 13, . . .. k (n) = 4n-\- 5, 

p=4n-\-ll, d'où n=~ ^- . Chacune de ces quantités fc, . . . k (n) n'a 

donc qu'une seule valeur, d'où il suit que j(m — p) ne contient qu'un seul 

terme. De plus comme on a trouvé jt> = 4n — [— 1 1 7 il est clair que toutes 

les quantités f(in — p) s'évanouiront, excepté celles de la forme 
j(in — 4n — 11), dont la valeur est 

( _ 1 V + 1 0" ~ 3 ) Q — 7) (m — 11) . ..(m — 4n — l) 

ou bien en mettant n — 3 au lieu de ?i, 

f( m _ 4n i n — / iv» (^-3)^-^ (m- 11). ■■(>!!- 4n + 5) «-* < 

Pour détenniner <y>(0), <p(l\ cp (2), il faut distinguer quatre cas: 

1) si m = 4 r, 2) si m = 4 r-|- 1, 3) si wi = 4r-|-2, 4) si wi=4r-j-3. 

Dans le premier cas on a 

/■( 4r - 4 « + 1^ - ( - IV ( ~ _3) (4r-7)...(4r-4n + 5) _ a-* _ 
- 71 4rt-(-lj_^ 1) (4r _ 1)(4) ._ f)) _ (4r _ 4 „ + 3) £ „ 

En faisant n = r, on a 

; ^ ' 3.7.U...(4r— 1) e' 
y(0) = «./(l), y.(l) = 95 (2) = 0. 
Dans le second cas on a 

/(4r - 4 n + 2) = ( - 1 )- < 4 p - 2 1 (4 r ~ G ) _ ■ ( 4 4 » + «) . . 
yv ' ; v ' 4r(4r — 4;...(4r — 4« + 4) e" 

En faisant n = r, on a 

— f IV 6. 10. 14... (4,- -2) 
i^)-(-l) - 4 .8.12...4r e' 

ç>(l) = 2a./(2), y(0) = y(2) = 0. 
Dans le troisième cas on a 

/(4r - 4n + 3) = ( - IV (4r ^) ( 4r — 5) i^L 4r ~ 4 » + 7 ) . . 

1 ; V ' *(4r + l)(4r — 3)...(4r — 4» + 5) e" 
En faisant ?/ — 7, on a 



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THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 95 
f(*\—( 1V 7.1l.lô...(4r-l) «-1 

y(2) = S«. i /{3) > y (0)=y(l) = 0. 
Dans le quatrième cas on a 

/•a r _4„_l_4\ — / IV 4r(4r-4)(4i— 8)...(4r-4n+8) «-» 

donc 

7(1) =/ . ) =/. ) - 0, V (0) =. (1) = y (2) - 0. 
10. On a vu que trois fonctions transcendantes sont nécessaires pour 
intégrer la différentielle I / J , _ J étant une fonction entière. Donc si Ton 
veut réduire ce nombre, il en résultera nécessairement certaines relations 

/Pdx 
- soit 
y 

intégrable algébriquement, on doit faire y>(0) = f/:(l) = y(2) = 0, d'où il 
résultera, entre les cinq quantités rc, y, ^, f, trois relations, par lesquelles 
on en peut déterminer trois en fonction des deux autres. Déterminons par 

devienne intégrable algébrique- 

ment. 

On a vu précédemment que dans ce cas 

v . ) = -sV _ --_ T' 



6' 2 y 



Comme ces (quantités doivent être égalées à zéro, on trouvera 



Ç) f, /° ,15, u 2 5 . u 

i V • ■— — trio £ s — _ _ 



donc 



* = i ! 4 • v + H : v * + « • v *" + ^ 3 H- <* 4 ; 



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90 THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 

donc lorsque R a cette valeur, on a 

En faisant â = é et a = 5, on obtiendra 

RMuct 'wH de l'intégrale I — - — — • 
J (x — n) V H 

11. Pour réduire cette intégrale il faut, d'après ce qu'on a vu précé- 
demment, différentiel- Q fit en supposant Q fractionnaire. Faisons d'abord 

n — JK 1 ) j_ <K 2 ) _l j l 'H"'- 1 ) , 

V — x _ a T ^ _ (( )2 T (. c _ a y T ç% — a)-»- 1 

d'où l'on déduit en différentiant 

, n _ 4>(l)dx _. 2#(2)c&e _ 3»/<(3)<f.c _ _ (w— (»» - l)_ti« . 

rf< ^— ~~ (ï^ï "(i-a)»' (.r-a) 1 "" ^c—a)» 

Pour rendre les calculs plus faciles, faisons 
B=^a-\-(3x+yx 3 + âx 3 +tx i = a'-\-ft'(x — a) + /{x — a)*+d'(x — a) 3 + t'{x-a) 1 . 
Pour déterminer a', /?', <T, f', mettons x-\-a au lieu de x-, nous aurons 
a'^(i'x^ r 'x 3 ^â'x i ^('x i =a^l3(x^a)^ r (x^af^â{x-[-af-{-f{x-{-a) i . 

On tire de là 

a' — a -f /9a -f ^a* + tfa 3 -f- fa 4 , 
/?' =>/3 + 2 /a -f- 3 âa* + 4 fa 3 , 
y' = /-}-3(ya-j-6fa 8 , 

e = t. 

En différentiant jR on aura 

2 = /?' + 2/ (x - «) + 3*' (x - a)* + 4e' (x - af. 
Maintenant la différentielle de QYÉ donne 



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THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 97 

donc en substituant les valeurs de Ii, Ç, d R et dQ on obtiendra: 

</(^y^)=[o' + /f(;r_„) + / (a ._ a) « +dV _ a ^ +É , (<t ._ a)11 /_ yn L _ 2 ,^ 2 ) _ f m -l) f(m . lA & 

Supposons • • U "° (X -° y V.r-;^ = V' 

5 =#) + f(l)^-a) + ^(2)(x-a)»+l(l , , 

Cela posé, on obtiendra aisément 

. y'(0) = -i<y>(2)- e >(3), 

9>'(1) = H>(i), 

y'(2)= *>(1), 

' - Ô '(P + i) + 2) - t'(p + 1) f (p _|_ 3). 

*'(0) + (*-«) + V'(2) (* - a)* = y(0) + y(l) x + y(2) X», 
tarons 

y(0) = <p'(0) - a cp\l) + «» y'(2) = - f >(3) - | cT>(2) - (| «T - ,V) tfl), 

= ^X 1 ) — 2a ç>'(2) = (| (T— 2 a«') 
y(2) = ç,'(2) = €V(l), 

ou bien, en substituant les valeurs de J" et 

j <p(0) = - (| ad -f ta 3 ) - | ( J -f- 4at) </,(2) - e y/(3), 
(g) / 9>(1) = -HY<1), 

( y(2) = ^(l). 

12. Si l'on multiplie la valeur de S par A, et qu'on prenne ensuite 
l'intégrale de chaque membre, on obtiendra en substituant la «valeur de Q 

( r l*_ a ^ (*-«)» ^ (*-«)• i pr. 



Faisons 
nous aurons 



Tome II. 



13 



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98 THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 

II est clair que par cette équation on peut toujours réduire l'intégrale / ; 

J \X (Xj r — 

/dx 
- - - ~— ( - - peut donc 

être exprimée par les trois intégrales j ^ > J ? j et par l'intégrale 



dx 



lx / 

; niais celle-ci est en général irréductible. Je dis en général, 



(i) 



car on conçoit qu'on pourrait déterminer les quantités a, a, /?, (î, de 
telle sorte qu'elle devînt réductible, ce qui a effectivement lieu, comme on 
le verra ci-après. 

En faisant dans l'équation (h) %(m)= — 1, ^(2) = /(3) = x(4)= • • • 
= %(m — 1) — 0, on obtiendra 

yjftjHl) | 'K2) I «Mg) I | »/'(»»- D\. 

r Jl 1" (x- a)* ' (*•—«)» "r ' ' ' ~r(ar— a)— *j 

13. Pour déterminer les coefficiens, faisons dans l'équation (f) p=lj 
2, 3, . . . m, nous aurons les équations suivantes: 

X (l) = - i - /./;(2) - f *X») - 2 É >(4), 

0 = «V<l).+ f/?V(2) + 2 / >(3) + |- ( )>(4) + 3 f >(5), 
0 = 2«>(2) + 1 /?>(3) + 3/v(4) + 1 W + 4«'V(6), 
0 = Sa >(3) -f 1 /5>(4) + 4/>(5) + f J>(6) + 5* >(7), 

0 = (m — 3) a'»// (m — 3) -f (m — |) /?> (m — 2) + (m — 2) / >(w — 1), 

0 = (m — 2) a V (m — 2) -f (m — f ) /?> (m — 1), 

1 =(m — l)a'xf)(m — 1). 
En éliminant on trouvera 

. i i\ 1 1 
yj{m—l)= — r • - 

v 7 »« — 1 a 

W ( m — 2 ) = \— ? J . _L_ 

' V ' (m-l)(ro-2) a'* 

y,( w _ 3 W (" -f)("' -*) (m-2)_ j/ t 

rv / (m— l)(m-2)(m — 3)' a' 3 (m — ï)(in— 3) a' 8 

Pour exprimer le coefficient général, faisons 2*=/c. On tire de là 



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THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 99 

f„ W d f a ' d *f a V d *f a ' d *f a 

a =fa, fi =-r-, Y =9~S5» <r =9-îrwS3» f : 



(k) 



da > / — 2.da 2 ' 2.3.</a 3 ' 2 . 3 . 4 . <ia 4 

Cela posé, on aura en général 

Wm-*>)-^- 1)n V"~ ~) ") ' ' ' £ L=j g ~) 

W< /V (/a)"+ 3 ('»—!) (w—k) (m— A') . . . (m — A**") (m-?)) 

d*'-*/b _ _ dr- k(n \fa 

X 1 72777(4^1)2^' 17"277(Â'=A)^ ; ^* " " ' U^T^-k^daP^ ' 

le signe -2" ayant la même signification que dans l'équation (d). 

Ayant ainsi trouvé y(m — p), on aura y>(0), (p(l), (p{2) par les équa- 
tions (g), et /(l) par l'équation 

/"'"/» f""n 

0) - - - {.g V(2) - 1 ^ g V(3) - 2 r ' ïro ; V(4). 

— — - — On a m = 2, donc 



« — a 



m __ 1 1 _____ 

—fa — a-{-(la + ya l + ^a* + ea* , 

X( l) = — 4/ « • «H 1 ) = — £ /a — — i â+7«+^+^« 3 + ea 1 ' 

En substituant ces valeurs, on obtiendra 

( €a * + ? fe) f i s f i r :__*_f 

/'a r ^ ___*_.' . 

* fa) {as— a) Vf* ^ — «)/«" 

Si a = 0 on a 

r ^ _ Çocdx ,e /^ r _ î a f ( ^ 



fi f dx YR 
ax 

13* 



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jqq THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 

15. Par la forme qu'on a trouvée pour les quantités ip{l), f{2) etc., 

il est évident que l'équation (i) peut toujours être employée si mais 

clans ce cas elle devient illusoire à cause des coefficient infinis. 11 faut donc 

considérer ce cas séparément. Or a' étant égal à zéro, on a /(m) = 0, 
donc l'équation (h) prend la forme suivante: 

où l'on a mis 7« -f 1 à la place de m. Dans cette équation on peut faire 

= 1. Donc il est dans ce cas toujours possible d'exprimer l'intégrale 



m 



— — _- par les trois intégrales 



(x— a) m i~R 

/dx fxdx Çx*dx 
Vu JVRJ Vit' 
Pour achever la réduction, faisons ^(m) = — 1, x( 1 ) = X(%) : 
Par là on obtiendra 



00 



En faisant maintenant dans l'équation (f) p=\, 2, 3 . . . »», on obtiendra 

les équations suivantes: 

0 = i /?>(1) + />(2) + f ( y>(3) -f 2*>(4), 

0 = f /?>(2) + 2/>(3) -f 1 t)>(4) + 3c >(5), . 

0 = f /9>(3) + 3/v<4) + 1 ^>(5) + 4. V(6), 

0 = (m— |) /?> (wi-3)+(TO-3^y > (w-2) + (to— |) J> (w- l)+(/»-2)e>H 
0 = (m-f ) /3> ( m -2)-\-(m-2) /f (m- 1) -j-(m- f ) cî> (m), 

0 = (m-f ) /3> (m- 1) + (m- 1) /y, (m), 

1 = (m-|)/?>(m). 

De ces équations on tirera en éliminant: 



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THEORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. IQJ 

Xff(m) = 7 -L. , 

(««—*;/*" 

1)= — — 0 / 

— 2)= 0^120* -2)__ /» (m-î) ^ 

(m - })(>" - #) (m— >» ('«-i)(m-f)y"î' 

etc. 

Le coefficient général peut s'exprimer de la manière suivante: 



j ^-^vi-/): . "Th-i- -^r- 1 ) (- - ^) 

16. L'équation (Y) a lieu si «' = 0, c'est-à-dire si « + /? rt -f -f 
Ja 3 -j-e« 4 = 0. Il suit de là que x— a est facteur de IL Donc: ' ' 

"Toutes les fois que x-a est facteur de li, on peut exprimer l'inté- 
grale f— (L * m ... par les trois intégrales Â'**. /•■««* 1)ans 
J (*_«)- VA r J y 7 , J yit J yr ' 

tout autre cas cela est impossible, car l'équation (h) suppose ?ft>l.» 

Proposons-nous de réduire l'intégrale f—*? X - a étant facteur 
cte if. Comme m = 1, on a 

L'équatibn (m) donne ^(1) = ^ = ^, et les équations (g) donnent 
V (0) = - (*» + 1 J«) ^(1) = - , 

J ^ 

En substituant ces valeurs on obtiendra 

C dx __ (2c««+ag) Çdx ._è_ Çxdx .2e [x*dx 2 YB 
J (x-a) Vit ' /'« J YR ~T~faJ yjf "T/'a J y^ ~ — • 



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102 THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES 

Soit 

on aura 



R = (x — a) (x — a') (x - a") (x — a'") =fx, 

Y=- (o + a' + «"+«'"), *= 1, = ~ «') (* - a ") ( x - a '") + ' * ' 
/'a = (a - a') (a - a") (a —a"'). 

En faisant ces substitutions, on aura 

n dx rt s_ a ( a ' + a"+«'") fdx g + q'+a'' +a>" fxdx 

}^ a) ili = -^-^W^(--^))iR ~ («-«') («-«")(«-«"') J m 

2 r**d* _ 2 Va 

+ (a~«y(a"a^)(^-<) J 7# («-<*')(«-«") («-«"') *-« 

17. Cherchons maintenant à trouver une relation entre des intégrales 

de la forme f — Pour cela faisons 

J (x — b)Vlt 

En différentiant, on voit aisément que la forme la plus générale qu'on 
puisse donner à Q est la suivante 

A , A' , ^" _■_ ^ 

x — a , x — a', x — a", x — a'" étant les quatre facteurs de B. On a donc 

etc. trouvées plus haut, 

(x — a)yB .. 

I ,^2ea* + aô . m 2 ea"+a' ô ^ 2ea'» + a«J M ^ 2ja^+V^) f ^, 
- ( Ç>(0) -yj - + !" — 7V~ + ^) /'«"' ) J ViJ 

, / dqiO) . (ty(l) , d ç<2) , <W3) \ [*d* 

+ \7'a ■ 7v" ■+" /'«"" ' y a'"" | J yn 

"T\ /'a ""T fa' ' /'«" ■ /'«"' ]J y.R 



, 2y(0) - , , 2 . „ , 2 9P(2) . ,„ , 2 y(3) | 

dL"^T _L _ + >«' I . "LIT- -I- _-î 'Çf - ! 
a? — a » "a: — a' ' a; — a" ' x — a" 



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THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 103 

On a donc 

A __2crf0) j/__2y(l) j.___2y(2) j///__2y(3) 
"/'« ' ~ ./'«' ' ./V' ~ /'«"' ' 

A(2t -f- ^'(2««' 8 +«^) + 4"(2f a"»+ -f A"'(2fa"' t +a'"d) = 0, 

^ + ^' + ^"-|-^"'=0. 

On voit par là qu'on peut faire l'une quelconque des quantités A, A' etc. égale 
à zéro. Soit par exemple A'"— 0, on aura 

A"= — A — A\ 

A [2t (a*— a"") -f â(a — a')] -f .4' [2* (a' 2 — a") -f J(a' — a")] = 0 ; 

donc 

en faisant 

.4 = 2f (a" 2 — a 72 ) -f J (a 7 '— a 7 ) = (a"— a 7 ) (a' 7 -f- a'— a — a'"), 
et par suite 

A"= 2e (a'*— a 2 ) -f J (a 7 — a) = (a 7 — a) (a 7 -f a — a 7 ' — a'"). 
On en déduit 

<p(0) = j (a — a') (a — a") (a — a"') (a 7 — a") (a' -fa 77 —a — a 777 ), 
(f[l) = i(a'— a) (a 7 — a 77 ) (a 7 — a 7 ' 7 ) (a 7 '— a) (a + a" — a'— a'"\ 
<f{2) = \ (a"— a) (a 7 '— a 7 ) (a"— a'") (a — a 7 ) (a + a — a"— a'"\ 

V 7 rV J(x-a)VB * K J(.v a')Vli VV } J(x-a")iR f \*-a^ x-a'^ *-a") 

Cette équation contient, connue on le voit, une relation entre trois quelcon- 
ques des quatre intégrales 

/dx C dx C d,r C d.r 

(jT— ~a) Vie ' J Ix — aÔVÉ ' J \x—a") ili ' J (7— OV/f ' 
d'où il suit qu'on peut en déterminer deux par les deux autres. 

18. Proposons-nous maintenant de trouver les relations qui doivent 
exister entre les quantités (p(Q), y(l)j </>(2) pour que l'expression 

soit réductible à des intégrales de la forme / 

J(at — a)YB 



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104 THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLD7TIQUES. 

On voit aisément par ce qui précède que x-a doit être facteur de B. 
On peut donc à cause de l'équation (n) faire: 

En substituant le. valeurs de f ^jj { * /(~^y5 d ° Dn6e8 
tion du ni 16, on obtiendra: 

(»(0)+^-/.— +^ -7'«'-)Jyï + l v(1) "" /'« /'«'/J V* 



x — a 1 a? — a' 



On a donc 

y (0) - | 5 (2eo»+ a*) - £ 5' (2 *«''+ = °» 
,,(1) + + #) = (>, 
y (2) + «(5 + 50 = 0. 
En éliminant 5 + 5' entre les deux dernières équations, on aura 

2ey(l) — <Tç>(2) = 0, d'où y(2) = -Ç-y(l). 

Voilà donc la relation qui doit avoir lieu eiitre y (2) et y(l). En faisant 

<p(l) = 0 et 9)(0) = 1, on aura 

(p(2) = 0, B' = -B, 1 = 1 5 [2* (« 2 - «'*) + <? (« — «01» 

7 . 2 /v 

(a — a)(a-\- a — a — a ; 

donc en substituant, 

r<lx _ (a-^)(a- a'") f ( a '- a'') («'-«''') f . _ 

J Vi* - K + V"-a-eV)J rt ) y .ft ' (a"+ a'"— a— a') J (*-a')V5 

, 2VS 

~T ( a _|_ a ' _ a " _ a "') _ a ) (x — a ') 

Si Von fait <p (0) = 0 et ç>(2) = 1 , on aura 

(p{1)= ^B'=-B-\, 



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THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 105 

B [2e (a 2 — a' 2 ) + d(a — a')] — j 2a'* -p a' - * ) = 0, 

d'où Ton tire 

, _ a ' (g'— g — g» — g'") 
~ (a~+ g^ZZa'r^a"') (a — a') ' 

,3, _ a (a — a' — a" — a'") 
— (a ^^-â ,/7 ) (a'— a) ' 

En substituant ces valeurs, on obtiendra 

/V dx , J _ «' (a' — a — g» — a'") .fa Ç dx 

J~7R^~ 2 J VÏi ~ 2 {a ; ^a){<r-Ça' — a» - a'")] J^^R 

, <7 (a — a' — a" — a'") .fa' Ç dx 
+ 2 (« - «')"( (( + _ a 7 ") J (,~ a ') y/; 

_j_ Vît / a' (a / — g — a" — «'^) a (a — g' — g" — g'") 



(a — «')(« + «' — a " — «"') \ # — « * — «' 
19. Pur ce qui précède on voit qu'on peut exprimer J y- par les in- 
tégrales f - et / , : mais cela n'a pas lieu pour les inté- 

• / 2^ dx i x dx . 1 x^ dx ô f* xdv 

orales / — et • C'est seulement l'expression /— 4-^ / - - qu'on 

* J VU J iR J VU ~ 2 J VU 1 

peut exprimer de cette manière. Dans le cas où a-j-«' = a"-j-a'", les 
deux équations du numéro précédent deviennent illusoires. Dans ce même 

/dx 
' — 7 - : etc. 
(x-a)Vlt 

En effet, en multipliant une des -équations du numéro précédent par 
a -f- a 1 — a" — on obtiendra 

(a-a")(a-a'") f + («/- a") (a'- a'") f - 

ou bien, puisque a — a"=a" — a' et a — a!"=a" — «, 

J (i'Z a) *J (*—«') _ (a' r —a)(a''- a%v^- a) (x^aT) ' 

B=(x — a) (,c — a') (# — r/") — a — a'-j- a 7 '). 
20. Nous avons maintenant épuisé le sujet de ce chapitre, savoir de 

/'Pdx 
—~r autant que possible par des fonctions algébriques, 

et nous avons donné des équations par lesquelles on peut, avec toute la 

Tome IL s 14 



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2Qg THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 

facilité possible, réduire une intégrale proposée quelconque de la forme pré- 
cédente. 

Reprenons les résultats généraux: 

1. Lorsque P est une fonction entière de x, J^j est toujours réductible 

. , Çdx Cxdx rx*dx 

aux intégrales j — ; j j ^ 

2. Lorsque P est une fonction fractionnaire de x, l'intégrale J est ré- 
ductible aux intégrales j^, j^, j^- et à des intégrales de la 
forme / ^ >- ---• 

3. Lorsque x — a est un facteur de P, l'intégrale J -----^ est réductible 
aux intégrales (—-, f-* — . /f!^L, ma i s dans tout autre cas cela est 
impossible. 

4. Il est impossible de trouver une relation entre plusieurs intégrales de la 

f orme f ^ à moins que x — a ne soit facteur de P, mais alors 

J (.r - a) V/i 

on peut trouver une relation entre trois intégrales de cette forme; si de 
plus a -|- a' = a" -{-«"', on peut trouver une relation entre deux d'entre 
elles. 

5. L'intégrale j peut s'exprimer par deux intégrales de la forme J ~^y^" 
x — a étant facteur de i?, si a -fa' diffère de a" -fa'". Les inté- 
grales J~ et J-^" au contraire ne peuvent pas être exprimées de 
cette manière. 



CHAPITRE II. 

l'Pdx 



Réduction de Vintéqrale I <X par des fonctions loqarith iniques. 

J y n • ' 



21. Dans le chapitre précédent nous avons réduit l'intégrale / y- P al 
des fonctions algébriques, et nous avons trouvé que son intégration exige les 



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THÉORIE DES •TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 



î nu n . /* <fo? Cxdx rx 2 dx C dx . , , 

f quatre fonctions suivantes 1-7=-? 1-7^-» / — ; — et / — -, qui en géne- 

ral sont irréductibles par des fonctions algébriques. Dans ce chapitre nous 
chercherons les relations qu'on peut obtenir entre ces quatre intégrales par 
1 des fonctions logarithmiques. Pour cela il faut trouver la fonction logarith- 

mique la plus générale dont la différentielle soit décomposable en ternies de 
la forme 

, Ax n dx Adx 

*t s. _ , - 

Yli \x—a) m YB 

! - k 3 car en intégrant la différentielle ainsi décomposée et faisant usage des réduc- 

tions du chapitre précédent, on obtiendra la relation la plus générale qu'on 
puisse trouver par des fonctions logarithmiques entre les quatre intégrales 
proposées. 

22. On peut se convaincre aisément que la fonction logarithmique 
1 •!;» -< cherchée doit avoir la forme suivante : 

r=A\og(P+QfÉ) + A'log(P' + Q'VTï) 

" 1 J + A " log (P"+ Q*]fR)-\ h 4 (M> l °g i p(n) + Q in) P )> 

P, Q, P', Q' etc. étant des fonctions entières de et A, A' etc. des coeffi- 
ciens constants. 

Considérons un ternie quelconque T= A log (P-f- QV^)* difleren- 
tiant on aura 

dP+dQ.-VB + t?* 

dT—A -_— y —, 

P+ QYB 

ou bien, en multipliant en haut et en bas par P — QYÏÎ, 

JT— A WP-QWQ +J W> _I_ A \PQd R+{Pd Q- QdP)R 
~ B" {P*-Q*B)YB 

d'où l'on tire 

T= i io g (P>-Q>m + A nrQdR+(Pd Q -QdP)R m 

2 6V y ' J (P*—Q*R)YM 

Il est aisé de voir qu'on peut faire abstraction du premier tenue de dT qui 

A 

est rationnel, et qui donne, dans la valeur de T, le tenue ^ log (P 2 — $ 8 i?); 
en retranchant donc ce tenue de J 1 , il restera H 

A log (P + Q fît ) -, ^ log (i» - Q'B) = ^ log !±||f • 

14* 



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Goo< 



jQy THÉORIE DES TRANSCENDANTES» ELLIPTIQUES. 

On peut donc faire 

J ë P_ QiR ~ ° F'— Q'ilt 1 

La différentielle de cette expression ne contient aucune partie ration- 
nelle; on aura en différentiant 

_ PQdB + 2 (PdQ - Q dP) R , , , P'QV^ +2{P 'dQ' — Q 'dP') R, 

dl — A '~(l»-Q*ll)VR ^ (P"-Q'*R)VR 

Vit 

Pour trouver *S", considérons le terme 

PQ J R -j- 2 ( PdQ— QdP)R 3/ 
""" (2«_ Q*R)y'R X 'VR 

De là on tire 

En différentiant N=P i —Q î R on aura 

c7iV= 2PdP— 2Q dÇ.E— Q* dR, 

d'oîi 

PeLV= 2P* JP— 2P<? rfÇ . P - Ç ! P</P, 
et en substituant pour P 8 sa valeur N-\- Q 2 R, 

PdX=2NdP^-2Q*RdP — 2PQRdQ — Q*PdR; 

c'est-à-dire 

JA ,z* - 7 d« PQdR + 2 (Prfy - ^Z/ 5 ) H m 



donc 



M=A dx (> d -, N=P" Q 2 h\ 



23. Par la valeur qu'on vient de trouver pour J/, on voit que si 

M 

(x — a) m est un diviseur de N, (x — a) m ~ l doit être diviseur de J/; donc y 

ne peut contenir aucun terme de la forme - m étant plus grand que 

(.r — a) ,fl 

l'unité. Les termes fractionnaires contenus dans la fonction -y sont donc tous 
de la forme — — . Si de plus x — a était facteur de B, il le serait aussi 
de P, donc dans ce cas M et N auraient x — a pour facteur commun. Donc 



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ntîMi- 



THÉ0RIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 109 

Af B 

w ne peut contenir aucun tenue de la forme , x — a étant facteur 

aV X Cl 

de R 

Pnnv frnuvpn la -fnvmp ri fi m «n-rfî fi Ar»fî^i»A rlr» 

JV 



Pour trouver la fonne de la partie entière de ^ , supposons que P soit 



un polynôme du degré m, et Q du degré ?i. 
Il faut distinguer trois cas: 

1) si m>n-\-2 1 2) si wi<ra-j-2, 3) si m = n-\-2. 

1) Si ra>n-f-2, iV est du degré 2?#, et 3/ du degré m-\-n-\-3 } donc 
est tout au plus du degré 0, donc la seule partie entière qui puisse y 

être contenue, est une quantité constante. 

2) Si 7rt<rc-f-2, N est du degré 2^^-}-4, et M du degré rc-{-?tt-f-3, 
M 

donc ^ est tout au plus du degré 0, et par conséquent sa partie entière 
est une constante. 

3) Si m = n-\-2, N peut être d'un degré quelconque moindre que 2m. 
Soit donc N du degré //, on voit que M est du degré (i-\~m — 1 — n = 

si fi n'est pas égal à 2w-f-4; car alors M est du degré // et ^ r 

M 

du degré 0. Donc dans ce cas ^ est tout au plus du degré 1, et sa partie 
entière est de la forme Bx-\-B'. 

M 

De ce qui précède il suit que ^ r est toujours de la fonne 

A ' = /j x + jr 4- 6 - ; + c „ + ••., 

A 1 1 x — a 1 x — a 1 x — a" 1 

x — a, x — a\ x — a", . . . n'étant point des facteurs de B. 

De là il suit que l'intégrale J ~ e8t irréductible dans tous les cas ; 

elle constitue donc une fonction transcendante particulière. 

M . dT' 
D'après la valeur de v il est aisé de conclure que ^ a la forme 

dT y -,+J'i g + . . . + Lm } d *-. 



dx 

où 



J VU ^ J yii ^ J (, - a) VJt- ^ J (* - a<«) VU 



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Goo gle* 



jjq THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. 

Voilà donc la relation la plus générale qu'on puisse trouver entre les 
intégrales proposées. 

24. Pour appliquer l'équation précédente, je vais résoudre les cinq pro- 
blèmes suivants: 

1. Exprimer les deux intégrales J± et j> + f par le plus petit 

/dx 

2. Réduire l'intégrale ( Fd ~ au plus petit nombre possible d'intégrales 

de la forme f — , P étant une fonction fractionnaire de x, et l'inté- 

grale décomposable en tennes de la forme J —_—^ B ' 

3. Quel est le nombre le plus petit d'intégrales elliptiques entre les- 
quelles on peut trouver une relation. 

4. Trouver toutes les intégrales de la forme qu i sont inté- 
grables par des logarithmes. 

5. Trouver toutes les intégrales de la forme J jj^^yg ^ P euvent 

s'exprimer par les intégrales et au moyen des logarithmes. 



Problème I. 

Exprimer VwUgraU j {h + *'* )dx par le plus petit nombre possible <VhMgrales de la j orme 

/dx 
(x — a)VR 

25. Soient P, Q, P', Q\ P", <?", . . . P'\ Q (r \ respect